2023學年九年級數(shù)學上冊單元題型精練（基礎題型+強化題型）（人教版） 圓的證明綜合（強化）（解析版）

圓的證明綜合【例題精講】如圖四邊形為菱形以為直徑作交于點連接交于點是上的一點且連接．（1）求證：是的切線．（2）若求的半徑．【解答】（1）證明：如圖1連接四邊形為菱形即是的直徑是的半徑是的切線；（2）解：如圖2連接是的直徑在和中．的半徑為．如圖已知是外一點交于點弦劣弧的度數(shù)為連接．（1）求的長；（2）求證：是的切線．【解答】（1）解：連接弦劣弧的度數(shù)為弧與弧的度數(shù)為：是等邊三角形；（2）證明：是等邊三角形點在上是的切線．【題組訓練】1．如圖為的切線為切點過點作垂足為點交于點延長與的延長線交于點．（1）求證：是的切線；（2）若求的長．【解答】（1）證明：連接是的切線在與中是半徑是的切線；（2）解：在中、為的切線在中即在中．2．如圖在中是的直徑是的弦垂足為．過點作的切線與的延長線交于點．若求的度數(shù)．【解答】解：連接是的直徑是的切線故的度數(shù)為．6．如圖是的直徑點和點是上的兩點過點作的切線交延長線于點．（1）若求的度數(shù)；（2）若求半徑的長．【解答】解：（1）連接是的切線是的半徑；（2）設的半徑為解得：的半徑為2．7．如圖是的直徑點在的延長線上、是上的兩點延長交的延長線于點．（1）求證：是的切線；（2）求證：；【解答】解：（1）連接如右圖所示是的直徑是的切線；（2）又；10．如圖在中的平分線交于點過點作直線的垂線交于點是的外接圓．（1）求證：是的切線；（2）過點作于點求證：平分；（3）求證：．【解答】（1）證明：如圖連接．是圓的直徑平分是的切線；（2）證明：是是直徑平分．（3）證明：如圖連接．是的平分線于于．11．如圖是的直徑過點作的切線弦交于點且連接延長交于點．（1）求證：是等邊三角形；（2）連接若求的長．【解答】（1）證明：是的直徑是的切線是等邊三角形；（2）解：連接過作于由（1）知是等邊三角形設的半徑為：在與中即．12．如圖在中以為直徑的交于點過點作的切線交于點的反向延長線交于點．（1）求證：；（2）若的半徑為10求的長度．【解答】（1）證明：．是的切線是半徑；（2）如圖過點作于點則四邊形是矩形．設．．在中由勾股定理知：即解得（不合題意舍去）．．．13．如圖內(nèi)接于是的直徑交于點過點作交的延長線于點連接．（1）求證：是的切線；（2）已知求的長．【解答】（1）證明：是的直徑即即又是的半徑是的切線；（2）解：．14．如圖內(nèi)接于是的直徑點是延長線上的一點且．（1）求證：是的切線；（2）若求的半徑．【解答】（1）證明：連接．又又是的切線；（2）解：過點作于點．在中在中．在中的半徑為．15．如圖是的直徑點是上兩點且連接過點作交延長線于點垂足為．（1）求證：是的切線；（2）若求的半徑．【解答】（1）證明：連接如圖是的切線；（2）解：連接如圖為直徑在中在中的半徑為4．16．如圖中以為直徑作半圓交與點點為的中點連接．（1）求證：是半圓的切線．（2）若求的長．【解答】（1）證明：連接為圓的直徑在中為斜邊的中點在和中則為圓的切線；（2）在中又為等邊三角形即則．17．如圖在中是邊上一點以為直徑的經(jīng)過點且．（1）請判斷直線是否是的切線并說明理由；（2）若求弦的長．【解答】解：（1）直線是的切線理由如下：如圖連接為的直徑又又是半徑直線是的切線；（2）方法一、過點作于．方法二、．18．如圖在中于點是上一點以為直徑的交于點連接且．（1）求證：是的切線；（2）若求的長．【解答】（1）證明：又是的切線；（2）解：連接、為的直徑．20．如圖是的直徑點在上且點是外一點與相切于點連接過點作交于點連接交于點．（1）求證：；（2）求證：是的切線；（3）若連接求的長．【解答】（1）證明：是的直徑又為的中點為的中點為的中位線；（2）證明：如圖所示：連接在與中又是的切線又是半徑是的切線；（3）解：是的直徑過點作于點．21．如圖在中點在邊上經(jīng)過點和點且與邊相交于點．（1）求證：是的切線；（2）若求的半徑．【解答】（1）證明：連接是的切線；（2）解：連接是等邊三角形的半徑．22．如圖為的直徑為上一點弦的延長線與過點的切線互相垂直垂足為連接．（1）求的度數(shù)；（2）若求的長．【解答】解：（1）連接如圖是的切線為的直徑；（2）連接的直徑的長為：．23．已知：如圖中以為直徑的交于點于點．（1）求證：是的切線；（2）若求的值．【解答】（1）證明：是的切線；（2）解：連接如圖為直徑在中．24．如圖在中的平分線交于點過點作的垂線交于點是的外接圓．（1）求證：是的切線．（2）過點作于點求證：．【解答】證明：（1）如圖1連接．是圓的直徑．平分是的切線；（2）如圖2連接．于于．．在與中．25．如圖是的直徑點、在上且平分過點作的垂線與的延長線相交于與的延長線相交于點為的下半圓弧的中點交于連接、．（1）證明是的切線；（2）求證：；（3）已知圓的半徑求的長．【解答】解：（1）證明：連接又平分又是的切線；（2）是的直徑由（1）得是的切線又（3）連接是半圓弧中點在中．．26．如圖在中以斜邊上的中線為直徑作與、分別交于點、與的另一個交點為．過點作垂足為．（1）求證：是的切線；（2）若求弦的長．【解答】（1）證明：連接．如圖所示：在中是邊的中線又過半徑的外端是的切線；（2）解：過點作垂足為如圖2所示：設的半徑為．四邊形為矩形．在中即．且過圓心．28．如圖在中點在邊上以為直徑作交于點連接且．（1）求證：是的切線；（2）若求的半徑．【解答】（1）證明：如圖連接是的直徑即．是的半徑是的切線；（2）解：在中設的半徑為則在中解得或（舍去）．的半徑為3．30