湖北省荊州市沙市第十六中學高三數(shù)學理模擬試卷含解析

湖北省荊州市沙市第十六中學高三數(shù)學理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.過雙曲線的左焦點作軸的垂線交雙曲線于點，為右焦點，若，則雙曲線的離心率為（

）

、

、

、

、參考答案：A略2.設(shè)是兩條不同的直線,是兩個不同的平面,下列命題中正確的是 （）A．若,,,則 B．若,,,則C．若,,,則 D．若,,,則參考答案：D3.（

）A．1 B．

C． D．參考答案：【知識點】二項展開式；兩角和與差的正弦公式J3C7B

解析：原式=，故選B.【思路點撥】先利用二項展開式，再結(jié)合兩角和與差的正弦公式展開即可。

，4.下列四個圖像中，是函數(shù)圖像的是

(

）A．（1）

B．（1）.（3）.（4）

C．（1）.（2）.（3）

D．（3）.（4）參考答案：B5.如圖可能是下列哪個函數(shù)的圖象（）A．y=2x﹣x2﹣1 B．y=C．y=（x2﹣2x）ex D．y=參考答案：C【考點】函數(shù)的圖象與圖象變化．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應用．【分析】A中y=2x﹣x2﹣1可以看成函數(shù)y=2x與y=x2+1的差，分析圖象是不滿足條件的；B中由y=sinx是周期函數(shù)，知函數(shù)y=的圖象是以x軸為中心的波浪線，是不滿足條件的；C中函數(shù)y=x2﹣2x與y=ex的積，通過分析圖象是滿足條件的；D中y=的定義域是（0，1）∪（1，+∞），分析圖象是不滿足條件的．【解答】解：A中，∵y=2x﹣x2﹣1，當x趨向于﹣∞時，函數(shù)y=2x的值趨向于0，y=x2+1的值趨向+∞，∴函數(shù)y=2x﹣x2﹣1的值小于0，∴A中的函數(shù)不滿足條件；B中，∵y=sinx是周期函數(shù)，∴函數(shù)y=的圖象是以x軸為中心的波浪線，∴B中的函數(shù)不滿足條件；C中，∵函數(shù)y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，當x＜0或x＞2時，y＞0，當0＜x＜2時，y＜0；且y=ex＞0恒成立，∴y=（x2﹣2x）ex的圖象在x趨向于﹣∞時，y＞0，0＜x＜2時，y＜0，在x趨向于+∞時，y趨向于+∞；∴C中的函數(shù)滿足條件；D中，y=的定義域是（0，1）∪（1，+∞），且在x∈（0，1）時，lnx＜0，∴y=＜0，∴D中函數(shù)不滿足條件．故選：C．【點評】本題考查了函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應用問題，解題時要注意分析每個函數(shù)的定義域與函數(shù)的圖象特征，是綜合性題目．6.若復數(shù)z＝（3+bi）（1+i）是純虛數(shù)（其中b∈R，i為虛數(shù)單位），則b＝（

）A.1 B.2 C.3 D.4參考答案：C【分析】利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由實部為0且虛部不為0列式求解．【詳解】∵z＝（3+bi）（1+i）＝（3﹣b）+（b+3）i是純虛數(shù)，∴，即b＝3．故選：C．【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．7.設(shè)m,n為空間兩條不同的直線，為空間兩個不同的平面，給出下列命題：①若，則；

②若則；③若，則；

④若，則．其中的正確命題序號是（

） A．③④

B．②④

C．①②

D．①③參考答案：A8.當時，函數(shù)的最小值為（

）A．2 B． C．4 D．參考答案：C，，當且僅當時取等號，函數(shù)的最小值為4，選C.

9.已知,則的值為(

).A.

B．

C．-1

D．1參考答案：D10.已知橢圓=1（a＞b＞0）的左，右焦點為F1，F(xiàn)2，離心率為e．P是橢圓上一點，滿足PF2⊥F1F2，點Q在線段PF1上，且．若=0，則e2=（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】由題意求得P點坐標，根據(jù)向量的坐標運算求得Q點坐標，由=0，求得b4=2c2a2，則b2=a2﹣c2，根據(jù)離心率的取值范圍，即可求得橢圓的離心率．【解答】解：由題意可知：PF2⊥F1F2，則P（c，），由，（xQ+c，yQ）=2（c﹣xQ，﹣yQ），則Q（，），=（2c，），=（﹣，），由=0，則2c×（﹣）+×=0，整理得：b4=2c2a2，則（a2﹣c2）2=2c2a2，整理得：a4﹣4c2a2+c4=0，則e4﹣4e2+1=0，解得：e2=2±，由0＜e＜1，則e2=2﹣，故選C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.將2本不同的數(shù)學書和1本語文書在書架上隨機排成一行,則2本數(shù)學書不相鄰的概率為

.參考答案：12.已知，，那么的值是

_

.參考答案：【知識點】兩角和與差的正切公式.C5【答案解析】B解析：解：由題意可得【思路點撥】利用組合角的方法表示出所求的角，再利用公式求解.13.若滿足約束條件：；則的取值范圍為參考答案：14.已知函數(shù)，且，則的值為

．參考答案：15.曲線在點（0,1）處的切線方程為 .參考答案：16.已知O為的外心，，設(shè)，若，則

。參考答案：17.設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域為，是區(qū)域D上任意一點， 則的最大值與最小值之和是

▲

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知a，b為常數(shù)，a10，函數(shù)．（1）若a=2，b=1，求在（0，+∞）內(nèi)的極值；（2）①若a>0，b>0，求證：在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)；②若，，且在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，求由所有點形成的平面區(qū)域的面積．參考答案：域.在區(qū)間上是增函數(shù).…………10分

略19.(本小題滿分l3分)已知函數(shù)．

(I)若a=-1，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)若函數(shù)的圖象在點(2,f(2))處的切線的傾斜角為45o，對于任意的t

[1，2]，函數(shù)是的導函數(shù))在區(qū)間(t,3)上總不是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍；

(Ⅲ)求證：參考答案：解：（Ⅰ）當時，

解得；解得的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為

.

………4分（Ⅱ）∵∴得，

，∴

∵在區(qū)間上總不是單調(diào)函數(shù)，且∴

…7分由題意知：對于任意的，恒成立，所以，，∴.

………（Ⅲ）證明如下：由（Ⅰ）可知當時，即，∴對一切成立．…………………10分∵，則有，∴.

…11分.

………13分略20.如圖，在棱柱ABC﹣A1B1C1中，點C在平面A1B1C1內(nèi)的射影點為的A1B1中點O，AC=BC=AA1，∠ACB=90°．（1）求證：AB⊥平面OCC1；（2）求二面角A﹣CC1﹣B的正弦值．參考答案：【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定．【分析】（1）推導出CO⊥A1B1，A1C1=C1B1，C1O⊥A1B1，從而A1B1⊥平面CC1O，再由A1B1∥AB，能證明AB⊥平面CC1O．（2）以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，CO為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A﹣CC1﹣B的正弦值．【解答】證明：（1）∵點C在平面內(nèi)的射影點為A1B1的中點O，∴CO⊥A1B1，∵AC=BC，∴A1C1=C1B1，∵O為A1B1的中點，∴C1O⊥A1B1，∵C1O∩CO=O，∴A1B1⊥平面CC1O，∵A1B1∥AB，∴AB⊥平面CC1O．解：（2）以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，CO為z軸，建立空間直角坐標系，設(shè)AC=1，則CC1=1，C1O=，∵∠COC1=，∴CO==，則C（0，0，0），C1（﹣，），A（1，0，0），B（0，1，0），∴=（﹣，），=（1，0，0），=（0，1，0），設(shè)平面ACC1的法向量=（x，y，z），則，取y=，得=（0，），同理得平面BCC1的法向量=（），設(shè)二面角A﹣CC1﹣B的平面角為θ，則cosθ==．sinθ==，∴二面角A﹣CC1﹣B的正弦值為．【點評】本題考查線面垂直的證明，考查二面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．21.（10分）如圖，CF是△ABC邊AB上的高，F(xiàn)P⊥BC，F(xiàn)Q⊥AC．（1）證明：A、B、P、Q四點共圓；（2）若CQ=4，AQ=1，PF=，求CB的長．參考答案：【考點】：與圓有關(guān)的比例線段．【專題】：立體幾何．【分析】：（1）證明∠QCF=∠QPF，利用同角的余角相等，可得∠A=∠CPQ，從而可得：四點A、B、P、Q共圓；（2）根據(jù)根據(jù)射影定理可得：在Rt△CFA中，CF2=CQ?CA，進而可求出CF長，利用勾股定理，解Rt△CFP，可求出CP，再在Rt△CFB中使用射影定理，可得答案．證明：（1）連接QP，由已知C、P、F、Q四點共圓，∴∠QCF=∠QPF，∵∠A+∠QCF=∠CPQ+∠QPF=90°，∴∠A=∠CPQ，∴四點A、B、P、Q共圓．…（5分）解：（2）∵CQ=4，AQ=1，PF=，根據(jù)射影定理可得：在Rt△CFA中，CF2=CQ?CA=4×（4+1）=20，在Rt△CFP中，CP==，在Rt△CFB中，CF2=CP?CB，∴CB=6…（10分）【點評】：本題考查的知識點是圓內(nèi)接四邊形的證明，射影定理，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．22.（本小題滿分12分）在某高校自主招生考試中，所有選報II類志向的考生全部參加了“數(shù)學與邏輯”和“閱讀與表達”兩個科目的考試，成績分為五個等級.某考場考生的兩科考試成績數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下圖所示，其中“數(shù)學與邏輯”科目的成績?yōu)榈目忌腥?（Ⅰ）求該考場考生中“閱讀與表達”科目中成績?yōu)榈娜藬?shù)；（Ⅱ）若等級分別對應分,分,分,分,分,求該考場考生“數(shù)學與邏輯”科目的平均分；（Ⅲ）已知參加本考場測試的考生中，恰有兩人的兩科成績均為.在至少一科成績?yōu)榈目忌校S機抽取兩人進行訪談，求這兩人的兩科成績均為的概率.參考答案：(1)因為“數(shù)學與邏輯”科目中成績等級為B的考生有10人，所以該考場有人……2分所以該考場考生中“閱讀與表達”科目中成績等級為A的人數(shù)為……4分（2）該考場考生“數(shù)學與邏輯”科目的平均分為……7分（3