第四章-多分辨率分析與正交小波變換課件

多分辨率分析與正交小波變換多分辨率分析與正交小波變換1概述多分辨率是小波分析中的最重要的概念之一，它從函數(shù)空間的高度研究函數(shù)的多分辨率表示—將一個(gè)函數(shù)表示為一個(gè)低頻成分與不同分辨率下的高頻成分。更重要的是，多分辨率能夠提供一種構(gòu)造小波的統(tǒng)一框架，并且能夠提供函數(shù)分解與重構(gòu)的快速算法。概述多分辨率是小波分析中的最重要的概念之一，它從函數(shù)空間的高2本章主要內(nèi)容多分辨率分析尺度函數(shù)和小波函數(shù)二尺度方程及多分辨率濾波器組二進(jìn)正交小波變換的Mallat算法常見(jiàn)小波函數(shù)本章主要內(nèi)容多分辨率分析31.多分辨率分析定義：多分辨率分析（MultiresolutionAnalysis,MRA）是用小波函數(shù)的二進(jìn)伸縮和平移表示函數(shù)這一思想的更加抽象復(fù)雜的表現(xiàn)形式，它重點(diǎn)處理整個(gè)函數(shù)集，而非側(cè)重處理作為個(gè)體的函數(shù)?；舅枷耄簩2（R）用它的子空間Vj，Wj表示，其中Vj，Wj分別稱為尺度空間和小波空間。1.多分辨率分析定義：多分辨率分析（Multiresol4補(bǔ)充：直和設(shè)E是線性空間，L1，L2，…，Ln是E的子空間，如果任一元素x∈E可以惟一表示成x=x1+x2+…+xn,其中xk∈Lk(k=1,2,…,n),則稱E是L1，L2，…，Ln的直和，記為：補(bǔ)充：直和設(shè)E是線性空間，L1，L2，…，Ln是E的子空間，5

尺度函數(shù)，j＝0，-1，-2，-3；k=0，1,2，…,（這里暫對(duì)j和k的范圍做了限制）形成了伸縮平移系統(tǒng)，其中j不同，張成了不同的子空間，如圖：

尺度函數(shù)，6

,k=0，1，…，7，張成了子空間；

,k=0，…，3，張成了子空間；

,k=0，1，張成了子空間；

,k=0,張成了子空間。由圖可知：

,k=0，1，…，77比喻類似于人的視覺(jué)系統(tǒng)。例如：人在觀察某一目標(biāo)時(shí)，不妨設(shè)他所處的分辨率為j（或2j），觀察目標(biāo)所獲得的信息是Vj，當(dāng)他走近目標(biāo)，即分辨率增加到j(luò)-1（或2j-1），他觀察目標(biāo)所獲得的信息為Vj-1，應(yīng)該比分辨率j下獲得的信息更加豐富，即，分辨率越高，距離越近；反之，則相反。比喻類似于人的視覺(jué)系統(tǒng)。例如：人在觀察某一目標(biāo)時(shí)，不妨設(shè)他所8在分辨率分析中，Vj稱為逼近空間，我們把平方可積的函數(shù)f(t)∈L2(R)看成是某一逐級(jí)逼近的極限情況。每次逼近都是用一低通平滑函數(shù)φ（t）對(duì)f(t)做平滑的結(jié)果，在逐級(jí)平滑時(shí)平滑函數(shù)φ（t）也做逐級(jí)逼近，這就是多分辨率，即用不同分辨率來(lái)逐級(jí)逼近待分析函數(shù)f(t)。在分辨率分析中，Vj稱為逼近空間，我們把平方可積的函數(shù)f(t9見(jiàn)word見(jiàn)word10性質(zhì)尺度空間Vj具有以下遞歸嵌套關(guān)系：將Vj，Vj－1相關(guān)聯(lián)的關(guān)鍵性質(zhì)是：如：f(t)∈Vj，則f(t/2)∈Vj-1,f(2t)∈Vj+1。位移不變性：函數(shù)的時(shí)移不改變其所屬空間，即如果f(t)∈Vj，則f(t-k)∈Vj。性質(zhì)尺度空間Vj具有以下遞歸嵌套關(guān)系：11空間的剖分是完整的，即當(dāng)j－>-∞，Vj－>L2（R），包含整個(gè)平方可積的實(shí)變函數(shù)空間。當(dāng)j－>+∞，Vj－>0，即空間最終剖分到空集為止。空間的剖分是完整的，即當(dāng)j－>-∞，12V0中的任意函數(shù)f(t)均可表示為的線性組合，我們?cè)O(shè)P0f(t)代表f(t)在V0上的投影，則有：是線性組合的權(quán)重，其求法如下：我們稱P0f(t)為f(t)在V0處的平滑逼近，也就是f(t)在j=0下的概貌，稱為f(t)在分辨率j=0下的離散逼近。V0中的任意函數(shù)f(t)均可表示為13第四章-多分辨率分析與正交小波變換ppt課件14

我們剛才推導(dǎo)出

但是，畢竟不等于

，也即比對(duì)x(t)近似的好，但二者之間肯定有誤差。這

一誤差是由φ(t?k)和φ(t?k)的寬度不同而產(chǎn)生的，因此，這一差別應(yīng)是一些“細(xì)節(jié)”信

號(hào)，我們記之為

。這樣，有

P0x(t)=P1x(t)+D1x(t)

該式的含義是：x(t)在高分辨率基函數(shù)所形成的空間中的近似等于它在低分辨率空間中

的近似再加上某些細(xì)節(jié)。現(xiàn)在我們來(lái)尋找D1x(t)的表示方法。

我們剛才推導(dǎo)出

但是，畢竟不15我們?cè)O(shè)D1f(t)代表f(t)在W1上的投影，有是線性組合的權(quán)重，其求法：我們?cè)O(shè)D1f(t)代表f(t)在W1上的投影，有16第四章-多分辨率分析與正交小波變換ppt課件17進(jìn)行類推，可得：Pjf(t)是f(t)在Vj中得投影，是f(t)在分辨率j下得平滑逼近，稱為f(t)在分辨率j下得離散逼近。Djf(t)是f(t)在Wj中得投影，反映了Pjf(t)和Pj-1f(t)之間的細(xì)節(jié)差異。就是。進(jìn)行類推，可得：18第四章-多分辨率分析與正交小波變換ppt課件19我們把空間做逐級(jí)二分解產(chǎn)生一組逐級(jí)包含的子空間：我們把空間做逐級(jí)二分解產(chǎn)生一組逐級(jí)包含的子空間：20第四章-多分辨率分析與正交小波變換ppt課件21第四章-多分辨率分析與正交小波變換ppt課件22各空間內(nèi)的結(jié)構(gòu)做進(jìn)一步分析：（1）設(shè)V0中有低通平滑函數(shù)φ（t），它的整數(shù)移位集合是V0中的正交歸一基。我們稱為尺度函數(shù)，所以有：各空間內(nèi)的結(jié)構(gòu)做進(jìn)一步分析：（1）設(shè)V0中有低通平滑函數(shù)φ（23（2）根據(jù)二尺度伸縮性，如果φ（t）∈V0，則φ（t/2）∈V1，而且，如果是V0中的正交歸一基，則（2）根據(jù)二尺度伸縮性，如果φ（t）∈V0，則φ（t/2）24（3）如果在子空間W0中能找到一個(gè)帶通函數(shù)，其整數(shù)位移的集合構(gòu)成W0中的正交歸一基，我們根據(jù)二尺度的伸縮性，可得W1中的任意函數(shù)f(t)均可以表示為的線性組合。（3）如果在子空間W0中能找到一個(gè)帶通函數(shù)，其25多分辨率概念1.平移不變性。2.單調(diào)性。3.伸縮性。4.逼近性。5.Riesz基存在性。多分辨率概念1.平移不變性。26第四章-多分辨率分析與正交小波變換ppt課件27性質(zhì)1說(shuō)明，函數(shù)的時(shí)移不改變所屬的空間，等效為性質(zhì)1說(shuō)明，函數(shù)的時(shí)移不改變所屬的空間，等效為28第四章-多分辨率分析與正交小波變換ppt課件29第四章-多分辨率分析與正交小波變換ppt課件302.尺度函數(shù)和小波函數(shù)2.1尺度函數(shù)及其空間定義：函數(shù)為尺度函數(shù)，若其經(jīng)過(guò)整數(shù)平移k和尺度j上的伸縮，得到一個(gè)尺度和位移均可變化的函數(shù)集合：稱每一個(gè)尺度j上的平移系列φjk（t）所組成的空間Vj為尺度為j的尺度空間。2.尺度函數(shù)和小波函數(shù)2.1尺度函數(shù)及其空間31對(duì)于任意函數(shù)所以，尺度函數(shù)在不同尺度下其平移系列組成了一系列的尺度空間。對(duì)于任意函數(shù)322.2小波函數(shù)及其小波空間L2（R）的正交基就是把直和的子空間的正交基合并起來(lái)。所以L2（R）的標(biāo)準(zhǔn)正交基為：比較二進(jìn)小波的函數(shù)形式。2.2小波函數(shù)及其小波空間L2（R）的正交基就是把直和的33尺度函數(shù)和小波函數(shù)性質(zhì)：（1）尺度函數(shù)（2）小波函數(shù)尺度函數(shù)和小波函數(shù)性質(zhì)：（1）尺度函數(shù)34（3）同一尺度下，因?yàn)閃j⊥Vj，所以小波函數(shù)和尺度函數(shù)之間是正交的，即：（3）同一尺度下，因?yàn)閃j⊥Vj，所以小波函數(shù)和尺度函數(shù)之間353.二尺度方程及多分辨率

濾波器組即3.二尺度方程及多分辨率

濾波器組36類推到Wj和Vj-1之間，得：上面二式就是二尺度差分方程，其中，h0k和h1k是線性組合的權(quán)重。由于是正交歸一基，它們值為：類推到Wj和Vj-1之間，得：37二尺度關(guān)系存在于任意相鄰尺度j和j-1之間設(shè)H0(ω)為h0k的傅立葉變換，H1(ω)為h1k的傅立葉變換，它們都是以2π為周期的周期函數(shù)。二尺度關(guān)系存在于任意相鄰尺度j和j-1之間383.2濾波器系數(shù)h0k和h1k的性質(zhì)（1）h0k和h1k的總和分別為（2）頻域初值3.2濾波器系數(shù)h0k和h1k的性質(zhì)（1）h0k和h139（3）遞推關(guān)系（3）遞推關(guān)系40（4）濾波器H0（ω），H1（ω）特性：前兩個(gè)式子是設(shè)計(jì)H0（ω），H1（ω）的主要依據(jù)，第三個(gè)式子給出了H0（ω）與H1（ω）之間的內(nèi)在聯(lián)系。它在時(shí)域中的表達(dá)式為：（4）濾波器H0（ω），H1（ω）特性：414.二進(jìn)正交小波變換的

Mallat算法根據(jù)多分辨率理論，Mallat提出了小波分解與重構(gòu)的快速算法，稱為Mallat算法，其在小波分析中的作用相當(dāng)于FFT在傅立葉分析中的作用。它標(biāo)志著小波分析走上了寬闊的應(yīng)用領(lǐng)域。4.二進(jìn)正交小波變換的

Mallat算法根據(jù)424.1Mallat算法的信號(hào)分解過(guò)程在多分辨率分析中，我們得出一個(gè)重要結(jié)論：4.1Mallat算法的信號(hào)分解過(guò)程在多分辨率分析中，我們43可推得：我們稱上式為離散平滑逼近，下式是離散細(xì)節(jié)信號(hào)?？赏频茫?4分解算法圖例分解算法圖例45第四章-多分辨率分析與正交小波變換ppt課件464.2Mallat算法的信號(hào)重建過(guò)程由前面所以4.2Mallat算法的信號(hào)重建過(guò)程由前面47是由它們重建得到的第j-1級(jí)離散平滑信號(hào)。G0(k)、G1(k)為：如果從設(shè)計(jì)濾波器的角度考慮，設(shè)輸入信號(hào)為x(k)，重建輸出信號(hào)為y(n)，我們將x(k)進(jìn)行二插值，得x(k/2)，k為偶數(shù)，所以：是由它們重建得到的第j-1級(jí)離散平滑信號(hào)。G048重構(gòu)算法圖例（是分解過(guò)程的相反過(guò)程，要經(jīng)過(guò)插值和濾波）重構(gòu)算法圖例（是分解過(guò)程的相反過(guò)程，要經(jīng)過(guò)插值和濾波）49第四章-多分辨率分析與正交小波變換ppt課件50Mallat算法得分解與重構(gòu)比較：（1）在分解算法中信號(hào)是先濾波后抽取，而在重建算法中是先插值后濾波。（2）在重建公式中，是對(duì)k求和，而在分解式中，是對(duì)n求和。（3）綜合濾波器和分析濾波器中的系數(shù)不一定相等。Mallat算法得分解與重構(gòu)比較：（1）在分解算法中信號(hào)是先514.3Mallat算法的頻帶分