高中各種函數(shù)圖像畫法與函數(shù)性質(zhì)

高中各種函數(shù)圖像畫法與函數(shù)性質(zhì)一次函數(shù)是指函數(shù)的最高次項為一次的函數(shù)，通常的形式是y=kx+b，其中k和b為常數(shù)。確定一次函數(shù)的定義域需要考慮以下幾種情況：當(dāng)關(guān)系式為整式時，函數(shù)定義域為全體實數(shù)；當(dāng)關(guān)系式含有分式時，分式的分母不等于零；當(dāng)關(guān)系式含有二次根式時，被開放方數(shù)大于等于零；當(dāng)關(guān)系式中含有指數(shù)為零的式子時，底數(shù)不等于零。同時，在實際問題中，函數(shù)定義域還要和實際情況相符合，使之有意義。一次函數(shù)的圖象是一條直線，其斜率k可以表示為y隨x的增大而增大或減小，而截距b可以表示為y在x=0時的值。根據(jù)斜率的正負和大小，可以判斷函數(shù)的單調(diào)性和增減性。二次函數(shù)是指函數(shù)的最高次項為二次的函數(shù)，通常的形式是f(x)=ax^2+bx+c，其中a、b、c為常數(shù)且a不等于0。確定二次函數(shù)的定義域需要考慮分母不等于零的情況，同時，根據(jù)二次函數(shù)的圖像特征，可以得到其對稱軸、頂點坐標(biāo)、定義域、值域等信息。二次函數(shù)的圖像是一個開口向上或向下的拋物線，其開口方向和頂點坐標(biāo)可以表示為a的正負和大小。二次函數(shù)圖像的對稱有五種情況，分別是關(guān)于x軸、y軸、原點、頂點和任意一點對稱。對稱后的解析式可以根據(jù)對稱軸和頂點坐標(biāo)來確定。反比例函數(shù)是指函數(shù)的形式為y=k/x，其中k為常數(shù)。反比例函數(shù)的圖像是一條以原點為對稱中心的中心對稱的雙曲線。a＜1時，圖像在R上是減函數(shù)。4.指數(shù)函數(shù)的圖像經(jīng)過點（0，1），且隨著自變量的增大或減小，函數(shù)值不會超過1或小于0，即指數(shù)函數(shù)的值域為(0，+∞)。5.指數(shù)函數(shù)的圖像在x軸上不存在水平漸近線，但存在一條y=0的水平漸近線。6.指數(shù)函數(shù)的圖像在y軸左側(cè)存在一條垂直漸近線x=0。7.指數(shù)函數(shù)的圖像在第一象限內(nèi)單調(diào)遞增，在第二象限內(nèi)單調(diào)遞減，在第三象限內(nèi)單調(diào)遞增，在第四象限內(nèi)單調(diào)遞減。8.指數(shù)函數(shù)的圖像在x軸右側(cè)與x軸交于點(1，0)，在x軸左側(cè)無交點。9.指數(shù)函數(shù)的圖像在y軸右側(cè)無交點，且隨著自變量的增大，函數(shù)值趨近于無限大，即指數(shù)函數(shù)具有無窮增長性。10.指數(shù)函數(shù)的圖像在y軸左側(cè)存在一個對稱點(-1，1/a)，即關(guān)于y軸對稱。11.指數(shù)函數(shù)的圖像在第一象限內(nèi)與y=x有交點，且關(guān)于y=x對稱；在第三象限內(nèi)與y=x無交點，但也關(guān)于y=x對稱。12.指數(shù)函數(shù)的圖像在第二象限內(nèi)與y=-x有交點，且關(guān)于y=-x對稱；在第四象限內(nèi)與y=-x無交點，但也關(guān)于y=-x對稱。1.當(dāng)a<1時，指數(shù)函數(shù)y=ax在定義域R上是減函數(shù)。2.指數(shù)函數(shù)y=ax既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。3.比較冪函數(shù)大小的方法：1)當(dāng)?shù)讛?shù)相同時，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行比較；2)當(dāng)?shù)讛?shù)中含有字母時，要注意分類討論；3)當(dāng)?shù)讛?shù)不同，指數(shù)也不同時，需要引入中間量進行比較；4)對多個數(shù)進行比較，可用1或-1作為中間量進行比較。4.底數(shù)的平移：在指數(shù)上加上一個數(shù)，圖像會向左平移；減去一個數(shù)，圖像會向右平移。在f(x)后加上一個數(shù)，圖像會向上平移；減去一個數(shù)，圖像會向下平移。5.對數(shù)函數(shù)：1)對數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，即y=loga(x)是y=a^x的反函數(shù)；2)因為指數(shù)函數(shù)y=ax的定義域為(-∞，+∞)，值域為(0，+∞)，所以對數(shù)函數(shù)y=loga(x)的定義域為(0，+∞)，值域為(-∞，+∞)；3)對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，因此它們的圖像對稱于直線y=x；4)對數(shù)函數(shù)y=loga(x)(a＞，a≠1)的圖像是單調(diào)增加的，且a越大，圖像越陡峭；5)比較對數(shù)大小的常用方法有：(1)若底數(shù)為同一常數(shù)，則可由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進行判斷；(2)若底數(shù)為同一字母，則按對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性對底數(shù)進行分類討論；(3)若底數(shù)不同、真數(shù)相同，則可用換底公式化為同底再進行比較；(4)若底數(shù)、真數(shù)都不相同，則常借助1、-1等中間量進行比較。6.指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)對比：名稱指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)一般形y=ax(a＞，a≠1)y=loga(x)(a＞，a≠1)圖像性質(zhì)在R上單調(diào)增加或減少在(0，+∞)上單調(diào)增加底數(shù)與真數(shù)的關(guān)系底數(shù)和真數(shù)同增或同減底數(shù)增加，真數(shù)增加；底數(shù)減少，真數(shù)減少當(dāng)1時，函數(shù)是嚴格增函數(shù)，當(dāng)01時，函數(shù)是嚴格減函數(shù)；（4）在第二象限內(nèi)，函數(shù)是偶函數(shù)；（5）在第三象限內(nèi)，函數(shù)是嚴格減函數(shù)；（6）在第四象限內(nèi)，函數(shù)是奇函數(shù)。當(dāng)0時，冪函數(shù)yx有下列性質(zhì)：（1）當(dāng)為奇數(shù)時，函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)為偶數(shù)時，函數(shù)是偶函數(shù)；（2）在第一象限內(nèi)，當(dāng)為負偶數(shù)時，函數(shù)是增函數(shù)，當(dāng)為負奇數(shù)時，函數(shù)是減函數(shù)；（3）在第二象限內(nèi)，函數(shù)是偶函數(shù)；（4）在第三象限內(nèi)，當(dāng)為負偶數(shù)時，函數(shù)是減函數(shù)，當(dāng)為負奇數(shù)時，函數(shù)是增函數(shù)；（5）在第四象限內(nèi)，函數(shù)是奇函數(shù)。冪函數(shù)yx的圖像關(guān)于直線y=x對稱。當(dāng)1時，圖像位于y=x上方，當(dāng)01時，圖像位于y=x下方。當(dāng)冪函數(shù)的指數(shù)α小于1時，具有以下性質(zhì)：圖像通過點(1,1)，在第一象限內(nèi)是向下凸的，向上與y軸無限接近，向右無限接近x軸。圖像在第一象限內(nèi)過點(1,1)后，α越大，圖像下降的速度越快。無論α取任何實數(shù)，冪函數(shù)的圖像必然經(jīng)過第一象限，并且不經(jīng)過第四象限。對于對號函數(shù)y=ax+b（a>0,b>0），它在區(qū)間(0,+∞)的圖像類似于符號“√”，利用對號函數(shù)的圖像和均值不等式，當(dāng)x>0時，ax+b≥2√(axb)（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號）。由此可得函數(shù)y=ax+b（a>0,b>0,x∈R+）在x=b/a時有最小值2，特別地，當(dāng)a=b=1時函數(shù)有最小值2。函數(shù)y=ax+b（a>0,b>0）在區(qū)間(0,b/a)上是減函數(shù)，在區(qū)間(b/a,+∞)上是增函數(shù)。因為對號函數(shù)是奇函數(shù)，所以可