古典概型與幾何概型課件

1讀書患不多，思義患不明。患足己不學(xué)，既學(xué)患不行。1讀書患不多，思義患不明。2§1.4古典概型與幾何概型※古典概型※幾何概型2§1.4古典概型與幾何概型※古典概型※幾何概型3預(yù)備知識◆排列與組合知識排列：從

個不同元素中任取

個元素排成一列（考慮元素先后出現(xiàn)次序，且取后不放回），稱此為一個排列，此種排列的總數(shù)為nn-1n-2n-k+1①當(dāng)

時，則稱為全排列，全排列的總數(shù)為3預(yù)備知識◆排列與組合知識排列：從個不同元素中任取4預(yù)備知識②重復(fù)排列：從

個不同元素中每次任取一個，放回后再取下一個，如此連續(xù)取次所得的排列稱為重復(fù)排列，nnnn此種重復(fù)排列數(shù)共有個，這里可以大于。4預(yù)備知識②重復(fù)排列：從個不同元素中每次任取一個，放5預(yù)備知識組合：從

個不同元素中任取

個元素并成一組（不考慮元素先后出現(xiàn)次序），稱為一個組合，此種組合的總數(shù)為易知：5預(yù)備知識組合：從個不同元素中任取個元素并成一組（不6乘法原理：設(shè)完成一件事需分兩步，第一步有

種方法,第二步有

種方法，則完成這件事共有

種方法。（也可推廣到分若干步）6乘法原理：設(shè)完成一件事需分兩步，第一步有種方法,第二7加法原理：設(shè)完成一件事有兩種途徑，第一種途徑有

種方法,第種途徑有

種方法，則完成這件事共有

種方法。（也可推廣到分若干途徑）注：這兩個原理的思想貫穿著整個概率問題的求解。7加法原理：設(shè)完成一件事有兩種途徑，第一種途徑有種方法8怎樣計算古典概型中事件的概率？若隨機試驗具有以下兩個特點：⑵在一次試驗中，每個樣本點出現(xiàn)的可能性相同，則稱該試驗為古典概型，古典概型⑴其樣本空間只含有限個樣本點，又稱等可能概型。即即8怎樣計算古典概型中事件的概率？若隨機試驗具有以下兩個特點：9設(shè)是上述古典概型的任一事件，其含有個樣本點，即故樣本點總數(shù)包含的樣本點個數(shù)9設(shè)是上述古典概型的任一事件，其含有個樣本點，即故樣10例：拋兩枚硬幣，觀察正反面出現(xiàn)的情況，求出現(xiàn)一個正面一個反面的概率。例：一家庭有兩個孩子，求一個男孩一個女孩的概率。正正，正反，反正，反反一個正面一個反面正反，反正解：由題又設(shè)則10例：拋兩枚硬幣，觀察正反面出現(xiàn)的情況，求出現(xiàn)一個正面一個11古典概型的基本模型例：袋中有

只白球，

只紅球，從袋中任取只球，求取到只白球的概率。一、摸球模型◆無放回摸球樣本空間包含解：由題，又設(shè)個樣本點，取到只白球則中含有個樣本點，故11古典概型的基本模型例：袋中有只白球，只紅球，從12任取

只球

，每次摸出后不放回，例：袋中有

只白球，

只紅球，從袋中依次連續(xù)求最后一次摸到白球的概率。樣本空間包含解：由題，由于考慮到了取球的次序，又設(shè)個樣本點，最后一次摸到白球則中含有個樣本點，故【抓鬮原理】12任取只球，每次摸出后13問題1設(shè)袋中有4只白球和2只黑球,現(xiàn)從袋中無放回地一次同時摸出2只球,求這2只球都是白球的概率。問題2設(shè)袋中有4只白球和2只黑球,現(xiàn)從袋中無放回地依次摸出2只球,求這2只球都是白球的概率?！窘M合問題】【排列問題】13問題1設(shè)袋中有4只白球和2只黑球,現(xiàn)從袋中無放回地14◆有放回摸球樣本空間包含解：由題，又設(shè)個樣本點，則中含有個樣本點，故例：袋中有

只白球，

只紅球，從袋中有放回地取次球，求前次取到白球，而后次取到紅球的概率。前次取到白球，后次取到紅球14◆有放回摸球樣本空間包含解：由題，又設(shè)個樣本點，15二、分球入盒模型【分房模型】例：將只球隨機地放入個盒子中去，假設(shè)盒子的容量不限，試求下列事件的概率：（1）每個盒子至多有一只球

；（2）某指定的個盒子中各有一球；（3）恰有個盒子中各有一球；（4）某指定的盒子中有個球。15二、分球入盒模型【分房模型】例：將只球隨機地放入16樣本空間包含解：由題，個樣本點，而中含有個樣本點，故中含有個樣本點，故中含有個樣本點，故中含有個樣本點，故每個盒子至多有一只球某指定的個盒子中各有一球恰有個盒子中各有一球某指定的盒子中有個球16樣本空間包含解：由題，個樣本點，而中含有個樣171o

生日問題假設(shè)一年有365天，參加某次聚會共個人,求至少有兩人生日相同的概率？樣本空間包含解：由題，又設(shè)個樣本點，至少有兩個人生日相同則每天至多有一個人生日只球，個人天個盒子，分析：從而每個盒子至多有一只球171o生日問題假設(shè)一年有365天，參加某次聚182o

電話號碼問題在7位數(shù)的電話號碼中，第一位不能為0，求數(shù)字0出現(xiàn)3次的概率。

3o骰子問題擲3顆均勻骰子，求點數(shù)之和為4的概率。182o電話號碼問題在7位數(shù)的電話號碼中，第一19例：在1到2000的整數(shù)中隨機地取一個數(shù),問取到的整數(shù)既不能被6整除,又不能被8整除的概率是多少?三、隨機取數(shù)模型樣本空間包含解：由題，設(shè)個樣本點，取到的數(shù)能被6整除則所求為取到的數(shù)能被8整除19例：在1到2000的整數(shù)中隨機地取一個數(shù),問取到的整數(shù)既20由于故同理故進而20由于故同理故進而21練習(xí)題：從0，1，2，……，9共十個數(shù)中隨機取4個，求下列事件的概率：（1）4個數(shù)中不含1和8

（2）4個數(shù)中既含1也含8

（3）4個數(shù)中不含1或821練習(xí)題：從0，1，2，……，9共十個數(shù)中隨機取4個，求下22注記在實際應(yīng)用中，概率非常接近1的事件可近似地看成必然事件，稱為幾乎必然事件。概率非常小的事件，稱為小概率事件。統(tǒng)計推斷原理:小概率事件在一次試驗中是幾乎不可能發(fā)生的。

下面的例題就是可利用該統(tǒng)計推斷原理對某種假設(shè)作出判斷（接受或拒絕），這在數(shù)理統(tǒng)計的假設(shè)檢驗中是非常有用的。22注記在實際應(yīng)用中，概率非常接近1的事件可近似地看成必23例：某接待站在某一周曾接待過12次來訪,已知所有這12次接待都是在周二和周四進行的,問是否可以推斷接待時間是有規(guī)定的？（假設(shè)來訪者在一周的任一天去接待站是等可能的）

假設(shè)接待站的接待時間沒有規(guī)定，且各來訪者在一周的任一天中去接待站是等可能的。解：周一周二周三周四周五周六周日12341277777故一周內(nèi)接待12次來訪共有23例：某接待站在某一周曾接待過12次來訪,已知所有這12次24小概率事件在一次試驗中幾乎是不可能發(fā)生的,從而可知接待時間是有規(guī)定的。周一周二周三周四周五周六周日周二周四1234122222212次接待都是在周二和周四進行的共有故12次接待都是在周二和周四進行的概率為24小概率事件在一次試驗中幾乎是不可能發(fā)生的,從25計算古典概率的基本思路

理解題意：分析隨機試驗的基本事件，構(gòu)造盡可能簡單的等可能的樣本空間，特別是不同方法求解時，必須在同一樣本空間中進行計算；

設(shè)好事件:一般在理解題意前提下，設(shè)出一些簡單事件，使其它復(fù)雜事件能利用簡單事件的關(guān)系與運算表達出來；

正確計數(shù)：計算樣本點總數(shù)[基本事件總數(shù)]和事件所含樣本點總數(shù)[有利場合數(shù)]，避免計數(shù)的重復(fù)或遺漏。常用到排列、組合、乘法原理和加法原理等知識。25計算古典概率的基本思路理解題意：分析隨機試驗的基本事件26

利用公式：常用古典概率計算公式、對立事件概率公式、加法公式、全概公式、貝葉斯公式、乘法公式等。

注意模型：解題時注意模型化，抓住問題本質(zhì)。26利用公式：常用古典概率計算公式、對立事件概率公式、加法27例：某5萬平方公里的海域中，大約有40平方公里的大陸架貯藏有石油。若在這海域中任選一點進行鉆探，問能夠發(fā)現(xiàn)石油的概率是多少？古典概型的特點：基本事件的等可能性有限個樣本點27例：某5萬平方公里的海域中，大約有40平方公里的大陸架貯28幾何概型若隨機試驗具有如下特點：則稱這種試驗為幾何概型。量成正比，而與該區(qū)域的位置和形狀無關(guān)；⑴隨機試驗的樣本空間為可度量的幾何區(qū)域；⑵中任一區(qū)域出現(xiàn)的可能性大小與該區(qū)域的幾何度的幾何度量的幾何度量對于幾何概型，若事件是中某一區(qū)域，且可度量，則事件的概率為28幾何概型若隨機試驗具有如下特點：則稱這種試驗為幾何概型。29③如果樣本空間為有界區(qū)間、平面有界區(qū)域、空間有界區(qū)域，則其幾何度量指的就是“長度”、“面積”、“體積”。②事件

發(fā)生的概率與位置無關(guān),只與

的度量有關(guān)，這體現(xiàn)了某種“等可能性”；注：①當(dāng)古典概型的試驗結(jié)果為連續(xù)無窮多個時,就歸結(jié)為幾何概型；29③如果樣本空間為有界區(qū)間、平面有界區(qū)域、空間有界區(qū)域30例：(約會問題)兩人相約7點到8點在某地會面，先到者等候另一人20分鐘，過時離去。試求這兩人能會面的概率。設(shè)兩人到達約會地點的時刻分別為解：由題，則顯然有且兩人能夠會面又設(shè)30例：(約會問題)兩人相約7點到8點在某地會面，先到者等31故的幾何度量的幾何度量31故的幾何度量的幾何度量32例：隨機地從區(qū)間里取兩個數(shù)，求下列事件的概率：⑴兩數(shù)之和小于

；⑵兩數(shù)之和小于

，且兩數(shù)之積大于。32例：隨機地從區(qū)間里取兩個數(shù)，求下列事件的概率33問題：商場以轉(zhuǎn)盤游戲方式對某商品打折促銷，當(dāng)指針指向圓周上

段時，打一折，在以下兩種情況下分別求打一折的概率是多少？(1)如果在轉(zhuǎn)盤上，

段縮小為一點，那么打一折的概率是多少？打一折不可能事件的概率一定為0；概率為0的事件不一定是不可能事件。33問題：商場以轉(zhuǎn)盤游戲方式對某商品打折促銷，當(dāng)指針指向圓周34(2)如果在轉(zhuǎn)盤上，

段擴大為圓周上除一點外剩下部分，那么打一折的概率是多少？打一折必然事件的概率一定為1；概率為