3 2離散型隨機變量方差課件人教版選修

2.3.2

離散型隨機變量的方差【課標要求】理解取有限個值的離散型隨機變量的方差及標準差的概念和計算．能計算簡單離散型隨機變量的方差，并能解決一些實際問題．掌握方差的性質，以及兩點分布、二項分布的方差的求法，會利用公式求它們的方差．【核心掃描】離散型隨機變量的方差與標準差的概念和計算．(難點)離散型隨機變量的均值意義與方差意義的區(qū)別與聯(lián)系．(易混點)兩點分布、二項分布的方差的求法．自學導引1．離散型隨機變量的方差、標準差(1)定義：設離散型隨機變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pni則(xi－E(X))2

描述了x

(i＝1，2，…，n)相對于均值E(X)的偏n

(xi－E(X))2pi離程度，而

D(X)＝

i＝1

為這些偏離程度的加權平均，刻畫了隨機變量

X

與其均值

E(X)的平均偏離程度．稱

D(X)為隨機變量

X

的方差，其算術平方根

D（X）為隨機變量

X的標準差．意義：隨機變量的方差和均值都反映了隨機變量取值偏離于均值

的平均程度．方差或標準差越小，則隨機變量偏離于均值的平均程度越?。x散型隨機變量方差的性質設a，b為常數，則D(aX＋b)＝

a2D(X)．想一想：你能類比樣本數據方差的計算公式，理解離散型隨機變量方差的計算公式嗎？1

2

n提示

設

x

、x

、…、x

為樣本的

n

個數據，－x

＝nx1＋…＋xn，則該樣本數據的方差s2＝i＝1ni1n(x

－－x

)2·，由于－x

相當于離散1型隨機變量中的E(X)，而相當于每個數據出現的頻率(概n率)pi，故離散型隨機變量X

的方差可定義為：nD(X)＝

(xi－E(X))2·pi(i＝1，2，…，n)．i＝12．服從兩點分布與二項分布的隨機變量的方差XX服從兩點分布X～B(n、p)D(X)p(1－p)(p為成功概率)np(1－p)2試一試：已知隨機變量X～B(3，p)，D(X)＝3，你能求出p的值嗎？提示

由已知得，3p(1－p)

2

p

1

2＝3，解得 ＝3或3.名師點睛對隨機變量X的方差、標準差的理解隨機變量X的方差的定義與一組數據的方差的定義是相同的．隨機變量X的方差和標準差都反映了隨機變量X取值的穩(wěn)定性和波動、集中與離散程度．D(X)越小，穩(wěn)定性越高，波動越?。畼藴什钆c隨機變量本身有相同的單位，所以在實際問題中應用更廣泛．數學期望與方差的關系數學期望和方差是描述隨機變量的兩個重要特征．數學期望是算術平均值概念的推廣，是概率意義下的平均值，而方差表現了隨機變量所取的值相對于數學期望的集中與離散的程度．E(X)是一個實數，即X作為隨機變量是可變的，而E(X)是不變的，它描述X的取值的平均水平，D(X)表示隨機變量

X對E(X)的平均偏離程度，D(X)越大表明平均偏離程度越

大，說明X的取值越分散，反之，D(X)越小，X的取值越集中．D(X)與E(X)一樣也是一個實數，由X的分布列唯一確定

(當然方差是建立在數學期望這一概念上的)．方差的性質當a，b均為常數時，隨機變量函數η＝aξ＋b的方差D(η)＝D(aξ＋b)＝a2D(ξ)．特別地：當a＝0時，D(b)＝0，即常數的方差等于0；當a＝1時，D(ξ＋b)＝D(ξ)，即隨機變量與常數之和的方差等于這個隨機變量的方差本身；當b＝0時，D(aξ)＝a2D(ξ)，即隨機變量與常數之積的方差，等于這個常數的平方與這個隨機變量方差的乘積．題型一 求離散型隨機變量的方差【例1】袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n個(n＝1，2，3，4)．現從袋中任取一球．ξ表示所取球的標號．(1)求ξ的分布列、期望和方差；(2)若η＝aξ＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，試求a，b的值．[思路探索](1)根據題意，由古典概型概率公式求出分布列，再利用均值，方差公式求解．(2)運用E(η)＝aE(ξ)＋b，D(η)＝a2D(ξ)求a，b.解

(1)ξ的分布列為：ξ01234P12

1

20

1

10

3

2015則E(ξ)＝020

10

201

1

1

3

1×2＋1×

＋2×

＋3×

＋4×5＝1.5.D(ξ)＝(0－1.5)212

20

10×

＋(1－1.5)2×

1

＋(2－1.5)2×

1

＋(3－1.5)2×

3

＋(4－1.5)2120

5×

＝2.75.(2)由D(η)＝a2D(ξ)，得a2×2.75＝11，得a＝±2.又E(η)＝aE(ξ)＋b，所以當a＝2

時，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；當a＝－2

時，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.所以b＝－2或a＝2，

a＝－2，b＝4即為所求．規(guī)律方法求離散型隨機變量的均值或方差的關鍵是列分布列，而列分布列的關鍵是要清楚隨機試驗中每一個可能出現的結果．同時還能正確求出每一個結果出現的概率．已知X的分布列為【變式1】求：(1)E(X)，D(X)；(2)設Y＝2X＋3，求E(Y)，D(Y)．1

12

30

1116

3解

(1)E(X)＝－1×

＋

×

＋

×

＝－

，12

121

13

2

3

3

3

121

56

9D(X)＝－1＋

×

＋0＋

×

＋1＋

×

＝

.(2)E(Y)＝2E(X)＋373＝

，D(Y)＝4D(X)＝209.X－101P121316題型二 兩點分布與二項分布的方差【例2】

為防止風沙危害，某地決定建設防護綠化帶，種植楊樹、沙柳等植物．某人一次種植了

n

株沙柳．各株沙柳的成活與否是相互獨立的，成活率為

p，設

ξ

為成活沙柳的株數，數學期望E(ξ)為3，標準差D（ξ）為26.求n和p

的值，并寫出ξ

的分布列；若有3

株或3

株以上的沙柳未成活，則需要補種．求需要補種沙柳的概率．[思路探索]判斷某一離散型隨機變量是否服從二項分布，是利用公式E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)的先決條件．解

由題意知，ξ

服從二項分布

B(n，p)，nk

kP(ξ＝k)＝C

p

(1—n

k－p)

，k＝0，1，…，n.32(1)由E(ξ)＝np＝3，D(ξ)＝np(1－p)＝，12得1－p＝，從而2n＝6，p＝1.ξ的分布列為(2)記“需要補種沙柳”為事件A，則P(A)＝P(ξ≤3)，得P(A)＝1＋6＋15＋202164

32＝

，或P(A)＝1－P(ξ＞3)＝1－15＋6＋16421

21＝32.所以需要補種沙柳的概率為32.ξ0123456P

1

64

6

64156420641564

6

64

1

64規(guī)律方法

記準方差的性質：D(aξ＋b)＝a2D(ξ)．若ξ服從兩點分布，則D(ξ)＝p(1－p)．若ξ～B(n，p)，則D(ξ)＝np(1－p)．【變式2】設一次試驗的成功率為p，進行100次獨立重復試驗，求當p為何值時，成功次數的標準差的值最大？并求其最大值．解

設成功次數為隨機變量

X，由題意可知X～B(100，p)，則D（X）＝

100p（1－p）.因為D(X)＝100p(1－p)＝100p－100p2，把上式看作一個以p

為自變量的二次函數，1易知當p＝時，D(X)有最大值為25.2所以D（X）的最大值為5.1即當p＝2時，成功次數的標準差的值最大，最大值為5.A，B兩個投資項目的利潤率分別為隨機變量X1和X2.根據市場分析，X1和X2的分布列分別為題型三 均值與方差的綜合應用【例3】X15%10%P0.80.2X22%8%12%P0.20.50.3在A，B兩個項目上各投資100萬元，Y1和Y2分別表示投資項目A和B所獲得的利潤，求方差D(Y1)，D(Y2)；將x(0≤x≤100)萬元投資A項目，100－x萬元投資B項目，f(x)表示投資A項目所得利潤的方差與投資B項目所得利潤的方差的和．求f(x)的最小值，并指出x為何值時，

f(x)取得最小值．(注：D(aX＋b)＝a2D(X))[規(guī)范解答](1)由題設可知Y1和Y2的分布列分別為Y1510P0.80.2Y22812P0.20.50.3(2分)(4分)E(Y1)＝5×0.8＋10×0.2＝6，D(Y1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4.E(Y2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，D(Y2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12.(6分)(2)f(x)＝D

x

100

Y1＋D100－x

100

Y2＝

100

x

2D(Y1)

＋

100

100－x

2D(Y2)

＝

4

1002

22

[x

＋

3(100

－

x)

]

＝10

000

4

(4x2－600x＋30

000)，(9

分)2×4所以當x＝

600

＝75

時，f(x)取最小值為3.(12

分)【題后反思】解均值與方差的綜合問題時的注意事項(1)離散型隨機變量的分布列、均值和方差是三個緊密聯(lián)系的有機統(tǒng)一體，一般在試題中綜合在一起考查，其解題的關鍵是求出分布列；在求分布列時，要注意利用等可能事件、互斥事件、相互獨立事件的概率公式計算概率，并注意結合分布列的性質，簡化概率計算；在計算均值與方差時要注意運用均值和方差的性質以避免一些復雜的計算．若隨機變量X服從兩點分布、二項分布可直接利用對應公式求解．【變式3】從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設隨機變量X表示所選3人中女生的人數．求X的分布列；求X的均值與方差；求“所選3人中女生人數X≤1”的概率．解

(1)X

可能的取值為

0，1，2.P(X＝k)＝2C

·C—43C6k

3

k，k＝0，1，2.X

的分布列X012P153515(2)由(1)，X

的均值與方差為511

315

5E(X)＝0×

＋

×

＋

×

＝2

1.D(X)＝(0－1)2

1

(1－1)2×3

(1－2)2

1

2×5＋

5＋

×5＝5.(3)由(1)，“所選3

人中女生人數X≤1”的概率為45P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝

.誤區(qū)警示 忽略對方差的比較致誤【示例】某農科院對兩個優(yōu)良品種甲、乙在相同的條件下進行對比實驗，100公頃的產量列表如下：甲：每公頃產量(噸)9.49.59.810.2公頃數11324215乙：每公頃產量(噸)9.29.51011公頃數35203