高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高考大題規(guī)范解答系列（三）-數(shù)列學(xué)案新人教版

高考大題規(guī)范解答系列(三)——數(shù)列考點(diǎn)一判斷等差數(shù)列和等比數(shù)列例1(2017·全國卷Ⅰ)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知S2＝2，S3＝－6.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)求Sn，并判斷Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差數(shù)列．【分析】(1)看到S2＝2，S3＝－6，想到S2＝a1＋a2，S3＝a1＋a2＋a3，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解．(2)看到判斷Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差數(shù)列，想到等差數(shù)列的等差中項(xiàng)，利用2Sn＝Sn＋1＋Sn＋2進(jìn)行證明．【標(biāo)準(zhǔn)答案】——規(guī)范答題步步得分(1)設(shè){an}的首項(xiàng)為a1，公比為q.由題設(shè)可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a11＋q＝2，,a11＋q＋q2＝－6，)) 2分eq\x(得分點(diǎn)①)解得q＝－2，a1＝－2. 4分eq\x(得分點(diǎn)②)故{an}的通項(xiàng)公式為an＝(－2)n. 6分eq\x(得分點(diǎn)③)(2)由(1)可得Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝－eq\f(2,3)＋(－1)neq\f(2n＋1,3)， 8分eq\x(得分點(diǎn)④)由于Sn＋2＋Sn＋1＝－eq\f(4,3)＋(－1)neq\f(2n＋3－2n＋2,3)＝2[－eq\f(2,3)＋(－1)neq\f(2n＋1,3)]＝2Sn， 11分eq\x(得分點(diǎn)⑤)故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差數(shù)列. 12分eq\x(得分點(diǎn)⑥)【評分細(xì)則】①列出關(guān)于首項(xiàng)為a1，公比為q的方程組得2分．②能夠正確求出a1和q得2分，只求對一個(gè)得1分，都不正確不得分．③正確寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式得2分．④正確計(jì)算出數(shù)列的前n項(xiàng)和得2分．⑤能夠正確計(jì)算出Sn＋1＋Sn＋2的值得2分，得出結(jié)論2Sn＝Sn＋1＋Sn＋2再得1分．⑥寫出結(jié)論得1分．【名師點(diǎn)評】1．核心素養(yǎng)：數(shù)列問題是高考的必考題，求數(shù)列的通項(xiàng)公式及判斷數(shù)列是否為等差或等比數(shù)列是高考的常見題型．本類題型重點(diǎn)考查“邏輯推理”及“數(shù)學(xué)運(yùn)算”的學(xué)科素養(yǎng)．2．解題技巧：(1)等差(或等比)數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式中有五個(gè)元素a1、d(或q)、n、an、Sn，“知三求二”是等差(等比)的基本題型，通過解方程的方法達(dá)到解題的目的．(2)等差、等比數(shù)列的判定可采用定義法、中項(xiàng)法等．如本題采用中項(xiàng)法得出2Sn＝Sn＋1＋Sn＋2.〔變式訓(xùn)練1〕(2021·四川省名校聯(lián)盟模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足2Sn＝－an＋n(n∈N*)．(1)求證：數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an－\f(1,2)))為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列{an－1}的前n項(xiàng)和Tn.[解析](1)證明：∵2Sn＝－an＋n，當(dāng)n＝1時(shí)，2a1＝－a1＋1，解得a1＝eq\f(1,3).當(dāng)n≥2時(shí)，2Sn－1＝－an－1＋n－1，兩式相減，得2an＝－an＋an－1＋1，即an＝eq\f(1,3)an－1＋eq\f(1,3).∴an－eq\f(1,2)＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an－1－\f(1,2)))，又a1－eq\f(1,2)＝－eq\f(1,6)≠0，∴數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an－\f(1,2)))為等比數(shù)列．(2)由(1)知，數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an－\f(1,2)))是以－eq\f(1,6)為首項(xiàng)，eq\f(1,3)為公比的等比數(shù)列．∴an－eq\f(1,2)＝－eq\f(1,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n－1＝－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n，∴an＝－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n＋eq\f(1,2)，∴an－1＝－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n－eq\f(1,2)，∴Tn＝eq\f(－\f(1,6)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n)),1－\f(1,3))－eq\f(n,2)＝eq\f(1,4)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n－1))－eq\f(n,2).考點(diǎn)二等差、等比數(shù)列的綜合問題例2(2020·天津，19,15分)已知{an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列，a1＝b1＝1，a5＝5(a4－a3)，b5＝4(b4－b3)．(1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；(2)記{an}的前n項(xiàng)和為Sn，求證：SnSn＋2<Seq\o\al(2,n＋1)(n∈N*)；(3)對任意的正整數(shù)n，設(shè)cn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3an－2bn,anan＋2)，n為奇數(shù)，,\f(an－1,bn＋1)，n為偶數(shù).))求數(shù)列{cn}的前2n項(xiàng)和．【分析】(1)看到求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式，想到求a1，b1，公差d和公比q.(2)看到求證SnSn＋2<Seq\o\al(2,n＋1)想到求出Sn并用作差比較法證明．(3)看到數(shù)列求和且cn通項(xiàng)分奇、偶，因此想到分組求和．【標(biāo)準(zhǔn)答案】——規(guī)范答題步步得分(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q.由a1＝1，a5＝5(a4－a3)，可得d＝1， 1分eq\x(得分點(diǎn)①)從而{an}的通項(xiàng)公式為an＝n. 2分eq\x(得分點(diǎn)②)由b1＝1，b5＝4(b4－b3)，又q≠0，可得q2－4q＋4＝0，解得q＝2， 3分eq\x(得分點(diǎn)③)從而{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝2n－1. 4分eq\x(得分點(diǎn)④)(2)證明：由(1)可得Sn＝eq\f(nn＋1,2)， 5分eq\x(得分點(diǎn)⑤)故SnSn＋2＝eq\f(1,4)n(n＋1)(n＋2)(n＋3)，Seq\o\al(2,n＋1)＝eq\f(1,4)(n＋1)2·(n＋2)2， 6分eq\x(得分點(diǎn)⑥)從而SnSn＋2－Seq\o\al(2,n＋1)＝－eq\f(1,2)(n＋1)(n＋2)<0，所以SnSn＋2<Seq\o\al(2,n＋1). 8分eq\x(得分點(diǎn)⑦)(3)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，cn＝eq\f(3an－2bn,anan＋2)＝eq\f(3n－22n－1,nn＋2)＝eq\f(2n＋1,n＋2)－eq\f(2n－1,n)； 9分eq\x(得分點(diǎn)⑧)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，cn＝eq\f(an－1,bn＋1)＝eq\f(n－1,2n). 10分eq\x(得分點(diǎn)⑨)對任意的正整數(shù)n，有eq\i\su(k＝1,n,c)2k－1＝eq\i\su(k＝1,n,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(22k,2k＋1)－\f(22k－2,2k－1)))＝eq\f(22n,2n＋1)－1， 11分eq\x(得分點(diǎn)⑩)和eq\i\su(k＝1,n,c)2k＝eq\i\su(k＝1,n,)eq\f(2k－1,4k)＝eq\f(1,4)＋eq\f(3,42)＋eq\f(5,43)＋…＋eq\f(2n－1,4n).① 12分eq\x(得分點(diǎn)?)由①得eq\f(1,4)eq\i\su(k＝1,n,c)2k＝eq\f(1,42)＋eq\f(3,43)＋…＋eq\f(2n－3,4n)＋eq\f(2n－1,4n＋1).②由①－②得eq\f(3,4)eq\i\su(k＝1,n,c)2k＝eq\f(1,4)＋eq\f(2,42)＋…＋eq\f(2,4n)－eq\f(2n－1,4n＋1)＝eq\f(\f(2,4)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4n))),1－\f(1,4))－eq\f(1,4)－eq\f(2n－1,4n＋1)，從而得eq\i\su(k＝1,n,c)2k＝eq\f(5,9)－eq\f(6n＋5,9×4n). 14分eq\x(得分點(diǎn)?)因此，eq\i\su(k＝1,2n,c)k＝eq\i\su(k＝1,n,c)2k－1＋eq\i\su(k＝1,n,c)2k＝eq\f(4n,2n＋1)－eq\f(6n＋5,9×4n)－eq\f(4,9).所以，數(shù)列{cn}的前2n項(xiàng)和為eq\f(4n,2n＋1)－eq\f(6n＋5,9×4n)－eq\f(4,9). 15分eq\x(得分點(diǎn)?)【評分細(xì)則】①正確寫出關(guān)于d的方程，求對d得1分．②求對an的通項(xiàng)公式得1分．③正確寫出關(guān)于q的一元二次方程，求對q得1分．④求對bn的通項(xiàng)公式得1分．⑤求對Sn的公式得1分．⑥求對SnSn＋2，Seq\o\al(2,n＋1)得1分．⑦求對SnSn＋2－Seq\o\al(2,n＋1)的結(jié)果并證出結(jié)論得2分．⑧求對n為奇數(shù)時(shí)cn得1分．⑨求對n為偶數(shù)時(shí)cn得1分．⑩求對n＝2k－1時(shí)eq\i\su(k＝1,n,c)2k－1得1分．?寫出n＝2k時(shí)eq\i\su(k＝1,n,c)2k得1分．?用錯(cuò)位相減法求對eq\i\su(k＝1,n,c)2k的求和得2分．?求對cn的前2n項(xiàng)和得1分．【名師點(diǎn)評】1．核心素養(yǎng)：數(shù)列的前n項(xiàng)和是高考重點(diǎn)考查的知識點(diǎn)，錯(cuò)位相減法是高考考查的重點(diǎn)，突出考查“數(shù)學(xué)運(yùn)算”的核心素養(yǎng)．2．解題技巧：(1)熟記等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，解題時(shí)結(jié)合實(shí)際情況合理選擇．如第(1)問運(yùn)用了等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．(2)運(yùn)用作差比較法證明SnSn＋2<Seq\o\al(2,n＋1).(3)本問的關(guān)鍵有兩點(diǎn)：一是分類分別求cn的通項(xiàng)；二是當(dāng)n＝2k時(shí)用錯(cuò)位相減法求c2k的和．〔變式訓(xùn)練2〕(2018·天津，18)設(shè){an}是等比數(shù)列，公比大于0，其前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*)，{bn}是等差數(shù)列．已知a1＝1，a3＝a2＋2，a4＝b3＋b5，a5＝b4＋2b6.(1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和為Tn(n∈N*)．①求Tn；②證明：eq\i\su(k＝1,n,)eq\f(Tk＋bk＋2bk,k＋1k＋2)＝eq\f(2n＋2,n＋2)－2(n∈N*)．[解析](1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0)．由a1＝1，a3＝a2＋2，可得q2－q－2＝0.因?yàn)閝>0，可得q＝2，故an＝2n－1.設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d.由a4＝b3＋b5，可得b1＋3d＝4.由a5＝b4＋2b6，可得3b1＋13d＝16，從而b1＝1，d＝1，故bn＝n.所以，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－1，數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝n.(2)①由(1)，有Sn＝eq\f(1－2n,1－2)＝2n－1，故Tn＝eq\i\su(k＝1,n,)(2k－1)＝eq\i\su(k＝1,n,2)k－n＝eq\f(2×1－2n,1－2)－n＝2n＋1－n－2.②證明：因?yàn)閑q\f(Tk＋bk＋2bk,k＋1k＋2)＝eq\f(2k＋1－k－2＋k＋2k,k＋1k＋2)＝eq\f(k·2k＋1,k＋1k＋2)＝eq\f