極限與連續(xù)習(xí)題課課件

第二章極限與連續(xù)習(xí)題課第二章極限與連續(xù)習(xí)題課幾何解釋:一、數(shù)列極限

1．?dāng)?shù)列極限的定義

幾何解釋:一、數(shù)列極限1．?dāng)?shù)列極限的定義2．?dāng)?shù)列極限的運(yùn)算法則

3．?dāng)?shù)列極限的主要性質(zhì)

2．?dāng)?shù)列極限的運(yùn)算法則3．?dāng)?shù)列極限的主要性質(zhì)4．?dāng)?shù)列極限的存在準(zhǔn)則

4．?dāng)?shù)列極限的存在準(zhǔn)則二、函數(shù)的極限

1．函數(shù)極限的定義

2．函數(shù)的左右極限

左極限:右極限:二、函數(shù)的極限1．函數(shù)極限的定義2．函數(shù)的左右極限左極3．函數(shù)極限收斂的充要條件

4．函數(shù)極限的運(yùn)算法則

3．函數(shù)極限收斂的充要條件4．函數(shù)極限的運(yùn)算法則5．函數(shù)極限的主要性質(zhì)

則（4）夾逼準(zhǔn)則：若

)(3（>0或<0）,則在局部保號(hào)性：若內(nèi)有5．函數(shù)極限的主要性質(zhì)則（4）夾逼準(zhǔn)則：若)(3（>0三、無窮小與無窮大

1．無窮小的基本概念

（1）無窮小的定義（2）無窮小階的比較三、無窮小與無窮大1．無窮小的基本概念（1）無窮小的定義2．無窮小的主要性質(zhì)

四、兩個(gè)重要極限

1.2.則或五、解題方法及典型例題

2．無窮小的主要性質(zhì)四、兩個(gè)重要極限1.2.則或五、解題數(shù)列極限解題方法流程圖

求可找到數(shù)列和滿足應(yīng)用夾逼準(zhǔn)則驗(yàn)證單調(diào)有界應(yīng)用單調(diào)有界準(zhǔn)則恒等變形應(yīng)用極限的四則運(yùn)算法則求極限

判別的形式

為分式數(shù)列極限解題求可找到數(shù)列和應(yīng)用夾逼準(zhǔn)則驗(yàn)應(yīng)用等價(jià)無窮小代換應(yīng)用極限的四則運(yùn)算法則求極限

恒等變形

求判別的形式

為無窮小,且

為未定式

或

為復(fù)合函數(shù)

應(yīng)用連續(xù)函數(shù)的極限運(yùn)算準(zhǔn)則

應(yīng)用重要極限函數(shù)極限解題方法流程圖

應(yīng)用等價(jià)無窮小代換應(yīng)用極限的四則恒等變形求判別一、函數(shù)連續(xù)的基本概念

1．函數(shù)連續(xù)的定義

（1）

在點(diǎn)連續(xù):

（2）

在點(diǎn)左連續(xù):2.在連續(xù)的充要條件:右連續(xù):

（3）

在區(qū)間上連續(xù)：在

每一點(diǎn)都連續(xù)，叫做在

連續(xù)；如果同時(shí)在

右連續(xù)，在

左連續(xù),則叫做在連續(xù).Ⅱ函數(shù)的連續(xù)性

一、函數(shù)連續(xù)的基本概念1．函數(shù)連續(xù)的定義（1）在3．函數(shù)連續(xù)與極限的關(guān)系

4．間斷點(diǎn)的分類

間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)：跳躍間斷點(diǎn)：無窮間斷點(diǎn)：振蕩間斷點(diǎn)：（左右極限都存在）（左右極限至少有一個(gè)不存在）左右極限至少有一個(gè)是3．函數(shù)連續(xù)與極限的關(guān)系4．間斷點(diǎn)的分類間斷點(diǎn)第一類間斷二、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則

1．若都連續(xù);

則也連續(xù).

2．若都連續(xù);

則也連續(xù).

3．若都連續(xù);

則也連續(xù)(時(shí)).

4．復(fù)合性質(zhì)：若在點(diǎn)連續(xù);在連續(xù),則

在

連續(xù).

二、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則1．若三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)極限典型例題【例1】計(jì)算分析經(jīng)過計(jì)算可得分子分母的極限都為零，說明分子分母都有致零因子，可以將分子分母的致零因子約去，再求極限。解：函數(shù)極限典型例題【例1】計(jì)算分析經(jīng)過計(jì)算可得分子分母分析對(duì)形如的極限，分子、分母可同除以中x的最高次，再利用可求得最終結(jié)果?！纠?】計(jì)算解：分析對(duì)形如的極限，分子、分母

解：如果改為：結(jié)果如何？思考【例3】計(jì)算分析由于函數(shù)中含有根式，可利用分子有理化變形，可變成的形式。解：如果改為：結(jié)果如何？思考【例3】計(jì)算分析由于解法2：解法1:因?yàn)椋允菚r(shí)的無窮小，而為有界函數(shù)，由有界函數(shù)與無窮小的乘積仍為無窮小，知【例4】計(jì)算解法2：解法1:因?yàn)?，所以注意：下面的?jì)算是錯(cuò)誤的。因?yàn)樗砸驗(yàn)?，故并不存在，所以不能?yīng)用極限四則運(yùn)算法則。注意：下面的計(jì)算是錯(cuò)誤的。因?yàn)樗砸驗(yàn)?，故解：【?】計(jì)算分析本題含，當(dāng)與(－0)時(shí)，有不同的結(jié)果，需要用左右極限求之。解：【例5】計(jì)算分析本題含，當(dāng)解：【例6】計(jì)算而由夾逼準(zhǔn)則得分析本題是求n項(xiàng)和的數(shù)列極限問題，從通項(xiàng)的形式上看，可通過適當(dāng)放縮以后，利用夾逼準(zhǔn)則來計(jì)算。解：【例6】計(jì)算而由夾逼準(zhǔn)則得分析本題是求n項(xiàng)和的【例7】設(shè)

（1）證明存在（2）計(jì)算解：(1)由于所以又有下界即在時(shí)單調(diào)下降進(jìn)而證明了數(shù)列的有界性。由單調(diào)有界數(shù)列必有極限知【例7】設(shè)（1）證明存在（2）計(jì)算解：(1)由

解：(2)設(shè)則有（因，故舍去負(fù)值）注：應(yīng)用單調(diào)有界數(shù)列必有極限準(zhǔn)則證明數(shù)列極限存在，需分別證明數(shù)列的單調(diào)性和有界性。至于先證單調(diào)性還是有界性要根據(jù)具體問題具體分析。所以解：(2)設(shè)則有（因，故舍去負(fù)值）注

解：【例8】

計(jì)算型未定式的極限,分析這是解決方法是利用重要極限。解：【例8】計(jì)算型未定式的極限,分析這是

分析分子分母均趨于0，不能運(yùn)用運(yùn)算法則，適當(dāng)作恒等變形，再利用等價(jià)無窮小代換。解：【例9】

計(jì)算分析分子分母均趨于0，不能運(yùn)用運(yùn)算法則，適當(dāng)作恒等變

解：分子有理化極限非零部分可先提出【例10】

計(jì)算分析由于函數(shù)中分子分母都含有根式，可利用分子分母有理化變形，可求出極限。

解：分子有理化極限非零部分可先提出【例10】計(jì)算分【例11】設(shè)即所求

解：由于，極限存在故必有，于是有，即將代回原極限式有【例11】設(shè)即所求解：由于函數(shù)連續(xù)與間斷典型例題

分析求函數(shù)連續(xù)點(diǎn)處的極限，則只需直接計(jì)算函數(shù)值。

解：【例1】求下列極限：(1)

(2)函數(shù)連續(xù)與間斷典型例題分析求函數(shù)連續(xù)點(diǎn)處的極限分析

只須滿足即可.

又，故當(dāng)時(shí),在處連續(xù).【例2】設(shè)

,試確定常數(shù),使得在連續(xù)。解:要使在連續(xù)，

只需分析只須滿足【例3】設(shè)要使在內(nèi)連續(xù)，試確定的值。分析在和內(nèi)均連續(xù)，因此只需討論在分界點(diǎn)處的連續(xù)性。解：因?yàn)橐阎趦?nèi)連續(xù)，所以在處連續(xù)，則有所以【例3】設(shè)【例4】求函數(shù)的間斷點(diǎn)，并指出間斷點(diǎn)的類型。

解：由函數(shù)的表達(dá)式可知，間斷點(diǎn)只能在無定義處。因?yàn)樗詾殚g斷點(diǎn)。而所以為第二類無窮間斷點(diǎn)。

所以為第一類可去間斷點(diǎn)?！纠?】求函數(shù)的【例5】設(shè)

求的間斷點(diǎn),并說明間斷點(diǎn)所屬類型。解:由的表達(dá)式,間斷點(diǎn)只能在無定義的點(diǎn)或分界點(diǎn)處所以是第二類無窮間斷點(diǎn).當(dāng)時(shí),所以是第一類跳躍間斷點(diǎn).當(dāng)時(shí)，【例5】設(shè)求的間斷點(diǎn),并說明間斷點(diǎn)所屬類證明:令【例6】證明方程在區(qū)間

內(nèi)至少有一個(gè)根.則在上連續(xù),又由零點(diǎn)定理，至少

,使得即分析如果令，那么證明方程有根等價(jià)于有零點(diǎn)，因此可用零點(diǎn)定理證明。所以方程在區(qū)間

內(nèi)至少有一個(gè)根.證明:令【例6】證明方程證明:令

【例7】設(shè)在

上連續(xù),且證明在內(nèi)至少存在一點(diǎn)

,使.顯然在上連續(xù),已知故則當(dāng)時(shí),可取或.而當(dāng)時(shí),由零點(diǎn)定理，至少,使得分析如果令，那么證明等式成立等價(jià)于有零點(diǎn)，因此可用零點(diǎn)定理證明。即.證明:令【例7】設(shè)在上分析初等函數(shù)在其定義區(qū)間上都是連續(xù)區(qū)間，所以只要弄清了間斷點(diǎn)，也就清楚了連續(xù)區(qū)間.解：函數(shù)為初等函數(shù)，【例8】求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間，若有間斷點(diǎn)，指出間斷點(diǎn)的類型.為其間斷點(diǎn)。因?yàn)樗詾榈诙悷o窮間斷點(diǎn).所以連續(xù)區(qū)間為和分析初等函數(shù)在其定義區(qū)間上都是連續(xù)區(qū)間，所以只要弄清分析所給函數(shù)是極限的形式，首先應(yīng)