多目標規(guī)劃模型-很好課件

多目標決策由于考慮的目標多,有些目標之間又彼此有矛盾,這就使多目標問題成為一個復(fù)雜而困難的問題.但由于客觀實際的需要,多目標決策問題越來越受到重視,因而出現(xiàn)了許多解決此決策問題的方法.一般來說,其基本途徑是,把求解多目標問題轉(zhuǎn)化為求解單目標問題.其主要步驟是,先轉(zhuǎn)化為單目標問題,然后利用單目標模型的方法,求出單目標模型的最優(yōu)解,以此作為多目標問題的解.化多目標問題為單目標問題的方法大致可分為兩類,一類是轉(zhuǎn)化為一個單目標問題,另一類是轉(zhuǎn)化為多個單目標問題,關(guān)鍵是如何轉(zhuǎn)化.下面,我們介紹幾種主要的轉(zhuǎn)化方法:主要目標法、線性加權(quán)和法、字典序法、步驟法。多目標決策由于考慮的目標多,有些目標之間又彼此f1f212345678§10.1多目標決策問題的特征在解決單目標問題時，我們的任務(wù)是選擇一個或一組變量X，使目標函數(shù)f(X)取得最大（或最?。?。對于任意兩方案所對應(yīng)的解，只要比較它們相應(yīng)的目標值，就可以判斷誰優(yōu)誰劣。但在多目標情況下，問題卻不那么單純了。例如，有兩個目標f1(X)，f2(X),希望它們都越大越好。下圖列出在這兩個目標下共有8個解的方案。其中方案1，2，3，4稱為劣解，因為它們在兩個目標值上都比方案5差，是可以淘汰的解。而方案5，6，7，8是非劣解（或稱為有效解，滿意解），因為這些解都不能輕易被淘汰掉，它們中間的一個與其余任何一個相比，總有一個指標更優(yōu)越，而另一個指標卻更差。一、解的特點f1f212345678§10.1多目標決策問題的特征二、模型結(jié)構(gòu)多目標決策問題包含有三大要素：目標、方案和決策者。在多目標決策問題中，目標有多層次的含義。從最高層次來看，目標代表了問題要達到的總目標。如確定最滿意的投資項目、選擇最滿意的食品。從較低層次來看，目標可看成是體現(xiàn)總目標得以實現(xiàn)的各個具體的目標，如投資項目的盈利要大、成本要低、風險要??；目標也可看成衡量總目標得以實現(xiàn)的各個準則，如食品的味道要好，質(zhì)量要好，花費要少。多目標決策問題中的方案即為決策變量，也稱為多目標問題的解。備選方案即決策問題的可行解。在多目標決策中，有些問題的方案是有限的，有些問題的方案是無限的。方案有其特征或特性，稱之為屬性。二、模型結(jié)構(gòu)1、多目標規(guī)劃問題的模型結(jié)構(gòu)為決策變量如對于求極大(max)型，其各種解定義如下：絕對最優(yōu)解：若對于任意的X，都有F（X*）≥F(X)有效解：若不存在X，使得F（X*）≤F(X)弱有效解：若不存在X，使得F（X*)<F(X)1、多目標規(guī)劃問題的模型結(jié)構(gòu)為決策變量如對于求極大(max)多目標規(guī)劃模型-很好ppt課件多目標規(guī)劃模型-很好ppt課件§10.2多目標規(guī)劃問題的求解1、主要目標法在有些多目標決策問題中，各種目標的重要性程度往往不一樣。其中一個重要性程度最高和最為關(guān)鍵的目標，稱之為主要目標法。其余的目標則稱為非主要目標。例如，在上述多目標問題中，假定f1(X)為主要目標，其余p-1個為非主要目標。這時，希望主要目標達到極大值，并要求其余的目標滿足一定的條件，即§10.2多目標規(guī)劃問題的求解1、主要目標法例如，在上例題1某工廠在一個計劃期內(nèi)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，各產(chǎn)品都要消耗A，B，C三種不同的資源。每件產(chǎn)品對資源的單位消耗、各種資源的限量以及各產(chǎn)品的單位價格、單位利潤和所造成的單位污染如下表。假定產(chǎn)品能全部銷售出去，問每期怎樣安排生產(chǎn)，才能使利潤和產(chǎn)值都最大，且造成的污染最?。考滓屹Y源限量資源A單位消耗資源B單位消耗資源C單位消耗9434510240200300單位產(chǎn)品的價格400600單位產(chǎn)品的利潤70120單位產(chǎn)品的污染32例題1某工廠在一個計劃期內(nèi)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，各產(chǎn)品都要解：問題的多目標模型如下對于上述模型的三個目標，工廠確定利潤最大為主要目標。另兩個目標則通過預(yù)測預(yù)先給定的希望達到的目標值轉(zhuǎn)化為約束條件。經(jīng)研究，工廠認為總產(chǎn)值至少應(yīng)達到20000個單位，而污染控制在90個單位以下，即由主要目標法化為單目標問題用單純形法求得其最優(yōu)解為解：問題的多目標模型如下對于上述模型的三個目標，工廠確定利潤2、線性加權(quán)和目標規(guī)劃在上述目標規(guī)劃中，假定f1(X),f2(X),…,fp(X)具有相同的量綱,按照一定的規(guī)則分別給fi賦予相同的權(quán)系數(shù)ωi，作線性加權(quán)和評價函數(shù)則多目標問題化為如下的單目標問題2、線性加權(quán)和目標規(guī)劃在上述目標規(guī)劃中，假定f1(X),f2例如，某公司計劃購進一批新卡車，可供選擇的卡車有如下4種類型：A1，A2，A3，A4。現(xiàn)考慮6個方案屬性：維修期限f1，每100升汽油所跑的里數(shù)f2，最大載重噸數(shù)f3，價格（萬元）f4，可靠性f5，靈敏性f6。這4種型號的卡車分別關(guān)于目標屬性的指標值fij如下表所示。fijf1f2f3f4f5f6A12.01500455一般高A22.527003.665低一般A32.020004.245高很高A42.21800450很高一般首先對不同度量單位和不同數(shù)量級的指標值進行標準化處理。先將定性指標定量化：例如，某公司計劃購進一批新卡車，可供選擇的卡車有如下4種類型效益型指標很低低一般高很高13579很高高一般低很低成本型指標可靠性和靈敏性都屬于效益型指標，其打分如下可靠性一般低高很高5379靈敏性高一般很高一般7595按以下公式作無量綱的標準化處理其中：效益型指標很低低一般高很高13579很高高一般低很低變換后的指標值矩陣為：aijf1f2f3f4f5f6A1116750.53450.5A2100100110011A3142.25100167100A440.625.756725.751001設(shè)權(quán)系數(shù)向量為W=（0.2,0.1,0.1,0.1,0.2,0.3),則故最優(yōu)方案為選購A3型卡車變換后的指標值矩陣為：aijf1f2f3f4f5f6A1113、分層序列法：1.基本步驟：把(VP)中的p個目標按其重要程度排序。依次求單目標規(guī)劃的最優(yōu)解。2.過程：無妨設(shè)其次序為先求解得最優(yōu)值，記再解得最優(yōu)值，依次進行，直到得最優(yōu)值則是在分層序列意義下的最優(yōu)解集合。3、分層序列法：3.性質(zhì)：，即在分層序列意義下的最優(yōu)解是有效解。證明：反證。設(shè)，但，則必存在使即至少有一個j0，使,由于，即，矛盾。得證。4.進一步討論：上述方法過程中，當某個問題(Pj)的解唯一時，則問題的求解無意義，因為解都是唯一的。實際求解時，有較寬容意義下的分層序列法：取為預(yù)先給定的寬容值，整個解法同原方法類似，只是取各約束集合時，分別取為：3.性質(zhì)：，即在分層序列意目標規(guī)劃模型線性規(guī)劃問題都是處理單個目標的情況，但是在現(xiàn)實世界中有許多問題具有多個目標，這些目標的重要性各不相同，往往有不同的量綱，有的目標相互依賴，例如決策者既希望實現(xiàn)利潤最大，又希望實現(xiàn)產(chǎn)值最大；有的相互抵觸，如決策者既希望充分利用資源，又不希望超越資源限量。而決策者希望在某些限制條件下，依次實現(xiàn)這些目標。這就是目標規(guī)劃所要解決的問題。當所有的目標函數(shù)和約束條件都是線性時，我們稱其為線性目標規(guī)劃問題。在這里我們主要討論線性目標規(guī)劃問題。一、目標規(guī)劃模型的建立

目標規(guī)劃模型線性規(guī)劃問題都是處理單個目標的情引例1：對于生產(chǎn)計劃問題：

甲乙資源限額材料2324工時3226單位利潤43

現(xiàn)在工廠領(lǐng)導(dǎo)要考慮市場等一系列其他因素，提出如下目標：（1）根據(jù)市場信息，甲產(chǎn)品的銷量有下降的趨勢，而乙產(chǎn)品的銷量有上升的趨勢，故考慮乙產(chǎn)品的產(chǎn)量應(yīng)大于甲產(chǎn)品的產(chǎn)量。（2）盡可能充分利用工時，不希望加班。（3）應(yīng)盡可能達到并超過計劃利潤30元。現(xiàn)在的問題是：在原材料不能超計劃使用的前提下，如何安排生產(chǎn)才能使上述目標依次實現(xiàn)？引例1：對于生產(chǎn)計劃問題：現(xiàn)在工廠領(lǐng)導(dǎo)要考慮市場等一系解：（1）決策變量：仍設(shè)每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各為x1和x2

偏差變量：對于每一目標，我們引進正、負偏差變量。如對于目標1，設(shè)d1-表示乙產(chǎn)品的產(chǎn)量低于甲產(chǎn)品產(chǎn)量的數(shù)，d1+表示乙產(chǎn)品的產(chǎn)量高于甲產(chǎn)品產(chǎn)量的數(shù)。稱它們分別為產(chǎn)量比較的負偏差變量和正偏差變量。則對于目標1，可將它表示為等式約束的形式-x1+x2+d1--d1+=0(目標約束)

同樣設(shè)d2-和d2+分別表示安排生產(chǎn)時，低于可利用工時和高于可利用工時，即加班工時的偏差變量，則對目標2，有3x1+2x2+d2--d2+=26

對于目標3，設(shè)d3-和d3+分別表示安排生產(chǎn)時，低于計劃利潤30元和高于計劃利潤30元的偏差變量，有：解：（1）決策變量：仍設(shè)每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各為x1和x24x1+3x2+d3--d3+=30（2）約束條件：有資源約束和目標約束資源約束：2x1+3x2≤24

目標約束：為上述各目標中得出的約束（3）目標函數(shù)：三個目標依次為：minZ1=d1-，minZ2=d2++d2-，minZ3=d3-

因而該問題的數(shù)學(xué)模型可表述如下：minZ1=d1-，minZ2=d2++d2-，minZ3=d3-2x1+3x2≤24s．t．-x1+x2+d1--d1+=03x1+2x2+d2--d2+=264x1+3x2+d3--d3+=304x1+3x2+

案例2（提級加新問題）某公司的員工工資有四級，根據(jù)公司的業(yè)務(wù)發(fā)展情況，準備招收部分新員工，并將部分員工的工資提升一級。該公司的員工工資及提級前后的編制表如下，其中提級后編制是計劃編制，允許有變化，其中1級員工中有8%要退休。公司領(lǐng)導(dǎo)的目標如下：（1）提級后在職員工的工資總額不超過550千元；（2）各級員工不要超過定編人數(shù)；（3）為調(diào)動積極性，各級員工的升級面不少于現(xiàn)有人數(shù)的18%；（4）總提級面不大于20%，但盡可能多提；（5）4級不足編制人數(shù)可錄用新工人。案例2（提級加新問題）某公司的員工工資有四級，根據(jù)公司的問：應(yīng)如何擬定一具滿意的方案，才能接近上述目標？級別1234工資（千元）8643現(xiàn)有員工數(shù)10204030編制員工數(shù)10225230解：（1）決策變量：設(shè)x1,x2,x3,x4分別表示提升到1，2，3級和新錄用的員工數(shù)。偏差變量：為各目標的正、負偏差變量。（2）約束條件：1）

提級后在職員工的工資總額不超過550千元；8(10-10

8%+x1)+6(20-x1+x2)+4(40-x2+x3)+3(30-x3+x4)+d1--d1+=550

問：應(yīng)如何擬定一具滿意的方案，才能接近上述目標？級別123

2）各級員工不要超過定編人數(shù)1級有：10-10

8%+x1+d2--d2+=102級有：20-x1+x2+d3--d3+=223級有：40-x2+x3+d4--d4+=524級有：30-x3+x4+d5--d5+=303）各級員工的升級面不少于現(xiàn)有人數(shù)的18%對2級有：x1+d6--d6+=22

18%對3級有：x2+d7--d7+=40

18%

對4級有：x3+d8--d8+=30

18%

4）總提級面人數(shù)不大于20%，但盡可能多提x1+x2+x3+d9--d9+=100

20%2）各級員工不要超過定編人數(shù)（3）目標函數(shù)：minZ1=d1+minZ2=d2++d3++d4++d5+minZ3=d6-+d7-+d8-minZ4=d9++d9-案例3有三個產(chǎn)地向四個銷地供應(yīng)物資。產(chǎn)地Ai(i=1,2,3)的供應(yīng)量ai、銷地Bj(j=1,2,3,4)的需要量bj、各產(chǎn)銷地之間的單位物資運費Cij如表2所示。表中，ai和bj的單位為噸，Cij的單位為元/噸。編制調(diào)運方案時要求按照相應(yīng)的優(yōu)先級依次考慮下列七個目標：P1：B4是重點保證單位，其需要量應(yīng)盡可能全部滿足；P2：A3向B1提供的物資不少于100噸；P3：每個銷地得到的物資數(shù)量不少于其需要量的80%；（3）目標函數(shù)：案例3有三個產(chǎn)地向四個銷地供應(yīng)物資。P4：實際的總運費不超過最小總運費a的110%，這里的最小總費用利用第三大題中第2小題求出的結(jié)果；P5：因路況原因，盡量避免安排A2的物資運往B4；P6：對B1和B3的供應(yīng)率要盡可能相同；P7：力求使總運費最省。試建立該問題的運籌學(xué)模型。CijBjAiB1B2B3B4aiA15267300A23546200A34523400bj200100450250解：用表上作業(yè)法可求得不考慮P1至P6各目標時的最小運費調(diào)運方案，相應(yīng)的最小運費為2950元P4：實際的總運費不超過最小總運費a的110%，這里的最小總（1）決策變量：設(shè)Ai運往Bj的物資為xij噸（2）約束條件：產(chǎn)量約束B4銷量要滿足銷量80%的限制供應(yīng)率盡可能相同（1）決策變量：設(shè)Ai運往Bj的物資為xij噸（2）約束條件二、目標規(guī)劃的解法由于目標規(guī)劃有多個目標，各個目標又有相對不同的重要性，求解時是首先滿足重要性權(quán)數(shù)大的目標，再滿足重要性權(quán)數(shù)次大的目標，所以并不能保證所有的目標都能達到，所求的解也不一定是最優(yōu)解，而只能求出滿意解。（3）目標函數(shù)二、目標規(guī)劃的解法（3）目標函數(shù)

求解目標規(guī)劃的仍用單純形法，但是與線性規(guī)劃的單純形法不同的是，此時檢驗數(shù)行不再是一行，而是變化為一個檢驗數(shù)矩陣。

例4

用單純形法求解如下線性目標規(guī)劃模型minZ1=d1-，minZ2=d2++d2-，minZ3=d3-2x1+3x2≤24加入松馳變量化為標準形

2x1+3x2+x3=24s．t．-x1+x2+d1--d1+=0