專升本高數(shù)數(shù)學第一章-函數(shù)、極限與連續(xù)課件

專升本高等數(shù)學二專升本高等數(shù)學二1（一）函數(shù)的定義（二）極限的概念（三）連續(xù)的概念

第一章主要內(nèi)容（一）函數(shù)的定義（二）極限的概念（三）連續(xù)的概念第一章2函數(shù)的定義反函數(shù)隱函數(shù)反函數(shù)與直接函數(shù)之間關系基本初等函數(shù)復合函數(shù)初等函數(shù)函數(shù)的性質(zhì)奇偶性單調(diào)性有界性周期性函數(shù)反函數(shù)隱函數(shù)反函數(shù)與直接基本初等函數(shù)復合函數(shù)初等函31、函數(shù)的定義1、函數(shù)的定義4▲函數(shù)的兩要素:定義域與對應法則.自變量因變量對應法則f辨別下列各對函數(shù)是否相同,為什么?不同,定義域不同

不同,對應關系不同

相同,定義域和對應關系都相同▲函數(shù)的兩要素:定義域與對應法則.自變量因變量對應法則f辨5▲函數(shù)的定義域在實際問題中，函數(shù)的定義域由問題的實際意義確定。

用解析式表示的函數(shù)，其定義域是自變量所能取的使解析式有意義的一切實數(shù)，通常要考慮以下幾點：(6)如果函數(shù)表達式是由幾個數(shù)學式子組合而成，則其定義域應取各部分定義域的交集。(1)在分式中，分母不能為零；(2)在根式中，負數(shù)不能開偶次方根；

(3)在對數(shù)式中，真數(shù)必須大于零；

(5)y=arcsinx和y=arccosx中,x∈[-1,1]▲函數(shù)的定義域用解析式表示的函數(shù)，其定義域是自變量所能取的使6例：求下列函數(shù)的定義域

［Ａ］．即所以定義域為(-∞,-4)∪(-4,1)∪(1,+∞)即解得所以定義域為[-1,1)∪(1,+∞)(2)要使函數(shù)有意義,必須有且有解:(1)要使函數(shù)有意義，必須有分母取其公共部分例：求下列函數(shù)的定義域［Ａ］．即所以定義域為(-∞,-47解所以定義域為(-3,+∞)(4)要使函數(shù)有意義,必須有

所以定義域為(-1,1)[B].(3)(4)(3)要使函數(shù)有意義，必須有解得練習：P923解所以定義域為(-3,+∞)(4)要使函數(shù)有意義,必須有所8例.設

,求下列函數(shù)值

解:

解:解：

1）2）3）例.設,求下列函數(shù)值解:解:解：19(1)函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)奇函數(shù)yxo2、函數(shù)的性質(zhì)(1)函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)奇函數(shù)yxo2、函數(shù)的性質(zhì)10(2)函數(shù)的單調(diào)性:

設函數(shù)f(x)的定義域為D，區(qū)間ID，如果對于區(qū)間I上任意兩點及，當時，恒有：(1),則稱函數(shù)在區(qū)間I上是單調(diào)增加的；或(2),則稱函數(shù)在區(qū)間I上是單調(diào)遞減的；單調(diào)增加和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)。(2)函數(shù)的單調(diào)性:設函數(shù)f(x)的定義域為D，11(3)函數(shù)的有界性:(3)函數(shù)的有界性:12

設函數(shù)f(x)的定義域為D，如果存在一個不為零的數(shù)l,使得對于任一,有.且f(x+l)=f(x)恒成立,則稱f(x)為周期函數(shù),l稱為f(x)的周期.（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.(4)函數(shù)的周期性:oyx設函數(shù)f(x)的定義域為D，如果存在一個不為零的數(shù)13專升本高數(shù)數(shù)學第一章-函數(shù)、極限與連續(xù)ppt課件14說明：反函數(shù)與直接函數(shù)之間的關系3、反函數(shù)說明：反函數(shù)與直接函數(shù)之間的關系3、反函數(shù)156、基本初等函數(shù)1）冪函數(shù)2）指數(shù)函數(shù)3）對數(shù)函數(shù)4）三角函數(shù)5）反三角函數(shù)6、基本初等函數(shù)1）冪函數(shù)2）指數(shù)函數(shù)3）對數(shù)函數(shù)4）三角函161.冪函數(shù)1.冪函數(shù)172.指數(shù)函數(shù)2.指數(shù)函數(shù)183.對數(shù)函數(shù)3.對數(shù)函數(shù)194.三角函數(shù)正弦函數(shù)4.三角函數(shù)正弦函數(shù)20余弦函數(shù)余弦函數(shù)21正切函數(shù)正切函數(shù)22余切函數(shù)余切函數(shù)235.反三角函數(shù)5.反三角函數(shù)24專升本高數(shù)數(shù)學第一章-函數(shù)、極限與連續(xù)ppt課件25專升本高數(shù)數(shù)學第一章-函數(shù)、極限與連續(xù)ppt課件26

冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角277、復合函數(shù)8、初等函數(shù)由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和有限次的函數(shù)復合步驟所構(gòu)成并可用一個式子表示的函數(shù),稱為初等函數(shù).練習：P10117、復合函數(shù)8、初等函數(shù)由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運28高等數(shù)學輔導講義（專升本）第一章函數(shù)、極限與連續(xù)15%第二章一元函數(shù)的微分學20%第三章一元函數(shù)的積分學20%第四章多元函數(shù)微積分15%第五章常微分方程15%第六章無窮級數(shù)10%第七章向量代數(shù)與空間解析幾何5%高等數(shù)學輔導講義（專升本）第一章函數(shù)、極限與連續(xù)29第一章函數(shù)、極限與連續(xù)知識結(jié)構(gòu)初等函數(shù)復合函數(shù)反函數(shù)性質(zhì)概念函數(shù)第一章函數(shù)、極限與連續(xù)知識結(jié)構(gòu)初等函數(shù)復合函數(shù)反函數(shù)性質(zhì)概30第一章函數(shù)、極限與連續(xù)知識結(jié)構(gòu)無窮小無窮大重要極限存在準則四則運算性質(zhì)概念極限第一章函數(shù)、極限與連續(xù)知識結(jié)構(gòu)無窮小重要極限存在準則四則運31專升本高數(shù)數(shù)學第一章-函數(shù)、極限與連續(xù)ppt課件32復習2008年復習2008年33左右極限兩個重要極限求極限的常用方法無窮小的性質(zhì)極限存在的充要條件判定極限存在的準則無窮小的比較極限的性質(zhì)數(shù)列極限函數(shù)極限等價無窮小及其性質(zhì)唯一性無窮小兩者的關系無窮大左右極限兩個重要求極限的常用方法無窮小極限存在的判定極限無窮34求極限的常用方法求極限的常用方法351、極限1、極限36專升本高數(shù)數(shù)學第一章-函數(shù)、極限與連續(xù)ppt課件37左極限右極限左極限右極限38函數(shù)的極限與左、右極限有如下關系：2.常用來判斷分段函數(shù)在分段點的極限是否存在例判斷函數(shù)

在點處是否有極限.

解:因為所以說明：1.左極限與右極限中只要有一個不存在，或者都存在但不相等，則函數(shù)的極限不存在。函數(shù)的極限與左、右極限有如下關系：2.常用來判斷分段函數(shù)在39左右極限存在但不相等,證習題：P183左右極限存在但不相等,證習題：P18340定理(唯一性定理)如果函數(shù)在某一變化過程中有極限，則其極限是唯一的．定理(有界性定理)若函數(shù)f(x)當x→x0時極限存在，則必存在x0的某一鄰域，使得函數(shù)f(x)在該鄰域內(nèi)有界．函數(shù)極限的性質(zhì)定理(唯一性定理)如果函數(shù)在某一變化過程中定理(有界性定41定理(保號性)推論定理(保號性)推論42無窮小:極限為零的變量稱為無窮小.絕對值無限增大的變量稱為無窮大.無窮大:在同一過程中,無窮大的倒數(shù)為無窮小;恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大.無窮小與無窮大的關系2、無窮小與無窮大無窮小:極限為零的變量稱為無窮小.絕對值無限增大的變量稱為無43性質(zhì)3在同一過程中,有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.性質(zhì)1有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.性質(zhì)2有限個無窮小的乘積也是無窮小.無窮小的運算性質(zhì)性質(zhì)3在同一過程中,有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.性質(zhì)44一、無窮小量二、無窮小的性質(zhì)三、極限與無窮小的關系四、無窮大量五、無窮小與無窮大的關系六、小節(jié)補充無窮大與無窮小一、無窮小量補充無窮大與無窮小45定義若變量Y在某過程下以零為極限，則稱變量Y在此過程下為無窮小量，簡稱無窮小.例1例2時的無窮小量.時的無窮小量.因為所以因為所以一、無窮小量定義若變量Y在某過程下以零為極限，則稱變量Y在此過程下46例如函數(shù)時的無窮小，但當時不是無窮小。當時，的極限不為零，所以當時，函數(shù)不是無窮小，而當時是無窮小量。應該注意無窮小量是在某一過程中，以零為極限的變量，而不是絕對值很小的數(shù)。因此應明確指出其變化過程。

例如函數(shù)47(4)

有界函數(shù)與無窮小的乘積仍為無窮小.(3)常量與無窮小的乘積仍為無窮小.(2)有限個無窮小的乘積仍為無窮小.注意無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無窮小.

(1)有限個無窮小的代數(shù)和仍為無窮小.二、無窮小的性質(zhì)定理在自變量的同一變化過程中(4)有界函數(shù)與無窮小的乘積仍為無窮小.(3)常量與無窮小48例3解注意這個極限不能用極限的四則運算法則求得，因為不存在.所以時的無窮小量.為有界變量,例3解注意這個極限不能用極限的四則運算法則求得，所以時的49三、無窮小與函數(shù)極限的關系:證必要性充分性三、無窮小與函數(shù)極限的關系:證必要性充分性50定義在自變量x的某一變化過程中,若函數(shù)值的絕對值無限增大，則稱f(x)為此變化過程中的無窮大量，簡稱無窮大.記作四、無窮大量定義在自變量x的某一變化過程中,若函數(shù)值的絕對值51特殊情形：正無窮大，負無窮大．注意1.無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆;3.無窮大是一種特殊的無界變量,但是無界變量未必是無窮大.特殊情形：正無窮大，負無窮大．注意1.無窮大是變量,不能與很52簡言之無窮小與無窮大的關系為：在自變量的同一變化過程中，無窮大的倒數(shù)是無窮小,無窮小(不等于0)的倒數(shù)是無窮大.定理在自變量的同一變化過程中，若f(x)為無窮大,則為無窮小;反之,若f(x)為無窮小且f(x)不等于0,則為無窮大.例如：五、無窮小與無窮大的關系簡言之無窮小與無窮大的關系為：在自變量的同一變化過程中，無53以后，遇到類似例6的題目，可直接寫出結(jié)果.例4解例5考察

當時，為無窮大量；

當時，為無窮小量；以后，遇到類似例6的題目，可直接寫出結(jié)果.例4解例5考察54六、小結(jié)1、主要內(nèi)容:兩個定義;定理.2、幾點注意:無窮小與無窮大是相對于過程而言的.（1）無窮小（大）是變量,不能與很?。ù螅┑臄?shù)混淆，零是唯一的無窮小的數(shù)；（2）無窮多個無窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無窮小.（3）無界變量未必是無窮大.六、小結(jié)1、主要內(nèi)容:兩個定義;定理.2、幾點注意:無窮小55定理推論1推論23、極限的性質(zhì)定理推論1推論23、極限的性質(zhì)562009年1.直接代入法求極限;2009年1.直接代入法求極限;57例2解例1解：原式例2解例1解：原式58則有例題則有例題59小結(jié):小結(jié):60專升本高數(shù)數(shù)學第一章-函數(shù)、極限與連續(xù)ppt課件612.消去分母零因子法求極限2.消去分母零因子法622009年2009年63解例4(消去零因子法)解例4(消去零因子法)64練習解練習解65解解66專升本高數(shù)數(shù)學第一章-函數(shù)、極限與連續(xù)ppt課件673.分式函數(shù)求極限3.分式函數(shù)求極限68例5解(無窮小因子分出法)例5解(無窮小因子分出法)69例6

，然后再求極限，得分母同時除以分子,3x解例6，然后再求極限，得分母同時除以分子,3x解70小結(jié):無窮小分出法:以分母中自變量的最高次冪除分子,分母,以分出無窮小,然后再求極限.小結(jié):無窮小分出法:以分母中自變量的最高次冪除分子,分母,以71練習解2007年練習解2007年72專升本高數(shù)數(shù)學第一章-函數(shù)、極限與連續(xù)ppt課件734.利用重要極限求極限4.利用重要極限求極限74(1)(2)6、兩個重要極限(1)(2)6、兩個重要極限75=0注意：(1)=0注意：(1)76例1解1coslim0此題中用到xx=?例2解例1解1coslim0此題中用到xx=?例2解77專升本高數(shù)數(shù)學第一章-函數(shù)、極限與連續(xù)ppt課件78專升本高數(shù)數(shù)學第一章-函數(shù)、極限與連續(xù)ppt課件79(2)注意：(2)注意：80例4解練習：或例4解練習：或812009年2009年82例題例題83專升本高數(shù)數(shù)學第一章-函數(shù)、極限與連續(xù)ppt課件845.利用無窮小等價替換求極限;5.利用無窮小等價替換85定義:7、無窮小的比較定義:7、無窮小的比較86定理(等價無窮小替換定理)8、等價無窮小的性質(zhì)定理(等價無窮小替換定理)8、等價無窮小的性質(zhì)87幾個重要的等價無窮?。寒敃r，

幾個重要的等價無窮小：當時，88專升本高數(shù)數(shù)學第一章-函數(shù)、極限與連續(xù)ppt課件89專升本高數(shù)數(shù)學第一章-函數(shù)、極限與連續(xù)ppt課件90例解不能濫用等價無窮小代換.對于代數(shù)和中各無窮小不能分別替換.注意例解不能濫用等價無窮小代換.對于代數(shù)和中各無窮小不能分別替換91專升本高數(shù)數(shù)學第一章-函數(shù)、極限與連續(xù)ppt課件922007年2007年936.利用左右極限求分段函數(shù)極限6.利用左右極限求94例9解左右極限存在且相等,例9解左右極限存在且相等,95說明：1．什么情況下，需要分別求左右極限（１）求分段函數(shù)連接點處的極限

（２）被考慮的函數(shù)中，含有某些項其左右極限不相等

２.下列幾個極限不存在說明：1．什么情況下，需要分別求左右極限（１）求分段函數(shù)連96例3解例3解977.有界函數(shù)與無窮小的乘積仍為無窮小.7.有界函數(shù)與無窮小的乘積98例8解例8解99專升本高數(shù)數(shù)學第一章-函數(shù)、極限與連續(xù)ppt課件100專升本高數(shù)數(shù)學第一章-函數(shù)、極限與連續(xù)ppt課件101左右連續(xù)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)初等函數(shù)的連續(xù)性間斷點定義連續(xù)定義連續(xù)的充要條件連續(xù)函數(shù)的運算性質(zhì)非初等函數(shù)的連續(xù)性

振蕩間斷點無窮間斷點跳躍間斷點可去間斷點第一類第二類左右連續(xù)在區(qū)間[a,b]連續(xù)函數(shù)初等函數(shù)間斷點定義連續(xù)1021、連續(xù)的定義1、連續(xù)的定義103從而，則一定滿足以下條件從而，則一定滿足以下條件104例1證由定義2知例1證由定義2知105專升本高數(shù)數(shù)學第一章-函數(shù)、極限與連續(xù)ppt課件1062.單側(cè)連續(xù)定理3、連續(xù)的充要條件2.單側(cè)連續(xù)定理3、連續(xù)的充要條件107例2解右連續(xù)但不左連續(xù),例2解右連續(xù)但不左連續(xù),1084.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.例如通俗的說即一筆劃過4.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)1095、間斷點的定義5、間斷點的定義1101.跳躍間斷點例解6、間斷點的分類1.跳躍間斷點例解6、間斷點的分類1112.可去間斷點例2.可去間斷點例112解注意

可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數(shù)的定義,則可使其變?yōu)檫B續(xù)點.如上例中,解注意可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數(shù)的定義,則113跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點.特點:可去型第一類間斷點跳躍型0yx0yx跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點.特點:可去型第一類1143.第二類間斷點例解3.第二類間斷點例解115例解例解116例解函數(shù)在x=-1,x=0,x=1處沒有定義所以x=-1,x=0,x=1是函數(shù)的間斷點所以x=-1是函數(shù)的無窮間斷點所以x=0是函數(shù)的跳躍間斷點(Ⅰ)