福建省莆田市涵江區(qū)第一中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

福建省莆田市涵江區(qū)第一中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別是雙曲線C：﹣=1的左右焦點(diǎn)，A為C的左頂點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且PF1⊥x軸，過(guò)點(diǎn)A的直線l與線段PF1交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)E，若直線F2M與y軸交點(diǎn)為N，OE=2ON，則C的離心率為（）A． B．2 C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】根據(jù)條件求出直線AE的方程，求出N，E的坐標(biāo)，利用|OE|=2|ON|的關(guān)系建立方程進(jìn)行求解即可．【解答】解：∵PF1⊥x軸，∴設(shè)M（﹣c，t），則A（﹣a，0），B（a，0），AE的斜率k=，則AE的方程為y=（x+a），令x=0，則y=，即E（0，），∵N（0，），∵|OE|=2|ON|，∴2||=||，即c=2a，則離心率e==2，故選：B2.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0），點(diǎn)M，N，F(xiàn)分別為橢圓C的左頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)、左焦點(diǎn)，若∠MFN=∠NMF+90°，則橢圓C的離心率是（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】由題意畫出圖形，結(jié)合已知可得a，b，c的關(guān)系，進(jìn)一步結(jié)合隱含條件可得關(guān)于離心率e的方程求解．【解答】解：如圖，tan∠NMF=，tan∠NFO=，∵∠MFN=∠NMF+90°，∴∠NFO=180°﹣MFN=90°﹣∠NMF，即tan∠NFO=，∴，則b2=a2﹣c2=ac，∴e2+e﹣1=0，得e=．故選：A．3.若直角坐標(biāo)平面內(nèi)的兩個(gè)不同的點(diǎn)M、N滿足條件：

①M(fèi)、N都在函數(shù)的圖象上；②M、N關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．

則稱點(diǎn)對(duì)[M，N]為函數(shù)的一對(duì)“友好點(diǎn)對(duì)”(注：點(diǎn)對(duì)[M，N]與[N，M]為同一“友好點(diǎn)對(duì)”)．

已知函數(shù)，此函數(shù)的“友好點(diǎn)對(duì)”有

A．0對(duì)

B．1對(duì)

C．2對(duì)

D．3對(duì)參考答案：C4.設(shè)圓錐曲線r的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若曲線r上存在點(diǎn)P滿足|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，則曲線r的離心率等于(

)A． B．或2 C．2 D．參考答案：A【考點(diǎn)】圓錐曲線的共同特征．【專題】計(jì)算題；壓軸題．【分析】根據(jù)題意可設(shè)出|PF1|，|F1F2|和|PF2|，然后分曲線為橢圓和雙曲線兩種情況，分別利用定義表示出a和c，則離心率可得．【解答】解：依題意設(shè)|PF1|=4t，|F1F2|=3t，|PF2|=2t，若曲線為橢圓則2a=|PF1|+|PF2|=6t，c=t則e==，若曲線為雙曲線則，2a=4t﹣2t=2t，a=t，c=t∴e==故選A【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓錐曲線的共同特征．關(guān)鍵是利用圓錐曲線的定義來(lái)解決．5.在△ＡＢＣ中，角Ａ、Ｂ、Ｃ的對(duì)邊分別是a、b、c，若bcosA=acosB,則△ＡＢＣ是（

）（Ａ）等腰三角形（Ｂ）直角三角形

（Ｃ）等腰直角三角形

（Ｄ）等邊三角形參考答案：A略6.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫出的是某個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（

）A．

B．

C.29π

D．32π參考答案：B根據(jù)三視圖可知幾何體是組合體：上面是半個(gè)圓錐（高為圓柱的一半），下面是半個(gè)圓柱，其中圓錐底面半徑是，高是，圓柱的底面半徑是，母線長(zhǎng)是，所以該幾何體的體積，故選B.

7.已知全集U=R，集合，集合，那么（A）

（B）（C）

（D）參考答案：B略8.已知函數(shù)，則f(x)的值域是（

）A．[1,+∞)

B．[0,+∞)

C．(1,+∞)

D．[0,1)∪(1,+∞)參考答案：B9.已知平面向量滿足的夾角為60°，若則實(shí)數(shù)的值為A.1 B. C.2 D.3參考答案：D略10.函數(shù)的部分圖象大致是（

）參考答案：D為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除A；當(dāng)時(shí)，，排除B；當(dāng)時(shí)，，排除C；故選D.

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）已知曲線的極坐標(biāo)系方程為，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），若以直角坐標(biāo)系的軸的非負(fù)半軸為極軸，則與的交點(diǎn)A的直角坐標(biāo)是

▲

參考答案：略12.據(jù)某報(bào)《自然健康狀況》的調(diào)查報(bào)道，所測(cè)血壓結(jié)果與相應(yīng)年齡的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表，觀察表中數(shù)據(jù)規(guī)律，并將最適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)填入表中括號(hào)內(nèi)。年齡（歲）3035404550556065……收縮壓（水銀柱/毫米）110115120125130135

145……舒張壓（水銀柱/毫米）70737578807385

……參考答案：140，88.13.已知a∈R，函數(shù)為奇函數(shù)．則f（﹣1）=

，a=

．參考答案：0，1.考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：根據(jù)函數(shù)的解析式奇偶性得出f（﹣1）=1﹣1=0，f（1）=﹣f（﹣1）=0，求解得出a﹣1=0即可求解a的值．解答： 解；∵函數(shù)為奇函數(shù)∴f（﹣1）=1﹣1=0，∵f（1）=a﹣1，∴a﹣1=0，a=1，∴f（x）=，滿足f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）為奇函數(shù)故答案為：0，1點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用解析式，奇偶性求解函數(shù)值，參變量的值，屬于容易題．14.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，得到函數(shù)g（x）的圖象，則g（x）的解析式為．

參考答案：略15.設(shè)集合，，則中元素的個(gè)數(shù)是

個(gè)．參考答案：12略16.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則

.參考答案：試題分析：正態(tài)分布均值為，，故.考點(diǎn)：正態(tài)分布．17.已知橢圓C：（a＞b＞0）的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，若點(diǎn)P在橢圓上，且滿足|PO|2=|PF1|?|PF2|（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則稱點(diǎn)P為“*”點(diǎn)，則橢圓上的“*”點(diǎn)有個(gè)．參考答案：4【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】設(shè)出橢圓上的點(diǎn)P（x0，y0），利用焦半徑公式，表示出|PO|2=|PF1|?|PF2|，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)橢圓上的點(diǎn)P（x0，y0），則，y02=b2（1﹣），橢圓的第二定義可知：|PF1|=a﹣ex0，|PF2|=a+ex0，因?yàn)閨PO|2=|PF1|?|PF2|，則x02+y02=a2﹣e2x02，則有x02+b2（1﹣）=x02+y02，解得x0=±，因此滿足條件的有四個(gè)點(diǎn)，故答案為：4．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.廣告公司為某游樂(lè)場(chǎng)設(shè)計(jì)某項(xiàng)設(shè)施的宣傳畫，根據(jù)該設(shè)施的外觀，設(shè)計(jì)成的平面圖由半徑為2m的扇形AOB和三角區(qū)域BCO構(gòu)成，其中C，O，A在一條直線上，∠ACB=，記該設(shè)施平面圖的面積為S（x）m2，∠AOB=xrad，其中＜x＜π．（1）寫出S（x）關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）如何設(shè)計(jì)∠AOB，使得S（x）有最大值？參考答案：【考點(diǎn)】弧度制的應(yīng)用．【專題】函數(shù)思想；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】（1）首先，求解三角形和扇形的面積，然后，求和即可得到相應(yīng)的解析式；（2）根據(jù)三角函數(shù)輔助角公式和導(dǎo)數(shù)的計(jì)算等知識(shí)求解其最大值即可．【解答】解：（1）∵扇形AOB的半徑為2m，∠AOB=xrad，∴S扇形=x?22=2x，過(guò)點(diǎn)B作邊AC的垂線，垂足為D，如圖所示：則∠BOD=π﹣x，∴BD=2sin（π﹣x）=2sinx，OD=2cos（π﹣x）=﹣2cosx，∵∠ACB=，∴CD=BD=2sinx，∴S△BOC=CO?BD=（2sinx﹣2cosx）×2sinx=2sin2x﹣2sinxcosx=1﹣cos2x﹣sin2x，∴S（x）=1﹣cos2x﹣sin2x+2x，（2）根據(jù)（1），得到S（x）=1﹣cos2x﹣sin2x+2x，∴S′（x）=2sin2x﹣2cos2x+2，令S′（x）=0，∴2sin（2x﹣）=﹣2，∴sin（2x﹣）=﹣，∴2x﹣=，∴x=，根據(jù)實(shí)際意義知，當(dāng)x=時(shí)，該函數(shù)取得最大值，故設(shè)計(jì)∠AOB=時(shí)，此時(shí)S（x）有最大值．【點(diǎn)評(píng)】本題重點(diǎn)考查了三角形的面積公式、輔助角公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．19.（本小題滿分12分）某工廠生產(chǎn)一種儀器的元件，由于受生產(chǎn)能力和技術(shù)水平的限制，會(huì)產(chǎn)生一些次品，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道，其次品率與日產(chǎn)量（萬(wàn)件）之間滿足關(guān)系：（其中為小于6的正常數(shù)）（注：次品率=次品數(shù)/生產(chǎn)量，如表示每生產(chǎn)10件產(chǎn)品，有1件為次品，其余為合格品）已知每生產(chǎn)1萬(wàn)件合格的儀器可以盈利2萬(wàn)元，但每生產(chǎn)1萬(wàn)件次品將虧損1萬(wàn)元，故廠方希望定出合適的日產(chǎn)量.（1）試將生產(chǎn)這種儀器的元件每天的盈利額(萬(wàn)元）表示為日產(chǎn)量（萬(wàn)件）的函數(shù)；（2）當(dāng)日產(chǎn)量為多少時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)？參考答案：解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，------------------------2分當(dāng)時(shí)，，綜上，日盈利額（萬(wàn)元）與日產(chǎn)量（萬(wàn)件）的函數(shù)關(guān)系為：-------------------------------------6分（Ⅱ）由（1）知，當(dāng)時(shí)，每天的盈利額為0

當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)------------------8分所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)

當(dāng)時(shí)，由知函數(shù)在上遞增，，此時(shí)--------------------10分綜上，若，則當(dāng)日產(chǎn)量為3萬(wàn)件時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)

略20.已知數(shù)列滿足:.(其中t為常數(shù),且t≠0)(1)求證:數(shù)列為等差數(shù)列;(2)設(shè),求數(shù)列的前n項(xiàng)和.參考答案：(1)證明:∵t2-2an-1t+an-1an=0,∴(t2-an-1t)-(an-1t-an-1an)=0,∴t(an-1-t)=an-1(an-t),由a1-t≠0知an-t≠0,∴===+,即-=,n=2,3,4,…,t≠0.∴數(shù)列為等差數(shù)列.

。。。。。。。。。。。。。。。6分解:(2)由(1)得,數(shù)列為等差數(shù)列,公差為,∴=+(n-1)=,∴an=t+=.。。。。。。。。。。。。。。。11分bn====t.∴Sn=b1+b2+b3+…+bn=t=t=.。。。。15分略21.如圖，在三棱柱中，平面，，且,點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱的運(yùn)動(dòng)

（1）試問(wèn)點(diǎn)在何處時(shí)，∥平面，并證明你的結(jié)論；

（2）在（1）的條件下，且，直線與平面的成角的正弦值為，

求二面角的大小.參考答案：

略22.（本小題滿分12分）

已知點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)在直線上，且滿足.（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)在軸上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡的方程；（Ⅱ）設(shè)、為軌跡上兩點(diǎn)，且>1,>0,，求實(shí)數(shù)，使，且.參考答案：解析：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)，由得.

…………2分 由,得，即.

……………4分 又點(diǎn)在