函數(shù)的基本性質(zhì)課件

第一章集合與函數(shù)概念集合與函數(shù)概念第一章第一章集合與函數(shù)概念集合與函數(shù)概念第一章1本章內(nèi)容1.1集合1.2函數(shù)及其表示1.3函數(shù)的基本概念第一章小結本章內(nèi)容1.1集合1.2函數(shù)及其表示1.3函數(shù)的21.3函數(shù)的基本性質(zhì)1.3.1單調(diào)性與最大(小)值(第一課時)1.3.2奇偶性1.3.1單調(diào)性與最大(小)值(第二課時)復習與提高1.3函數(shù)的基本性質(zhì)1.3.1單調(diào)性與最大(小)值(3單調(diào)性與最大(小)值1.3.1第一課時函數(shù)的單調(diào)性返回目錄單調(diào)性與最大(小)值1.3.1第一課時函數(shù)的單調(diào)性返回目錄41.什么是增函數(shù)?什么是減函數(shù)?2.增函數(shù)區(qū)間的圖象有什么特點?減函數(shù)區(qū)間的圖象有什么特點?3.什么是函數(shù)的單調(diào)性?它是怎樣定義的?4.怎樣證明函數(shù)的單調(diào)性?學習要點1.什么是增函數(shù)?什么是減函數(shù)?25問題1.(1)已知函數(shù)f(x)=x,取x=-3,-2,-1,0,1,2,3,列表表示這個函數(shù),函數(shù)值與自變量的大小變化有什么關系?畫出這個函數(shù)的圖象,觀察圖象是怎樣傾斜的?(2)同樣討論函數(shù)g(x)=1-x.圖象是左低右高傾斜的.x增大,函數(shù)值也增大.(1)xyo123-1-2-3-2-1123-3y=x這個函數(shù)是定義域上的增函數(shù).x-3-2-10123y-3-2-10123問題1.(1)已知函數(shù)f(x)=x6圖象是左高右低傾斜的.x增大,函數(shù)值減小.(2)xyo123-1-2-3-2-1123y=1-x這個函數(shù)是定義域上的減函數(shù).問題1.(1)已知函數(shù)f(x)=x,取x=-3,-2,-1,0,1,2,3,列表表示這個函數(shù),函數(shù)值與自變量的大小變化有什么關系?畫出這個函數(shù)的圖象,觀察圖象是怎樣傾斜的?(2)同樣討論函數(shù)g(x)=1-x.x-3-2-10123y43210-1-2圖象是左高右低傾斜的.x增大,函數(shù)值減小.(2)xy7問題2.如圖是函數(shù)f(x)=x2的圖象,(1)當x≤0時,圖象是怎樣傾斜的?x增大時間,函數(shù)值是增大還是減小?如果取x1<x2≤0,f(x1)與f(x2)哪個大?(2)當x>0呢?xyo(1)當x≤0時,圖象左高右低.自變量x增大時,函數(shù)值f(x)減小.x1<x2≤0時,f(x1)f(x2)f(x1)>f(x2).函數(shù)f(x)=x2在(-∞,0]上是減函數(shù).(2)當x≥0時,圖象左低右高.自變量x增大時,函數(shù)值f(x)也增大.x1>x2≥0時,f(x1)>f(x2).函數(shù)f(x)=x2在[0,+∞)上是增函數(shù).x1x2x1x2f(x1)f(x2)問題2.如圖是函數(shù)f(x)=x2的圖8一般地,設函數(shù)f(x)的定義域為I:如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1,x2,當x1<x2時,都有f(x1)<f(x2),那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù).如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1,x2,當x1<x2時,都有f(x1)>f(x2),那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù).函數(shù)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)的性質(zhì)叫函數(shù)的單調(diào)性,這個區(qū)間叫函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.一般地,設函數(shù)f(x)的定義域為9例1.如圖是定義在區(qū)間[-5,5]上的函數(shù)y=f(x),根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,以及在每一單調(diào)區(qū)間上,它是增函數(shù)還是減函數(shù)?xyo12345-1-2-3-4-5-2-1123解:函數(shù)的單調(diào)區(qū)間有[-5,-2),[-2,1).其中[-5,-2),[1,3)[1,3),[3,5].是單調(diào)減區(qū)間,[-2,1),[3,5]是單調(diào)增區(qū)間.下面我們觀察圖象上動點P隨x坐標的增大,y坐標的變化情況.例1.如圖是定義在區(qū)間[-5,5]10請稍候請稍候11練習:(32頁)第1、2、3題.練習:(32頁)第1、2、3題.12練習:(32頁)

1.請根據(jù)下圖描述某裝配線的生產(chǎn)效率與生產(chǎn)線上工人數(shù)量間的關系.工人數(shù)生產(chǎn)效率O解:a工人數(shù)在一定范圍內(nèi)時,如在區(qū)間(0,a]時,隨著工人數(shù)的增多生產(chǎn)效率得到提高.當超過了這個范圍時,如大于a,隨著工人數(shù)的增多,生產(chǎn)效率反而下降.練習:(32頁)1.請根據(jù)下圖描述某裝132.整個上午(8:00~12:00)天氣越來越暖,中午時分(12:00~13:00)一場暴雨使天氣驟然涼爽了許多,暴雨過后,天氣轉(zhuǎn)暖,直到太陽落山(18:00)才又開始轉(zhuǎn)涼.畫出這一天8:00~20:00期間氣溫作為時間函數(shù)的一個可能的圖象,并說出所畫函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解:時間氣溫o8:0012:0013:0018:0020:00圖象如下:函數(shù)的增區(qū)間有[8:00,12:00],[13:00,18:00].函數(shù)的減區(qū)間有[12:00,13:00],[18:00,20:00].2.整個上午(8:00~12:00)14

3.根據(jù)下圖說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,以及在每一單調(diào)區(qū)間上,函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù).xyo12345-11234567解:函數(shù)在區(qū)間[-1,0]上是減函數(shù),[0,2]上是增函數(shù),[2,4]上是減函數(shù),[4,5]上是增函數(shù).3.根據(jù)下圖說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,以15【函數(shù)單調(diào)性的證明】在某區(qū)間上,若任取x1<x2時,都有f(x1)<f(x2),則f(x)在這區(qū)間上是增函數(shù).若任取x1<x2時,都有f(x1)>f(x2),則f(x)在這區(qū)間上是減函數(shù).函數(shù)單調(diào)性的定義,是證明函數(shù)單調(diào)性的依據(jù).證明單調(diào)性的基本步驟:(1)在某區(qū)間上任取x1<x2(或x1>x2);(2)計算函數(shù)值的差f(x1)-f(x2),看其結果的正負,以判斷f(x1)>f(x2),還是f(x1)<f(x2);(3)如果自變量x1與x2的大小順序與函數(shù)值f(x1)與f(x2)的大小順序相同,則函數(shù)在這個區(qū)間是增函數(shù);如果順序相反,則是減函數(shù).【函數(shù)單調(diào)性的證明】在某區(qū)間上,若任取16

例2.物理學中的玻意耳定律(k為正常數(shù))告訴我們,對于一定量的氣體,當其體積V減小時,壓強p將增大.試用函數(shù)的單調(diào)性證明之.證明:∵氣體體積和壓強都是正數(shù),V1>V2>0,則在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)任取p(V1)-

p(V2)=∵V1>0,V2>0,V2-V1<0,k>0,即p(V1)-

p(V2)<0,得p(V1)<

p(V2),∴函數(shù)是區(qū)間(0,+∞)上的減函數(shù),則體積V減小時,壓強p增大.例2.物理學中的玻意耳定律17例3(課本探究).畫出反比例函數(shù)的圖象.(1)這個函數(shù)的定義域I是什么?(2)它在定義域I上的單調(diào)性是怎樣的?證明你的結論.-11-11xyo22-2-2解:畫出函數(shù)的圖象如圖:函數(shù)的定義域(1)I

={x|x<0,或x>0}.(2)函數(shù)在定義域I內(nèi)的區(qū)間(-∞,0)上是減函數(shù),在區(qū)間(0,+∞)上也是減函數(shù).證明:例3(課本探究).畫出反比例函數(shù)18-11-11xyo22-2-2解:畫出函數(shù)的圖象如圖:函數(shù)的定義域(1)I

={x|x<0,x>0}.(2)函數(shù)在定義域I內(nèi)的區(qū)間(-∞,0)上是減函數(shù),在區(qū)間(0,+∞)上也是減函數(shù).證明:例3(課本探究).畫出反比例函數(shù)的圖象.(1)這個函數(shù)的定義域I是什么?(2)它在定義域I上的單調(diào)性是怎樣的?證明你的結論.在區(qū)間(-∞,0)上任取x1<x2<0,則x1x2>0,x2-x1>0,∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),∴函數(shù)在(-∞,0)上是減函數(shù).-11-11xyo22-2-2解:畫出函數(shù)19在區(qū)間(0,+∞)上任取x1>x2>0,則x1x2>0,x2-x1<0,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),∴函數(shù)在(0,+∞)上也是減函數(shù).-11-11xyo22-2-2解:畫出函數(shù)的圖象如圖:函數(shù)的定義域(1)I

={x|x<0,x>0}.(2)函數(shù)在定義域I內(nèi)的區(qū)間(-∞,0)上是減函數(shù),在區(qū)間(0,+∞)上也是減函數(shù).證明:例3(課本探究).畫出反比例函數(shù)的圖象.(1)這個函數(shù)的定義域I是什么?(2)它在定義域I上的單調(diào)性是怎樣的?證明你的結論.在區(qū)間(0,+∞)上任取x1>x2>0,則20練習:(課本32頁)第4題.練習:(課本32頁)第4題.214.證明函數(shù)f(x)=-2x+1在R上是減函數(shù).證明:在R上任取x1<x2,f(x1)-f(x2)=(-2x1+1)-(-2x2+1)=2(x2-x1)∵x1<x2,∴x2-x1>0,即f(x1)-f(x2)>0,得f(x1)>f(x2),∴函數(shù)f(x)=-2x+1在R上是減函數(shù).練習:(課本32頁)4.證明函數(shù)f(x)=-2x+1在R上是減函22【課時小結】增函數(shù):x增大時,y也增大,圖象左低右高.減函數(shù):x增大時,y減小,圖象左高右低.在區(qū)間D內(nèi),當x1<x2時,都有f(x1)<f(x2),函數(shù)在區(qū)間D內(nèi)單增;當x1<x2時,都有f(x1)>f(x2),函數(shù)在區(qū)間D內(nèi)單減.1.

函數(shù)的單調(diào)性單調(diào)性:【課時小結】增函數(shù):x增大時,y也增大,23【課時小結】2.

函數(shù)單調(diào)性的證明①在區(qū)間D內(nèi)任取x1<x2;②計算f(x1)-f(x2);③判斷f(x1)-f(x2)的值的正負;④由③確定f(x1)與f(x2)的大小;⑤與x1<x2對照,如果自變量與函數(shù)值的大小一致,則是增函數(shù),否則是減函數(shù).【課時小結】2.函數(shù)單調(diào)性的證明①在區(qū)間D內(nèi)任取24習題1.3A組第1、2、3、4題.習題1.3A組第1、2、3、4題.251.畫出下列函數(shù)的圖象,并根據(jù)圖象說出y=f(x)的單調(diào)區(qū)間,以及在各單調(diào)區(qū)間上,函數(shù)y=f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù).

(1)

y=x2-5x+5;(2)

y=9-x2.解:(1)xyo1234-1-1123函數(shù)是二次函數(shù),其圖象是開口向上的拋物線,頂點兩對稱點(1,1),(4,1).函數(shù)在上是減函數(shù),在上是增函數(shù).習題1.3A組1.畫出下列函數(shù)的圖象,并根據(jù)圖象261.畫出下列函數(shù)的圖象,并根據(jù)圖象說出y=f(x)的單調(diào)區(qū)間,以及在各單調(diào)區(qū)間上,函數(shù)y=f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù).

(1)

y=x2-5x+5;(2)

y=9-x2.解:(2)函數(shù)也是二次函數(shù),其圖象是開口向下的拋物線,頂點兩對稱點(-3,0),(3,0).函數(shù)在(-∞,0]上是增函數(shù),在[0,+∞)上是減函數(shù).(0,9).xyo231-1123-2-3456789···習題1.3A組1.畫出下列函數(shù)的圖象,并根據(jù)圖象272.證明:(1)函數(shù)f(x)=x2+1在(-∞,0)上是減函數(shù);(2)函數(shù)f(x)=1-在(-∞,0)上是增函數(shù).證明:(1)任取x1<x2<0,f(x1)-

f(x2)=(x12+1)-(x22+1)=x12-x22=(x1+x2)(x1-x2),∵x1<x2<0,∴x1+x2<0,x1-x2<0,則(x1+x2)(x1-x2)>0,得f(x1)>

f(x2),∴函數(shù)f(x)=x2+1在(-∞,0)上是減函數(shù).2.證明:證明:(1)任取x1<x2<0,f(x1)282.證明:(1)函數(shù)f(x)=x2+1在(-∞,0)上是減函數(shù);(2)函數(shù)f(x)=1-在(-∞,0)上是增函數(shù).證明:(2)任取x1<x2<0,f(x1)-

f(x2)=∵x1<x2<0,∴x1x2>0,x1-x2<0,得f(x1)<

f(x2),則∴函數(shù)在(-∞,0)上是增函數(shù).2.證明:證明:(2)任取x1<x2<0,f(x1)293.探究一次函數(shù)y=mx+b(xR)的單調(diào)性,并證明你的結論.解:當m<0時,函數(shù)y=mx+b在R上是減函數(shù).在R上任取x1<x2,f(x1)-f(x2)=(mx1+b)-(mx2+b)=m(x1-x2),∵x1<x2,

x1-x2<0,即得f(x1)>f(x2),∴

m(x1-x2)>0,又m<0,∴當m<0時,函數(shù)y=

mx+b在R上是減函數(shù).3.探究一次函數(shù)y=mx+b(x303.探究一次函數(shù)y=mx+b(xR)的單調(diào)性,并證明你的結論.解:當m>0時,函數(shù)y=mx+b在R上是增函數(shù).在R上任取x1<x2,f(x1)-f(x2)=(mx1+b)-(mx2+b)=m(x1-x2),∵x1<x2,

x1-x2<0,即得f(x1)<f(x2),∴

m(x1-x2)<0,又m>0,∴當m>0時,函數(shù)y=

mx+b在R上是增函數(shù).3.探究一次函數(shù)y=mx+b(x314.一名心率過速患者服用某種藥物后心率立刻明顯減慢,之后隨著藥力的減退,心率再次慢慢升高.畫出自服藥那一刻起,心率關于時間的一個可能的圖象(示意圖).解:時間(h)心率o4其圖象如下:4.一名心率過速患者服用某種藥物后心率立32單調(diào)性與最大(小)值1.3.1第二課時函數(shù)的最大(小)值返回目錄單調(diào)性與最大(小)值1.3.1第二課時函數(shù)的最大(小)值返回331.什么是函數(shù)的最大值和最小值?2.怎樣求函數(shù)的最大值和最小值?學習要點1.什么是函數(shù)的最大值和最小值?2.怎樣求函數(shù)的最大34問題2.畫出函數(shù)f(x)=x2的圖象,觀察圖象,是否存在一個自變量x0,對定義域內(nèi)任意x,使f(x)≥f(x0)或f(x)≤f(x0)?若存在,x0是多少?f(x0)是多少?xyoy=x2圖象在x軸的上方,向上無限延伸,最低點是原點.不存在一個x0,使定義域內(nèi)這時f(0)=0是最小值.存在一個x0=0,使定義域內(nèi)的任意x,都有f(x)≤f(x0).的任意x,都有f(x)≥f(0)=0.問題2.畫出函數(shù)f(x)=x2的圖象35一般地,設函數(shù)y=f(x)的定義域為I,如果存在實數(shù)M滿足:(1)對于任意的x

I,都有f(x)≤M;(2)存在x0

I,使得f(x0)=M.那么,我們稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值.如果存在實數(shù)M滿足:(1)對于任意的x

I,都有f(x)≥M;(2)存在x0

I,使得f(x0)=M.那么,我們稱M是函數(shù)y=f(x)的最小值.一般地,設函數(shù)y=f(x)的定義域36例題(補充).如圖是函數(shù)y=f(x)的圖象,其定義域為[-p,p],x0為何值時,有f(x)≥f(x0),或f(x)≤f(x0)?函數(shù)的最大值是多少?最小值是多少?xyo-pp-11解:當時,f(x)≥f(x0),這時函數(shù)取得最小值當時,f(x)≤f(x0),這時函數(shù)取得最大值(1)(2)例題(補充).如圖是函數(shù)y=f(x)37

例3.“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一,制造時一般是期望在它達到最高點(大約是在距地面高度25m到30m處)時爆裂.如果在距地面高度18m的地方點火,并且煙花沖出的速度是14.7m/s.(1)寫出煙花距地面的高度與時間之間的關系式.(2)煙花沖出后什么時候是它爆裂的最佳時刻?這時距地面的高度是多少(精確到1m)?解:(1)設煙花沖出ts時距地面的高度為hm,由上拋物體的運動原理知例3.“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一,38

例3.“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一,制造時一般是期望在它達到最高點(大約是在距地面高度25m到30m處)時爆裂.如果在距地面高度18m的地方點火,并且煙花沖出的速度是14.7m/s.(1)寫出煙花距地面的高度與時間之間的關系式.(2)煙花沖出后什么時候是它爆裂的最佳時刻?這時距地面的高度是多少(精確到1m)?解:(2)由(1)得這是一個二次函數(shù),其圖象開口向下,頂點為最高點.當h(t)取得最大值為=1.5時,≈29(m).答:煙花沖出1.5秒時爆裂最佳,此時距地面約29米.例3.“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一,39例4.求函數(shù)在區(qū)間[2,6]上的最大值和最小值.xyO1234560.51.52.512分析:由函數(shù)圖象可知,是[2,6]上的減函數(shù),當x=2最小時,函數(shù)值最大,當x=6最大時,函數(shù)值最小.例4.求函數(shù)40例4.求函數(shù)在區(qū)間[2,6]上的最大值和最小值.xyO1234560.51.52.512解:在區(qū)間[2,6]上任取2≤x1<x2≤6,∵2≤x1<x2≤6,∴x1-1>0,x2-1>0,x2-x1>0,則

f(x1)>f(x2),∴函數(shù)是[2,6]上的減函數(shù),則x=2時取得最大值f(2)=2;x=6時取得最小值f(6)=0.4.求最值時,要注意閉區(qū)間的端點值.例4.求函數(shù)41練習:(課本32頁)第5題.習題1.3A組第5題.練習:(課本32頁)第5題.習題1.3A組第542練習:(課本32頁)

5.設f(x)是定義在區(qū)間[-6,11]上的函數(shù),如果f(x)在區(qū)間[-6,-2]上遞減,在區(qū)間[-2,11]上遞增,畫出f(x)的一個大致的圖象,從圖象上可以發(fā)現(xiàn)f(-2)是函數(shù)f(x)的一個

.xyo-6-211最小值解:函數(shù)在[-6,-2]上遞減,圖象左高右低;在[-2,11]上遞增,圖象左低右高.練習:(課本32頁)5.設f(x)43習題1.3A組

5.某汽車租賃公司的月收益y元與每輛車的月租金x元間的關系為那么,每輛車的月租金多少元時,租賃公司的月收益最大?最大月收益是多少?解:收入函數(shù)是二次函數(shù),二次項系數(shù)為負,=4050,圖象開口向下,對稱軸是xyo4050圖象如圖所示.即每輛車的月租金為4050元時,公司月收益最大,最大月收益是=307050(元).(答略)習題1.3A組5.某汽車租賃公司的月44【課時小結】函數(shù)的最值(1)在定義域內(nèi),

若f(x)≤f(x0)=M,在x0處取得最大值M;若f(x)≥f(x0)=M,在x0處取得最小值M;(2)最大值處,圖象是最高點;(3)在閉區(qū)間上求最大值和最小值時,要注意端點.最小值處,圖象是最低點.【課時小結】函數(shù)的最值(1)在定義域內(nèi),45習題1.3B組第1、2題.習題1.3B組第1、2題.46B組1.已知函數(shù)f(x)=x2-2x,g(x)=x2-2x(x[2,4]).

(1)求f(x),g(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)求f(x),g(x)的最小值.解:(1)任取x1<x2,f(x1)-f(x2)=(x12-2x1)-(x22-2x2)=(x12-x22)-2(x1-x2)=(x1-x2)(x1+x2-2).當x1<x2<1時,(x1-x2)(x1+x2-2)>0,此時f(x1)>f(x2),得f(x)在(-∞,1]上是減函數(shù).當1<x1<x2時,(x1-x2)(x1+x2-2)<0,得f(x1)<f(x2),函數(shù)f(x)在[1,+∞)上是增函數(shù).于是得g(x)在[2,4]上是增函數(shù).B組1.已知函數(shù)f(x)=x2-2x,g(x)47B組1.已知函數(shù)f(x)=x2-2x,g(x)=x2-2x(x[2,4]).

(1)求f(x),g(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)求f(x),g(x)的最小值.解:(1)其實,f(x)是二次函數(shù),開口向上,對稱軸方程是x=1,(如圖).xyo124(2)f(x)的最小值是f(1)=12-21=-1.g(x)的最小值是g(2)=22-22=0.B組1.已知函數(shù)f(x)=x2-2x,g(x)482.如圖所示,動物園要建造一面靠墻的2間面積相同的矩形熊貓居室,如果可供建造圍墻的材料總長是30m,那么寬x(單位:m)為多少才能使所建造的熊貓居室面積最大?熊貓居室的最大面積是多少?x解:熊貓居室的長為由圖得每個(30-3x)÷2=15-1.5x,∴面積S

=(15-1.5x)x=-1.5x2+15x,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),當時,即x=5時,面積S最大,最大面積為S最大=-1.5

52+155=37.5(m2).(答略)(0<x<10).2.如圖所示,動物園要建造一面靠墻492.如圖所示,動物園要建造一面靠墻的2間面積相同的矩形熊貓居室,如果可供建造圍墻的材料總長是30m,那么寬x(單位:m)為多少才能使所建造的熊貓居室面積最大?熊貓居室的最大面積是多少?x解:熊貓居室的長為由圖得每個(30-3x)÷2=15-1.5x,∴面積S

=(15-1.5x)x=-1.5x2+15x,或配方為,當x=5時,面積S最大,最大面積為S最大=37.5(m2).(答略)(0<x<10).S

=-1.5(x-5)2+37.52.如圖所示,動物園要建造一面靠墻501.3.2奇偶性奇偶性返回目錄1.3.2奇偶性奇偶性返回目錄51學習要點1.什么是偶函數(shù),它的圖象有什么特點?2.什么是奇函數(shù),它的圖象有什么特點?3.怎樣判斷函數(shù)的奇偶性?學習要點1.什么是偶函數(shù),它的圖象有什么特點?2.52問題1.觀察下面兩個圖象.(1)各圖象有什么樣的對稱性?(2)各函數(shù)中,自變量取一對相反數(shù)時,函數(shù)值是什么關系?即f(x)與f(-x)有什么關系?xyo1-12-22313-3f(x)=x2xyo1-12-22313-3f(x)=|x|(1)兩圖象都關于y軸對稱.(2)第一個函數(shù)f(x)=x2,f(1)=f(-1)=1,f(2)=f(-2)=4,f(3)=f(-3)=9,……第二個函數(shù)f(x)=|x|,f(1)=f(-1)=1,f(2)=f(-2)=2,f(3)=f(-3)=3,……問題1.觀察下面兩個圖象.(1)53問題1.觀察下面兩個圖象.(1)各圖象有什么樣的對稱性?(2)各函數(shù)中,自變量取一對相反數(shù)時,函數(shù)值是什么關系?即f(x)與f(-x)有什么關系?xyo1-12-22313-3f(x)=x2xyo1-12-22313-3f(x)=|x|(1)兩圖象都關于y軸對稱.(2)第一個函數(shù)f(x)=x2,f(1)=f(-1)=1,f(2)=f(-2)=4,f(3)=f(-3)=9,……第二個函數(shù)f(x)=|x|,f(1)=f(-1)=1,f(2)=f(-2)=2,f(3)=f(-3)=3,……自變量取一對相反數(shù)時,函數(shù)值相同,即f(-x)=

f(x).問題1.觀察下面兩個圖象.(1)54

定義:如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x,都有f(-x)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù).偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱.如:問題1中,f(x)=x2,f(-x)=(-x)2=x2,得f(-x)=f(x),∴f(x)=x2是偶函數(shù).同樣,f(x)=|x|,f(-x)=|-x|=|x|,得f(-x)=f(x),∴f(x)=|x|也是偶函數(shù).定義:如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)55問題2.觀察下面兩個圖象.(1)圖象有什么樣的對稱性?(2)各函數(shù)中,自變量取一對相反數(shù)時,函數(shù)值是什么關系?即f(x)與f(-x)有什么關系?(1)兩圖象都關于原點對稱.(2)第一個函數(shù)f(x)=x,f(1)=1,f(-1)=-1,f(2)=2,…………xyo1-13-313-3f(x)=xxyo1-13-313-3f(-2)=-2,第二個函數(shù)f(1)=1,f(-1)=-1,問題2.觀察下面兩個圖象.(1)56問題2.觀察下面兩個圖象.(1)圖象有什么樣的對稱性?(2)各函數(shù)中,自變量取一對相反數(shù)時,函數(shù)值是什么關系?即f(x)與f(-x)有什么關系?(1)兩圖象都關于原點對稱.(2)第一個函數(shù)f(x)=x,f(1)=1,f(-1)=-1,f(2)=2,…………xyo1-13-313-3f(x)=xxyo1-13-313-3f(-2)=-2,第二個函數(shù)f(1)=1,f(-1)=-1,自變量取一對相反數(shù)時,函數(shù)值也互為相反數(shù),即f(-x)=-f(x).問題2.觀察下面兩個圖象.(1)57

定義:如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x,都有f(-x)=-f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù).奇函數(shù)的圖象關于原點對稱.如:問題2中,f(x)=x,f(-x)=-x,得f(-x)=-f(x),∴f(x)=x是奇函數(shù).得f(-x)=-f(x),同樣,也是奇函數(shù).定義:如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)58例(補充):如圖是函數(shù)y=f(x)的圖象的一部分,根據(jù)下列條件,畫出函數(shù)的另一部分.

(1)函數(shù)是奇函數(shù);(2)函數(shù)是偶函數(shù).xyO解:(1)奇函數(shù)的圖象關于原點對稱.xyO(2)偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱.xyO例(補充):如圖是函數(shù)y=f(x)59問題3.奇函數(shù)的圖象是否過原點,你能舉例說明嗎?不一定.如:=-f(x),其圖象不過原點,如圖:xyo1-13-313-3但如果奇函數(shù)的定義域為R時,一定有f(0)=0,你知道為什么嗎?這時圖象就一定過原點.問題3.奇函數(shù)的圖象是否過原點,你60例5.判斷下列函數(shù)的奇偶性:

(1)

f(x)=x4;(2)

f(x)=x5;(3)

(4)解:(1)∵f(x)=x4,其定義域為R,f(-x)=(-x)4=x4=f(x),∴f(x)=x4是偶函數(shù).(2)∵f(x)=x5,其定義域為R,f(-x)=(-x)5=-x5=-f(x),∴f(x)=x5是奇函數(shù).則對任意x都有則R內(nèi)任意x都有例5.判斷下列函數(shù)的奇偶性:解:(1)∵f(x)=61例5.判斷下列函數(shù)的奇偶性:

(1)

f(x)=x4;(2)

f(x)=x5;(3)

(4)解:(3)=-f(x),其定義域為(-∞,0)∪(0,+∞),是奇函數(shù).在定義域內(nèi)的任意x都有(4)=f(x),其定義域為(-∞,0)∪(0,+∞),是偶函數(shù).在定義域內(nèi)的任意x都有例5.判斷下列函數(shù)的奇偶性:解:(3)=-f(x),62練習:(課本36頁)第1、2題.練習:(課本36頁)第1、2題.63解:(1)f(x)=2x4+3x2的定義域是(-∞,+∞),在其定義域內(nèi)的任意x都有f(-x)=2(-x)4+3(-x)2=2x4+3x2=

f(x),∴f(x)=2x4+3x2是偶函數(shù).練習:(課本36頁)1.判斷下列函數(shù)的奇偶性:(1)

f(x)=2x4+3x2;(2)

f(x)=x3-2x;(3)(4)f(x)=x2+1.解:(1)f(x)=2x4+3x2的定義域是(-∞,+∞64f(x)=x3-2x的定義域是(-∞,+∞),在其定義域內(nèi)的任意x都有f(-x)=(-x)3-2(-x)=-x3+2x=

-f(x),∴f(x)=x3-2x是奇函數(shù).=-(x3-2x)練習:(課本36頁)1.判斷下列函數(shù)的奇偶性:(1)

f(x)=2x4+3x2;(2)

f(x)=x3-2x;(3)(4)f(x)=x2+1.解:(2)f(x)=x3-2x的定義域是(-∞,+∞),在其定義65在其定義域內(nèi)都有練習:(課本36頁)1.判斷下列函數(shù)的奇偶性:(1)

f(x)=2x4+3x2;(2)

f(x)=x3-2x;(3)(4)f(x)=x2+1.解:(3)的定義域是(-∞,0)∪(0,+∞),=-f(x),∴f(x)是奇函數(shù).在其定義域內(nèi)都有練習:(課本36頁)1.判斷下列函數(shù)的66f(x)=x2+1的定義域是(-∞,+∞),在其定義域內(nèi)的任意x都有f(-x)=(-x)2+1=x2+1=f(x),∴f(x)=x2+1

是偶函數(shù).練習:(課本36頁)1.判斷下列函數(shù)的奇偶性:(1)

f(x)=2x4+3x2;(2)

f(x)=x3-2x;(3)(4)f(x)=x2+1.解:(4)f(x)=x2+1的定義域是(-∞,+∞),在其定義域672.已知f(x)是偶函數(shù),g(x)是奇函數(shù),試將下圖補充完整.xyOxyOf(x)g(x)解:f(x)是偶函數(shù),其圖象關于y軸對稱,如圖.g(x)是奇函數(shù),其圖象關于原點對稱,如圖.2.已知f(x)是偶函數(shù),g(68【課時小結】若定義域內(nèi)任一x都有f(-x)=f(x),則f(x)是偶函數(shù).1.

函數(shù)的奇偶性偶函數(shù):若定義域內(nèi)任一x都有f(-x)=-f(x),則f(x)是奇函數(shù).奇函數(shù):【課時小結】若定義域內(nèi)任一x都有f(-69【課時小結】2.

奇偶函數(shù)的圖象特點偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱;奇函數(shù)的圖象關于原點對稱.奇函數(shù)的定義域為R時,圖象過原點.【課時小結】2.奇偶函數(shù)的圖象特點偶函數(shù)的圖象關于y70【課時小結】3.

奇偶函數(shù)的判定(1)由代數(shù)定義判定:計算f(-x)與f(x)比較符號.(2)由圖象判定:看圖象的對稱性.【課時小結】3.奇偶函數(shù)的判定(1)由代數(shù)定義判定:71習題1.3A組第6題.B組第3題.習題1.3A組第6題.B組第3題.726.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當x≥0時,f(x)=

x(1+x).畫出函數(shù)f(x)的圖象,并求出函數(shù)的解析式.解:則x<0的部份如圖.f(x)=

x(1+x)=x2+x是二次函數(shù),x≥0的部份如圖.奇函數(shù)的圖象關于原點對稱,習題1.3A組xyO6.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇736.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當x≥0時,f(x)=

x(1+x).畫出函數(shù)f(x)的圖象,并求出函數(shù)的解析式.解:習題1.3A組xyO∵f(x)是奇函數(shù),當x>0時,f(x)=

x(1+x),當x<0時,

-x>0,則f(-x)=

-x(1-x),∴f(-x)=-f(x),則-f(x)=

-x(1-x),得f(x)=

x(1-x).即6.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇743.已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù),而且在(0,+∞)上是減函數(shù),判斷f(x)在(-∞,0)上是增函數(shù)還是減函數(shù)并證明你的判斷.解:于是得f(x)在(-∞,0)上xyOf(x)是偶函數(shù),圖象關于f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),這部分的圖象左高右低.B組y軸對稱.是增函數(shù).3.已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù),753.已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù),而且在(0,+∞)上是減函數(shù),判斷f(x)在(-∞,0)上是增函數(shù)還是減函數(shù)并證明你的判斷.證明:xyO在(-∞,0)上任取x1<x2<0,則-x1>-x2>0.而f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),∴f(-x1)<f(-x2).又f(x)是偶函數(shù),B組即f(-x1)=f(x1),f(-x2)=f(x2),∴f(x1)<f(x2).∵x1<x2<0,∴f(x)在(-∞,0)上是增函數(shù).3.已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù),76復習與提高返回目錄復習與提高返回目錄77知識要點1.

函數(shù)的單調(diào)性(1)圖象特點:增函數(shù)區(qū)間,左低右高;減函數(shù)區(qū)間,左高右低.(2)代數(shù)定義:在區(qū)間D內(nèi),任意x1<x2都有f(x1)<f(x2),增函數(shù);任意x1<x2都有f(x1)>f(x2),減函數(shù).知識要點1.函數(shù)的單調(diào)性(1)圖象特點:(2)78知識要點2.

最大值與最小值(1)圖象特點:最大值,定義域內(nèi)的最高點;最小值,定義域內(nèi)的最低點.(2)代數(shù)定義:若f(x)≤f(x0),則在x0處取得最大值f(x0);若f(x)≥f(x0),則在x0處取得最小值f(x0).(3)在閉區(qū)間內(nèi)求最值,要注意比較端點值.知識要點2.最大值與最小值(1)圖象特點:(2)79知識要點3.

函數(shù)的奇偶性偶函數(shù):定義域內(nèi)任一x,f(-x)=f(x).偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱.奇函數(shù):定義域內(nèi)任一x,f(-x)=-f(x).奇函數(shù)的圖象關于原點對稱.奇函數(shù)的定義域為R時,圖象過原點.知識要點3.函數(shù)的奇偶性偶函數(shù):奇函數(shù):80

例1.已知函數(shù)y=f(x)在R上是減函數(shù),求滿足不等式f(x-2)<f(3x+2)的x的取值范圍.因為f(x)在R上是減函數(shù).解:則函數(shù)值小時,自變量大.∴由f(x-2)<f(3x+2)得x-2>3x+2,解得x<-2.即x的取值范圍是(-∞,-2).例題選講例1.已知函數(shù)y=f(x)在R上81例2.

求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解:設x1<x2,f(x1)-f(x2)=x1,x2不能為-2,且應在同一個單調(diào)區(qū)間,取x1<x2<-2,則x2-x1>0,x1+2<0,x2+2<0,得f(x1)>f(x2),∴函數(shù)在(-∞,-2)上是減函數(shù).例2.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解82例2.

求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解:設x1<x2,f(x1)-f(x2)=x1,x2不能為-2,且應在同一個單調(diào)區(qū)間,取x1>x2>-2,則x2-x1<0,x1+2>0,x2+2>0,得f(x1)<f(x2),∴函數(shù)在(-2,+∞)上也是減函數(shù).即函數(shù)在區(qū)間(-∞,-2)和區(qū)域(-2,+∞)上分別都是減函數(shù).例2.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解83例3.

若函數(shù)為奇函數(shù),求a的值.解:∵f(x)是奇函數(shù),∴f(-x)=-f(x),得(-2x+1)(-x-a)=(2x+1)(x-a),解得例3.若函數(shù)84

例4.設f(x)為定義在R上的奇函數(shù),當x≥0時,f(x)=2x+2x+b(b為常數(shù)),則f(-1)等于()(A)3(B)1(C)-1(D)-3解:∵f(x)是R上的奇函數(shù),又f(-1)=-f(1)=-(21+21-1)=-3.∴f(0)=0,即有f(0)=20+20+b=0,得b=-1,D例4.設f(x)為定義在R上的奇85

例5.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且在[1,+∞)上是增函數(shù),則下列結論中:①f(x)在(-∞,1]上是增函數(shù);②f(x)在(-∞,-1]上是增函數(shù);③f(x)在(-∞,0)上是增函數(shù);④f(0)=0.其中一定成立的有

.分析:f(x)在[1,+∞)上是增函數(shù),如圖:xyO1又是在R上的奇函數(shù),圖象關于原點對稱,如圖:①不一定,如圖:②肯定對.③不對.④是對的.②④例5.已知f(x)是定義在R上的86補充練習共10題補充練習共10題87

1.設f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當x≤0時,f(x)=2x2-x,則f(1)等于()(A)-3(B)-1(C)1(D)3

2.若函數(shù)f(x)=3x+3-x與g(x)=3x-3-x的定義域均為R,則()(A)f(x)與g(x)均為偶函數(shù)(B)f(x)為偶函數(shù),g(x)為奇函數(shù)(C)f(x)與g(x)均為奇函數(shù)(D)f(x)為偶函數(shù),g(x)為奇函數(shù)

3.已知y=f(x)+x2是奇函數(shù),且f(1)=1,若g(x)=f(x)+2,則g(-1)=

.4.若f(x)=(x+a)(x-4)為偶函數(shù),則實數(shù)a=

.

5.若函數(shù)y=f(x)在x=2時取得最小值-1,則函數(shù)y=f(x-1)-2在何處取得最值?是最大值還是最小值?是多少?6.已知函數(shù)y=f(x)是R上的偶函數(shù),在[0,+∞)上是減函數(shù),且f(0)=0,則函數(shù)f(x)有最

值是

.7.已知函數(shù)y=f(x)是R上的奇函數(shù),當x>0時,f(x)=x2-3x,則當x<0時,f(x)=

.8.下列函數(shù)中,既是奇函數(shù),又是增函數(shù)的是()(A)y=x+1(B)y=-x2(C)(D)y=x|x|

9.已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增,則滿足的x的取值范圍是()(A)(B)(C)(D)

10.若函數(shù)f(x)=|2x+a|的單調(diào)遞增區(qū)間是[3,+∞),則a=

.1.設f(x)是定義在R上的奇函88

1.設f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當x≤0時,f(x)=2x2-x,則f(1)等于()(A)-3(B)-1(C)1(D)3解:∵f(x)是R上的奇函數(shù),∴f(1)=-f(-1)=-[2(-1)2-(-1)]=