2023學年高考模擬試卷圓錐曲線大題綜合 學生版

【2023屆新高考必刷】■■■■大■■臺

1.(2023春?江蘇揚州?高三統(tǒng)考開學考試)已知AB為拋物線G：娟=2PMp>0)的弦,點。在拋物線

的準線/上.當AB過拋物線焦點R且長度為8時，4R中點河到y(tǒng)軸的距離為3.

(1)求拋物線G的方程；

(2)若乙4cB為直角，求證:直線過定點.

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2.(2023?江蘇泰州?統(tǒng)考一模)已知雙曲線(7：與一9=1(&>0,6>0)的左頂點為>1,過左焦點口的

ab

直線與C交于P,Q兩點.當PQ_Lz軸時，|P*=的面積為3.

(1)求C的方程；

(2)證明：以PQ為直徑的圓經(jīng)過定點.

3.(2023秋?浙江絡(luò)興?龍三期末)在平面直角坐標系xOy中，已知點>1(-2,0),5(2,0)，直線PA與直

線P3的斜率之積為-J，記動點P的軌跡為曲線C.

4

(1)求曲線C的方程；

⑵若直線=+與曲線C交于A/,N兩點,直線舷4,NB與y軸分別交于兩點，若瓦5

=3詬，求證:直線，過定點.

4.(2023秋?淅江?高三期末)已知點A(竽，竽)是雙曲線，■一￡=l(a>0,90)上一點，3與

力關(guān)于原點對稱，E是右焦點，/AFB=3

(1)求雙曲線的方程；

(2)已知圓心在y軸上的圓C經(jīng)過點P(-4,0),與雙曲線的右支交于點且直線MN經(jīng)過R,求

圓。的方程.

5.(2023叁?廣東揖用?高三?？茧A盤練習)已知拋物線￡：/=2*(0>0)的焦點為尸，點F關(guān)于直線

y=^-x-+4的對稱點恰好在y軸上.

(1)求拋物線E的標準方程；

(2)直線Z:y=%(；r-2)(kA通)與拋物線E交于4,6兩點,線段43的垂直平分線與工軸交于點

C,若。(6,0),求*［的最大值.

6.(2023?湖南邳用?線考二模)已知雙曲線C：￡—方=l(0<a〈10,b〉0)的右頂點為A,左焦點

F(-c,0)到其漸近線bx+ay=0的距離為2,斜率為。的直線。交雙曲線C于45兩點，且\AB\

_8V10

3,

(1)求雙曲線。的方程；

(2)過點T(6,0)的直線L與雙曲線C交于P,Q兩點，直線AP,AQ分別與直線/=6相交于N

兩點，試問：以線段MN為直徑的圓是否過定點？若過定點,求出定點的坐標；若不過定點,請說明理

由.

7.（2023春?湖南長沙?商三雅札中學校才階段練習）定義:一般地，當，>0且1時，我們把方程，

+1=，3>6>。）表示的橢圓G稱為橢圓「+<=13>6>。）的相似橢圓.

⑴如圖，已知E（—VJ,0）,E（g,0）,M為。。：/+才=4上的動點,延長印11至點N,使得IM7VI=

|尚：|,尸山的垂直平分線與用N交于點P,記點P的軌跡為曲線C,求G的方程;

⑵在條件⑴下，已知橢圓G是橢圓C的相似橢圓，M,N是橢圓G的左右頂點.點Q是G上異

于四個頂點的任意一點，當/=e"e為曲線。的離心率）時,設(shè)直線QM與橢圓C交于點4,6,直線

QN、與橢圓。交于點D,E，求\AB\+|DE|的值.

8.(2023-湖北武漢?穌考模根fl測)過坐標原點。作圓C：(./；+2),-'+y--=3的兩條切線，設(shè)切點為/>

,Q,直線尸。恰為拋物E：婿=2px,(p>0)的準線.

(1)求拋物線E的標準方程：

(2)設(shè)點T是圓。上的動點,拋物線E上四點滿足：TA=2TM,T§=2前，設(shè)4B中點為

D.

⑴求直線TO的斜率；

(")設(shè)△TAB面積為S,求S的最大值.

9.(2023*山東?潭坊一中校聯(lián)考模根覆測)已知R為拋物線C-.y2=2px(p>0)的焦點，O為坐標原點,

M為。的準線/上的一點，直線上"的斜率為-1,2i。網(wǎng)0的面積為1.

(1)求C的方程；

(2)過點F作一條直線「，交。于兩點，試問在/上是否存在定點N,使得直線NA與NB的斜率

之和等于直線NF斜率的平方？若存在，求出點N的坐標;若不存在,請說明理由.

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10.(2023?山東瘠澤?統(tǒng)考一模)如圖，橢圓。：春■+方=l(a>b>0)的焦點分別為尸|(—一,0)

為橢圓。上一點，△口4丹的面積最大值為一.

(1)求橢圓。的方程；

(2)若B、D分別為橢圓C的上、下頂點,不垂直坐標軸的直線I交橢圓C于P、Q(P在上方，Q在下

方，且均不與盡。點重合)兩點,直線PB,QD的斜率分別為如口，且a=-3fc,，求APBQ面積的最

大值.

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n.(2023?福建泉州?統(tǒng)考三模)已知橢圓C：9+《=1的左、右頂點分別為/I,B.直線/與。相切,

且與圓。:小+才=4交于A/,N兩點，A/在N的左側(cè).

(1)若|MN|=￥■，求/的斜率；

D

(2)記直線AM,5N的斜率分別為七七，證明：卜他為定值.

12.(2023*江蘇南通?統(tǒng)考模擬理測)已知4孫/)，B(g,紡)，C(g,%)三個點在橢圓冬+姬=1,橢圓

外一點P滿足=2而，麗=2爐，(O為坐標原點).

(1)求xxx2+2助紡的值；

(2)證明：直線力。與OB斜率之積為定值.

13.(2023-浙江基興?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知拋物線C：y-=2m；(?)>()),過焦點”的直線交拋物線。于4

B兩點，且=

(1)求拋物線。的方程；

(2)若點P(4,4)，直線PA,P8分別交準線，于“，N兩點,證明：以線段MN為直徑的圓過定點.

27/2

14.(2023-江蘇連云港?統(tǒng)考模擬覆測)已知橢圓E：。+旨=l(a>b>0)的焦距為2小,且經(jīng)過點

ao-

P(-V3,y).

(1)求橢圓E的標準方程：

(2)過橢圓E的左焦點E作直線I與橢圓E相交于46兩點(點力在z軸上方)，過點4B分別作

橢圓的切線,兩切線交于點求的最大值.

\MFX\

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15.(2023春?江蘇常州?高三校底考開學考試)已知點P(2,-1)在橢圓C：寫+?/告=l(a>b>0)上,

ab~

。的長軸長為4方，直線=+M與。交于A6兩點，直線P4PB的斜率之積為

(1)求證：k為定值；

(2)若直線I與力軸交于點Q,求|Q42+IQ4的值.

16.(2023春?江蘇蘇州?商三統(tǒng)才開學才武)已知拋物線y2=a2x的焦點也是離心率為4的橢圓4+

乙Cb

2

^-=l(a>b>0)的一個焦點F.

(1)求拋物線與橢圓的標準方程；

(2)設(shè)過尸的直線/交拋物線于4、交橢圓于C、。，且人在B左側(cè)，。在。左側(cè)，4在。左側(cè).設(shè)

a-\AC\,b=(J\CD\,c=\DB\.

①當〃=2時,是否存在直線/,使得a,b,c成等差數(shù)列？若存在，求出直線I的方程；若不存在，說明

理由；

②若存在直線I,使得a,b,c成等差數(shù)列，求〃的范圍.

22/2

17.(2023<-江蘇無得?高三統(tǒng)考期末)已知橢圓G：1+(=l(a>b>())的右焦點F和拋物線C2：

2

y=2pX(p>0)的焦點重合，且G和。的一個公共點是(弓，2乎卜

⑴求G和G的方程；

(2)過點R作直線，分別交橢圓于4B,交拋物線a于P,Q,是否存在常數(shù)，，使--^Q為定

值？若存在，求出1的值;若不存在，說明理由.

2

18.(2023我?江蘇?高三統(tǒng)考期末)如圖，已知橢圓號+娟=1的左右頂點分別為點。是橢圓上

異于4g的動點，過原點。平行于力。的直線與橢圓交于點M,N,4。的中點為點O,直線OD與橢

圓交于點P,Q,點P,CM在立軸的上方.

(1)當14cl=/時，求cosZPOM；

(2)求|PQ“MN|的最大值.

19.(2023-淅江?校聯(lián)考模擬預(yù)測)設(shè)雙曲線C：￡一￡=1的右焦點為F(3,0),尸到其中一條漸近線

的距離為2.

(1)求雙曲線。的方程；

⑵過R的直線交曲線。于力，5兩點(其中力在第一象限),交直線,于點河，

八十\AF\-\BM\后

⑴求的值1Vl;

⑻過M平行于04的直線分別交直線OB、c軸于P,Q,證明：=|PQ|.

20.(2023春?淅江緡興?高三統(tǒng)考開學考試)在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：^-+y2=l

(1)設(shè)P是橢圓。上的一個動點，求凡?通的取值范圍；

(2)設(shè)與坐標軸不垂直的直線/交橢圓。于兩點,試問：是否存在滿足條件的直線I，使得

△MBN是以B為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，求出直線，的方程，若不存在,請說明理由.

21.(2023春?淅江?商三開學考武)已知橢圓C："+，=l(a>b>0)的離心率為擊，且經(jīng)過點M

(一2,0),或片為橢圓。的左右焦點，Q(與，例)為平面內(nèi)一個動點，其中網(wǎng)>0,記直線QR與橢圓C

在7軸上方的交點為直線與橢圓。在⑦軸上方的交點為B(g,佻).

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)①若AF->//BF\，證明：--"I■--=」-；

Vi仇V。

②若|QE|+IQ凡|=3,探究物,外優(yōu)之間關(guān)系.

22.(2023卷?浙江溫州?高三穌考開學考試)如圖，橢圓孚+/=1的左右焦點分別為E，B，點

P5,防)是第一象限內(nèi)橢圓上的一點，經(jīng)過三點P，E，8的圓與沙軸正半軸交于點力((),汕)，經(jīng)過點

5(3,0)且與g軸垂直的直線I,與直線4P交于點Q.

(1)求證:物幼=1.

(2)試問：上軸上是否存在不同于點B的定點滿足當直線MP,MQ的斜率存在時，兩斜率之積為

定值？若存在定點”,求出點M的坐標及該定值;若不存在,請說明理由.

-2/

23.(2023卷?廣東?商三校屐耆階盤練習)已知雙曲線E：章■一方=l(a>0,b>0)的右頂點為

4(2,0)，直線I過點P(4,0),當直線I與雙曲線E有且僅有一個公共點時，點A到直線I的距離為

2V5

(1)求雙曲線E的標準方程；

(2)若直線Z與雙曲線E交于兩點，且立軸上存在一點。(。0),使得AMQP=4VQP恒成立，

求t.

24.（2023?廣東梅州?鈍寺一模）已知動圓Af經(jīng)過定點耳（一，^,0）,且與圓K：（立一3）2+/=16內(nèi)切.

（1）求動圓圓心M的軌跡。的方程；

（2）設(shè)軌跡。與工;軸從左到右的交點為點A,B,點P為軌跡。上異于的動點，設(shè)交直線x=

4于點T,連結(jié)4r交軌跡。于點Q.直線AP、AQ的斜率分別為卜”、kAQ.

⑴求證：用心心。為定值；

（次）證明直線PQ經(jīng)過2軸上的定點，并求出該定點的坐標.

2

25.（2023春?湖北武漢?高三華中苒大一府中校才階段練習）已知雙曲線E：1--靖=1與直線心"=

k力—3相交于46兩點，A7為線段AK的中點.

（1）當看變化時，求點A/的軌跡方程；

（2）若，與雙曲線E的兩條漸近線分別相交于C、D兩點，問：是否存在實數(shù)卜,使得4、B是線段CD

的兩個三等分點？若存在，求出k的值;若不存在，說明理由.

26.(2023?山東?日展一中?？寄０逖轀y)已知雙曲線C：與一《=l(a>O,b>0)的左、右焦點分別為

ab

口,生,斜率為一3的直線，與雙曲線。交于兩點，點河(4,—2g)在雙曲線。上，且|町|?|叱］

=24.

⑴求△ME凡的面積；

⑵若加+而=0(0為坐標原點)，點N(3,1)，記直線的斜率分別為品，后，問：島?上是否

為定值？若是,求出該定值;若不是，請說明理由.

27.(2023秋.山東泰安.商三統(tǒng)考期末)已知橢圓&.+〈=1(&>6>0)過41,三)，同伍冬)

兩點.

(1)求橢圓E的方程；

(2)已知Q(4,0),過P(l,0)的直線/與E交于N兩點，求證

22

28.(2023?浙江?模擬fl測)已知雙曲線E：。-《