概率論與數(shù)理統(tǒng)計(南理工)課件

概率與統(tǒng)計

第一講事件與概率

開課系：理學(xué)院統(tǒng)計與金融數(shù)學(xué)系教師:陳萍e-mail:prob123@主頁/gltj/index.htm概率與統(tǒng)計

第一講事件與概率開課系：理學(xué)院統(tǒng)計與金融數(shù)1教材：《概率論與數(shù)理統(tǒng)計劉力維等高等教育出版社2009參考書：[1]《概率論與數(shù)理統(tǒng)計三十三講》魏振軍編,中國統(tǒng)計出版社2000[2]《概率論與數(shù)理統(tǒng)計學(xué)習(xí)指導(dǎo)》張正軍鐘曉芳編,兵器工業(yè)出版社2006[3]《MATLAB》數(shù)理統(tǒng)計，陳桂明等，科學(xué)出版社，2002教材：《概率論與數(shù)理統(tǒng)計參考書：2課件說明：蘭色字體：標(biāo)題（做筆記）紅色字體：重要的概念名（做筆記）黑色字體：一般敘述（課堂學(xué)習(xí)，除例題及解答之外不必做筆記)其他顏色字體：屬于了解內(nèi)容。放映方式：重點內(nèi)容：“逐字顯示”；了解內(nèi)容：“從下方緩緩移入”課件說明：蘭色字體：標(biāo)題（做筆記）3課程要求及考試方式平時成績共20分(包括作業(yè)情況,課堂答題,網(wǎng)上搶答,小論文)。每人初始成績14分。

加分：課堂練習(xí)答對的加2分；網(wǎng)上搶答按規(guī)定得分；小論文最高加10分?！?0分封頂）減分：缺一次作業(yè)或曠課一次減2分——（最低0分）期末考試:

筆試、閉卷。煩瑣的表格、公式卷面提供.課程要求及考試方式平時成績共20分(包括作業(yè)情況,課堂答題,4序言?概率論是研究什么的？隨機現(xiàn)象：不確定性與統(tǒng)計規(guī)律性概率論——研究和揭示隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性的科學(xué)序言?概率論是研究什么的？隨機現(xiàn)象：不確定性與統(tǒng)計規(guī)律5第一章概率論基礎(chǔ)知識隨機試驗樣本空間、隨機事件古典概型與概率頻率與概率條件概率、獨立性

全概率公式與貝葉斯公式第一章概率論基礎(chǔ)知識隨機試驗6§1隨機試驗隨機試驗的特點：1.可在相同條件下重復(fù)進行；2.試驗可能結(jié)果不止一個,但能確定所有的可能結(jié)果;3.一次試驗之前無法確定具體是哪種結(jié)果出現(xiàn)。

隨機試驗（簡稱試驗）可表為E

§1隨機試驗隨機試驗的特點：7E1:拋一枚硬幣，分別用“H”和“T”表示出正面和反面;E2:將一枚硬幣連拋三次，考慮正反面出現(xiàn)的情況；E3:將一枚硬幣連拋三次，考慮正面出現(xiàn)的次數(shù);E4:擲一顆骰子，考慮可能出現(xiàn)的點數(shù)；E5:記錄電話交換臺一分鐘內(nèi)接到的呼喚次數(shù)；E6:在一批燈泡中任取一只，測試其壽命;E7:記錄某地一晝夜的最高溫度與最低溫度。隨機試驗的例E1:拋一枚硬幣，分別用“H”和“T”表示出正面隨機8§2樣本空間、隨機事件1、樣本空間：試驗的所有可能結(jié)果所組成的集合稱為樣本空間，記為S={e}；2、樣本點:試驗的每一個結(jié)果或樣本空間的元素稱為一個樣本點,記為e.

3.由一個樣本點組成的單點集稱為一個基本事件,也記為e.EX給出E1-E7的樣本空間§2樣本空間、隨機事件1、樣本空間：試驗的所有可能結(jié)果所組9

4.試驗中可能出現(xiàn)的情況叫“隨機事件”,簡稱“事件”.記作A、B、C等任何事件均可表示為樣本空間的某個子集.稱事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)試驗的結(jié)果是子集A中的元素5.兩個特殊事件:必然事件S、不可能事件.4.試驗中可能出現(xiàn)的情況叫“隨機事件”,簡稱“事件”.10

將下列事件均表示為樣本空間的子集.(1)試驗E2中(將一枚硬幣連拋三次，考慮正反面出現(xiàn)的情況),隨機事件:A＝“至少出現(xiàn)一個正面”B=“三次出現(xiàn)同一面”C=“恰好出現(xiàn)一次正面”(2)試驗E6中(在一批燈泡中任取一只，測試其壽命),D＝“燈泡壽命超過1000小時”EX將下列事件均表示為樣本空間的子集.EX11(1)由S2={HHH,HHT,HTH,THH，HTT，THT，TTH,TTT}；故:A＝{HHH,HHT,HTH,THH，HTT，THT，TTH}；B={HHH,TTT}C={HTT，THT，TTH}(2)D＝{x:1000<x<T(小時）}。答(1)由S2={HHH,HHT,HTH,THH，H121.1.4事件間的關(guān)系與運算可見，可以用文字表示事件，也可以將事件表示為樣本空間的子集，后者反映了事件的實質(zhì)，且更便于今后計算概率還應(yīng)注意，同一樣本空間中，不同的事件之間有一定的關(guān)系，如試驗E2

，當(dāng)試驗的結(jié)果是HHH時，可以說事件A(至少出現(xiàn)一個正面)和B(三次出現(xiàn)同一面)同時發(fā)生了；但事件B和C(恰好出現(xiàn)一次正面)在任何情況下均不可能同時發(fā)生。易見，事件之間的關(guān)系是由他們所包含的樣本點所決定的，這種關(guān)系可以用集合之間的關(guān)系來描述。

1.1.4事件間的關(guān)系與運算可見，可以用文字表示事件，也可13

1.包含關(guān)系“A發(fā)生必導(dǎo)致B發(fā)生”記為ABA＝BAB且BA.1.包含關(guān)系“A發(fā)生必導(dǎo)致B發(fā)生”記為AB142.和事件：“事件A與B至少有一個發(fā)生”，記作AB2’n個事件A1,A2,…,An至少有一個發(fā)生，記作2.和事件：“事件A與B至少有一個發(fā)生”，記作AB2’n個153.積事件:A與B同時發(fā)生，記作AB＝AB3’n個事件A1,A2,…,An同時發(fā)生，記作A1A2…An3.積事件:A與B同時發(fā)生，記作AB＝AB3’n個事件A164.差事件：A－B稱為A與B的差事件,表示事件A發(fā)生而B不發(fā)生思考：何時A-B=?何時A-B=A？4.差事件：A－B稱為A與B的差事件,表示事件A發(fā)生而B不發(fā)175.互斥的事件：AB＝

5.互斥的事件：AB＝186.互逆的事件AB＝S,且AB＝

6.互逆的事件AB＝S,且AB＝19事件的運算1、交換律：AB＝BA，AB＝BA2、結(jié)合律：(AB)C＝A(BC)，(AB)C＝A(BC)3、分配律：(AB)C＝(AC)(BC)，(AB)C＝(AC)(BC)4、對偶(DeMorgan)律：事件的運算1、交換律：AB＝BA，AB＝BA20隨機事件樣本空間隨機試驗事件的關(guān)系隨機事件樣本空間隨事件的關(guān)系21EX：甲、乙、丙三人各向目標(biāo)射擊一發(fā)子彈，以A、B、C分別表示甲、乙、丙命中目標(biāo)，試用A、B、C的運算關(guān)系表示下列事件：EX：甲、乙、丙三人各向目標(biāo)射擊一發(fā)子彈，以A、B、C分別表22§3古典概型與概率從直觀上來看，事件A的概率是指事件A發(fā)生的可能性?P（A）應(yīng)具有何種性質(zhì)？?拋一枚硬幣，幣值面向上的概率為多少？擲一顆骰子，出現(xiàn)6點的概率為多少？出現(xiàn)單數(shù)點的概率為多少？向目標(biāo)射擊，命中目標(biāo)的概率有多大？§3古典概型與概率從直觀上來看，事件A的概率是指事件A發(fā)23若某試驗E滿足1.有限性：樣本空間S＝{e1,e2,…,en};2.等可能性：（公認）P(e1)=P(e2)=…=P(en).則稱E為古典概型也叫等可能概型。若某試驗E滿足24設(shè)事件A中所含樣本點個數(shù)為N(A)，以N(S)記樣本空間S中樣本點總數(shù)，則有P(A)具有如下性質(zhì)(1)0

P(A)1；(2)P(S)＝1；P()=0(3)AB＝，則

P(AB

)＝P(A)＋P(B)古典概型中的概率設(shè)事件A中所含樣本點個數(shù)為N(A)，以N(S)記樣本空間S25有三個子女的家庭,設(shè)每個孩子是男是女的概率相等,則至少有一個男孩的概率是多少?EX解:設(shè)A--至少有一個男孩,以H表示某個孩子是男孩S={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT}A={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT}有三個子女的家庭,設(shè)每個孩子是男是女的概率相等,則至少有一個26二、古典概型的幾類基本問題乘法公式：設(shè)完成一件事需分兩步，第一步有n1種方法,第二步有n2種方法，則完成這件事共有n1n2種方法復(fù)習(xí)：排列與組合的基本概念二、古典概型的幾類基本問題乘法公式：設(shè)完成一件事需分兩步，復(fù)27加法公式：設(shè)完成一件事可有兩種途徑，第一種途徑有n1種方法，第二種途徑有n2種方法，則完成這件事共有n1+n2種方法。加法公式：設(shè)完成一件事可有兩種途徑，第一種途徑有n1種方法，28有重復(fù)排列：從含有n個元素的集合中隨機抽取k次，每次取一個，記錄其結(jié)果后放回，將記錄結(jié)果排成一列，nnnn共有nk種排列方式.有重復(fù)排列：從含有n個元素的集合中隨機nnnn共有nk種排列29無重復(fù)排列：從含有n個元素的集合中隨機抽取k次，每次取一個，取后不放回，將所取元素排成一列，共有Ank=n(n-1)…(n-k+1)種排列方式.nn-1n-2n-k+1無重復(fù)排列：從含有n個元素的集合中隨機抽取k次，共有Ank30組合：從含有n個元素的集合中隨機抽取k個，共有種取法.組合：從含有n個元素的集合中隨機抽取k個，種取法.311、抽球問題

例1設(shè)盒中有3個白球，2個紅球，現(xiàn)從盒中任抽2個球，求取到一紅一白的概率。解:設(shè)A-----取到一紅一白答:取到一紅一白的概率為3/5解法一:1、抽球問題答:取到一紅一白的概率為3/5解法一:32解法二可見:隨機抽球問題可以用組合法解,也可以用排列法解.關(guān)鍵是:計算事件概率時保證分子,分母在同一個樣本空間下討論.解法二可見:隨機抽球問題可以用組合法解,也可以用排列法解.33一般地，設(shè)盒中有N個球，其中有M個白球，現(xiàn)從中任抽n個球，則這n個球中恰有k個白球的概率是一般地，設(shè)盒中有N個球，其中有M個白球，現(xiàn)從中任抽n個球，則34在實際中，產(chǎn)品的檢驗、疾病的抽查、農(nóng)作物的選種等問題均可化為隨機抽球問題。我們選擇抽球模型的目的在于是問題的數(shù)學(xué)意義更加突出，而不必過多的交代實際背景。在實際中，產(chǎn)品的檢驗、疾病的抽查、農(nóng)作物的選種等問題均可化為352、分球入盒問題例2將3個球隨機的放入3個盒子中去，問：（1）每盒恰有一球的概率是多少？（2）空一盒的概率是多少？解:設(shè)A:每盒恰有一球,B:空一盒(1)(2)解法一:(用對立事件)2、分球入盒問題解:設(shè)A:每盒恰有一球,B:空一盒(1)(236(2)解法二:(空一盒相當(dāng)于兩球一起放在一個盒子中,另一球單獨放在另一個盒子中)(2)解法三:(空一盒包括1號盒空,2號合空,三號盒空且其余兩盒全滿這三種情況)答:每盒恰有一球的概率為2/9;空一盒的概率是2/3.(2)解法二:(空一盒相當(dāng)于兩球一起放在一個盒子中,另一球37一般地，把n個球隨機地分配到N個盒子中去(nN)，則每盒至多有一球的概率是：某班級有n個人(n365)，問至少有兩個人的生日在同一天的概率有多大？?一般地，把n個球隨機地分配到N個盒子中去(nN)，則每盒至383.分組問題例330名學(xué)生中有3名運動員，將這30名學(xué)生平均分成3組，求：（1）每組有一名運動員的概率；（2）3名運動員集中在一個組的概率。解:設(shè)A:每組有一名運動員;B:3名運動員集中在一組30人(1)(2)(3)3.分組問題30人(1)(2)(3)39一般地，把n個球隨機地分成m組(n>m),要求第i組恰有ni個球(i=1,…m)，共有分法：一般地，把n個球隨機地分成m組(n>m),要求第i組恰4030人(1)(2)(3)(2)解法一(“3名運動員集中在一個組”包括“3名運動員都在第一組”,“3名運動員都在第二組”,“3名運動員都在第三組”三種情況.)30人(1)(2)(3)(2)解法一(“3名運動員集中在4130人(1)(2)(3)(2)解法二(“3名運動員集中在一個組”相當(dāng)于“取一組有3名運動員,7名普通隊員,其余兩組分配剩余的20名普