高中物理奧賽《力學》資料匯編

高中物理競賽《力學》

1.1常見的力

1.2力的合成與分解

1.5一般物體的平衡

2.1質(zhì)點運動學的基本概念

2.2運動的合成與分解相對運動

2.3拋體運動

2.4質(zhì)點的圓周運動

2.5幾種速度的特殊求法

3.1牛頓定律

3.2牛頓定律在曲線運動中的應用

3.4應用牛頓運動定律解題的方法和步驟

3.5力和運動的關(guān)系

3.6萬有引力天體的運動

4.10天體的運動與能量

4.1動量與沖量動量定理

4.4功和功率

4.7功能原理和機械能守恒定律

4.8碰撞

5.1簡諧振動

5.3振動能量與共振

5.4振動的合成

5.5機械波

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第一講力、物體的平衡

§1.1常見的力

1.L1、力的概念和量度

慣性定律指出，一個物體，如果沒有受到其他物體作用，它就保持其相對于

慣性參照系的速度不變,也就是說,如果物體相對于慣性參照系的速度有所改變,

必是由于受到其他物體對它的作用，在力學中將這種作用稱為力。凡是講到一個

力的時候，應當說清楚講到的是哪一物體施了哪一個物體的力。

一個物體，受到了另一物體施于它的力，則它相對于慣性參照系的速度就要

變化，或者說，它獲得相對于慣性參照系的加速度，很自然以它作用于一定的物

體所引起的加速度作為力的大小的量度。實際進行力的量度的時候，用彈簧秤來

測量。

重力由于地球的吸引而使物體受到的力，方向豎直向下，在地面附近，

可近似認為重力不變（重力實際是地球?qū)ξ矬w引力的一個分力，隨緯度和距地面

的高度而變化）

彈力物體發(fā)生彈性變形后，其內(nèi)部原子相對

位置改變，而對外部產(chǎn)生的宏觀反作用力。反映固體

F

a=-

材料彈性性質(zhì)的胡克定律，建立了脅強（應力）s

_A/

與脅變（應變）'之間的正比例關(guān)系，如圖所示

a-Es

式中E為楊氏彈性模量，它表示將彈性桿拉長一倍時，橫截面上所需的應力。

彈力的大小取決于變形的程度，彈簧的彈力，遵循胡克定律，在彈性限度內(nèi),

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彈簧彈力的大小與形變量（伸長或壓縮量）成正比。

F=-kx

式中x表示形變量；負號表示彈力的方向與形變的方向相反；k為勁度系數(shù)，由

鏈條等，其張力

7［方位：沿柔索

（指向：拉物體

一般不計柔索的彈性，認為是不可伸長的?；喗M中，若不計摩擦與滑輪質(zhì)

量，同一根繩內(nèi)的張力處處相等。

2、光滑面（圖1-1-3）接觸處的切

平面方位不受力，其法向支承力

J方位:沿法線

N4

指向：壓物體

3、光滑較鏈

物體局部接觸處仍屬于光滑面，但由于接觸位置難于事

先確定，這類接觸反力的方位，除了某些情況能由平衡條件定出外，一般按坐標

分量形式設定。

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(1)圓柱形較鏈(圖

1-1-4,圖1-1-5,圖1-1-6)

由兩個圓孔和一個圓柱

銷組成。在孔的軸線方向

圖1-1-4

不承受作用力，其分力圖1-1-5圖1-1-6

x［方位：沿x軸

［指向：待定

［方位:沿y軸

［指向:待定

圖中AC桿受力如圖，支座B處為可動較，水平方向不受約束，反力如圖。

(2)球形封鏈(圖1-1-7,a1-1-8)由一

個球碗和一個球頭組成，其反力可分解為

X

方位：沿坐標軸

Y

,指向：待定圖1-1-7圖1-1-8

Z

4

X］方位：沿坐標軸

“指向：待定

〃「方位：平面力系作用面

MJ

A轉(zhuǎn)向：待定

摩擦力物體與物體接觸時，在接觸面上有一種阻止它們相對滑動的作用

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力稱為摩擦力。

不僅固體與固體的接觸面上有摩擦，固體與液體的接觸面或固體與氣體的接

觸面上也有摩擦，我們主要討論固體與固體間的摩擦。

1.1.2、摩擦分為靜摩擦和滑動摩擦

當兩個相互接觸的物體之間存在相對滑動的趨勢（就是說：假如它們之間的

接觸是“光滑的”，將發(fā)生相對滑動）時，產(chǎn)生的摩擦力為靜摩擦力，其方向與

接觸面上相對運動趨勢的指向相反，大小視具體情況而定，由平衡條件或從動力

學的運動方程解算出來，最大靜摩擦力為

/max=

式中〃。稱為靜摩擦因數(shù)，它取決于接觸面的材料與接觸面的狀況等，N為

兩物體間的正壓力。

當兩個相互接觸的物體之間有相對滑動時，產(chǎn)生的摩擦力為滑動摩擦力?；?/p>

動摩擦力的方向與相對運動的方向相反，其大小與兩物體間的正壓力成正比。

f="N

〃為滑動摩擦因數(shù)，取決于接觸面的材料與接觸面的表面狀況，在通常的

相對速度范圍內(nèi)，可看作常量，在通常情況下，〃。與〃可不加區(qū)別，兩物體維持

相對靜止的動力學條件為靜摩擦力的絕對值滿足

YK人=pN

在接觸物的材料和表面粗糙程度相同的條件下，靜摩擦因數(shù)〃。略大于動摩

擦因數(shù)

摩擦角令靜摩擦因數(shù)〃。等于某一角。的正切值，即〃。=火夕，這個。角

就稱為摩擦角。在臨界摩擦（將要發(fā)生滑動狀態(tài)下）Je/N=M=tg（P。支承

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面作用于物體的沿法線方向的彈力N與最大靜摩擦力的合力F（簡稱全反力）

與接觸面法線方向的夾角等于摩擦角，如圖1-1-11所示（圖中未畫其他力）。在

一般情況下，靜摩擦力/。未達到最大值，即

因此接觸面反作

用于物體的全反力尸

的作用線與面法線的

a=arctg—

夾角N,不

會大于摩擦角，即。（夕。物體不會滑動。由此可知，運用摩擦角可判斷物體是

否產(chǎn)生滑動的條件。如圖1-1-12放在平面上的物體A,用力F去推它，設摩擦

角為@，推力F與法線夾角為a,當。＜。時，無論F多大，也不可能推動物塊

A,只有。時，才可能推動A。

摩擦力作用的時間因為只有當兩個物體之間有相對運動或相對運動趨勢

時，才有摩擦力，所以要注意摩擦力作用的時間。如一個小球豎直落下與一塊在

水平方向上運動的木塊碰撞后，向斜上方彈出，假設碰撞時間為加，但可能小

球不需要加時間，在水平方向上便已具有了與木塊相同的速度，則在剩下的時

間內(nèi)小球和木塊盡管還是接觸的，但互相已沒有摩擦力。

如圖1-1-14,小木塊和水平地面之間的動摩擦因數(shù)為〃，用一個與水平方

向成多大角度的力F拉著木塊勻速直線運動最省力？

將摩擦力/和地面對木塊的彈力N合成qAF.

F

一個力尸，摩擦角為;\lx尸，Z

G

圖1-1-14

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(p=ts——=tsU

N這樣木塊受三個力：重力G,桌面對木塊的作用力尸和

拉力F,如圖1-1-14,作出力的三角形，很容易看出當F垂直于尸時尸最小，即

有F與水平方向成夕=tg”時最小。

例1、如圖1TT5所示皮帶速度為％,物A在皮帶上以速度匕垂直朝皮

帶邊運動，試求物A所受摩擦力的方向。

解：物A相對地運動速度為匕，匕=%+匕，滑

動摩擦力f與匕方向相反如圖所示。

例2、物體所受全反力R與法向的夾角a＞外的

情形可能出現(xiàn)嗎？

解：不可能。因為若有"%則即No這是不可

能的。然而在要判斷一個受摩擦物體是否靜止時，可事先假定它靜止，由平衡求

a=fgT(Z)

出N,有如下三種情形:

＜玲靜止

o=0"臨界狀態(tài)

＞滑動

圖1TT6

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§1.2力的合成與分解

1.2.1、力的合成遵循平行四邊形法則

即力片和尸2的合力即此二力構(gòu)成的平行四邊形的對角線所表示的力F,如圖

1-2T(a)根據(jù)此法則可衍化出三角形法則。即：將《，尸2通過平移使其首尾相接,

則由起點指向末端的力F上........一■F——

即片，尸2的合力。(如圖

1-2-1(b))

圖1-2T

如果有多個共點力求

合力，可在三角形法則的基礎上，演化為多邊形法則。如圖12-2所示，a圖為

有四個力共點O,b圖表示四個力矢首尾相接，從力的作用點0連接力F&力矢末

端的有向線段就表示它們的合力。而(c)圖表示五個共點力組成的多邊形是閉合

的，即片力矢的起步與用力矢的終點重合，這表示它們的合力為零。

力的分解是力的合成的逆運算，也遵循力的平行四邊形法則，一般而言，一

個力分解為兩力有多解答，為得確定解還有附加條件，通常有以下三種情況：

①已知合力和它兩分力方向，求這兩分力大小。這有確定的一組解答。

②已知合力

力。這也有確定

的確答。

③已知合力和其中一個分力大小及另一個分力方向，求第一個合力方向和第

二分力大小，其解答可能有三種情況：一解、兩解利無解。

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1.2.2、平面共點力系合成的解析法

如圖1-2-3,將平面共點力及其合力構(gòu)成力的多邊形abcde,并在該平面取

直角坐標系Oxy,作出各力在兩坐標軸上的投影，從圖上可見:

F+F+F

R、=lx2X+EX4X

Ry=Ky+F"+K*+Ex

上式說明，合

力在任意一軸上

的投影，等于各分

力在同一軸上投

影的代數(shù)和，這也

稱為合力投影定

理。知道了合力R的兩個投影段和號，就不難求出合力的大小與方向了。合

力R的大小為：

R=m+&

合力的方向可用合力R與x軸所夾的角的正切值來確定:

1.2.3、平行力的合成與分解

作用在一個物體上的幾個力的作用線平行，且不作用于同一點，稱為平行力

系。如圖「2-4如果力的方向又相同，則稱為同向平行力。

兩個同向平行力的合

力（R）的大小等于兩分力

大小之和，合力作用線與

(b)

圖1-2-4

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分力平行，合力方向與兩分力方向相同，合力作用點在兩分力作用點的連線上，

合力作用點到分力作用點的距離與分力的大小成反比，如圖l-2-4(a),有：

R=Fl+F2

<AO_F2

訪二區(qū)

兩個反向平行力的合力(R)的大小等于兩分力大小之差，合力作用線仍與

合力平行，合力方向與較大的分力方向相同，合力的作用點在兩分力作用點連線

的延長線上，在較大力的外側(cè)，它到兩分力作用點的距離與兩分力大小成反比，

如圖1-2-4(b),有：

R=F「F?

OA_F\_

1.2.4、空間中力的投影與分解

力在某軸上的投影定義為力的大小乘以力與該

軸正向間夾角的余弦，如圖1-2-5中的齊力在ox、

oy、oz軸上的投影X、Y、Z分別定義為

X=Fcosa

Y=Fcos0>

Z=Feos/

這就是直接投影法所得結(jié)果，也可如圖1-2-6所示采用二次投影法。這時

X=Frv,cos(FD.,x)

式中"D為戶在oxy平面上的投影矢量,

而

艮人同sin(艮Z)

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力沿直角坐標軸的分解式

F=Xi+Yj+Zk=Fxi+Fj+F:k

§L3共點力作用下物體的平衡

1.3.1、共點力作用下物體的平衡條件

兒個力如果都作用在物體的同一點，或者它們的作用線相交于同一點，這兒

個力叫作共點力。當物體可視為質(zhì)點時，作用在其上的力都可視為共點力。當物

體不能視為質(zhì)點時.，作用于其上的力是否可視為共點力要看具體情況而定。

物體的平衡包括靜平衡與動平衡，具體是指物體處于靜止、勻速直線運動和

勻速轉(zhuǎn)動這三種平衡狀態(tài)。

共點力作用下物體的平衡條件是；物體所受到的力的合力為零。

或其分量式：

2外=02綜=。2七=°

/ii

如果在三個或三個以上的共點力作用下物體處

于平衡，用力的圖示表示，則這些力必組成首尾相共，%

接的閉合力矢三角形或多邊形；力系中的任一個力F,

必與其余所有力的合力平衡；如果物體只在兩個力圖上3-1

作用下平衡，則此二力必大小相等、方向相反、且

在同一條直線上，我們常稱為一對平衡力；如果物體在三個力作用下平衡，則此

三力一定共點、一定在同一個平面內(nèi)，如圖1-3T所示，且滿足下式（拉密定理）:

sinasin(3sin/

1.3.2、推論

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物體在n(n23)個外力作用下處于平衡狀態(tài)，若其中有n-l個力為共點力，

即它們的作用線交于0點，則最后一個外力的作用線也必過0點，整個外力組必

為共點力。這是因為n-l個外力構(gòu)成的力組為共點(0點)力，這n-l個的合力

必過0點，最后一個外力與這nT個外力的合力平衡，其作用線必過。點。

特例，物體在作用線共面的三個非平行力作用下處于平衡狀態(tài)時，這三個力

的作用線必相交于一點且一定共面。

§1.4固定轉(zhuǎn)動軸物體的平衡

1.4.1、力矩

力的三要素是大小、方向和作用點。由作用點和力的。

。、、、/

方向所確定的射線稱為力的作用線。力作用于物體，常能d、'、Z

//

使物體發(fā)生轉(zhuǎn)動，這時外力的作用效果不僅取決于外力的

圖1-4-1

大小和方向，而且取決于外力作用線與軸的距離——力臂

(d)o

力與力臂的乘積稱為力矩，記為M,則M=Fd,如圖1-4-1,0為垂直于紙面

的固定軸，力F在紙面內(nèi)。

力矩是改變物體轉(zhuǎn)動狀態(tài)的原因。力的作用線與軸平行時，此力對物體繞該

軸轉(zhuǎn)動沒有作用。若力F不在與軸垂直的平面內(nèi)，可先將力分解為垂直于軸的分

量F_L和平行于軸的分量F//,F〃對轉(zhuǎn)動不起作用，這時力F的力矩為M=Fld?

通常規(guī)定繞逆時方向轉(zhuǎn)動的力矩為正。當物體受到多個力作用時，物體所

受的總力矩等于各個力產(chǎn)生力矩的代數(shù)和。

1.4.2、力偶和力偶矩

一對大小相等、方向相反但不共線的力稱為力偶。：、、

一出

個％

圖1-4-2

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如圖1-4-2中片，尸2即為力偶，力偶不能合成為一個力，是一個基本力學量。對

于與力偶所在平面垂直的任一軸，這一對力的力矩的代數(shù)和稱為力偶矩，注意到

Fi=&=F,不難得到，M=Fd,式中d為兩力間的距離。力偶矩與所相對的軸

無關(guān)。

1.4.3、有固定轉(zhuǎn)動軸物體的平衡

有固定轉(zhuǎn)軸的物體，若處于平衡狀態(tài)，作用于物體上各力的力矩的代數(shù)和為

零。

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§1.5一般物體的平衡

力對物體的作用可以改變物體的運動狀態(tài)，物體各部位所受力的合力對物體

的平動有影響，合力矩對物體的轉(zhuǎn)動有影響。如果兩種影響都沒有，就稱物體處

于平衡狀態(tài)。因此，一般物體處于平衡時，要求物體所受合外力為零（工廠外=①

和合力矩為零二°）同時滿足，一般物體的平衡條件寫成分量式為

Z工=oJX=o

Z4=oJX=o

分別為對X軸、y軸、Z軸的力矩。

由空間-一般力系的平衡方程，去掉由力系的兒何性質(zhì)能自動滿足的平衡方

程，容易導出各種特殊力系的獨立平衡方程。

如平面力系（設在g平面內(nèi)），則Z"=心心=°，IX=°自動滿足,

則獨立的平衡方程為：

%=0

K=0

ZMz=°這一方程中的轉(zhuǎn)軸可根據(jù)需要任意選取，一般原則是使盡量多的

力的力臂為零。

平面匯交力系與平面平行力系的獨立方程均為二個，空間匯交力系和空間平行力系的

獨立平衡方程均為三個。

§1.6平衡的穩(wěn)定性

1.6.1、重心

物體的重心即重力的作用點。在重力加速度后為常矢量的區(qū)域，物體的重心

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是惟一的（我們討論的都是這種情形），重心也就是物體各部分所受重力的合力

的作用點，由于重力與質(zhì)量成正比，重力合力的作用點即為質(zhì)心，即重心與質(zhì)心

重合。

求重心，也就是求一組平行力的合力

作用點。相距L,質(zhì)量分別為犯的兩

個質(zhì)點構(gòu)成的質(zhì)點組，其重心在兩質(zhì)點的

連線上，且網(wǎng)，加2與相距分別為：

（叫+m2）L1—m2L=0

（叫+m2）L2-mlL=0

mLmJ

2=

mx+m2mx+m2

均勻規(guī)則形狀的物體，其重心在它的兒何中心，求-一般物體的重心，常用的

方法是將物體分割成若干個重心容易確定的部分后，再用求同向平行力合力的方

法找出其重心。

物體重心（或質(zhì)心）位置的求法

我們可以利用力矩和為零的平衡條件來求物體的重心位置。如圖卜6-1由重

量分別為G”G2的兩均勻圓球和重量為G3的均勻桿連成的系統(tǒng)，設立如圖坐標

系，原點取在A球最左側(cè)點，兩球與桿的重心的坐標分別為X”X2，》3,系統(tǒng)重心

在P點，我們現(xiàn)在求其坐標X。設想在P處給一支持力R,令穴=5+62+63達

到平衡時有：

=G]x}+G2X2+G3X3-Rx=0

_G]元]+G2X2+G3X3_G]X|+G2X2+G3元3

RGj+G)+G3

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這樣就得出了如圖所示的系統(tǒng)的重心坐標。若有多個物體組成的系統(tǒng)，我們

不難證明其重心位置為:

EGiXj

X=￡Gi

yZGi

YGiz

Gi

一般來說，物體的質(zhì)心位置與重心位置重合，由上面公式很易得到質(zhì)心位置

公式:

內(nèi)Pf=I

X=

圖1-6-2

y

Xmi

￡/z,.

Z

E叫

如圖1-6-2,有5個外形完全一樣的均勻金屬棒首尾相接焊在一起，從左至

右其密度分別為P、LIP、L2P、1.3P、1.4P,設每根棒長均為，，求其質(zhì)

心位置，若為n段，密度仍如上遞增，質(zhì)心位置又在什么地方?

解：設整個棒重心離最左端距離為X,則由求質(zhì)心公式有

〉2"%七m\x\+mxH-------l-/7zx

x=2255

mx+m2H-------Fm5

/3579

^.2+1.1^-2/+1.2^-2/+1.3^-2/+1.4^-2/

w+l.lpv+1.2pv+1.3pv4-1.4p&

2.67/

若為n段，按上式遞推得:

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n—\

,1+1.1x3+1.2x5+1.3x7+?-?+(1+——)(2/1-1)

X」10

2/?—1

/1+1.1+1.2+1.3+…+(1+—)

10

將坐標原點移到第一段棒的重心上，則上式化為：

n—1

1.1+1.2x2+1.3x3+…+(1+—)(〃一1)

X________________________10I

H—I

1+1.1+1.2+…+(1+——)

10

1r\1

(1+—)+(1+—)x2+---+(l+—)(n-1)

101010

71—1

1+1.1+1.2+---+(1+)

10

[1+2+---+(H-1)]+—[l2+22+---+(H-1)2]

=---------------------------：--------1

n—\

l+l.l+L2+???+(l+——)

10

_(n-1)(2H+3q)[

3(〃+q)

24的小球，均質(zhì)桿重量為

35「

—G

64,長度，=4R,試求系統(tǒng)的重心位置。

解：將挖去部份的重力，用等值、反向的力取代，圖示系統(tǒng)可簡化為圖1-1-31

所示平行力系；其中

G.=S,G'G

864o設重心位置為0,則合力

G2793

kv=G+G-----------G=—G

86464

月Z(G)=。即

G0R-OC)+—G(OC+3/?+-)=—(3/?---0C+—GOC+G(3R+OC)

6448264

0C=0.53R

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1.6.2、物體平衡的種類

物體的平衡分為三類：

穩(wěn)定平衡處于平衡狀態(tài)的物體，當受到外界的擾動而偏離平衡位置時，

如果外力或外力矩促使物體回到原平衡位置，這樣的平衡叫穩(wěn)定平衡，處于穩(wěn)定

平衡的物體，偏離平衡位置時，重心一般是升高的。

不穩(wěn)定平衡處于平衡狀態(tài)的物體，當受到外界的擾動而偏離平衡位置時,

如果外力或外力矩促使物體偏離原來的平衡位置，這樣的平衡叫不穩(wěn)定平衡，處

于不穩(wěn)定平衡的物體，偏離平衡位置時，重心一般是降低的。

隨遇平衡處于平衡狀態(tài)的物體，當受到外界擾動而偏離平衡位置時，物

體受到的合外力或合力矩沒有變化，這樣的平衡叫隨遇平衡，處于隨遇平衡的物

體，偏離平衡位置后，重心高度不變。

在平動方面，物體不同方面上可以處于不同的平衡狀態(tài)，在轉(zhuǎn)動方面，對不

同方向的轉(zhuǎn)軸可以處于不同的平衡狀態(tài)。例如，一個位于光滑水平面上的直管底

部的質(zhì)點，受到平行于管軸方向的擾動時，處于隨遇平衡狀態(tài)；受到與軸垂直方

向的擾動時，處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，一細棒，當它直立于水平桌面時，是不穩(wěn)定平

衡，當它平放在水平桌面時，是隨遇平衡。

1.6.3、穩(wěn)度

物體穩(wěn)定的程度叫穩(wěn)度，一般說來，使一個物體的平衡遭到破壞所需的能量

越多，這個平衡的穩(wěn)度就越高。穩(wěn)度與重心的高度及支面的大小有關(guān)，重心越低,

支面越大，穩(wěn)度越大。

§1.7流體靜力學

流體并沒有一定的開頭可以自由流動，但具有一定的密度，一般認為理想流

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體具有不可壓縮的特征。

1.7.1、靜止流體中的壓強

(1)靜止流體內(nèi)部壓強的特點

在靜止流體內(nèi)任何一點處都有壓強，這一壓

強與方向無關(guān)僅與該點的深度有關(guān)；相連通的靜

止流體內(nèi)部同一深度上各點的壓強相等。

關(guān)于流體內(nèi)部的壓強與方向無關(guān)，可以證明

如下：

在靜止流體中的某點處任取一個長為△/的極小的直角三棱液柱，令其兩側(cè)

面分別在豎直面內(nèi)利水平面內(nèi)，作其截面如圖廠7-1所示，圖中坐標軸x沿水平

方向，坐標軸y沿豎直方向，以△〃分別表示此液柱截面三角形的三條邊

長，且以a表示此截面三角形的一個銳角如圖1-7T,又以尸「，4廣，分別表示對

應側(cè)面上壓強的大小，則各側(cè)面所受壓力的大小分別為：

然=於"

第=PQX

M,=給〃。

由此液柱很小，則其重力將遠小于它的一個側(cè)面所受到的壓力，故可忽略其重力

的作用。則由此液柱的平衡條件知上述三力應互相平衡，乃有：

"=△于"cosa

%Sina

.AyA/=PA/?A/cos6f

V

un=Pn\n\lsina

注意到X=Artsina,Ay=cosa,代入上式便得

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PH

說明在流體內(nèi)部的同一點處向各個方向的壓強是相等的。

(2)靜止流體內(nèi)部壓強的大小

若靜止流體表面處的壓強為Po(通常即為與該流體表面相接觸的氣體的壓

強)，流體的密度為夕，則此流體表面下深度為h處的壓強為

P=Po+Pgh

由上式可見，在靜止流體內(nèi)部高度差為△〃的兩點間的壓強差為

bp=pgAh

1.7.2、浮力與浮心

浮力是物體在流體中所受壓力的合力。浸沒在靜止流體內(nèi)的物體受到的浮力

等于它所排開流體的重量，浮力的方向豎直向上。這就是阿基米德定律，可表示

產(chǎn)=「液8%

浮力的作用點稱為浮心，浮心就是與浸沒在流體中的物體同形狀、同體積那

部分流體的重心，它并不等同于物體的重心。只有在物體密度均勻時，它才與浸

沒在液體中的物體部分的重心重合。

1.7.3、浮體平衡的穩(wěn)定性

浮在液體表面的浮體，所受浮力與重力大小F|%

相等、方向相反，處于平衡狀態(tài)。浮體平衡的穩(wěn)—/oQ----/QIy—

定性，將因所受擾動方式的不同而異。顯然，浮V<G

體對鉛垂方向的擾動，其平衡是穩(wěn)定的；對水平

圖1-7-2

方向的擾動，其平衡是隨遇的。

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浮體對于過質(zhì)心的水平對稱軸的旋轉(zhuǎn)擾動，其平衡的穩(wěn)定性視具體情況而

定。以浮力水面的船體為例：當船體向右傾斜（即船體繞過質(zhì)心。的水平對稱軸

轉(zhuǎn)動一小角度）時，其浮心（浮力作用點）Q將向右偏離，浮力F與重力G構(gòu)成

一對力偶，力偶矩將促使船體恢復到原來的方位，如圖1-7-26）所示，可見船

體對這種擾動，其平衡是穩(wěn)定的。但如果船體重心0太高，船體傾斜所造成的力

偶矩也可能促使船體傾斜加劇，這時船體的平衡就是不穩(wěn)的，如圖17-2（b）所

示。

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第二講運動學

§2.1質(zhì)點運動學的基本概念

2.1.1、參照物和參照系

要準確確定質(zhì)點的位置及其變化，必須事先選取另一個假定不動的物體作參

照，這個被選的物體叫做參照物。為了定量地描述物體的運動需要在參照物上建

立坐標，構(gòu)成坐標系。

通常選用直角坐標系。-引憶，有時也采用極坐標系。平面直角坐標系一般有

三種，一種是兩軸沿水平豎直方向，另一是兩軸沿平行與垂直斜面方向，第三是

兩軸沿曲線的切線和法線方向（我們常把這種坐標稱為自然坐標）。

2.1.2、位矢位移和路程

在直角坐標系中，質(zhì)點的位置可用三個坐標x,y,z表示，當質(zhì)點運動時，

它的坐標是時間的函數(shù)

x=X(t)y=Y(t)z=Z(t)

這就是質(zhì)點的運動方程。

質(zhì)點的位置也可用從坐標原點。指向質(zhì)點

P（x、y、z）的有向線段廣來表示。如圖2-1-1

所示，r也是描述質(zhì)點在空間中位置的物理量。

；的長度為質(zhì)點到原點之間的距離，7的方向由

余弦cos。、cos，、cosy決定,它們之間滿足圖2-1-1

cos2a+cos20+cos2y-1

當質(zhì)點運動時，其位矢的大小和方向也隨時間

而變，可表示為；=；（0。在直角坐標系中,設分別

圖2-1-2

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為：、j、%沿方向X、y、Z和單位矢量，則7可表示為

r(t)=x(f)i+y(t)j+z(r)k

位矢7與坐標原點的選擇有關(guān)。

研究質(zhì)點的運動，不僅要知道它的位置，還必須知道它的位置的變化情況，

如果質(zhì)點從空間一點々(為，弘，號)運動到另一點尸2(》2，為a2),相應的位矢由入

變到72,其改變量為△)

Ar=r2-r,=(x2-x,)i+(y2-y1)j+(z2-zj%

稱為質(zhì)點的位移，如圖2-1-2所示，位移是矢量，它是從初始位置指向終止位置

的一個有向線段。它描寫在一定時間內(nèi)質(zhì)點位置變動的大小和方向。它與坐標原

點的選擇無關(guān)。

2.1.3、速度

平均速度質(zhì)點在一段時間內(nèi)通過的位移和所用的時間之比叫做這段時間

內(nèi)的平均速度

_s

V-一

平均速度是矢量，其方向為與△尸的方向相同。平均速度的大小，與所取的

時間間隔△，有關(guān)，因此須指明是哪一段時間(或哪一段位移)的平均速度。

瞬時速度當&為無限小量，即趨于零時，△尸成為/時刻的瞬時速度，簡

稱速度

v=limv=lim—

Ar->0A/->0A.

瞬時速度是矢量，其方向在軌跡的切線方向。

瞬時速度的大小稱為速率。速率是標量。

2.L4、加速度

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平均加速度質(zhì)點在4時間內(nèi)，速度變化量為則△"與4的比值為

這段時間內(nèi)的平均加速度

-Av

a=——

△t

平均加速度是矢量，其方向為的方向。

瞬時加速度當△/為無限小量，即趨于零時，國與4的比值稱為此時刻

的瞬時加速度，簡稱加速度

Av

a=lim——

△T。AZ

加速度是矢量，其方向就是當&趨于零時，速度增量的極限方向。

2.1.5、勻變速直線運動

加速度之不隨時間f變化的直線運動稱為勻變速直線運動。若2與"同方向，

則為勻加速直線運動；若）與"反方向，則為勻減速直線運動。

勻變速直線運動的規(guī)律為：

一一廠=2公s=w=5（%+v”

勻變速直線運動的規(guī)律也可以用圖像描述。其位移一時間圖像（s?/圖）和

速度一時間圖像（v?t圖）分別如圖2-1-3和圖2-1-4所示。

從（S?。圖像可S，

Uk

得出：

（1）任意一段時間

內(nèi)的位移。

（2）平均速度，在C)t|t2.t0-----------------------*

圖2-1-3圖2-1-4

02-G）的時間內(nèi)的

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平均速度的大小，是通過圖線上點1、點2的割線的斜率。

(3)瞬時速度，圖線上某點的切線的斜率值，等于該時刻的速度值。從s?/

圖像可得出：

從(v?f)圖像可得出：

(1)任意時刻的速度。

(2)任意一段時間內(nèi)的位移，，一時間內(nèi)的位移等于V?f圖線，，1、，2時刻

與橫軸所圍的“面積”。這一結(jié)論對非勻變速直線運動同樣成立。

(3)加速度，v?t圖線的斜率等于加速度的值。若為非勻變速直線運動，則u?，

圖線任一點切線的斜率即為該時刻的瞬時加速度的大小。

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§2.2運動的合成與分解相對運動

2.2.1、運動的合成與分解

(1)矢量的合成與分解

矢量的合成與分解的基本方法是平行四邊形法則，即兩分量構(gòu)成平行四邊形

的兩鄰邊，合矢量為該平行四邊形與兩分量共點的對角線。由平行四邊形法則又

衍生出三角形法則，多個矢量的合成又可推導出多邊形法則。

同一直線上的矢量的合成與分解可以簡化為代數(shù)運算，由此，不在同一直線

上的矢量的合成與分解一般通過正交分解法進行運算，即把各個矢量向互相垂直

的坐標軸投影，先在各軸上進行代數(shù)運算之后，再進行矢量運算。

(2)運動的合成和分解

運動的合成與分解是矢量的合成與分解的一種。運動的合成與分解一般包括

位移、速度、加速度等的合成與分解。運動的合成與分解的特點主耍有：①運動

的合成與分解總是與力的作用相對應的；②各個分運動有互不相干的性質(zhì)，即各

個方向上的運動與其他方向的運動存在與否無關(guān)，這與力的獨立作用原理是對應

的；③位移等物理量是在一段時間內(nèi)才可完成的，故他們的合成與分解要講究等

時性，即各個運動要取相同時間內(nèi)的位移;④瞬時速度等物理量是指某一時刻的，

故它們的合成分解要講究瞬時性，即必須取同一時刻的速度。

兩直線運動的合成不一定就是直線運動，這一點同學們可以證明。如：①兩

勻速直線運動的合成仍為勻速直線運動；②兩初速為零(同一時刻)的勻加速直

線運動的合成仍為初速為零的勻加速直線運動；③在同一直線上的一個勻速運動

和一個初速為零的勻變速運動的合運動是一個初速不為零的勻變速直線運動，

如：豎上拋與豎下拋運動；④不在同一直線上的一個勻速運動與一個初速為零的

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勻加速直線運動的合成是一個曲線運動，如：斜拋運動。

2.2.2、相對運動

任何物體的運動都是相對于一定的參照系而言的，相對于不同的參照系，同

一物體的運動往往具有不同的特征、不同的運動學量。

通常將相對觀察者靜止的參照系稱為靜止參照系；將相對觀察者運動的參照

系稱為運動參照系。物體相對靜止參照系的運動稱為絕對運動，相應的速度和加

速度分別稱為絕對速度和絕對加速度；物體相對運動參照系的運動稱為相對運

動，相應的速度和加速度分別稱為相對速度和相對加速度；而運動參照系相對靜

止參照系的運動稱為牽連運動，相應的速度和加速度分別稱為牽連速度和牽連加

速度。

絕對運動、相對運動、牽連運動的速度關(guān)系是：絕對速度等于相對速度和牽

連速度的矢量和。

‘絕對="相對+'牽旌

這一結(jié)論對運動參照系是相對于靜止參照系作平動還是轉(zhuǎn)動都成立。

當運動參照系相對靜止參照系作平動時，加速度也存在同樣的關(guān)系：

萬絕對=N相對+萬牽連

當運動參照系相對靜止參照系作轉(zhuǎn)動時，這一關(guān)系不成立。

如果有一輛平板火車正在行駛，速度為限地（腳標“火地”表示火車相對地

面，下同）。有一個大膽的駕駛員駕駛著一輛小汽車在火車上行駛，相對火車的

速度為“汽火，那么很明顯，汽車相對地面的速度為：

‘汽地="汽火+爐火地

（注意：‘汽火和"火地不一定在一條直線上）如果汽車中有一只小狗，以相對汽車

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為/狗汽的速度在奔跑，那么小狗相對地面的速度就是

“狗地="狗汽+"汽火+，火地

從以上二式中可看到，上列相對運動的式子要遵守以下幾條原則：

①合速度的前腳標與第一個分速度的前腳標相同。合速度的后腳標和最后一

個分速度的后腳標相同。

②前面一個分速度的后腳標和相鄰的后面一個分速度的前腳標相同。

③所有分速度都用矢量合成法相加。

④速度的前后腳標對調(diào)，改變符號。

以上求相對速度的式子也同樣適用于求相對位移和相對加速度。

相對運動有著非常廣泛的應用，許多問題通過它的運用可大為簡化，以下舉

兩個例子。

例如圖2-2-1所示，在同一鉛垂面上向圖示的兩個方向以

辦=10a/s、以=20〃?/s的初速度拋出A、B兩個質(zhì)點，\B=20m/s

vA=10m/s

問Is后A、B相距多遠？這道題可以取一個初速度為

零，當A、B拋出時開始以加速度g向下運動的參考系。圖2-2-1

在這個參考系中，A、B二個質(zhì)點都做勻速直線運動，而且方向互相垂直，它們

之間的距離

=7（v/）2+（VBZ）2=10止血=22.4m

在空間某一點0,向三維空間的各個方向以相同的速度％射出很多個小球，球ts

之后這些小球中離得最遠的二個小球之間的距離是多少（假設ts之內(nèi)所有小球

都未與其它物體碰撞）？這道題初看是一個比較復雜的問題，要考慮向各個方向

射出的小球的情況。但如果我們?nèi)∫粋€在小球射出的同時開始自O點自由下落

的參考系，所有小球就都始終在以O點為球心的球面上，球的半徑是V。'，那么

離得最遠的兩個小球之間的距離自然就是球的直徑2。

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§2.3拋體運動

2.3.1、曲線運動的基本知

識

軌跡為曲線的運動叫曲線運動。它

一定是一個變速運動。圖2-3-1表示一

質(zhì)點作曲線運動，它經(jīng)過P點時，在P

點兩旁的軌跡上取為、仇兩點，過

%、P、仇三點可作一圓，當這兩點無A

/VB

限趨近于P點時，則圓亦趨近于一個'

圖2-3-2

定圓，我們把這個圓叫P點的曲率圓，

曲率圓的半徑叫P點的曲率半徑，曲率圓的圓心叫P點的曲率中心，曲率半徑

的倒數(shù)叫P點的曲率。如圖2-3-1,亦可做出Q點的曲率圓。曲率半徑大，曲率

小，表示曲線彎曲較緩，曲率半徑小，曲率大，表示曲線彎曲厲害。直線可認為

是曲率半徑為無窮大的曲線。

質(zhì)點做曲線運動的瞬時速度的方向總是沿該點的切線方向。如圖2-3-2所示,

A

質(zhì)點在at時間內(nèi)沿曲線由A點運動到B點，速度由V變化到VB，則其速度增

A

量AV為兩者之矢量差，AV=VB-V,這個速度增量又可分解成兩個分量：在

A

VB上取一段AC等于V',則4V分解成AVi和aVz,其中△口表示質(zhì)點由A

運動到B的速度方向上的增量，/V2表示速度大小上的增量。

法向加速度a”表示質(zhì)點作曲線運動時速度方向改變的快慢，其大小為在A

點的曲率圓的向心加速度：

3而坐

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其方向指向A點的曲率中心。切向加速度%表示質(zhì)點作曲線運動時速度大

小改變的快慢，方向亦沿切線方向，其大小為

…m些上

34RA

總加速度a方法向加速度和切向加速度的矢量和。

2.3.2、拋物運動是曲線運動的一個重要特例

物體以一?定的初速度拋出后，若忽略空氣阻力，且物體的運動在地球表面附

近，它的運動高度遠遠小于地球半徑，則在運動過程中，其加速度恒為豎直向下

的重力加速度。因此，拋體運動是一種加速度恒定的曲線運動。

根據(jù)運動的疊加原理，拋體運動可看成是由兩個直線運動疊加而成。常用的

處理方法是:將拋體運動分解為水平方向的勻速直

線運動和豎直方向的勻變速直線運動。

如圖2-3-3o取拋物軌跡所在平面為平面，拋出

點為坐標原點，水平方向為x軸，豎直方向為y軸。

則拋體運動的規(guī)律為:

a=0

Vx

ay=-g

=v0cos6

=Vosin。

x=v0cos0t

y=%sin4一；gf2

其軌跡方程為

y=xtgO--7---------X

2v；cos-0

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這是開口向下的拋物線方程。

在拋出點和落地點在同一水平面上的情況下，飛行時間T,射程R和射高H

分別為

2

_2vsin。VQsin20_v）sin0

1----0----lx.-一（

gg2g

拋體運動具有對稱性，上升時間和下降時間（拋出點與落地點在同一水平面

上）相等（一般地，從某一高度上升到最高點和從最高點下降到同一?高度的時間

相等）；上升和下降時經(jīng)過同一高度時速度大小相等，速度方向與水平方向的夾

角大小相等。

下面介紹一種特殊的拋體運動——平拋運動：

質(zhì)點只在重力作用下，且具有水平方向的初速度的運動叫平拋運動。它可以

看成水平方向上的勻速運動（速度為V。）與豎直方向上的自由落體運動的合成。

①速度：采用水平豎直方向的直角坐標可得：匕=%其合速度

的大小為丫=#：+3尸,其合速度的方向為（設水平方向夾角為9），可見，當

ffoo時，VTgtfT兀/2,即表示速度趨近于