高等數(shù)學(xué)三重積分課件

第三節(jié)一、三重積分的概念

二、三重積分的計(jì)算三重積分第十章第三節(jié)一、三重積分的概念二、三重積分的計(jì)算三重積分1一、三重積分的概念

類似二重積分解決問(wèn)題的思想,采用引例:設(shè)在空間有限閉區(qū)域內(nèi)分布著某種不均勻的物質(zhì),求分布在內(nèi)的物質(zhì)的可得“分割作近似，求和取極限！”解決方法:質(zhì)量

M.密度函數(shù)為一、三重積分的概念類似二重積分解決問(wèn)題的思想,采用引例2定義.

設(shè)存在,稱為體積元素,

若對(duì)作任意分割:任意取點(diǎn)則稱此極限為函數(shù)在上的三重積分.在直角坐標(biāo)系下常寫(xiě)作三重積分的性質(zhì)與二重積分相似.性質(zhì):例如下列“乘中值定理.在有界閉域上連續(xù),則存在使得V為的體積,

積和式”極限記作定義.設(shè)存在,稱為體積元素,若對(duì)作任意分割:任3二、三重積分的計(jì)算1.利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分方法1.投影法(“先一后二”)方法2.截面法(“先二后一”)然后，結(jié)合二重積分的方法即可轉(zhuǎn)化為三次積分。先假設(shè)連續(xù)函數(shù)最后,推廣到一般可積函數(shù)的定積分計(jì)算.這里只敘述三重積分轉(zhuǎn)化為三次積分的方法:二、三重積分的計(jì)算1.利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分方法1.4方法1.投影法(“先一后二”)則有：記作方法1.投影法(“先一后二”)則有：記作5方法2.截面法(“先二后一”)則有：記作方法2.截面法(“先二后一”)則有：記作6投影法三次積分的轉(zhuǎn)化方法：設(shè)區(qū)域利用投影法結(jié)果,把二重積分化成二次積分即得:投影法三次積分的轉(zhuǎn)化方法：設(shè)區(qū)域利用投影法結(jié)果,把二重積分7當(dāng)被積函數(shù)在積分域上變號(hào)時(shí),因?yàn)榫鶠闉榉秦?fù)函數(shù)根據(jù)重積分性質(zhì)仍可用前面介紹的方法計(jì)算.當(dāng)被積函數(shù)在積分域上變號(hào)時(shí),因?yàn)榫鶠闉榉秦?fù)函數(shù)根據(jù)重積分性8其中

為三個(gè)坐標(biāo)例1.

計(jì)算三重積分所圍成的閉區(qū)域.解:面及平面其中為三個(gè)坐標(biāo)例1.計(jì)算三重積分所圍成的閉區(qū)域.解:9例2.計(jì)算三重積分解:

用“先二后一”例2.計(jì)算三重積分解:用“先二后一”10小結(jié):直角坐標(biāo)下三重積分的計(jì)算方法方法1.“先一后二”方法2.“先二后一”注：“三次積分”的計(jì)算：小結(jié):直角坐標(biāo)下三重積分的計(jì)算方法方法1.“先一后二”112.利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分

就稱為點(diǎn)M的柱面坐標(biāo).直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系:坐標(biāo)面分別為圓柱面半平面平面2.利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分就稱為點(diǎn)M的柱面坐標(biāo).直12如圖所示,在柱面坐標(biāo)系中體積元素為因此其中適用范圍:1)積分域表面用柱面坐標(biāo)表示時(shí)方程簡(jiǎn)單;2)被積函數(shù)用柱面坐標(biāo)表示時(shí)變量互相分離.如圖所示,在柱面坐標(biāo)系中體積元素為因此其中適用范圍:1)13其中為例3.計(jì)算三重積分所解:在柱面坐標(biāo)系下及平面由柱面圍成半圓柱體.其中為例3.計(jì)算三重積分所解:在柱面坐標(biāo)系下及平面14例4.

計(jì)算三重積分解:在柱面坐標(biāo)系下所圍成.與平面其中由拋物面原式=例4.計(jì)算三重積分解:在柱面坐標(biāo)系下所圍成.與平面其中153.利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分

就稱為點(diǎn)M的球面坐標(biāo).直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系坐標(biāo)面分別為球面半平面錐面3.利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分就稱為點(diǎn)M的球面坐標(biāo).直16如圖所示,在球面坐標(biāo)系中體積元素為因此有其中適用范圍:1)積分域表面用球面坐標(biāo)表示時(shí)方程簡(jiǎn)單;2)被積函數(shù)用球面坐標(biāo)表示時(shí)變量互相分離.如圖所示,在球面坐標(biāo)系中體積元素為因此有其中適用范圍:1)17例5.計(jì)算三重積分解:在球面坐標(biāo)系下所圍立體.其中

與球面例5.計(jì)算三重積分解:在球面坐標(biāo)系下所圍立體.其中與18內(nèi)容小結(jié)積分區(qū)域多由坐標(biāo)面被積函數(shù)形式簡(jiǎn)潔,或坐標(biāo)系體積元素適用情況直角坐標(biāo)系柱面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系變量可分離.圍成;內(nèi)容小結(jié)積分區(qū)域多由坐標(biāo)面被積函數(shù)形式簡(jiǎn)潔,或坐標(biāo)系191.

將用三次積分表示,其中由所提示:思考與練習(xí)六個(gè)平面圍成,1.將用三次積分表示,其中由所提示:思考與練習(xí)六個(gè)平201.

設(shè)由錐面和球面所圍成,計(jì)算提示: