三角函數(shù)知識點歸納與題型總結(jié)

三角函數(shù)1、角的概念的推廣：平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所的圖形。按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫正角，按順時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫負角，一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)時，稱它形成一個零角。射線的起始位置稱為始邊，終止位置稱為終邊。2、象限角的概念：在直角坐標系中，使角的頂點與原點重合，角的始邊與軸的非負半軸重合，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限的角。如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何象限，稱作軸線角。3、終邊相同的角的表示：（1）終邊與終邊相同(的終邊在終邊所在射線上)，注意：相等的角的終邊一定相同，終邊相同的角不一定相等.【例1】與角的終邊相同，且絕對值最小的角的度數(shù)是，合弧度。（2）終邊與終邊共線(的終邊在終邊所在直線上).（3）終邊與終邊關(guān)于軸對稱.（4）終邊與終邊關(guān)于軸對稱.（5）終邊與終邊關(guān)于原點對稱.（6）終邊在軸上的角可表示為：；終邊在軸上的角可表示為：；終邊在坐標軸上的角可表示為：.【例2】的終邊與的終邊關(guān)于直線對稱，則＝____________。4、與的終邊關(guān)系：由“兩等分各象限、一二三四”確定.【例3】若是第二象限角，則是第_____象限角。5.弧長公式：，扇形面積公式：，1弧度(1rad).【例4】已知扇形AOB的周長是6cm，該扇形的中心角是1弧度，求該扇形的面積。6、任意角的三角函數(shù)的定義：、設是任意一個角，P是的終邊上的任意一點（異于原點），它與原點的距離是，那么，，，【例5】（1）已知角的終邊經(jīng)過點P(5，－12)，則的值為。（2）設是第三、四像限角，，則的取值范圍是_______（3）若，試判斷的符號：7.三角函數(shù)線的特征是：正弦線MP“站在軸上(起點在軸上)”；余弦線OM“躺在軸上(起點是原點)”；正切線AT“站在點處(起點是)”.三角函數(shù)線的重要應用是比較三角函數(shù)值的大小和解三角不等式?！纠?】（1）若，則的大小關(guān)系為_____（2）若為銳角，則的大小關(guān)系為_______（3）函數(shù)的定義域是______8.特殊角的三角函數(shù)值：30°45°60°0°90°180°270°15°75°010－110－101002-2+1002+2-9.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：（1）平方關(guān)系：（2）倒數(shù)關(guān)系：sincsc=1,cossec=1,tancot=1,（3）商數(shù)關(guān)系：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的主要應用是，已知一個角的三角函數(shù)值，求此角的其它三角函數(shù)值。在運用平方關(guān)系解題時，要根據(jù)已知角的范圍和三角函數(shù)的取值，盡可能地壓縮角的范圍，以便進行定號；在具體求三角函數(shù)值時，一般不需用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，而是先根據(jù)角的范圍確定三角函數(shù)值的符號，再利用解直角三角形求出此三角函數(shù)值的絕對值?！纠?】（1）函數(shù)的值的符號為____（2）若，則使成立的的取值范圍是____（3）已知，，則＝____（4）已知，則＝____；＝_____（5）已知，則等于（）A、B、C、D、已知，則的值為______10.三角函數(shù)誘導公式（）的本質(zhì)是：奇變偶不變（對而言，指取奇數(shù)或偶數(shù)），符號看像限（看原函數(shù)，同時可把看成是銳角）.誘導公式的應用是求任意角的三角函數(shù)值，其一般步驟：（1）負角變正角，再寫成2k+,；(2)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)?！纠?】（1）的值為________（2）已知，則______，若為第二像限角，則________。11、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：【例9】（1）下列各式中，值為的是（）A、B、C、D、（2）命題P：，命題Q：，則P是Q的（）A、充要條件B、充分不必要條件C、必要不充分條件D、既不充分也不必要條件（3）已知，那么的值為____（4）的值是______(5)已知，求的值（用a表示）甲求得的結(jié)果是，乙求得的結(jié)果是，對甲、乙求得的結(jié)果的正確性你的判斷是______12.三角函數(shù)的化簡、計算、證明的恒等變形的基本思路是：一角二名三結(jié)構(gòu)。即首先觀察角與角之間的關(guān)系，注意角的一些常用變式，角的變換是三角函數(shù)變換的核心！第二看函數(shù)名稱之間的關(guān)系，通?！扒谢摇?；第三觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點?；镜募记捎?（1）【角的拆與并—變角技巧】巧變角（已知角與特殊角的變換、已知角與目標角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換.例如：，，，，等），【例10】（1）已知，，那么的值是____（2）已知，且，，求的值為（3）已知為銳角，，，則與的函數(shù)關(guān)系為_____(2)三角函數(shù)名互化(切割化弦)，【例11】（1）求值=已知，求的值？(3)公式變形使用（?！纠?2】（1）已知A、B為銳角，且滿足，則＝_____(2)設中，，，則此三角形是____三角形。(4)三角函數(shù)次數(shù)的降升(降冪公式：，；升冪公式：，)?！纠?3】(1)若，化簡為_____（2）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為___________(5)式子結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化(對角、函數(shù)名、式子結(jié)構(gòu)化同)?！纠?4】（1）=（2）求證：；（3）化簡：=(6)常值變換主要指“1”的變換（等），【例15】已知，求=(7)正余弦“三兄妹—”的內(nèi)存聯(lián)系――“知一求二”，【例16】（1）若，則_（2）若，求的值。（3）已知，試用表示的值13、（高考必考點，必須掌握）輔助角公式中輔助角的確定：(其中角所在的像限由a,b的符號確定，角的值由確定)在求最值、化簡時起著重要作用?！纠?7】（1）若方程有實數(shù)解，則的取值范圍是___________.（2）當函數(shù)取得最大值時，的值是______（3）如果是奇函數(shù)，則= （4）求值：________14、正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖像：正弦函數(shù)和余弦函數(shù)圖像的作圖方法：五點法：先取橫坐標分別為0，的五點，再用光滑的曲線把這五點連接起來，就得到正弦曲線和余弦曲線在一個周期內(nèi)的圖像。15、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)：（1）定義域：都是R。（2）值域：都是，【例18】（1）若函數(shù)的最大值為，最小值為，則__，＿、（2）函數(shù)（）的值域是____（3）若，則的最大值和最小值分別是____、_____（4）函數(shù)的最小值是_____，此時＝__________（5）己知，求的變化范圍為（6）若，求的最大、最小值？特別提醒：在解含有正余弦函數(shù)的問題時，你深入挖掘正余弦函數(shù)的有界性了嗎？（3）周期性：①、的最小正周期都是2；②和的最小正周期都是?！纠?9】(1)若，則＝___(2)函數(shù)的最小正周期為____(3)設函數(shù)，若對任意都有成立，則的最小值為____（4）奇偶性與對稱性：正弦函數(shù)是奇函數(shù)，對稱中心是，對稱軸是直線；余弦函數(shù)是偶函數(shù)，對稱中心是，對稱軸是直線（正(余)弦型函數(shù)的對稱軸為過最高點或最低點且垂直于軸的直線，對稱中心為圖像與軸的交點）?！纠?0】（1）函數(shù)的奇偶性是______（2）已知函數(shù)為常數(shù)），且，則______（3）函數(shù)的圖像的對稱中心和對稱軸分別是______、_____（4）已知為偶函數(shù)，求的值為。（5）單調(diào)性：上單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增。特別提醒，別忘了！16、形如的函數(shù)：（1）物理量：A―振幅；―頻率（周期的倒數(shù)）；―相位；―初相；（2）函數(shù)表達式的確定：A由最值確定；由周期確定；由圖像上的特殊點確定，【例21】，的圖像如圖所示，則＝_____（3）函數(shù)圖像的畫法：①“五點法”――設，令＝0，求出相應的值，計算得出五點的坐標，描點后得出圖像；②圖像變換法：這是作函數(shù)簡圖常用方法。（4）函數(shù)的圖像與圖像間的關(guān)系：①函數(shù)的圖像縱坐標不變，橫坐標向左（>0）或向右（<0）平移個單位得的圖像；②函數(shù)圖像的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，得到函?shù)的圖像；③函數(shù)圖像的橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍，得到函數(shù)的圖像；④函數(shù)圖像的橫坐標不變，縱坐標向上（）或向下（），得到的圖像。要特別注意，若由得到的圖像，則向左或向右平移應平移個單位，【例22】（1）函數(shù)的圖像經(jīng)過怎樣的變換才能得到的圖像？(2)要得到函數(shù)的圖像，只需把函數(shù)的圖像向___平移____個單位。（3）將函數(shù)圖像，按向量平移后得到的函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱，這樣的向量是否唯一？若唯一，求出；若不唯一，求出模最小的向量？（4）若函數(shù)的圖像與直線有且僅有四個不同的交點，則的取值范圍是 （5）研究函數(shù)性質(zhì)的方法：類比于研究的性質(zhì)，只需將中的看成中的，但在求的單調(diào)區(qū)間時，要特別注意A和的符號，通過誘導公式先將化正?！纠?3】（1）函數(shù)的遞減區(qū)間是_____（2）的遞減區(qū)間是_______（3）設函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，它的周期是，則（）A、B、在區(qū)間上是減函數(shù)C、D、的最大值是A（4）對于函數(shù)給出下列結(jié)論：①圖像關(guān)于原點成中心對稱；②圖像關(guān)于直線成軸對稱；③圖像可由函數(shù)的圖像向左平移個單位得到；④圖像向左平移個單位，即得到函數(shù)的圖像。其中正確結(jié)論是_______（5）已知函數(shù)圖像與直線的交點中，距離最近兩點間的距離為，那么此函數(shù)的周期是_______17、正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)：（1）定義域：。遇到有關(guān)正切函數(shù)問題時，你注意到正切函數(shù)的定義域了嗎？（2）值域是R，在上面定義域上無最大值也無最小值；（3）周期性：是周期函數(shù)且周期是，它與直線的兩個相鄰交點之間的距離是一個周期。絕對值或平方對三角函數(shù)周期性的影響：某一周期函數(shù)解析式加絕對值或平方，其周期性是：弦減半、切不變．既為周期函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)自變量加絕對值，其周期性不變，其它不定。例如：的周期都是,但的周期為，而，的周期不變；（4）奇偶性與對稱性：是奇函數(shù)，對稱中心是，特別提醒：正(余)切型函數(shù)的對稱中心有兩類：一類是圖像與軸的交點，另一類是漸近線與軸的交點，但無對稱軸，這是與正弦、余弦函數(shù)的不同之處。單調(diào)性：正切函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)都是增函數(shù)。但要注意在整個定義域上不具有單調(diào)性。如下圖：18.三角形中的有關(guān)公式：(1)內(nèi)角和定理：三角形三角和為，這是三角形中三角函數(shù)問題的特殊性，解題可不能忘記！任意兩角和與第三個角總互補，任意兩半角和與第三個角的半角總互余.銳角三角形三內(nèi)角都是銳角三內(nèi)角的余弦值為正值任兩角和都是鈍角任意兩邊的平方和大于第三邊的平方.(2)正弦定理：(R為三角形外接圓的半徑).注意：①正弦定理的一些變式：；；；②已知三角形兩邊一對角，求解三角形時，若運用正弦定理，則務必注意可能有兩解(3)余弦定理：等，常選用余弦定理鑒定三角形的形狀.(4)面積公式：（其中為三角形內(nèi)切圓半徑）.【例24】中，，判斷的形狀特別提醒：（1）求解三角形中的問題時，一定要注意這個特殊性：；（2）求解三角形中含有邊角混合關(guān)系的問題時，常運用正、余弦定理實現(xiàn)邊角互化?！纠?5】（1）中，A、B的對邊分別是，且，那么滿足條件的（）A、有一個解B、有兩