2022-2023學(xué)年上海市曹楊重點(diǎn)中學(xué)高二（下）月考數(shù)學(xué)試卷（6月份）（含解析）

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一、單選題（本大題共4小題，共18.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.在同一坐標(biāo)系中，方程與的曲線大致是()

A.B.

C.D.

2.已知、為不垂直的異面直線，是一個(gè)平面，則直線、在上的投影不可能是()

A.兩條平行直線B.兩條互相垂直的直線

C.同一條直線D.一條直線及直線外一點(diǎn)

3.現(xiàn)要用種不同顏色對如圖所示的五個(gè)區(qū)域進(jìn)行涂色，要求相鄰的區(qū)域不能用同一種顏色，則不同的涂色方法共有()

A.種

B.種

C.種

D.種

4.半徑不等的兩定圓、無公共點(diǎn)，動圓與、都內(nèi)切，則圓心是軌跡是()

A.雙曲線的一支B.橢圓

C.雙曲線的一支或橢圓D.拋物線或橢圓

二、填空題（本大題共12小題，共54.0分）

5.圓的半徑為______．

6.若，則實(shí)數(shù)______．

7.已知某校高一班有男生人，女生人，用分層抽樣的方法從該班級中抽取若干人已知某男生被抽中的概率為，則抽取的女生人數(shù)為______．

8.位同學(xué)和位老師一起拍照，要求排成一排，位老師相鄰但不排在兩端，則不同的排法共有______種結(jié)果用數(shù)字表示

9.若雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)，且焦點(diǎn)到該漸近線的距離為，則該雙曲線的方程為______．

10.對任意實(shí)數(shù)，圓恒過定點(diǎn)，則其坐標(biāo)為．

11.在平面直角坐標(biāo)系中，已知頂點(diǎn)和，頂點(diǎn)在橢圓，

上，則____________．

12.雙曲線與直線無公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率的取值范圍為______．

13.某校排球隊(duì)的名隊(duì)員來自高一、高二年級共個(gè)班級，其中高一班人，高二班人，其余班級各人若從這人中隨機(jī)選人為主力隊(duì)員，則這人來自不同班級的概率為______結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示

14.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過原點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，則的最小值為______．

15.如圖，在圓柱的軸截面中，，，，分別為圓柱上下底面的中心，為的中點(diǎn)，動點(diǎn)在圓柱下底面內(nèi)包括圓周若，則點(diǎn)形成的軌跡的長度為______．

16.設(shè)是，，，，的一個(gè)排列，若對一切恒成立，就稱該排列是“交替”的，則“交替”的排列共有______種結(jié)果用數(shù)字表示

三、解答題（本大題共5小題，共78.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.本小題分

某班級甲組有名男生，名女生；乙組有名男生，名女生．

若從兩隊(duì)中選人值日，則有多少種不同的選法？結(jié)果用數(shù)字表示

若從甲、乙兩隊(duì)各選人參加值日，則選出的人中恰有名男生的不同選法共有多少種？結(jié)果用數(shù)字表示

讓甲組成員排成一排，若女生身高互不相等，女生從左到右按高矮順序排，有多少種不同排法？結(jié)果用數(shù)字表示

18.本小題分

三棱錐中，，分別為，中點(diǎn)，，．

求證：平面；

求異面直線與所成角的大?。?/p>

19.本小題分

某沿海城市的海邊有兩條相互垂直的直線型公路、，海岸邊界近似地看成一條曲線段．為開發(fā)旅游資源，需修建一條連接兩條公路的直線型觀光大道，且直線與曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)即直線與曲線相切，如圖所示．若曲線段是函數(shù)圖象的一段，點(diǎn)到、的距離分別為千米和千米，點(diǎn)到的距離為千米，以、分別為、軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

求曲線段的函數(shù)關(guān)系式，并指出其定義域；

若某人從點(diǎn)沿公路至點(diǎn)觀景，要使得沿折線比沿折線的路程更近，求的取值范圍．

20.本小題分

如圖，已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為過點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)．

若點(diǎn)在第一象限，且，求直線的傾斜角；

若點(diǎn)在以線段為直徑的圓周上，求直線的方程；

設(shè)直線、分別與軸交于、兩點(diǎn)，記、的面積分別為、，求的取值范圍．

21.本小題分

已知橢圓：，，是左右焦點(diǎn)，且直線過點(diǎn)交橢圓于，兩點(diǎn)，點(diǎn)，在軸上方，點(diǎn)在線段上．

若為上頂點(diǎn)，，求的值；

若，原點(diǎn)到直線的距離為，求直線的方程；

對于任意點(diǎn)，是否存在唯一的直線，使得，若存在，求出直線的斜率，若不存在，請說明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：方程是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，

由，得，其圖象是開口向左的拋物線，

綜上，可知方程與的曲線大致是選項(xiàng)．

故選：．

由橢圓的方程與拋物線方程可得圖象，則答案可求．

本題考查橢圓與拋物線的綜合，考查橢圓與拋物線的圖象，是基礎(chǔ)題．

2.【答案】

【解析】解：不妨以長方體為例，則異面直線與在平面上的投影互相平行，選項(xiàng)A正確；

異面直線與在平面上的投影互相垂直，所以選項(xiàng)B正確；

異面直線與在平面上的投影是一條直線和直線外一點(diǎn)，選項(xiàng)D正確；

異面直線、在一個(gè)平面的投影不可能是同一條直線，選項(xiàng)C錯誤．

故選：．

以長方體為例，找出滿足題意的兩條異面直線和平面，再判斷選項(xiàng)中的命題是否正確．

本題考查了異面直線的投影應(yīng)用問題，也考查了推理與判斷能力，是基礎(chǔ)題．

3.【答案】

【解析】解：先涂區(qū)域有種選擇，再涂區(qū)域有種選擇，然后涂區(qū)域有種選擇，

若區(qū)域與區(qū)域同色，此時(shí)區(qū)域有種選擇，

若區(qū)域與區(qū)域不同色，則區(qū)域有種選擇，區(qū)域有種選擇，

故有種涂色方法．

故選：．

先涂區(qū)域，再涂區(qū)域，然后涂區(qū)域，分區(qū)域與區(qū)域同色、區(qū)域與區(qū)域不同色兩種情況討論，再結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可．

本題考查排列組合的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

4.【答案】

【解析】解：兩定圓、無公共點(diǎn)，它們的位置關(guān)系應(yīng)是外離或內(nèi)含．

設(shè)兩定圓、的半徑分別為，圓心的半徑為

當(dāng)兩圓外離時(shí)，，，，圓心是軌跡是雙曲線的一支；

當(dāng)兩圓內(nèi)含時(shí)，，，，圓心是軌跡是橢圓．

故選：．

兩定圓、無公共點(diǎn)，它們的位置關(guān)系應(yīng)是外離或內(nèi)含，分類，利用雙曲線、橢圓的定義，即可求得結(jié)論．

本題考查軌跡方程，考查雙曲線、橢圓的定義，屬于中檔題．

5.【答案】

【解析】解：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，可得圓的半徑為，

故答案為：．

由圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可得圓的半徑的值．

本題考查圓的半徑的求法，屬于基礎(chǔ)題．

6.【答案】或

【解析】解：由已知可得或，

解得或，又，，且，

所以或成立．

故答案為：或．

利用組合數(shù)公式建立方程即可求解．

本題考查了組合數(shù)公式，屬于基礎(chǔ)題．

7.【答案】

【解析】解：男生被抽中的概率為，

女生被抽中的概率也是，

則抽取人數(shù)為人．

故答案為：．

根據(jù)每個(gè)人抽取的概率相同進(jìn)行計(jì)算即可．

本題主要考查分層抽樣的應(yīng)用，根據(jù)男生和女生被抽到的概率相同進(jìn)行計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．

8.【答案】

【解析】解：首先排位同學(xué)到兩端，有種排法，

再排其余位同學(xué)與位老師，其中老師需相鄰，故有種排法，

按照分步乘法計(jì)數(shù)原理可得一共有種排法．

故答案為：．

首先排位同學(xué)到兩端、再排其余位同學(xué)與位老師，按照分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得．

本題考查了排列的應(yīng)用，考查分步乘法計(jì)數(shù)原理，屬于中檔題．

9.【答案】或

【解析】解：當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，

雙曲線的漸近線方程為，

由于雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)，所以，

由焦點(diǎn)到該漸近線的距離為，整理得，解得，故，

故雙曲線的方程為．

當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，

雙曲線的漸近線方程為，

由于雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)，所以，

由焦點(diǎn)到該漸近線的距離為，整理得，解得，故，

故雙曲線的方程為．

故答案為：或．

直接利用雙曲線的性質(zhì)求出雙曲線的方程．

本題考查的知識要點(diǎn)：雙曲線的方程的求法，雙曲線的性質(zhì)，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題和易錯題．

10.【答案】或

【解析】

【分析】

本題考查動圓經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)的求法，是基礎(chǔ)題．

由已知得，從而，由此能求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．

【解答】

解：，

，

解得或．

定點(diǎn)的坐標(biāo)是或

故答案為或

11.【答案】

【解析】

【分析】

本題主要考查了橢圓的定義和正弦定理的應(yīng)用．考查了學(xué)生對橢圓的定義的靈活運(yùn)用．

先利用橢圓的定義求得，進(jìn)而由正弦定理把原式轉(zhuǎn)換成邊的問題，進(jìn)而求得答案．

【解答】

解：利用橢圓定義得三角形的三邊存在，，

由正弦定理得．

故答案為．

12.【答案】

【解析】解：雙曲線：的漸近線方程為，

雙曲線與直線無交點(diǎn)，

，

即，

，．

故答案為：

由題意畫出圖形，再由雙曲線與直線無交點(diǎn)，可得，結(jié)合離心率公式求解雙曲線的離心率的取值范圍．

本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題．

13.【答案】

【解析】解：由題得從名成員中選人有種選法，

這人來自不同班級有三種情況：

兩人分別來自高一班和高二班，余下人來自其它個(gè)不同班級有種選法，

人來自高一班或高二班，余下人來自其它個(gè)班級有種選法，

人來自除高一班和高二班各的其它個(gè)班級有種選法，

則這人來自不同班級的選法共種，

故人來自不同班級的概率為．

故答案為：．

先求基本事件總數(shù)，再求人來自不同的班級包含的基本事件個(gè)數(shù)，即可求出這人來自不同班級的概率．

本題主要考查古典概型的問題，熟記概率的計(jì)算公式即可，屬于基礎(chǔ)題．

14.【答案】

【解析】解：取橢圓左焦點(diǎn)，連接，，，，易知四邊形為平行四邊形，即有，

設(shè)，則，故，

令，則，

易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

的最小值為，

即的最小值為．

故答案為：．

利用橢圓的定義設(shè)，則，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其范圍即可．

本題考查橢圓的定義及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，考查轉(zhuǎn)化思想及函數(shù)思想，屬于中檔題．

15.【答案】

【解析】解：由題意，在平面上，作，其中交直線于點(diǎn)，

很明顯，點(diǎn)是點(diǎn)形成的軌跡中的一點(diǎn)．

在上，作，直線分別與交于點(diǎn)、．

則，

在上的投影即為，

，

面．

．

又，

面．

動點(diǎn)在圓柱下底面內(nèi)包括圓周，

點(diǎn)形成的軌跡即為線段．

局部圖如下：

由圖可知，在中，．

同理，．

根據(jù)射影定理，有，即，．

在中，．

．

故答案為：．

本題先根據(jù)題意在立體圖形中找到點(diǎn)形成的軌跡，然后根據(jù)解直角三角形知識進(jìn)行計(jì)算．

本題主要考查空間想象能力，解直角三角形的知識，立體幾何計(jì)算能力．本題屬中檔題．

16.【答案】

【解析】解：不等式對一切恒成立，得出在和之間，

其排列方式只能為：“小大小大小”或“大小大小大”的方式，

這里的”大”“與“小“指相比兩旁的數(shù)大或小，

當(dāng)排列方式為“小大小大小”時(shí)，如：，，

當(dāng)、、在小，、在大的位置時(shí)，排列方式有種，

當(dāng)、、在小，，在大的位置時(shí)，必須、在一邊，、、在另一邊，排列方式有種，

合計(jì)種；

當(dāng)排列方式為“大小大小大”時(shí)，同理也有種，

合計(jì)有不同的排列方式種．

故答案為：．

先解不等式得出在和之間，然后分類討論即可．

本題考查排列組合的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

17.【答案】解：從甲組中選人，共有種，

從乙組中選人，共有種，

從甲組和乙組中各選人，共有種，

則由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，有種不同的選法；

當(dāng)這名男生選自甲組，共有種，

當(dāng)這名男生選自乙組，共有種，

則由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，有種不同的選法；

因?yàn)榕砀呋ゲ幌嗟龋鷱淖蟮接野锤甙樞蚺?，所以有種不同排法．

【解析】對選出的人進(jìn)行討論，再由分類加法計(jì)數(shù)原理得出答案；

以男生的選法進(jìn)行分類，再由分類加法計(jì)數(shù)原理得出答案；

由除序法求解即可．

本題考查排列組合的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

18.【答案】解：證明：連接，，為的中點(diǎn)，

，，且，

又，為的中點(diǎn)，

，且，

在中，，

，即，

又，，平面，

平面．

取的中點(diǎn)，連接、、，

由為的中點(diǎn)，知，，

直線與所成的角就是異面直線與所成角或其補(bǔ)角，

在中，，，

由平面，平面，所以，

是直角三角形斜邊上的中線，，

在中，由余弦定理可得：，

由于異面直線所成角的范圍為

所以異面直線與所成角的大小為．

【解析】連接，證明，，根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明結(jié)論；

取的中點(diǎn)，連接、、，找到異面直線與所成角，求出相關(guān)線段長，解三角形，即可求得答案．

本題考查線面垂直以及線面角的求法，屬于中檔題．

19.【答案】解：由題意得，則，故曲線段的函數(shù)關(guān)系式為，分

又得，所以定義域?yàn)榉?/p>

，設(shè)

由得，

，分

，，得直線方程為，分

得，故點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，

由即分

得時(shí)，，

所以，當(dāng)時(shí)，經(jīng)點(diǎn)至路程最近．分

【解析】由題意得，則，故曲線段的函數(shù)關(guān)系式為，可得其定義域；

，設(shè)與聯(lián)立求出，的坐標(biāo)，即可求出最短長度的取值范圍．

本題考查利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，確定函數(shù)關(guān)系是關(guān)鍵．

20.【答案】解：設(shè)，則，解得，

則，又，

所以，

所以直線的傾斜角為．

由題意得，設(shè)，，所以，，

又點(diǎn)在以線段為直徑的圓周上，所以，

設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，

所以，，

，

由可得，則，因此直線的方程為．

設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得．

所以，．

的方程為，令，則，

同理可得，

所以，

則，

即的取值范圍是．

【解析】由定義得出，再由斜率公式得出傾斜角；

聯(lián)立直線和拋物線方程，利用韋達(dá)定理以及得出直線的方程；

由韋達(dá)定理得出，兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再由面積公式得出的取值范圍．

本題主要考查拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的綜合，直線與圓的綜合，考查運(yùn)算求解能力，屬于難題．

21.【答案】解：橢圓：，

，，，

，又，

，；

由題意得直線斜率存在，設(shè)直線方程為，，

設(shè)，

則，

點(diǎn)在橢圓上