mm教育方式下常微分方程教學實驗方案的設計與實施

mm教育方式下常微分方程教學實驗方案的設計與實施

常微分方程是高師數(shù)學專業(yè)的一門基礎課程，起著連接上、下、左、右基礎支持作用。廣泛應用于物理、電子技術、自動控制、宇宙空間、遺產等學科和領域。因此，它已成為數(shù)學和科學實踐的主要途徑之一。當前為了適應高等教育快速發(fā)展的需要,如何提高數(shù)學專業(yè)基礎課程的課堂教學效益、培養(yǎng)學生良好的數(shù)學思維和創(chuàng)新能力,是擺在廣大高校數(shù)學教師面前的重要課題,應引起廣泛的關注。筆者兩年來在本科班開展常微分方程課堂教學改革實驗,運用MM教育方式進行創(chuàng)新教學,創(chuàng)設和實施了MM教學實驗方案,并獲得了許多有益的教學體驗和初步效果、現(xiàn)作如下的回顧與總結。1自主發(fā)現(xiàn)算法思想根據常微分方程課程自身內容結構的特點,設計教學方案的總體目標是:通過常微分方程的MM教學,教會高師學生掌握和運用數(shù)學思想方法去“自主發(fā)現(xiàn)”新的數(shù)學問題,合情猜想和合理推證好的結論,從而達到善用數(shù)學方法論解決實際應用問題和提高教學、科研的創(chuàng)新能力的目的。其方案貫徹以MM為“綱”,以“問題解決”為“目”,以創(chuàng)新運用為“標”,“綱”舉“目”張而達“標”的教學為指導思想。具體地說,就是始終貫穿數(shù)學方法論這條紅線,圍繞“問題解決”為中心,“問題探究”為途徑去展開常微分方程內容的教學,簡稱為MM方式下的“問題探究”法實驗。2以數(shù)學思想方法為核心,注重數(shù)學建模和分章分類教學2.1實驗前的鋪墊準備:由于常微分方程既是數(shù)學分析的直接延拓,也是后繼課程復變和實變函數(shù)學習的基礎,因此實驗前教師認真做好如下準備工作是十分有益的。2.1.1前期先上選修課程《數(shù)學方法論》,可為教學實驗奠定數(shù)學方法論的理論基礎。2.1.2理順基礎課程間相關內容的銜接。教師首先應吃透和理順數(shù)分、高代與常微方程間相關內容的銜接,尤其在一些結合點上(基術運算及技巧)要作前期鋪墊,如不定積分法與技巧函數(shù)序列的一致收斂,矩陣的特征值與特征向量,線性方程(組)解的相關理論及一、二階導數(shù)的幾何、物理意義等方面的內容要強化復習。2.1.3認真上好緒論課。遵循“有了良好的開端便等于成功了一半”的格言,花大力氣上好導言第一課是至關重要的。首先簡單介紹常微方程的發(fā)展史,讓學生明了數(shù)學方法有力地推動了數(shù)學新學科的發(fā)展的道理;接著闡釋數(shù)學分析中所使用過的主要數(shù)學思想方法如建構、轉化、變換、特殊化、一般化、分類討論等思想及觀察、歸納、類比等合情推理方法的范例;然后逐一分類展現(xiàn)微分方程的實際背景材料及問題,從而導出各類微分方程及其解等相關概念。如列舉幾何問題,變速直線運動問題,力學(擺)問題,電路問題,氣溫變化問題,物質衰變問題,經濟數(shù)學問題,第二宇宙速度和海王星運行軌道等問題,以問題為趣激發(fā)學生好奇學習的積極心態(tài)。2.1.4備課的關鍵是重點備好數(shù)學思想方法。要分章逐節(jié)確定教材運用的主要數(shù)學思想方法,如第二章《一階微分方程的初等解法》主要運用轉化思想,具體采取恒等變形、變量變換和積分因子等方法。即一些一階非變量分離方程可經適當?shù)淖兞孔儞Q化為變量分離方程;一階非齊線性方程可經常數(shù)變易化為變量分離方程;非恰當方程可經適宜的積分因子化為恰當方程;一階隱方程可經適當?shù)膮?shù)法化為導數(shù)已解出的方程;伯努利方程可經變換2.2教學實驗的過程闡釋:實驗分別在97級和98級(2)兩個本科班進行,具體采取如下新穎做法。2.2.1注重教法創(chuàng)新。在具體教學中采用章(節(jié))為單元(位)進行系統(tǒng)的MM下的“問題探究”法,實際的教學途徑是創(chuàng)設問題景(設疑激趣引新問題,挖掘與已知問題的異同及聯(lián)系,是否可轉化),巧用思想方法(針對問題新特點,選準用好思想方法),探究“自主發(fā)現(xiàn)”(運用觀察、實驗、歸納、類比、聯(lián)想、猜測等合情推理探求與發(fā)現(xiàn)新思路),推證新知結論(嚴密而科學地論證新結論),獲得“問題解決”(歸納解決問題的理論與方法,反思各類問題的不同解法,檢驗漏解情形,給出原問題的合理解答),開發(fā)實際應用(聯(lián)系實際自編應用題)。2.2.2注重學法指導。用數(shù)學思想方法論來指導學生學習常微方程,會收到增“智”促”效”的學習效果。實質上,采取徐利治教授倡導的“關系映射反演”原理是最高明的學法指導方法。即在學習和研究各類微分方程(組)問題時,總是按如下RMI原理的圖示進行思考是明智之舉。筆者抓住兩個主要環(huán)節(jié)進行學法指導即2.2.2.1建模思想的指導。引導學生從實際問題出發(fā),優(yōu)選自變量與未知函數(shù),尋找自變量、未知函數(shù)與其導數(shù)之間的等量關系,建立相應問題的微分方程(組)模型,完成實際問題模型化的過程。筆者在教學中有目的地將社會經濟生活和現(xiàn)代科學技術的熱點問題引申進課堂,建立以下典型模型:(A)最速下降模型;(B)確定性貯存模型;(C)人口增長的馬爾薩斯模型;(D)捕食者與被捕食者的伏特拉模型;(E)傳染病的SIS模型等。2.2.2.2解模方法的指導。指導學生對各章內容作歸納總結和系統(tǒng)梳理工作,匯編成知識網絡。教會學生在熟悉各類方程(組)的常規(guī)解法的基礎上,對具體問題作具體分析,分別不同情況采用不同方法,還要根據方程的特點,引進適當?shù)淖儞Q或分類方法,進行一題多解和變式的發(fā)散訓練。在解模策略上我歸納出如下口訣讓學生掌握:判類型,選方法;抓一般,轉特殊;查網絡,尋聯(lián)系;先基礎,后綜合;重常規(guī),變奇異:非線性找變換,非齊線用變易。2.2.3注重合情推理。充分運用歸納法將一階五種基本方程(變量分離、齊次方程、線性方程、伯努利方程及恰當方程)歸納為變量分離和恰當方程兩類基礎方程求解,常糸數(shù)非齊線性方程(組)特解求法歸納為常數(shù)變易、待定系數(shù)和拉普拉斯變換三種方法;充分運用類比法將線性方程與線性方程組解的結構理論相類比,將一階微分方程與線性微分方程組解的存在唯一性定理及逐步逼近法相類比進行合情推理教學。2.2.4注重人文教育。緊扣教材內容,講評伯努利、黎卡提、歐拉、拉普拉斯和貝塞耳等數(shù)學家生平事績和發(fā)明創(chuàng)造的史料,追尋他們當年探索相應方程解法的思維軌跡和發(fā)現(xiàn)過程,學習數(shù)學家獨特的數(shù)學思維方式,用數(shù)學家勇于創(chuàng)新、勤于求索的數(shù)學精神去點燃學生學好數(shù)學的熊熊烈火,激勵學生以他們?yōu)榘駱?開創(chuàng)今后的創(chuàng)新學習和自主發(fā)現(xiàn)。2.2.5注重合作交流。現(xiàn)代數(shù)學教育理論認為,當今的數(shù)學課堂教學應成為師生、學生之間交互合作交流的活動過程,在這種充分合作的環(huán)境下,教師是合作的主持人和啟用數(shù)學思想方法的主導者,學生是合作的主要群體和運用數(shù)學思想方法的自主者,而數(shù)學方法論就是他們進行相互交流的最好的理論武器和合作軟件。在教學中我充分創(chuàng)設和提供這種合作交流的條件與機會,分別采取專題討論、師生答疑、板書演講、作業(yè)互評、說課評教、建模講座和寫作輔導等多種形式進行多向交流。在講完伯努利方程的換元解法后,我有意識地組織同學進行《如何推廣伯努利方程解法》的專題討論,利用變式問題引導學生參予研究。首先列四道題讓四組同學分別練習各組選派代表上臺講答,并誘導學生歸納出共同的解法規(guī)律即通過不同的變換得出結構相似的通解形式;接著再給出如下更一般化形式⑤dy/dx=Q(x)y⑥dy/dx=Q(x)f(x)+P(x)f(y)·∫[1/f(y)]dy[其中1/f(y)可積]。師生共同歸結得出⑥的通解為dy/dx=Q(x)f[g(y)]/gΦ[g(y)]=∫d[g(y)]/f[g(y)]=e∫3重視數(shù)學方法論在常微方程學習中的應用3.1培養(yǎng)高師生學會“自我發(fā)現(xiàn)”的本領。日本筑波大學校長江崎:“學生在大學時代要學習‘自我發(fā)現(xiàn)’的本領”。徐利治先生又說“教育過程能有助于自我發(fā)現(xiàn)和自我志趣的實現(xiàn)”。由此可見,高師數(shù)學教育的根本任務就是培養(yǎng)師范生學會‘自我發(fā)現(xiàn)’的本領,從而“教師的主要任務是要把自學方法和研究興趣傳授給學生,‘講課即講學’主要是啟發(fā)、鼓舞學生的鉆研興趣”,教學實驗的結果證實了這個道理。實驗班同學普遍對數(shù)學方法論情有獨鐘,認識到掌握用活數(shù)學思想方法不僅是提高常微分方程教學質量的一把金鑰匙,而且對其它數(shù)學課程的教學也起到“點金術”的作用,對師范生一輩子做人處世理事都有深遠的指導意義。他們在評教評學中都深有感觸地寫到“通過運用數(shù)學方法論指導常微方程的學習,不僅讓我們饒有興趣地學到了科學文化知識,而且更可貴的是自覺地學會了終身受益的數(shù)學思想方法——這是指導我們今后開拓教學與科研創(chuàng)新工作的無價之寶”。教學實驗集教學、學習和研究三位一體協(xié)調發(fā)展。這體現(xiàn)在:一節(jié)省了教學時數(shù),收到事半功倍的教學效果;二實驗班同學學會了自主學習的方法,主動到圖書館廣泛查閱學習資料,大幅度提高了學習效率和學習成績,98(2)班期考合格率100%,優(yōu)秀率達32%,不少同學還做對了附加題;三他們通過論文寫作講座的輔導后,初步形成愛鉆研講發(fā)現(xiàn)的良好氛圍,初步學會“自我發(fā)現(xiàn)”新知識的本領,寫出了一批頗有新見的處女作,并在數(shù)學系第四屆畢業(yè)論文報告會上宣讀獲獎論文如《三類非線性微分方程及其初等解法》、《變量變換法解幾類微分方程》、《一道微分方程的多種解法》、《微分方程的積分因子法》、《一道習題的改編與延拓》和《轉化思想在解微分方程中的運用》等。3.2提高高師生的能力與素質。根據師范性的特點,有意識讓學生自行改造和編制微分方程的應用題和例(習)題,教會學生掌握一般改變條件,結論、背景材料或特殊化、一般化等方法去構編新命題,有效地進行文理結合,提高了師范生今后出好試題的能力;在97級教學實習中大部分同學均能自覺運用MM教育方式備好課上課,受到實習學校師生的一致好評;對后繼課程也能運用數(shù)學方法進行有效學習,大部分同學通過了大學四級英語和計算機等級考試,起到正遷移學習的作用;參加課外興趣小組學習的同學組隊參加全國大學生建模競賽榮獲三等獎,97級有30%同學積極參加考