第1節(jié)　空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖、直觀圖

第一節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖、

直觀圖第八章內(nèi)容索引0102強基礎增分策略增素能精準突破課標解讀衍生考點核心素養(yǎng)1.認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征,并能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu).2.能畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合)的三視圖,能識別上述三視圖所表示的立體模型,會用斜二測畫法畫出它們的直觀圖.3.會用平行投影方法畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖,了解空間圖形的不同表示形式.1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征2.直觀圖3.空間幾何體的側(cè)面展開問題4.空間幾何體的三視圖1.直觀想象2.邏輯推理3.數(shù)學運算強基礎增分策略1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征多面體是一個封閉的幾何體,是由平面多邊形圍成的,沒有曲面平行

全等

平行

相似

平行且相等

一點

一點

平行四邊形

三角形

梯形

微點撥1.多面體的關(guān)系:2.特殊的四棱柱

微思考有兩個面互相平行,其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱嗎?提示:不一定.如

(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征

要注意旋轉(zhuǎn)軸及形成旋轉(zhuǎn)體的平面圖形垂直

一點

一點

矩形

等腰三角形

等腰梯形

圓

矩形

扇形

扇環(huán)

微點撥旋轉(zhuǎn)體要抓住“旋轉(zhuǎn)”這一特點,弄清底面、側(cè)面及展開圖的形狀.2.空間幾何體的三視圖

眼見為實,不見為虛(1)幾何體的三視圖包括主視圖、左視圖、俯視圖,分別是從幾何體的

方、

方、

方觀察幾何體畫出的輪廓線.

(2)三視圖的畫法①基本要求:

,

,

.

②畫法規(guī)則:

一樣高,

一樣長,

一樣寬;看不到的輪廓線畫

線.

正前

正左

正上

長對正

高平齊

寬相等

主左主俯主俯虛

3.空間幾何體的直觀圖(1)畫法:常用斜二測畫法.九十度畫一半,橫不變,縱減半,平行關(guān)系不改變,畫出圖形更直觀(2)規(guī)則①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直,直觀圖中,x'軸、y'軸的夾角為

,z'軸與x'軸

.

②原圖形中平行于坐標軸的線段,在直觀圖中仍平行于坐標軸.平行于x軸和z軸的線段長度在直觀圖中

,平行于y軸的線段長度在直觀圖中

.

45°(或135°)垂直

保持原長度不變

變?yōu)樵瓉淼囊话?/p>

常用結(jié)論1.常見旋轉(zhuǎn)體的三視圖(1)球的三視圖都是半徑相等的圓.(2)底面與水平面平行放置的圓錐的主視圖和左視圖為全等的等腰三角形.(3)底面與水平面平行放置的圓臺的主視圖和左視圖為全等的等腰梯形.(4)底面與水平面平行放置的圓柱的主視圖和左視圖為全等的矩形.2.斜二測畫法中的“三變”與“三不變”3.按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖,其面積與原圖形的面積有以下關(guān)系:增素能精準突破考點一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征典例突破例1.(1)給出下列命題:①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點,則這兩點的連線是圓柱的母線;②直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐;③棱臺的上、下底面可以不相似,但側(cè)棱長一定相等.其中正確命題的個數(shù)是(

)A.0 B.1

C.2

D.3(2)給出下列命題:①棱柱的側(cè)棱都相等,側(cè)面都是全等的平行四邊形;②一個平面截圓錐,得到一個圓錐和一個圓臺;③存在每個面都是直角三角形的四面體;④棱臺的側(cè)棱延長后交于一點.其中正確命題的序號是

.

答案:(1)A

(2)③④

解析:(1)①不一定,只有當這兩點的連線平行于軸時才是母線;②不一定,當以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時,其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體不是圓錐,如圖所示,它是由兩個同底圓錐組成的幾何體;③錯誤,棱臺的上、下底面相似且是對應邊平行的多邊形,各側(cè)棱延長線交于一點,但是側(cè)棱長不一定相等.(2)①不正確,根據(jù)棱柱的定義,棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊形,但不一定全等;②不正確,必須是一個平行于圓錐底面的平面截圓錐才會得到一個圓錐和一個圓臺;③正確,如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中的三棱錐C1-ABC,四個面都是直角三角形;④正確,由棱臺的概念可知.突破技巧辨別空間幾何體的2種方法

定義法緊扣定義,由已知構(gòu)建幾何模型,在條件不變的情況下,變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本要素,根據(jù)定義進行判定反例法通過反例對結(jié)構(gòu)特征進行辨析,要說明一個結(jié)論是錯誤的,只需舉出一個反例即可對點訓練1下列命題正確的是(

)A.兩個面平行,其余各面都是梯形的多面體是棱臺B.兩個面平行且相似,其余各面都是梯形的多面體是棱臺C.以直角梯形的一條與底垂直的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體是圓臺D.用平面截圓柱得到的截面形狀只能是圓和矩形答案:C

解析:如圖所示,可排除選項A,B,選項C正確.只有截面與圓柱的母線平行或垂直時,截得的截面形狀為矩形或圓.考點二直觀圖典例突破例2.(1)(2021寧夏中衛(wèi)三模)已知水平放置的△ABC按“斜二測畫法”得到如圖所示的直觀圖,其中B'O'=C'O'=1,A'O'=,那么△ABC是一個(

)A.等邊三角形

B.直角三角形C.非等邊的等腰三角形

D.鈍角三角形(2)已知△ABC是邊長為a的正三角形,用斜二測畫法畫出的△ABC的平面直觀圖△A'B'C'的面積為(

)答案:(1)A

(2)A

解析:(1)根據(jù)斜二測畫法還原△ABC在直角坐標系的圖形,如圖.(2)(方法1)根據(jù)題意,建立如圖①所示的平面直角坐標系,再按照斜二測畫法畫出其直觀圖,如圖②所示.解題心得1.在斜二測畫法中,要確定關(guān)鍵點及關(guān)鍵線段的位置,注意“三變”與“三不變”;平面圖形的直觀圖,其面積與原圖形的面積的關(guān)系是S直觀圖=

S原圖形.2.在原圖形中與x軸或y軸平行的線段在直觀圖中與x'軸或y'軸平行,原圖中不與坐標軸平行的線段可以先畫出線段的端點再連線,原圖中的曲線段可以通過取一些關(guān)鍵點,作出在直觀圖中的相應點后,用平滑的曲線連接而畫出.對點訓練2如圖所示的是水平放置的△ABC的直觀圖,D是BC上一點,點D在直觀圖中的對應點是D',且D'C'<D'B',又A'D'∥y'軸,那么原△ABC中的AB,AD,AC三條線段中(

)A.最長的是AB,最短的是ACB.最長的是AC,最短的是ABC.最長的是AB,最短的是ADD.最長的是AD,最短的是AC答案:C

解析:由題意得到原來△ABC的平面圖為所以△ABC中,AB,AD,AC三條線段中最長的是AB,最短的是AD.考點三空間幾何體的側(cè)面展開問題典例突破例3.(1)(2021湖南長沙一中高三模擬)《增減算法統(tǒng)宗》中,許多數(shù)學問題都是以歌訣的形式出現(xiàn)的.其中有一首“葛藤纏木”,大意是說:有根高2丈的圓木柱,該圓木的周長為3尺,有根葛藤從圓木的根部向上生長,緩慢地自下而上均勻繞該圓木7周,剛好長的和圓木一樣高.已知1丈等于10尺,則能推算出該葛藤長為(

)A.21尺 B.25尺

C.29尺 D.33尺(2)(2021廣東江門高三一模)如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,M為棱DD1上的一點,當A1M+MC取最小值時,B1M的長為(

)答案:(1)C

(2)D

解析:(1)如圖所示,圓柱的側(cè)面展開圖是矩形ABEF,由題意得AB=2丈=20尺,圓周長BE=3尺,(2)如圖所示,將側(cè)面AA1D1D,側(cè)面CDD1C1展開至同一平面,顯然當A1,M,C三點共線時,A1M+MC取最小值,易知四邊形AA1C1C為正方形,則∠CA1C1=45°,且△A1D1M為等腰直角三角形,突破技巧空間幾何體展開圖的應用與關(guān)鍵1.應用展開圖可以解決以下問題:(1)求幾何體表面積或側(cè)面積;(2)求幾何體表面上兩個點的最短表面距離.2.找到幾何體的展開圖和原幾何體的形狀與數(shù)量關(guān)系是解決此類問題的重點.對點訓練3(2021山東青島高三模擬)如圖,四棱錐的底面是正方形,頂點P在底面上的投影是底面正方形的中心,側(cè)棱長為4,側(cè)面的頂角為30°.過點A作一截面與PB,PC,PD分別相交于點E,F,G,則四邊形AEFG周長的最小值是

.

解析:依題意,四棱錐為正四棱錐,且每個側(cè)面的頂角為30°,將四棱錐P-ABCD的側(cè)面沿PA展開,如圖,點A展開后分別為點A與點A',則PA=4,且∠APA'=120°,則當點E,F,G在直線AA'上時,四邊形AEFG的周長最小,最小值為AA'.所以在三角形APA'中,由余弦定理得AA'2=PA2+PA'2-2×PA×PA'×cos

120°考點四空間幾何體的三視圖(多考向探究)考向1.由空間幾何體的直觀圖識別三視圖典例突破例4.(2021吉林省吉林市第二次調(diào)研)我國古代數(shù)學家利用“牟合方蓋”(如圖甲)找到了球體體積的計算方法.“牟合方蓋”是由兩個圓柱分別從縱橫兩個方向嵌入一個正方體時兩圓柱公共部分形成的幾何體.圖乙所示的幾何體是可以形成“牟合方蓋”的一種模型,它的主視圖、左視圖、俯視圖依次是(

)

A.①②③ B.②①③

C.②①④ D.③①④答案:C

解析:由三視圖的定義,結(jié)合直觀圖可知主視圖為②;左視圖為①;俯視圖為④.解題心得由直觀圖確定三視圖,一要根據(jù)三視圖的含義及畫法和擺放規(guī)則確認;二要熟悉常見幾何體的三視圖.對點訓練4(2021四川成都石室中學月考)將正方體(如圖①所示)截去兩個三棱錐,得到如圖②所示的幾何體,則該幾何體的主視圖為(

)答案:B

解析:根據(jù)題意,得點A在平面BCC1B1上的投影是點B,點D在平面BCC1B1上的投影是點C,棱AB1在平面BCC1B1上的投影是BB1,AD1在平面BCC1B1上的投影是BC1,B1D1在平面BCC1B1上的投影是B1C1,B1C是被擋住的棱,應畫成虛線,如圖所示.考向2.由空間幾何體的三視圖還原直觀圖典例突破例5.(2021廣西桂林中學高三月考)空間幾何體的三視圖如圖所示,則此空間幾何體的直觀圖為(

)答案:A

解析:根據(jù)已知三視圖,下部為四柱體,上部為三棱錐,由主視圖知上部為非直角三角形,選項B,C中的上部的主視圖為直角三角形,所以B,C不正確.選項D中上面部分的主視圖不滿足條件,選項A中滿足.突破技巧由三視圖還原到直觀圖的思路

對點訓練5某圓柱的高為2,底面周