江蘇省南京市2023屆高三二模數(shù)學試題含答案

南京市2023屆高三年級第二次模擬考試數(shù)學注意事項：1．本試卷考試時間為120分鐘，試卷滿分150分，考試形式閉卷．2．本試卷中所有試題必須作答在答題卡上規(guī)定的位置，否則不給分．3．答題前，務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在試卷及答題卡上．第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上．1.集合的子集個數(shù)為（）A.2 B.4 C.8 D.162.已知復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則為（）A. B. C. D.3.在中，角，，的對邊分別為，，．若，則角的大小為（）A. B. C. D.4.在運動會中，甲、乙、丙參加了跑步、鉛球、標槍三個項目，每人參加的比賽項目不同．已知①乙沒有參加跑步；②若甲參加鉛球，則丙參加標槍；③若丙沒有參加鉛球，則甲參加鉛球．下列說法正確的為（）A丙參加了鉛球 B.乙參加了鉛球C.丙參加了標槍 D.甲參加了標槍5.大衍數(shù)列來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數(shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生即太極生兩儀原理，如圖所示（圖中表示太極，表示陽儀、表示陰儀）．若數(shù)列的每一項都代表太極衍生過程中經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，即為天一對應(yīng)的經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和0，為衍生到地二時經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和2，為衍生到天三時經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和4，…，按此規(guī)律，則為（）A.84 B.98 C.112 D.1286.直角三角形中，斜邊長為2，繞直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成一個幾何體．若該幾何體外接球表面積為，則長為（）A. B.1 C. D.7.已知橢圓，為其左焦點，直線與橢圓交于點，，且．若，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.8.已知函數(shù)是定義在上的可導函數(shù)，其導函數(shù)為．若對任意有，，且，則不等式的解集為（）A B. C. D.二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上．全部選對得5分，部分選對得2分，不選或有錯選的得0分．9.在的展開式中（）A.常數(shù)頊為160 B.含項的系數(shù)為60C.第4項的二項式系數(shù)為15 D.所有項的系數(shù)和為110.若實數(shù)，滿足，則（）A. B. C. D.11.已知函數(shù)，．下列說法正確為（）A.若，則函數(shù)與的圖象有兩個公共點B.若函數(shù)與的圖象有兩個公共點，則C.若，則函數(shù)有且僅有兩個零點D.若在和處的切線相互垂直，則12.已知四棱柱的底面為正方形，，，則（）A.點在平面內(nèi)的射影在上B平面C.與平面的交點是的重心D.二面角的大小為三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上．13.若直線被圓截得的弦長為2，則實數(shù)的值為___________．14.冪函數(shù)滿足：任意有，且，請寫出符合上述條件的一個函數(shù)___________．15.一個袋子中有個紅球和5個白球，每次從袋子中隨機摸出2個球．若“摸出的兩個球顏色不相同”發(fā)生的概率記為，則的最大值為___________．16.大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（如圖1）．某數(shù)學興趣小組類比“趙爽弦圖”構(gòu)造出圖2：為正三角形，，，圍成的也為正三角形．若為的中點，①與的面積比為___________；②設(shè)，則___________．四、解答題：本大題共6小題，共70分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知，．（1）若函數(shù)圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離為，求的值；（2）若函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，且函數(shù)在上單調(diào)，求的值．18.已知數(shù)列的前項和為，，，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求證：．19.在梯形中，，，，，如圖1．現(xiàn)將沿對角線折成直二面角，如圖2，點在線段上．（1）求證：；（2）若點到直線的距離為，求的值．20.進行獨立重復(fù)試驗，設(shè)每次成功的概率為，則失敗的概率為，將試驗進行到恰好出現(xiàn)次成功時結(jié)束試驗，以表示試驗次數(shù)，則稱服從以，為參數(shù)的帕斯卡分布或負二項分布，記為．（1）若，求；（2）若，，．①求；②要使得在次內(nèi)結(jié)束試驗的概率不小于，求的最小值．21已知函數(shù)，．（1）若，求證：；（2）若關(guān)于的不等式的解集為集合，且，求實數(shù)的取值范圍．22.已知拋物線和圓．（1）若拋物線的準線與軸相交于點，是過焦點的弦，求的最小值；（2）已知，，是拋物線上互異的三個點，且點異于原點．若直線，被圓截得的弦長都為2，且，求點的坐標．南京市2023屆高三年級第二次模擬考試數(shù)學注意事項：1．本試卷考試時間為120分鐘，試卷滿分150分，考試形式閉卷．2．本試卷中所有試題必須作答在答題卡上規(guī)定的位置，否則不給分．3．答題前，務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在試卷及答題卡上．第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上．1.集合的子集個數(shù)為（）A.2 B.4 C.8 D.16【答案】B【解析】，故子集個數(shù)為，故選：B2.已知復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，則，故選：C3.在中，角，，的對邊分別為，，．若，則角的大小為（）A B. C. D.【答案】B【解析】，即，即，，則，，則，故，，故，，故選：B4.在運動會中，甲、乙、丙參加了跑步、鉛球、標槍三個項目，每人參加的比賽項目不同．已知①乙沒有參加跑步；②若甲參加鉛球，則丙參加標槍；③若丙沒有參加鉛球，則甲參加鉛球．下列說法正確的為（）A.丙參加了鉛球 B.乙參加了鉛球C.丙參加了標槍 D.甲參加了標槍【答案】A【解析】由①乙沒有參加跑步，則乙參加鉛球或標槍，若乙參加鉛球，則丙就沒有參加鉛球，由③可知甲參加鉛球，故矛盾，所以乙參加標槍，顯然丙沒有參加標槍，則丙參加鉛球，甲參加跑步，綜上可得：甲參加跑步，乙參加標槍，丙參加鉛球，故選：A5.大衍數(shù)列來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數(shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生即太極生兩儀原理，如圖所示（圖中表示太極，表示陽儀、表示陰儀）．若數(shù)列的每一項都代表太極衍生過程中經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，即為天一對應(yīng)的經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和0，為衍生到地二時經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和2，為衍生到天三時經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和4，…，按此規(guī)律，則為（）A.84 B.98 C.112 D.128【答案】C【解析】表示衍生到天十五時經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，則.故選：C6.直角三角形中，斜邊長為2，繞直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成一個幾何體．若該幾何體外接球表面積為，則長為（）A. B.1 C. D.【答案】D【解析】設(shè)，因為，所以，繞直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成一個幾何體為圓錐，設(shè)圓錐外接球的半徑為，所以，解得，設(shè)外接球的球心為，則球心在直線上，所以，解得.故選：D7.已知橢圓，為其左焦點，直線與橢圓交于點，，且．若，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)橢圓的右焦點為，連接，，故四邊形為平行四邊形，設(shè)，，則，，，，中，，整理得到，即，故，故選：A8.已知函數(shù)是定義在上的可導函數(shù)，其導函數(shù)為．若對任意有，，且，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)，則恒成立，故函數(shù)在上單調(diào)遞增.，則，即，故.，即，即，故，解得.故選：D二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上．全部選對得5分，部分選對得2分，不選或有錯選的得0分．9.在的展開式中（）A.常數(shù)頊為160 B.含項的系數(shù)為60C.第4項的二項式系數(shù)為15 D.所有項的系數(shù)和為1【答案】BD【解析】展開式的通項為.對選項A：取得到常數(shù)項為，錯誤；對選項B：取得到含項的系數(shù)為，正確；對選項C：取得到第4項的二項式系數(shù)為，錯誤；對選項D：取得到所有項的系數(shù)和為，正確.故選：BD10.若實數(shù)，滿足，則（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】對選項A：，故，正確；對選項B：，正確；對選項C：取，滿足，此時不成立，錯誤；對選項D：取，滿足，此時，錯誤.故選：AB11.已知函數(shù)，．下列說法正確的為（）A.若，則函數(shù)與的圖象有兩個公共點B.若函數(shù)與的圖象有兩個公共點，則C.若，則函數(shù)有且僅有兩個零點D.若在和處的切線相互垂直，則【答案】BCD【解析】對選項A：，故（無解）或，，錯誤；對選項B：，故或，故，且，解得，正確；對選項C：取，則，，，則，設(shè)，在上恒成立，則在上單調(diào)遞增，則，故，，則，或，正確；對選項D：當和同時為正或者同時為負時不成立，不妨設(shè)，，，，則，故，正確.故選：BCD12.已知四棱柱的底面為正方形，，，則（）A.點在平面內(nèi)的射影在上B.平面C.與平面的交點是的重心D.二面角的大小為【答案】ACD【解析】設(shè)，，，正方形的邊長為1，則，，，對選項A：，，根據(jù)對稱性知，點在平面內(nèi)的射影在的角平分線上，即在上，正確；對選項B：，，，錯誤；對選項C：設(shè)，相交于，與交于點，即為與平面的交點，則，為中邊上的中線，故為的重心，正確；對選項D：連接與相交于，連接，根據(jù)對稱性知，又，平面，平面，故為二面角的平面角，，故，故，，，故，正確故選：ACD.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查了空間幾何投影，垂直關(guān)系，二面角，意在考查學生的計算能力，空間想象能力和綜合應(yīng)用能力，其中，把空間關(guān)系的證明轉(zhuǎn)化為空間向量的運算，可以簡化過程，是解題的關(guān)鍵.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上．13.若直線被圓截得的弦長為2，則實數(shù)的值為___________．【答案】1【解析】，則，圓心為，半徑，弦長為2，則直線過圓心，即，解得.14.冪函數(shù)滿足：任意有，且，請寫出符合上述條件的一個函數(shù)___________．【答案】（答案不唯一）【解析】取，則定義域為R，且，，，滿足.15.一個袋子中有個紅球和5個白球，每次從袋子中隨機摸出2個球．若“摸出的兩個球顏色不相同”發(fā)生的概率記為，則的最大值為___________．【答案】【解析】，對勾函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當或時，有最小值為，故.16.大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（如圖1）．某數(shù)學興趣小組類比“趙爽弦圖”構(gòu)造出圖2：為正三角形，，，圍成的也為正三角形．若為的中點，①與的面積比為___________；②設(shè)，則___________．【答案】①.②.【解析】如圖：連接，由題意知，且分別為的中點，，所以，,得.，，化簡得，所以四、解答題：本大題共6小題，共70分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知，．（1）若函數(shù)圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離為，求的值；（2）若函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，且函數(shù)在上單調(diào)，求的值．【解析】（1）因為，因為函數(shù)圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離為，所以，則，所以，解得，所以，所以.（2）由，函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，所以，，所以，，由，，則，又函數(shù)在上單調(diào)，所以，解得，所以當時.18.已知數(shù)列的前項和為，，，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求證：．【解析】（1），則，整理得到，故，故是常數(shù)列，故，即，當時，，驗證時滿足，故（2），故.19.在梯形中，，，，，如圖1．現(xiàn)將沿對角線折成直二面角，如圖2，點在線段上．（1）求證：；（2）若點到直線的距離為，求的值．【解析】（1），，，故，則，即，又平面平面，平面平面，，平面，故平面，平面，則，又，，平面，所以平面，又平面，則.（2）設(shè)中點為，中點為，以為軸建立空間直角坐標系，如圖所示：有，設(shè)，則，設(shè)，則，則，，，點到直線的距離為，則，即，即，解得，所以.20.進行獨立重復(fù)試驗，設(shè)每次成功的概率為，則失敗的概率為，將試驗進行到恰好出現(xiàn)次成功時結(jié)束試驗，以表示試驗次數(shù)，則稱服從以，為參數(shù)的帕斯卡分布或負二項分布，記為．（1）若，求；（2）若，，．①求；②要使得在次內(nèi)結(jié)束試驗的概率不小于，求的最小值．【解析】（1）因為，所以.（2）①因為，，，所以，，所以；②由①可知，所以，令，則，所以單調(diào)遞減，又，，所以當時，則的最小值為.21.已知函數(shù)，．（1）若，求證：；（2）若關(guān)于不等式的解集為集合，且，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）若，則，，所以，又與在上單調(diào)遞增，所以