貴州省貴陽(yáng)市開(kāi)陽(yáng)縣龍水鄉(xiāng)中學(xué)2021年高一數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析

貴州省貴陽(yáng)市開(kāi)陽(yáng)縣龍水鄉(xiāng)中學(xué)2021年高一數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知全集，集合，下圖中陰影部分所表示的集合為(

)A．

B．C．

D．參考答案：B2.過(guò)點(diǎn)（3，1）作圓（x﹣1）2+y2=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線AB的方程為（）A．2x+y﹣3=0 B．2x﹣y﹣3=0 C．4x﹣y﹣3=0 D．4x+y﹣3=0參考答案：A【考點(diǎn)】圓的切線方程；直線的一般式方程．【分析】由題意判斷出切點(diǎn)（1，1）代入選項(xiàng)排除B、D，推出令一個(gè)切點(diǎn)判斷切線斜率，得到選項(xiàng)即可．【解答】解：因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)（3，1）作圓（x﹣1）2+y2=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，所以圓的一條切線方程為y=1，切點(diǎn)之一為（1，1），顯然B、D選項(xiàng)不過(guò)（1，1），B、D不滿(mǎn)足題意；另一個(gè)切點(diǎn)的坐標(biāo)在（1，﹣1）的右側(cè)，所以切線的斜率為負(fù)，選項(xiàng)C不滿(mǎn)足，A滿(mǎn)足．故選A．3.已知，則cosθ的值等于（）A． B．C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用．【分析】要求cosθ，就需要把條件里的sinθ轉(zhuǎn)化為cosθ消去，所以利用已知條件解出sinθ，兩邊平方再根據(jù)同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡(jiǎn)可得到關(guān)于cosθ的一元二次方程，求出方程的解即可．【解答】解：由已知變形為2+2sinθ+2cosθ=1+sinθ﹣cosθ，解得sinθ=﹣1﹣3cosθ；兩邊平方得：sin2θ=1﹣cos2θ=（﹣1﹣3cosθ）2，化簡(jiǎn)得：5cos2θ+3cosθ=0即cosθ（5cosθ+3）=0，由題知cosθ≠0，所以5cosθ+3=0即cosθ=﹣．故選B4.把正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起，當(dāng)以A，B，C，D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大時(shí)，直線BD和平面ABC所成的角的大小為（

）A．90°

B．60°

C．45°

D．30°參考答案：C如圖，當(dāng)平面BAC⊥平面DAC時(shí)，三棱錐體積最大取AC的中點(diǎn)E，則BE⊥平面DAC，故直線BD和平面ABC所成的角為∠DBE，∴∠DBE=.故選C.

5.函數(shù)f（x）=+的定義域?yàn)?

)A．（﹣3，0] B．（﹣3，1] C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0] D．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，1]參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)的定義域及其求法．【專(zhuān)題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】從根式函數(shù)入手，根據(jù)負(fù)數(shù)不能開(kāi)偶次方根及分母不為0求解結(jié)果，然后取交集．【解答】解：根據(jù)題意：，解得：﹣3＜x≤0∴定義域?yàn)椋ī?，0]故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)求定義域，負(fù)數(shù)不能開(kāi)偶次方根，分式函數(shù)即分母不能為零，及指數(shù)不等式的解法．6.（多選題）下列判斷中哪些是不正確的（

）A.是偶函數(shù)B.是奇函數(shù)C.是偶函數(shù)D.是非奇非偶函數(shù)參考答案：AD【分析】根據(jù)奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，判斷每個(gè)選項(xiàng)函數(shù)的奇偶性即可．【詳解】A.的定義域?yàn)?，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，不是偶函數(shù)，該判斷錯(cuò)誤；B.設(shè)，，則，同理設(shè)，也有成立，是奇函數(shù)，該判斷正確；C.解得，，的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且，是偶函數(shù)，該判斷正確；D.解得，，或，，是奇函數(shù)，該判斷錯(cuò)誤.故選：AD.【點(diǎn)睛】本題考查了奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義及判斷，考查了推理和計(jì)算能力，屬于中檔題．7.已知向量，，則＝（

）A.－1 B.0 C.1 D.2參考答案：C【分析】由向量的坐標(biāo)運(yùn)算表示，再由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可得解.【詳解】解：因?yàn)?，則；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了向量的加法和數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算；屬于基礎(chǔ)題目．8.過(guò)點(diǎn)且垂直于直線

的直線方程為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B略9.在中，，，，若把繞直線旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體的體積是（

）A. B.

C.

D.參考答案：B略10.（5分）若f（x）=，則f（x）的最大值，最小值分別為（） A． 10，6 B． 10，8 C． 8，6 D． 8，8參考答案：A考點(diǎn)： 函數(shù)的最值及其幾何意義．專(zhuān)題： 計(jì)算題．分析： 分段求出f（x）的最大值，最小值，再確定分段函數(shù)的最大值，最小值．解答： 由題意，x∈[1，2]，f（x）=2x+6，函數(shù)為增函數(shù)，∴f（x）的最大值，最小值分別為10，8；x∈[﹣1，1]，f（x）=x+7，函數(shù)為增函數(shù)，∴f（x）的最大值，最小值分別為8，6；∴f（x）的最大值，最小值分別為10，6故選A．點(diǎn)評(píng)： 本題重點(diǎn)考查分段函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是分段求函數(shù)的最值，再確定分段函數(shù)的最大值與最小值二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)f（x）=，若使不等式f（x）＜成立，則x的取值范圍為．參考答案：{x|x＜3}【考點(diǎn)】其他不等式的解法．【分析】根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式解關(guān)于x≥2時(shí)的不等式f（x）＜即可．【解答】解：∴f（x）=，∴x＜2時(shí)，不等式f（x）＜恒成立，x≥2時(shí)，x﹣＜，解得：2≤x＜3，綜上，不等式的解集是：{x|x＜3}，故答案為：{x|x＜3}．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分段函數(shù)問(wèn)題，考查解不等式問(wèn)題，是一道基礎(chǔ)題．12.設(shè)奇函數(shù)在(0,+∞)上為增函數(shù)，且，則不等式的解集為_(kāi)_________．參考答案：(－1,0)∪(0,1)∵函數(shù)是奇函數(shù)，∴，∴不等式等價(jià)于，即或．根據(jù)條件可作出—函數(shù)的大致圖象，如圖所示：故不等式的解集為．13.坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)（1,1）在直線的兩側(cè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______參考答案：略14.冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的解析式是

▲

；參考答案：15.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在軸上的射影為.若點(diǎn)在直線的下方，當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為

．

參考答案：

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意，點(diǎn)的坐標(biāo)為，又點(diǎn)在直線的下方，，即.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).16.三個(gè)平面兩兩垂直，它們的三條交線交于一點(diǎn)到三個(gè)面的距離分別是3，4，5，則的長(zhǎng)為

．參考答案：略17.設(shè)點(diǎn)在角的終邊上，(是坐標(biāo)原點(diǎn))，則向量的坐標(biāo)為

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.如圖，在四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，其他四個(gè)側(cè)面都是等邊三角形，AC與BD的交點(diǎn)為O，E為側(cè)棱SC上一點(diǎn)．（Ⅰ）當(dāng)E為側(cè)棱SC的中點(diǎn)時(shí)，求證：SA∥平面BDE；（Ⅱ）求證：平面BDE⊥平面SAC；（Ⅲ）（理科）當(dāng)二面角E﹣BD﹣C的大小為45°時(shí)，試判斷點(diǎn)E在SC上的位置，并說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】用空間向量求平面間的夾角；直線與平面平行的判定；平面與平面垂直的判定；與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題．【分析】（I）做出輔助線，連接OE，由條件可得SA∥OE．根據(jù)因?yàn)镾A?平面BDE，OE?平面BDE，得到SA∥平面BDE．（II）建立坐標(biāo)系，寫(xiě)出要用的點(diǎn)的坐標(biāo)，寫(xiě)出要用的向量的坐標(biāo)，設(shè)出平面的法向量，根據(jù)法向量與平面上的向量垂直，寫(xiě)出一個(gè)法向量，根據(jù)兩個(gè)法向量垂直證明兩個(gè)平面垂直．（III）本題是一個(gè)一個(gè)二面角為條件，寫(xiě)出點(diǎn)的位置，做法同求兩個(gè)平面的夾角一樣，設(shè)出求出法向量，根據(jù)兩個(gè)向量的夾角得到點(diǎn)要滿(mǎn)足的條件，求出點(diǎn)的位置．【解答】解：（Ⅰ）證明：連接OE，由條件可得SA∥OE．因?yàn)镾A?平面BDE，OE?平面BDE，所以SA∥平面BDE．（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知SO⊥面ABCD，AC⊥BD．建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)四棱錐S﹣ABCD的底面邊長(zhǎng)為2，則O（0，0，0），S（0，0，），A（，0，0），B（0，，0），C（﹣，0，0），D（0，﹣，0）．所以=（﹣20，0），=（0，，0）．設(shè)CE=a（0＜a＜2），由已知可求得∠ECO=45°．所以E（﹣+a，0，a），=（﹣+，﹣，）．設(shè)平面BDE法向量為n=（x，y，z），則即令z=1，得n=（，0，1）．易知=（0，，0）是平面SAC的法向量．因?yàn)閚?=（，0，1）?（0，﹣，0）=0，所以n⊥，所以平面BDE⊥平面SAC．（Ⅲ）設(shè)CE=a（0＜a＜2），由（Ⅱ）可知，平面BDE法向量為n=（，0，1）．因?yàn)镾O⊥底面ABCD，所以=（0，0，）是平面BDC的一個(gè)法向量．由已知二面角E﹣BD﹣C的大小為45°．所以|cos（，n）|=cos45°=，所以，解得a=1．所以點(diǎn)E是SC的中點(diǎn)．19.已知四棱錐A﹣BCDE中，側(cè)面△ABC為等邊三角形，BE=AB，CD=2AB，CD∥BE，且CD⊥平面ABC，F(xiàn)為棱AD的中點(diǎn)．（1）求證：EF∥平面ABC；（2）求證：平面ADE⊥平面ACD；（3）若等邊△ABC的邊長(zhǎng)為a，求四棱錐A﹣BCDE的體積．參考答案：【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；直線與平面平行的判定；平面與平面垂直的判定．【分析】（1）取AC中點(diǎn)G，連接FG，BG，推導(dǎo)出FGBE為平行四邊形，從而EF∥BG，由此能證明EF∥面ABC．（2）推導(dǎo)出BG⊥AG，CD⊥BG，從而B(niǎo)G⊥面ADC，進(jìn)而EF⊥面ADC，由此能證明面ADE⊥面ADC．（3）取BC的中點(diǎn)M，連接AM，推導(dǎo)出AM為四棱錐A﹣BCDE的高，由此能求出四棱錐A﹣BCDE的體積．【解答】證明：（1）取AC中點(diǎn)G，連接FG，BG，∵F，G分別是AD，AB的中點(diǎn)，∴FG∥CD，且，∵BE∥CD，∴FG與BE平行且相等，∴FGBE為平行四邊形，∴EF∥BG．又EF?面ABC，BG?面ABC，∴EF∥面ABC．（2）∵△ABC為等邊三角形，∴BG⊥AG，又∵CD⊥面ABC，BG?面ABC，∴CD⊥BG，∴BG垂直于面ADC的兩條相交直線AC，CD，∴BG⊥面ADC，∵EF∥BG，∴EF⊥面ADC，∵EF?面ADE，∴面ADE⊥面ADC．解：（3）取BC的中點(diǎn)M，連接AM，∵△ABC為等邊三角形，∴AM⊥BC，又AM⊥CD，AM⊥平面BCDE，故AM為四棱錐A﹣BCDE的高，∵AB=a，∴，又，∴．20.(本題滿(mǎn)分14分)已知關(guān)于x的不等式.(1)當(dāng)時(shí)，求此不等式的解集.(2)求關(guān)于x的不等式（其中）的解集.參考答案：(1)；所以不等式為，再轉(zhuǎn)化為，…3分所以原不等式解集為…5分(2)不等式可化為，即；…7分當(dāng)時(shí)，，不等式的解集為或；…9分當(dāng)時(shí)，,不等式的解集為；…11分當(dāng)時(shí)，,不等式的解集為或；…13分綜上所述，原不等式解集為①當(dāng)時(shí)，或,②當(dāng)時(shí)，，③當(dāng)時(shí)，或；…14分

21.（8分）求下列函數(shù)的定義域（1）f（x）=（2）f（x）=（3）f（x）=lg（x+1）（4）f（x）=．參考答案：考點(diǎn)： 函數(shù)的定義域及其求法．專(zhuān)題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 根據(jù)f（x）的解析式，求出使函數(shù)解析式有意義的自變量的取值范圍即可．解答： （1）∵f（x）=，∴2x﹣1≠0，解得x≠，∴f（x）的定義域是；（2）∵f（x）=，∴3x﹣5≥0，解得x≥，∴f（x）的定義域是；（3）∵f（x）=lg（x+1），∴x+1＞0，解得x＞﹣1，∴f（x