新編高等數(shù)學(xué)高職PPT完整全套教學(xué)課件

新編高等數(shù)學(xué)全套可編輯PPT課件目錄CONTENTS第1章函數(shù)第2章極限與連續(xù)第3章導(dǎo)數(shù)與微分第4章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第5章不定積分第6章定積分及其應(yīng)用第7章多元微積分第8章常微分方程第9章無(wú)窮級(jí)數(shù)第10章線性代數(shù)函數(shù)第1章1.1函數(shù)及其性質(zhì)1.1.1函數(shù)的概念函數(shù)是描述變量間相互依賴關(guān)系的一種數(shù)學(xué)模型.在某一自然現(xiàn)象或社會(huì)現(xiàn)象中，往往存在多個(gè)不斷變化的量，即變量.這些變量并不是孤立變化的，而是相互聯(lián)系并遵循一定的規(guī)律的，函數(shù)就是用來(lái)描述這種聯(lián)系的.1.1函數(shù)及其性質(zhì)1.1.1函數(shù)的概念例如，在自由落體運(yùn)動(dòng)中，設(shè)物體下落的時(shí)間為t，下落的距離為s,假定開(kāi)始下落的時(shí)刻t=0，則變量s與t之間的相依關(guān)系由數(shù)學(xué)模型給定，其中g(shù)是重力加速度.定義1.1設(shè)x和y是兩個(gè)變量，D是一個(gè)給定的非空數(shù)集.若對(duì)于每個(gè)x∈D，變量y按照一定法則f總有確定的數(shù)值與它對(duì)應(yīng)，則稱y是x的函數(shù)，記為其中x稱為自變量，y稱為因變量，數(shù)集D稱為這個(gè)函數(shù)的定義域.1.1函數(shù)及其性質(zhì)1.1.1函數(shù)的概念對(duì)每個(gè)x∈D，按照對(duì)應(yīng)法則f，總有確定的值y與之對(duì)應(yīng)，這個(gè)值稱為函數(shù)在點(diǎn)x處的函數(shù)值，記為f（x）.因變量與自變量的這種依賴關(guān)系通常稱為函數(shù)關(guān)系.當(dāng)自變量x遍取D的所有數(shù)值時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f（x）的全體構(gòu)成的集合稱為函數(shù)f的值域，記為M，即由函數(shù)的定義可以看出，函數(shù)的定義域與對(duì)應(yīng)法則是確定函數(shù)的兩個(gè)必不可少的要素.也就是說(shuō)，如果兩個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則和定義域都相同，那么這兩個(gè)函數(shù)就是相同的函數(shù).例如，與是相同的函數(shù)；而與不是相同的函數(shù).1.1函數(shù)及其性質(zhì)1.1.1函數(shù)的概念對(duì)函數(shù)，若取自變量x為橫坐標(biāo)，因變量y為縱坐標(biāo)，則在平面直角坐標(biāo)系xOy中就確定了一個(gè)點(diǎn).當(dāng)x遍取定義域D中的每一個(gè)數(shù)值時(shí)，平面上的點(diǎn)集

稱為函數(shù)的圖像（見(jiàn)圖1-1）.圖1-1若自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值總是唯一的，這種函數(shù)稱為單值函數(shù)，否則稱為多值函數(shù).1.1函數(shù)及其性質(zhì)1.1.1函數(shù)的概念函數(shù)的常用表示法有以下三種：（1）列表法.將自變量的值與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值列成表格的方法.（2）圖像法.在坐標(biāo)系中用圖像來(lái)表示函數(shù)關(guān)系的方法.（3）公式法（解析法）.將自變量和因變量之間的關(guān)系用數(shù)學(xué)表達(dá)式（又稱為解析表達(dá)式）來(lái)表示的方法.1.1函數(shù)及其性質(zhì)1.1.1函數(shù)的概念例1-1絕對(duì)值函數(shù),其定義域D=（－∞,+∞）,值域M=［0,+∞）,它的圖像如圖1-2所示．圖1-2例1-2

符號(hào)函數(shù)

其定義域D=（－∞,+∞）,值域M={－1,0,1}.對(duì)任一實(shí)數(shù)x,總有，它的圖像如圖1-3所示．圖1-31.1函數(shù)及其性質(zhì)1.1.1函數(shù)的概念圖1-4例1-3

取整函數(shù)，表示不超過(guò)數(shù)x的最大整數(shù).例如，［2.3］=2,［5］=5,［π］=3,［－6.7］=－7取整函數(shù)的定義域D=（－∞,+∞）,值域M={0,±1,±2,±3,…}，它的圖像如圖1-4所示．1.1函數(shù)及其性質(zhì)1.1.2反函數(shù)在函數(shù)中，自變量與因變量的地位是相對(duì)的，任意一個(gè)變量都可根據(jù)需要作為自變量．例如，在函數(shù)y=x＋5中，x是自變量，y是因變量，根據(jù)這個(gè)式子，可以解出x=y-5，這里y是自變量，x是因變量．上面兩個(gè)式子反映了同一個(gè)過(guò)程中兩個(gè)變量之間地位的相對(duì)性，稱它們互為反函數(shù)．1.1函數(shù)及其性質(zhì)1.1.2反函數(shù)定義1.2設(shè)函數(shù)，其定義域?yàn)镈，值域?yàn)镸，如果對(duì)于任意y∈M，由函數(shù)關(guān)系式恰好唯一確定出一個(gè)x∈D與之對(duì)應(yīng)，那么認(rèn)為x是y的函數(shù)，記作，我們稱上述的與互為反函數(shù)，習(xí)慣上將記作習(xí)慣上常用x表示自變量，y表示因變量，故常把的反函數(shù)寫(xiě)作由反函數(shù)的定義知，在定義區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)必有反函數(shù)．1.1函數(shù)及其性質(zhì)1.1.2反函數(shù)例1-4

函數(shù)，則，故的反函數(shù)是．若把函數(shù)與其反函數(shù)的圖像畫(huà)在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，那么這兩個(gè)圖像關(guān)于對(duì)稱．例1-5函數(shù)和函數(shù)的圖像如圖1-5所示．一般地，要求的反函數(shù)，只需先從中解出x的表達(dá)式，當(dāng)該表達(dá)式也是一個(gè)函數(shù)時(shí)，再將其中的字母x，y進(jìn)行交換即可．圖1-51.1函數(shù)及其性質(zhì)1.1.2反函數(shù)例1-6求函數(shù)的反函數(shù)．定理1.1設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，值域?yàn)镸．若在D上是單調(diào)增加或單調(diào)減少的，則在M上的反函數(shù)存在，且在M上也是單調(diào)增加或單調(diào)減少的．例1-7設(shè)函數(shù)

求其反函數(shù)．1.1函數(shù)及其性質(zhì)1.1.3函數(shù)的性質(zhì)1.有界性如果存在正數(shù)M,使對(duì)任意的x∈I,恒有,則稱函數(shù)在區(qū)間I上有界,否則稱在區(qū)間I上無(wú)界.從圖像上看,有界函數(shù)的圖像介于兩條直線y=－M與y=M之間（見(jiàn)圖1-6）.例如,函數(shù)在（－∞,+∞）上有界,因?yàn)閷?duì)任意的x∈（－∞,+∞）,恒有sinx≤1,而函數(shù)在區(qū)間（0,1）內(nèi)無(wú)界,但在區(qū)間（1,2）內(nèi)有界.圖1-61.1函數(shù)及其性質(zhì)1.1.3函數(shù)的性質(zhì)2.單調(diào)性圖1-7若對(duì)任意的,當(dāng)時(shí),恒有［或］,則稱函數(shù)在區(qū)間I上單調(diào)增加（或單調(diào)減少）.區(qū)間I稱為單調(diào)增區(qū)間（或單調(diào)減區(qū)間）;單調(diào)增加函數(shù)和單調(diào)減少函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù);單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間統(tǒng)稱為單調(diào)區(qū)間.一般地,單調(diào)增加函數(shù)的圖像為沿x軸正向單調(diào)上升的曲線,如圖1-7所示;單調(diào)減少函數(shù)的圖像為沿x軸正向單調(diào)下降的曲線,如圖1-8所示.圖1-81.1函數(shù)及其性質(zhì)1.1.3函數(shù)的性質(zhì)3.奇偶性圖1-9圖1-10設(shè)函數(shù)的定義區(qū)間I關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,若對(duì)任意的x∈I,都有,則稱函數(shù)是區(qū)間I上的偶函數(shù);若對(duì)任意的x∈I,都有,則稱函數(shù)是區(qū)間I上的奇函數(shù);若函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù),則稱為非奇非偶函數(shù).偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱（見(jiàn)圖1-9）;奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（見(jiàn)圖1-10）.1.1函數(shù)及其性質(zhì)1.1.3函數(shù)的性質(zhì)4.周期性如果存在不為零的正實(shí)數(shù)T,使得對(duì)于任意的x∈I,x+T∈I,都有,則稱函數(shù)為周期函數(shù),T是的一個(gè)周期.通常所說(shuō)的周期函數(shù)的周期是指它的最小正周期.例如,是以2π為周期的周期函數(shù);是以π為周期的周期函數(shù).1.2初等函數(shù)1.2.1基本初等函數(shù)中學(xué)學(xué)過(guò)的常量函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).這些函數(shù)中的多數(shù)函數(shù)我們比較熟悉，這里只做簡(jiǎn)要復(fù)習(xí).1.2初等函數(shù)1.2.1基本初等函數(shù)（1）常量函數(shù).y=C（C為常數(shù)），該函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞,+∞）,圖像為過(guò)點(diǎn)（0,C）且平行于x軸的直線.（2）冪函數(shù).（a為實(shí)數(shù)）,該函數(shù)的定義域因a的取值不同而不同,但無(wú)論a為何值,它在區(qū)間（0,+∞）內(nèi)總有定義,且圖像過(guò)點(diǎn)（1,1）,a>0和a<0的圖像分別如圖1-11、圖1-12所示.圖1-11圖1-121.2初等函數(shù)1.2.1基本初等函數(shù)圖1-13（3）指數(shù)函數(shù).（a>0,且a≠1,a為常數(shù)）,該函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞,+∞）,值域?yàn)椋?,+∞）.當(dāng)a>1時(shí),函數(shù)單調(diào)增加;當(dāng)0<a<1時(shí),函數(shù)單調(diào)減少,圖像過(guò)點(diǎn)（0,1）,的圖像如圖1-13所示.在科學(xué)計(jì)數(shù)法中常用到以e為底的指數(shù)函數(shù)（e為無(wú)理數(shù),e=2.71828…）.1.2初等函數(shù)1.2.1基本初等函數(shù)（4）對(duì)數(shù)函數(shù).（a>0,且a≠1,a為常數(shù)）,該函數(shù)的定義域?yàn)椋?,+∞）,值域?yàn)椋?∞,+∞）,當(dāng)a>1時(shí),函數(shù)單調(diào)增加;當(dāng)0<a<1時(shí),函數(shù)單調(diào)減少,圖像過(guò)點(diǎn)（1,0）,具體圖像如圖1-14所示.在科學(xué)計(jì)數(shù)法中常用到以e為底的對(duì)數(shù)函數(shù),稱為自然對(duì)數(shù),記作.圖1-14（5）三角函數(shù).統(tǒng)稱為三角函數(shù).①正弦函數(shù).的定義域?yàn)椋?∞,+∞）,值域?yàn)椋?1,1］,在上單調(diào)增加,在上單調(diào)減少,它是以2π為周期的周期函數(shù),其中k∈Z，如圖1-15所示.圖1-151.2初等函數(shù)1.2.1基本初等函數(shù)圖1-16圖1-17②余弦函數(shù).的定義域、值域和周期與正弦函數(shù)相同，在上單調(diào)增加,在上單調(diào)減少,其中k∈Z，如圖1-16所示.③正切函數(shù).的定義域?yàn)椋╧∈Z）,值域?yàn)椋?∞,+∞）,是以π為周期的周期函數(shù),在有定義的區(qū)間上單調(diào)增加,如圖1-17所示.1.2初等函數(shù)1.2.1基本初等函數(shù)圖1-18④余切函數(shù).的定義域?yàn)?值域?yàn)椋?∞,+∞）,是以π為周期的周期函數(shù),在有定義的區(qū)間上單調(diào)減少,如圖1-18所示.⑤正割函數(shù)和余割函數(shù).,其中,.1.2初等函數(shù)1.2.1基本初等函數(shù)圖1-19（6）反三角函數(shù).統(tǒng)稱為反三角函數(shù).①反正弦函數(shù).正弦函數(shù)在上的反函數(shù)稱為反正弦函數(shù),記作,定義域?yàn)椋?1,1］,值域?yàn)?顯然,如圖1-19所示.②反余弦函數(shù).余弦函數(shù)在［0,π］上的反函數(shù)稱為反余弦函數(shù),記作,定義域?yàn)椋?1,1］,值域?yàn)椋?,π］,顯然,如圖1-20所示.圖1-201.2初等函數(shù)1.2.1基本初等函數(shù)圖1-21（6）反三角函數(shù).

圖1-22③反正切函數(shù).正切函數(shù)在上的反函數(shù)稱為反正切函數(shù),記作,定義域?yàn)椋?∞,+∞）,值域?yàn)?顯然,如圖1-21所示.④反余切函數(shù).余切函數(shù)在（0，π）上的反函數(shù)叫反余切函數(shù)，記作,定義域?yàn)椋?∞,+∞）,值域?yàn)椋?,π）,顯然,如圖1-22所示.1.2初等函數(shù)1.2.1基本初等函數(shù)思考:你會(huì)用“五點(diǎn)法”作正弦型函數(shù)與余弦型函數(shù)的圖像嗎？1.2初等函數(shù)1.2.2復(fù)合函數(shù)和初等函數(shù)1.復(fù)合函數(shù)定義1.3設(shè),其中,且函數(shù)的值域包含在函數(shù)的定義域內(nèi),則稱為由與復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù),其中u叫作中間變量.關(guān)于復(fù)合函數(shù)有如下幾點(diǎn)說(shuō)明：（1）復(fù)合函數(shù)的定義可以推廣到多個(gè)中間變量的情形.（2）將一個(gè)較復(fù)雜的函數(shù)分解為若干個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)時(shí),一定要分清層次,由外到內(nèi)逐層分解.（3）并不是任意兩個(gè)函數(shù)都能構(gòu)成復(fù)合函數(shù).例如,和就不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù).因?yàn)楫?dāng)x∈（－∞,+∞）時(shí),,此時(shí)無(wú)定義.。1.2初等函數(shù)1.2.2復(fù)合函數(shù)和初等函數(shù)1.復(fù)合函數(shù)例1-8指出下列函數(shù)由哪些簡(jiǎn)單函數(shù)復(fù)合而成.（1）（2）注意：能否正確分析復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成直接決定了能否熟練掌握微積分的方法和技巧.1.2初等函數(shù)1.2.2復(fù)合函數(shù)和初等函數(shù)2.初等函數(shù)由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算而得到的,并且可以用一個(gè)解析式表示的函數(shù),稱為初等函數(shù).例如，等都是初等函數(shù);但分段函數(shù)一般不是初等函數(shù)，如函數(shù)不能用一個(gè)解析式表示,故不是初等函數(shù).1.3應(yīng)用示例——椅子能否在不平的地面放穩(wěn)1.3.1問(wèn)題提出當(dāng)把一張椅子放在不平的地面上時(shí)，通常只有三只椅腳著地，然而只需稍微轉(zhuǎn)動(dòng)一定的角度，就可以使四只椅腳同時(shí)著地，即放穩(wěn)了.怎樣用數(shù)學(xué)模型來(lái)描述和證明這個(gè)實(shí)際問(wèn)題呢？1.3應(yīng)用示例——椅子能否在不平的地面放穩(wěn)1.3.2模型假設(shè)為了能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行描述，需要對(duì)椅子和地面做一些必要的假設(shè).椅子的四條腿一樣長(zhǎng)，將椅腳與地面的接觸處視為一個(gè)點(diǎn)，則四只腳的連線呈正方形.假設(shè)1對(duì)椅子的假設(shè).地面的高度是連續(xù)變化的，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面.假設(shè)2對(duì)地面的假設(shè).地面是較為平坦的，使得椅子在任何時(shí)候都有三只腳同時(shí)著地.假設(shè)3對(duì)椅子和地面關(guān)系的假設(shè).1.3應(yīng)用示例——椅子能否在不平的地面放穩(wěn)1.3.3模型建立1.引入函數(shù)如圖1-23所示，以正方形ABCD的中心O為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，用θ表示椅子轉(zhuǎn)動(dòng)的角度，從而確定椅子的位置.椅腳著地，即椅腳與地面的距離為零，這就是椅子與地面的數(shù)量關(guān)系.因此，可以用θ的函數(shù)表示椅腳與地面的距離，因?yàn)閳D形具有對(duì)稱性，故不必用4個(gè)函數(shù)，而只用2個(gè)函數(shù)［設(shè)表示椅腳A和C到地面的距離之和，設(shè)表示椅腳B和D到地面的距離之和］即可.圖1-231.3應(yīng)用示例——椅子能否在不平的地面放穩(wěn)1.3.3模型建立2.函數(shù)的性質(zhì)（1）由假設(shè)2可知，函數(shù)與是θ的非負(fù)連續(xù)函數(shù)，0≤θ≤2π.（2）由假設(shè)3可知，對(duì)任意θ∈［0，2π］，，不妨設(shè).（3）當(dāng)把椅子轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，AC與BD互換了位置，由假設(shè)1可知1.3應(yīng)用示例——椅子能否在不平的地面放穩(wěn)1.3.3模型建立3.把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)命題椅子的四只椅腳同時(shí)著地等價(jià)于存在一點(diǎn)θ0，使.因此，原問(wèn)題等價(jià)于以下命題：命題命題已知函數(shù)與是θ的非負(fù)連續(xù)函數(shù)，0≤θ≤2π，且滿足：（1）；（2）對(duì)任意θ∈［0，2π］，；（3），.則必存在一點(diǎn)θ0∈［0，2π］，使.1.3應(yīng)用示例——椅子能否在不平的地面放穩(wěn)1.3.4模型求證（1）求證：因?yàn)椋裕?令，則在［0，π/2］上連續(xù)且.由連續(xù)函數(shù)中值定理可知，必存在一點(diǎn)使，即.因?yàn)榕c至少有一個(gè)為零，所以.（2）模型的解的意義：在滿足三點(diǎn)假設(shè)的前提下，證明了通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)椅子，必定可使其在地面上放穩(wěn)，而且轉(zhuǎn)動(dòng)（順時(shí)針或逆時(shí)針）的角度不會(huì)超過(guò)90°.1.4數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)一：使用MATLAB作基本運(yùn)算與繪制函數(shù)圖像1.4.1實(shí)驗(yàn)任務(wù)（3）學(xué)習(xí)利用數(shù)學(xué)軟件MATLAB繪制函數(shù)圖像.010203（1）熟悉數(shù)學(xué)軟件MATLAB的界面、基本功能和基本操作.（2）學(xué)習(xí)利用數(shù)學(xué)軟件MATLAB作基本運(yùn)算.1.4數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)一：使用MATLAB作基本運(yùn)算與繪制函數(shù)圖像1.4.2實(shí)驗(yàn)過(guò)程1.數(shù)學(xué)軟件MATLAB簡(jiǎn)介數(shù)學(xué)軟件MATLAB是美國(guó)MathWorks公司開(kāi)發(fā)的一款商業(yè)數(shù)學(xué)軟件，具有強(qiáng)大的功能，主要用于算法開(kāi)發(fā)、數(shù)據(jù)可視化、數(shù)據(jù)分析以及數(shù)值計(jì)算中，將人們從原先煩瑣的手工計(jì)算中徹底解放出來(lái).下面主要介紹MATLAB的基本操作（以MATLABR2013b版本為例進(jìn)行介紹）.1.4數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)一：使用MATLAB作基本運(yùn)算與繪制函數(shù)圖像1.4.2實(shí)驗(yàn)過(guò)程1.數(shù)學(xué)軟件MATLAB簡(jiǎn)介1）軟件的啟動(dòng)與運(yùn)行安裝完MATLAB軟件并激活后，該軟件會(huì)在“開(kāi)始”菜單中創(chuàng)建快捷方式.單擊“開(kāi)始”→“所有程序”→MATLAB→R2013b→MATLABR2013b命令，運(yùn)行MATLAB軟件，并進(jìn)入其主界面，如圖1-24所示.圖1-241.4數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)一：使用MATLAB作基本運(yùn)算與繪制函數(shù)圖像1.4.2實(shí)驗(yàn)過(guò)程1.數(shù)學(xué)軟件MATLAB簡(jiǎn)介2）輸入與輸出啟動(dòng)MATLAB軟件后，可以通過(guò)鍵盤(pán)在命令窗口（CommandWindow）中輸入對(duì)應(yīng)的程序和命令，然后按Enter鍵，系統(tǒng)自動(dòng)運(yùn)算并輸出結(jié)果.例如，我們利用MATLAB計(jì)算“2+3”的結(jié)果，可以直接在命令窗口中輸入“2+3”，然后按Enter鍵，即可得到計(jì)算結(jié)果，如圖1-25所示.圖1-251.4數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)一：使用MATLAB作基本運(yùn)算與繪制函數(shù)圖像1.4.2實(shí)驗(yàn)過(guò)程2.基本運(yùn)算在MATLAB中，和、差、積、商、乘方運(yùn)算分別用+、-、*、/、^來(lái)表示，其運(yùn)算順序與一般運(yùn)算的規(guī)則一致，即先乘方，后乘除，最后是加減，要改變次序可以使用小括號(hào)“（）”.操作實(shí)例1計(jì)算［4+2×(5－1)］÷22.在命令窗口中輸入：>>(4+2*(5-1))/2^2按Enter鍵，得到如下計(jì)算結(jié)果：ans=31.4數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)一：使用MATLAB作基本運(yùn)算與繪制函數(shù)圖像1.4.2實(shí)驗(yàn)過(guò)程3.繪制函數(shù)圖像1）相關(guān)命令在MATLAB中繪制二維曲線函數(shù)圖形的命令，最基本的是plot和fplot，其命令說(shuō)明如表1-1所示.表1-11.4數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)一：使用MATLAB作基本運(yùn)算與繪制函數(shù)圖像1.4.2實(shí)驗(yàn)過(guò)程3.繪制函數(shù)圖像2）操作實(shí)例操作實(shí)例2在同一個(gè)坐標(biāo)系下畫(huà)出兩條曲線和在區(qū)間［0，2π］上的圖像.解法1運(yùn)行MATLAB，在命令行窗口中輸入：>>按Enter鍵，彈出如圖1-26所示的圖像窗口.%同一坐標(biāo)系下，在［0,2π］上繪制曲線和的圖形圖1-261.4數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)一：使用MATLAB作基本運(yùn)算與繪制函數(shù)圖像1.4.2實(shí)驗(yàn)過(guò)程3.繪制函數(shù)圖像2）操作實(shí)例解法2在命令行窗口中輸入：x=0:0.01:2*pi;%在x軸的區(qū)間［0,2π］上每隔0.01間隔取x點(diǎn)>>

按Enter鍵后，彈出如圖1-27所示的圖像窗口.

圖1-27%用綠色繪制y=sin（x+1）圖形，用藍(lán)色繪制y=cosx+1圖形（默認(rèn)顏色為紅色和藍(lán)色）1.4數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)一：使用MATLAB作基本運(yùn)算與繪制函數(shù)圖像1.4.2實(shí)驗(yàn)過(guò)程3.繪制函數(shù)圖像2）操作實(shí)例按Enter鍵，則可發(fā)現(xiàn)圖像窗口中增加了相應(yīng)的圖例，如圖1-28所示.圖1-281.4數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)一：使用MATLAB作基本運(yùn)算與繪制函數(shù)圖像1.4.2實(shí)驗(yàn)過(guò)程3.繪制函數(shù)圖像2）操作實(shí)例操作實(shí)例3將屏幕窗口分成4個(gè)，用subplot(m，n，k)命令畫(huà)4個(gè)子圖，分別如下：圖1-29①②③按Enter鍵，彈出如圖1-29所示的窗口.謝謝大家觀看極限與連續(xù)第2章2.1數(shù)列的極限2.1.1數(shù)列極限的定義在中學(xué)，我們已經(jīng)學(xué)過(guò)數(shù)列的概念.按一定順序排列的無(wú)窮多個(gè)數(shù)稱為無(wú)窮數(shù)列，簡(jiǎn)稱數(shù)列，簡(jiǎn)記為.其中的每個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的項(xiàng)，稱為數(shù)列的通項(xiàng)（或一般項(xiàng)），n稱為數(shù)列的項(xiàng)數(shù).現(xiàn)在我們來(lái)考察當(dāng)項(xiàng)數(shù)n無(wú)限增大時(shí)（即n→∞時(shí)），對(duì)應(yīng)的一般項(xiàng)的變化趨勢(shì).首先我們來(lái)看幾個(gè)數(shù)列：（1）（2）（3）（4）2.1數(shù)列的極限2.1.1數(shù)列極限的定義為便于觀察，我們?cè)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中做出以上4個(gè)數(shù)列的圖形，分別如圖2-1~圖2-4所示（為了便于展示效果，圖形中橫縱坐標(biāo)軸取值比例特意采取不同標(biāo)準(zhǔn)）.圖2-1圖2-2圖2-3圖2-42.1數(shù)列的極限2.1.1數(shù)列極限的定義從圖2-1中可以看出，當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，數(shù)列通項(xiàng)的值無(wú)限趨于0.從圖2-2中可以看出，當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，數(shù)列通項(xiàng)的值無(wú)限趨于1.從圖2-3中可以看出，當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，數(shù)列通項(xiàng)的值在1與-1之間振蕩.從圖2-4中可以看出，當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，數(shù)列通項(xiàng)的值趨于+∞.2.1數(shù)列的極限2.1.1數(shù)列極限的定義定義2.1對(duì)于數(shù)列，如果當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，通項(xiàng)無(wú)限接近于某個(gè)確定的常數(shù)A，則稱A為數(shù)列的極限，或稱數(shù)列收斂于A，記為若數(shù)列沒(méi)有極限，則稱該數(shù)列發(fā)散.由上面的定義可知，數(shù)列的極限為0，即；數(shù)列的極限為1，即；數(shù)列與都不趨于某個(gè)確定的常數(shù)，因此都是發(fā)散的，且數(shù)列的變化趨勢(shì)無(wú)法用極限形式給出，而數(shù)列的變化趨勢(shì)可表示為.2.1數(shù)列的極限2.1.1數(shù)列極限的定義例2-1觀察下列數(shù)列當(dāng)n→∞時(shí)的極限.（1）;（2）;（3）;（4）.解題過(guò)程見(jiàn)書(shū)本P21.2.1數(shù)列的極限2.1.2收斂數(shù)列的性質(zhì)定理2.1（極限的唯一性）收斂數(shù)列的極限是唯一的.定理2.2（收斂數(shù)列的有界性）如果數(shù)列收斂，那么數(shù)列一定有界.推論2.1有界數(shù)列未必收斂，無(wú)界數(shù)列必定發(fā)散.2.2函數(shù)的極限2.2.1函數(shù)極限的定義1.當(dāng)x→∞時(shí)，函數(shù)的極限考察函數(shù)當(dāng)x→∞時(shí)的變化趨勢(shì).由圖2-5可以看出，當(dāng)x的絕對(duì)值無(wú)限增大時(shí)，函數(shù)的值無(wú)限趨近于零.圖2-5定義2.2一般地，如果當(dāng)自變量x的絕對(duì)值無(wú)限增大（即x→∞）時(shí)，函數(shù)無(wú)限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)A，那么A就叫作函數(shù)當(dāng)x→∞時(shí)的極限，記作2.2函數(shù)的極限2.2.1函數(shù)極限的定義1.當(dāng)x→∞時(shí)，函數(shù)的極限定義2.3類(lèi)似地，如果當(dāng)x→+∞（或x→-∞）時(shí)，函數(shù)無(wú)限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)A，那么A就叫作函數(shù)當(dāng)x→+∞（或x→-∞）時(shí)的極限，記作同理觀察圖2-5，可以看出

不難證明，limx→∞f(x)存在的充分必要條件是limx→+∞f(x)和limx→-∞f(x)存在且相等，即2.2函數(shù)的極限2.2.1函數(shù)極限的定義1.當(dāng)x→∞時(shí)，函數(shù)的極限例2-2

討論當(dāng)x→∞時(shí)，函數(shù)的極限.圖2-6

的圖像2.2函數(shù)的極限2.2.1函數(shù)極限的定義圖2-7例2-2

討論當(dāng)

時(shí)，函數(shù)的極限.先從圖像上考察兩個(gè)函數(shù)與，如圖2-7所示.從圖2-7中不難看出，當(dāng)x無(wú)限接近于2時(shí)，無(wú)限趨近于4，也無(wú)限趨近于4.但函數(shù)和是兩個(gè)不同的函數(shù)，在x=2處有定義，而在x=2處無(wú)定義.這就是說(shuō)，極限是否存在與其在x=2處是否有定義無(wú)關(guān).2.當(dāng)

時(shí)，函數(shù)的極限2.2函數(shù)的極限2.2.1函數(shù)極限的定義2.當(dāng)

時(shí)，函數(shù)的極限定義2.4設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的附近有定義，如果當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)A，那么A就叫作函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限，記作（1）當(dāng)自變量x小于x0而無(wú)限趨近于x0時(shí)，如果函數(shù)無(wú)限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)A，那么A就叫作函數(shù)當(dāng)時(shí)的左極限，記作

（2）類(lèi)似地，當(dāng)自變量x大于x0而無(wú)限趨近于x0時(shí)，如果函數(shù)無(wú)限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)A，那么A就叫作函數(shù)當(dāng)時(shí)的右極限，記作2.2函數(shù)的極限2.2.1函數(shù)極限的定義2.當(dāng)

時(shí)，函數(shù)的極限例2-3設(shè)函數(shù)，求，并由此判斷是否存在.例2-4設(shè)函數(shù).證明：當(dāng)x→0時(shí)，的極限不存在.2.2函數(shù)的極限2.2.2極限的四則運(yùn)算法則定理2.3（極限四則運(yùn)算法則）設(shè)在自變量x的同一變化過(guò)程中,極限及都存在,則有推論2.2

（C為常數(shù)）.推論2.3

（n為正整數(shù)）.2.2函數(shù)的極限2.2.2極限的四則運(yùn)算法則例2-5求極限.例2-6求下列極限.例2-7求下列函數(shù)的極限.解題過(guò)程見(jiàn)書(shū)本P25-26.2.2函數(shù)的極限2.2.3無(wú)窮小量與無(wú)窮大量1.無(wú)窮小1）無(wú)窮小的定義考察函數(shù)當(dāng)x→2時(shí)，趨近于零，函數(shù)當(dāng)x→∞時(shí)，趨近于零.定義2.5若在x的某一變化趨勢(shì)下,函數(shù)的極限為零,則稱函數(shù)為x的這種變化趨勢(shì)下的無(wú)窮小量,簡(jiǎn)稱無(wú)窮小.2.2函數(shù)的極限2.2.3無(wú)窮小量與無(wú)窮大量1.無(wú)窮小2）無(wú)窮小的性質(zhì)有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍為無(wú)窮小.性質(zhì)2.1有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.性質(zhì)2.2常數(shù)與無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小.推論2.4有限個(gè)無(wú)窮小的乘積仍是無(wú)窮小.推論2.52.2函數(shù)的極限2.2.3無(wú)窮小量與無(wú)窮大量1.無(wú)窮小例2-8求解因?yàn)?又,所以例2-9計(jì)算解2.2函數(shù)的極限2.2.3無(wú)窮小量與無(wú)窮大量1.無(wú)窮小無(wú)窮小量雖然都是趨近于零的變量，但不同的無(wú)窮小趨近于零的速度卻不一定相同，有時(shí)可能相差很大.觀察兩個(gè)無(wú)窮小比值的極限：在x→0的過(guò)程中，x2→0比x→0“快些”，而sinx→0與x→0“快慢相仿”.由此，我們定義如下：設(shè)α、β是同一變化過(guò)程中的無(wú)窮小量，則：如果，就說(shuō)β是比α高階的無(wú)窮小，記作β=o(α)；如果，就說(shuō)β是和α同階的無(wú)窮??；如果，就說(shuō)β與α是等價(jià)無(wú)窮小，記作α~β.2.2函數(shù)的極限2.2.3無(wú)窮小量與無(wú)窮大量1.無(wú)窮小例2-10當(dāng)x→0時(shí)，對(duì)無(wú)窮小x2與x進(jìn)行比較.例2-11求定理2.4設(shè)，且存在，則定理2.4表明，求兩個(gè)無(wú)窮小之比的極限時(shí)，分子及分母都可用等價(jià)無(wú)窮小來(lái)代替.因此，如果用來(lái)代替的無(wú)窮小選取適當(dāng)，則可使計(jì)算簡(jiǎn)化.2.2函數(shù)的極限2.2.3無(wú)窮小量與無(wú)窮大量2.無(wú)窮大1）無(wú)窮大的定義定義2.6在x的某一變化趨勢(shì)下,若函數(shù)的絕對(duì)值無(wú)限增大,則稱函數(shù)為在x的這種變化趨勢(shì)下的無(wú)窮大量,簡(jiǎn)稱無(wú)窮大.為的無(wú)窮大,記作.2.2函數(shù)的極限2.2.3無(wú)窮小量與無(wú)窮大量2.無(wú)窮大2）無(wú)窮大與無(wú)窮小的關(guān)系定理2.5在自變量的同一變化過(guò)程中有以下兩種情況：（1）如果函數(shù)是無(wú)窮小,且,則是無(wú)窮大.（2）如果函數(shù)是無(wú)窮大,則是無(wú)窮小.例2-12討論極限.2.3兩個(gè)重要極限當(dāng)x取一系列趨于零的數(shù)值時(shí),得到的一系列對(duì)應(yīng)數(shù)值,如表2-1及圖2-8所示．2.3.1第一個(gè)重要極限表2-1圖2-8從表2-1及圖2-8可以看出,當(dāng)x無(wú)限趨于零時(shí),的值無(wú)限趨于1.這說(shuō)明了當(dāng)x→0時(shí),的極限存在且等于1,即.2.3兩個(gè)重要極限例2-13求．2.3.1第一個(gè)重要極限例2-14求．例2-15求．思考能用第一個(gè)重要極限計(jì)算嗎？為什么？2.3兩個(gè)重要極限2.3.2第二個(gè)重要極限表2-2先觀察當(dāng)x→＋∞和x→-∞時(shí),函數(shù)的變化趨勢(shì),見(jiàn)表2-2．從上表可以看出,當(dāng)x→＋∞和x→-∞時(shí),函數(shù)的值無(wú)限趨于2.71828…（e=2.718281828…）.這說(shuō)明了當(dāng)x→∞時(shí),函數(shù)的極限存在且等于e.即該極限的基本特征是：底數(shù)的極限值為1，指數(shù)的極限是無(wú)窮大，即1∞型，且指數(shù)與底數(shù)中第二項(xiàng)［記為φ（x）］互為倒數(shù)，底數(shù)為1＋φ（x）．2.3兩個(gè)重要極限2.3.2第二個(gè)重要極限例2-16求例2-17求例2-18求2.4函數(shù)的連續(xù)性2.4.1函數(shù)連續(xù)性的概念1.增量的概念設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的附近有定義．當(dāng)自變量x從變到時(shí)，函數(shù)值y相應(yīng)地從變到(見(jiàn)圖2-9)，因此函數(shù)y的對(duì)應(yīng)增量為其中，稱為自變量的增量，稱為函數(shù)值的增量.圖2-92.4函數(shù)的連續(xù)性2.4.1函數(shù)連續(xù)性的概念2.連續(xù)的定義從自變量的增量與函數(shù)值的增量的關(guān)系出發(fā)，我們給出函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)的定義.設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的附近有定義，如果，那么就稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù).如果設(shè)，則就是．又由于所以就相當(dāng)于．于是我們可得出下面的等價(jià)定義：定義2.72.4函數(shù)的連續(xù)性2.4.1函數(shù)連續(xù)性的概念2.連續(xù)的定義設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的附近有定義，如果函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限存在，且等于它在點(diǎn)處的函數(shù)值即，那么就稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù).定義2.8由定義2.8可知，函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)必須滿足以下三個(gè)條件：（1）在點(diǎn)處有定義，即有意義.（2）極限存在.（3）.由定義2.8可以看出，求連續(xù)函數(shù)在某點(diǎn)的極限，只需求出函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值即可.例如，函數(shù)，在處連續(xù),是因?yàn)椋?.4函數(shù)的連續(xù)性2.4.1函數(shù)連續(xù)性的概念3.左連續(xù)、右連續(xù)的概念如果存在且等于，即，就說(shuō)函數(shù)在點(diǎn)處左連續(xù).如果存在且等于，即，就說(shuō)函數(shù)在點(diǎn)處右連續(xù).顯然，函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)的充要條件是函數(shù)在點(diǎn)處左連續(xù)且右連續(xù).2.4函數(shù)的連續(xù)性2.4.1函數(shù)連續(xù)性的概念3.左連續(xù)、右連續(xù)的概念例2-19判定函數(shù)在x=0處的連續(xù)性.解因?yàn)?，，于是所以在x=0處左連續(xù)且右連續(xù)，從而在x=0處連續(xù)．2.4函數(shù)的連續(xù)性2.4.1函數(shù)連續(xù)性的概念3.左連續(xù)、右連續(xù)的概念例2-20證明函數(shù)在區(qū)間（-∞，＋∞）內(nèi)是連續(xù)的．證明設(shè)x為區(qū)間（-∞，＋∞）內(nèi)任意一點(diǎn),則有因?yàn)楫?dāng)時(shí)，是無(wú)窮小與有界函數(shù)的乘積，所以．這就證明了函數(shù)在區(qū)間（-∞，＋∞）內(nèi)任意一點(diǎn)x處都是連續(xù)的．同理可證，函數(shù)在區(qū)間（-∞，＋∞）內(nèi)是連續(xù)的．由函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的定義及，有2.4函數(shù)的連續(xù)性2.4.2函數(shù)的間斷點(diǎn)如果函數(shù)在點(diǎn)處不連續(xù)，則稱在點(diǎn)處間斷，稱點(diǎn)為的間斷點(diǎn).設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的附近有定義.在此前提下，如果函數(shù)有下列三種情形之一：（2）雖在處有定義，但不存在；（1）在處沒(méi)有定義；（3）雖在處有定義，且存在，但.則函數(shù)在點(diǎn)處為不連續(xù)，而稱點(diǎn)為函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)或間斷點(diǎn).2.4函數(shù)的連續(xù)性2.4.2函數(shù)的間斷點(diǎn)例2-21函數(shù)在處沒(méi)有定義，所以點(diǎn)是函數(shù)的間斷點(diǎn).因?yàn)椋绻a(bǔ)充定義，則所給函數(shù)在處連續(xù).我們稱為該函數(shù)的可去間斷點(diǎn).做出其圖像如圖2-10所示.圖2-102.4函數(shù)的連續(xù)性2.4.2函數(shù)的間斷點(diǎn)圖2-11例2-22設(shè)函數(shù)，因?yàn)?，，，所以是函?shù)的可去間斷點(diǎn).做出其圖像如圖2-11所示.例2-23討論函數(shù)在處的連續(xù)性.例2-24正切函數(shù)在處沒(méi)有定義，所以點(diǎn)是函數(shù)的間斷點(diǎn).因?yàn)?，故稱為函數(shù)的無(wú)窮間斷點(diǎn).2.4函數(shù)的連續(xù)性2.4.2函數(shù)的間斷點(diǎn)例2-25函數(shù)在點(diǎn)處沒(méi)有定義，所以點(diǎn)是函數(shù)的間斷點(diǎn).當(dāng)時(shí)，函數(shù)值在-1與1之間變動(dòng)無(wú)限多次，所以我們稱點(diǎn)為函數(shù)的振蕩間斷點(diǎn).就一般情況而言，通常把間斷點(diǎn)分成兩類(lèi)：如果是函數(shù)的間斷點(diǎn)，但左極限及右極限都存在，那么稱為函數(shù)的第一類(lèi)間斷點(diǎn).不是第一類(lèi)間斷點(diǎn)的任何間斷點(diǎn)，稱為第二類(lèi)間斷點(diǎn).在第一類(lèi)間斷點(diǎn)中，左、右極限相等者稱為可去間斷點(diǎn)，不相等者稱為跳躍間斷點(diǎn).無(wú)窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)顯然是第二類(lèi)間斷點(diǎn).2.4函數(shù)的連續(xù)性2.4.3閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)1.最值性質(zhì)對(duì)于在區(qū)間I上有定義的函數(shù)，如果有，使得對(duì)于任一，都有則稱是函數(shù)在區(qū)間I上的最大值（最小值）．例如，函數(shù)在區(qū)間［0，2π］上有最大值2和最小值0．又如，函數(shù)在區(qū)間（-∞，＋∞）內(nèi)有最大值1和最小值-1．在開(kāi)區(qū)間（0，＋∞）內(nèi)，的最大值和最小值都是1．但函數(shù)在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)既無(wú)最大值又無(wú)最小值．2.4函數(shù)的連續(xù)性2.4.3閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)1.最值性質(zhì)定理2.6（最大值和最小值定理）在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上必有最大值和最小值．例如，函數(shù)在開(kāi)區(qū)間（1，2）內(nèi)沒(méi)有最大值和最小值．又如，分段函數(shù)在閉區(qū)間［0，2］上無(wú)最大值和最小值．定理2.7（有界性定理）在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定有界．2.4函數(shù)的連續(xù)性2.4.3閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)2.介值性質(zhì)如果使，則稱為函數(shù)的零點(diǎn)．定理2.8（零點(diǎn)定理）設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，且與異號(hào)［即］，那么在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)至少有一點(diǎn)，使.2.4函數(shù)的連續(xù)性2.4.3閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)2.介值性質(zhì)定理2.9（介值定理）設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，且在該區(qū)間的端點(diǎn)取不同的函數(shù)值及，那么，對(duì)于A與B之間的任意一個(gè)數(shù)C，在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ，使得.推論2.6在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值．2.4函數(shù)的連續(xù)性2.4.3閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)2.介值性質(zhì)例2-26證明方程在［0，π］上至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根.2.5應(yīng)用示例——城市垃圾的處理問(wèn)題2.5.1問(wèn)題提出根據(jù)某城市某一年年末的統(tǒng)計(jì)資料顯示，到該年年末，該城市已堆積垃圾達(dá)到100萬(wàn)噸.根據(jù)預(yù)測(cè)，從該年起該城市還將以每年5萬(wàn)噸的速度產(chǎn)生新的垃圾.如果從第二年起該城市每年處理上一年堆積垃圾的20%，那么長(zhǎng)此以往，該城市的垃圾能否被全部處理完成？2.5應(yīng)用示例——城市垃圾的處理問(wèn)題2.5.2解答過(guò)程設(shè)該年以后的每年的垃圾數(shù)量分別為，根據(jù)題意，有：以此類(lèi)推，n（n→∞）年后的垃圾數(shù)量為：根據(jù)數(shù)列求和即極限知識(shí)可知：所以（萬(wàn)噸）.2.6數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)二：使用MATLAB求極限2.6.1實(shí)驗(yàn)任務(wù)學(xué)習(xí)利用數(shù)學(xué)軟件MATLAB求極限.2.6.2實(shí)驗(yàn)過(guò)程1.相關(guān)命令MATLAB中有關(guān)求函數(shù)極限的命令如表2-3所示.表2-32.6數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)二：使用MATLAB求極限2.6.2實(shí)驗(yàn)過(guò)程2.操作實(shí)例操作實(shí)例1利用MATLAB求下列極限：（1）（2）（3）操作實(shí)例2利用MATLAB判斷下列函數(shù)的極限是否存在：（1）（2）2.6數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)二：使用MATLAB求極限2.6.3實(shí)驗(yàn)作業(yè)求下列各極限：（1）（2）（3）（4）謝謝大家觀看導(dǎo)數(shù)與微分第3章3.1導(dǎo)數(shù)的概念3.1.1變化率問(wèn)題1.變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度設(shè)做變速直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)刻所經(jīng)過(guò)的路程為s，即路程s是時(shí)間t的函數(shù)則當(dāng)時(shí)間由改變到t時(shí)，動(dòng)點(diǎn)在這段時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程為．動(dòng)點(diǎn)在這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為3.1導(dǎo)數(shù)的概念3.1.1變化率問(wèn)題1.變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度如果當(dāng)時(shí)間間隔Δt很小時(shí)，可以近似地等于動(dòng)點(diǎn)在時(shí)刻的速度，且當(dāng)Δt越小，就越接近于動(dòng)點(diǎn)在時(shí)刻t0的速度．但對(duì)于動(dòng)點(diǎn)在時(shí)刻的速度的精確概念來(lái)說(shuō)，需要用到極限的思想．于是，當(dāng)時(shí)，若極限存在，則此極限就是動(dòng)點(diǎn)在時(shí)刻的瞬時(shí)速度，記作，即

例3-1求自由落體在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度．3.1導(dǎo)數(shù)的概念3.1.1變化率問(wèn)題2.平面曲線的切線斜率設(shè)有平面曲線C（見(jiàn)圖3-1），點(diǎn)為曲線上的一定點(diǎn)，點(diǎn)為曲線上的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)割線MN的傾斜角（即與x軸的夾角）為φ，則割線MN的斜率為當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)N就沿曲線趨于定點(diǎn)M，割線MN就隨之繞定點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)而趨于極限位置MT，這時(shí)稱割線MN的極限位置MT為曲線在定點(diǎn)M處的切線．于是，當(dāng)時(shí)，若極限存在，則此極限就是切線的斜率，記作k，即其中α是切線MT的傾斜角．圖3-13.1導(dǎo)數(shù)的概念3.1.2導(dǎo)數(shù)的概念1.導(dǎo)數(shù)的定義定義3.1設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的附近有定義,當(dāng)自變量x在處有增量Δx時(shí),相應(yīng)地，函數(shù)有增量.如果極限存在,則稱函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo),并稱此極限值為函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，記為即（3-1）如果上述極限不存在,則稱函數(shù)在點(diǎn)處不可導(dǎo).3.1導(dǎo)數(shù)的概念3.1.2導(dǎo)數(shù)的概念1.導(dǎo)數(shù)的定義根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義,變速直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻的瞬時(shí)速度為路程函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù),即;曲線L在點(diǎn)處的切線斜率就是曲線方程在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù),即.為了方便起見(jiàn),導(dǎo)數(shù)的定義式還可以寫(xiě)成以下兩種形式:令,則式（3-1）變成若令,當(dāng)時(shí),有,則式（3-1）變成3.1導(dǎo)數(shù)的概念3.1.2導(dǎo)數(shù)的概念1.導(dǎo)數(shù)的定義定義3.2若函數(shù)在區(qū)間（a,b）內(nèi)每一點(diǎn)處都可導(dǎo),則稱函數(shù)在區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo).若函數(shù)在區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo),并且在區(qū)間的左、右端點(diǎn)處與都存在,則稱函數(shù)在閉區(qū)間［a,b］上可導(dǎo).若函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),則對(duì)于該區(qū)間內(nèi)的每一個(gè)x,都有唯一確定的導(dǎo)數(shù)值與之對(duì)應(yīng),這樣就確定了一個(gè)新的函數(shù),稱之為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù),記作.由導(dǎo)數(shù)的定義,若在某區(qū)間I上可導(dǎo),則在I上的導(dǎo)函數(shù)為或顯然,函數(shù)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)x0處的函數(shù)值,即3.1導(dǎo)數(shù)的概念3.1.2導(dǎo)數(shù)的概念1.導(dǎo)數(shù)的定義例3-2求常量函數(shù)y=c（c為常數(shù)）的導(dǎo)數(shù).例3-3求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).3.1導(dǎo)數(shù)的概念3.1.2導(dǎo)數(shù)的概念2.單側(cè)導(dǎo)數(shù)利用單側(cè)極限給出函數(shù)在一點(diǎn)處的單側(cè)導(dǎo)數(shù)的定義.定義3.3如果極限與存在,則稱它們分別為函數(shù)在點(diǎn)x0處的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù),分別記作和.顯然,函數(shù)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)的充分必要條件是在點(diǎn)x0處的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存在且相等,即.3.1導(dǎo)數(shù)的概念3.1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義由前面的討論可知，函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)在幾何上表示曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，即其中α是切線的傾斜角.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,可知曲線在處的切線方程為法線方程為3.1導(dǎo)數(shù)的概念3.1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義例3-4求曲線在點(diǎn)處的切線和法線方程．思考導(dǎo)數(shù)的幾何意義是什么？如果函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，那么曲線在點(diǎn)處一定有切線嗎？反之呢？3.1導(dǎo)數(shù)的概念3.1.4函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系定理3.1如果函數(shù)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，則函數(shù)在該點(diǎn)必連續(xù).由定理3.1知函數(shù)可導(dǎo)必連續(xù)，但是連續(xù)卻不一定可導(dǎo).如例3-5討論在點(diǎn)x=0處的連續(xù)性與可導(dǎo)性.3.2求導(dǎo)法則3.2.1導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則定理3.2設(shè)函數(shù)，在點(diǎn)x處可導(dǎo)，則它們的和、差、積、商（除分母為零的點(diǎn)外）都在點(diǎn)x處具有導(dǎo)數(shù)，且有以下法則：（1）（2）（3）3.2求導(dǎo)法則3.2.1導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則對(duì)于上述公式，我們有如下推論：推論3.1（C為常數(shù)）.

推論3.2推論3.33.2求導(dǎo)法則3.2.1導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則例3-6求的導(dǎo)數(shù).例3-7求的導(dǎo)數(shù).例3-8求的導(dǎo)數(shù).3.2求導(dǎo)法則3.2.2反函數(shù)的求導(dǎo)法則定理3.3設(shè)單調(diào)、可導(dǎo)且，則它的反函數(shù)也可導(dǎo)，且有，即.例3-8求的導(dǎo)數(shù).例3-9求的導(dǎo)數(shù).3.2求導(dǎo)法則3.2.2反函數(shù)的求導(dǎo)法則為了便于查閱,我們將常數(shù)和基礎(chǔ)初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式歸納如下:3.2求導(dǎo)法則3.2.3復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則定理3.4（鏈?zhǔn)椒▌t）若函數(shù)在點(diǎn)x處可導(dǎo),函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)在x處可導(dǎo),且有顯然,復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法可以推廣到含有多個(gè)中間變量的情形.例如,設(shè),,都可導(dǎo),則有3.2求導(dǎo)法則3.2.3復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則例3-11求的導(dǎo)數(shù).例3-12設(shè)，求.例3-13求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).*例3-14如果將空氣以100cm3/s的速度注入球狀的氣球,假定氣體的壓力不變,那么,當(dāng)半徑為10cm時(shí),氣球半徑增加的速度是多少？3.2求導(dǎo)法則3.2.4隱函數(shù)的求導(dǎo)法則前面研究的函數(shù)都可以表示為的形式，如，等.用這種方式表達(dá)的函數(shù)叫作顯函數(shù)．在實(shí)際問(wèn)題中，常常碰到一些函數(shù)是由方程確定的．例如，方程表示一個(gè)函數(shù).這樣的函數(shù)稱為隱函數(shù)．把一個(gè)隱函數(shù)化成顯函數(shù)，叫作隱函數(shù)的顯化．例如，從方程解出，就把隱函數(shù)化成顯函數(shù)．隱函數(shù)的顯化有時(shí)是有困難的，甚至是不可能的．例如，在x的一定變化范圍內(nèi)雖然也能確定一個(gè)隱函數(shù)，卻無(wú)法將它顯化.因此有必要介紹隱函數(shù)的求導(dǎo)方法.3.2求導(dǎo)法則3.2.4隱函數(shù)的求導(dǎo)法則設(shè)函數(shù)是由所確定的隱函數(shù)，則．由于此式左端是將代入所得到的復(fù)合函數(shù)，因此，根據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t將等式兩邊對(duì)x求導(dǎo)，便可得到所求的導(dǎo)數(shù)．例3-15求方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．例3-16求雙曲線在點(diǎn)處的切線方程和法線方程.3.2求導(dǎo)法則3.2.4隱函數(shù)的求導(dǎo)法則下面，我們來(lái)介紹一種重要的求導(dǎo)方法——對(duì)數(shù)求導(dǎo)法，這是一種利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)與隱函數(shù)的求導(dǎo)法則來(lái)簡(jiǎn)化導(dǎo)數(shù)計(jì)算的方法．它適合于由幾個(gè)因子通過(guò)乘、除、乘方、開(kāi)方所構(gòu)成的比較復(fù)雜的函數(shù)的求導(dǎo)．這種方法是先在的兩邊取對(duì)數(shù)，得到隱函數(shù)；然后按照隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的思路，求出y對(duì)x的導(dǎo)數(shù).例3-17求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．3.2求導(dǎo)法則*3.2.5參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)關(guān)系除了用顯式和隱式表示外，還可以用參數(shù)方程來(lái)表示．一般地，如果參數(shù)方程確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系，則稱此函數(shù)關(guān)系所表示的函數(shù)為由參數(shù)方程所確定的函數(shù)．對(duì)于參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)，通常不需要由參數(shù)方程消去參數(shù)t化為y與x之間的直接函數(shù)關(guān)系后再求導(dǎo)．如果函數(shù)和都可導(dǎo)，且存在反函數(shù)，則y為x的復(fù)合函數(shù)．根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，得即或以后把上式作為參數(shù)方程所確定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式．3.2求導(dǎo)法則*3.2.5參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例3-18求橢圓在點(diǎn)處的切線的斜率．例3-19已知拋射體的運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程為求拋射體在時(shí)刻t的運(yùn)動(dòng)速度的大小和方向．圖3-23.3高階導(dǎo)數(shù)3.3.1高階導(dǎo)數(shù)的概念已知變速直線運(yùn)動(dòng)的速度是位移函數(shù)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù),即,而加速度a又是速度函數(shù)對(duì)時(shí)間t的變化率,即速度函數(shù)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù),因此這種導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫作s對(duì)t的二階導(dǎo)數(shù),記作或.故變速直線運(yùn)動(dòng)的加速度就是位移函數(shù)s對(duì)時(shí)間t的二階導(dǎo)數(shù).3.3高階導(dǎo)數(shù)3.3.1高階導(dǎo)數(shù)的概念定義3.4若函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍是x的可導(dǎo)函數(shù),則稱的導(dǎo)數(shù)為的二階導(dǎo)數(shù),記作.類(lèi)似地,二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫作三階導(dǎo)數(shù),記作;三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫作四階導(dǎo)數(shù),記作.一般地,n－1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫作的n階導(dǎo)數(shù),記作.二階或二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù).相應(yīng)地,函數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫作函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù).顯然,求高階導(dǎo)數(shù)就是多次連續(xù)求導(dǎo).3.3高階導(dǎo)數(shù)3.3.1高階導(dǎo)數(shù)的概念例3-20求指數(shù)函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù).例3-21設(shè),求.3.3高階導(dǎo)數(shù)*3.3.2二階導(dǎo)數(shù)的物理意義設(shè)質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)，在直線上給定原點(diǎn)和單位點(diǎn)（表示實(shí)數(shù)1的點(diǎn)），使直線成為數(shù)軸.另外，再取定一個(gè)時(shí)刻為計(jì)時(shí)的零點(diǎn).質(zhì)點(diǎn)于時(shí)刻t在直線上的位置的坐標(biāo)記為s，這樣，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)完全由某個(gè)函數(shù)所確定.在最簡(jiǎn)單的勻速直線運(yùn)動(dòng)的情形中，質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路程與所用的時(shí)間成正比，即.如果是非勻速直線運(yùn)動(dòng)，取從時(shí)刻到這樣一段時(shí)間間隔，在上質(zhì)點(diǎn)所走過(guò)的路程s有相應(yīng)增量，這段區(qū)間上的平均速度為3.3高階導(dǎo)數(shù)*3.3.2二階導(dǎo)數(shù)的物理意義若令，即，那么的極限值就精確地反映了質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻這一瞬間運(yùn)動(dòng)的快慢程度.因此，在時(shí)，瞬時(shí)速度即為一般地，變速直線運(yùn)動(dòng)的速度就是位置函數(shù)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，即

或而加速度是速度函數(shù)