拋物線常見題型分析

精品文檔-下載后可編輯拋物線常見題型分析題型一拋物線的定義及幾何性質

例1已知點[A（3，2）]，拋物線[y2=2x]的焦點為[F]，準線為[l]，點[P]在此拋物線上移動，當[PA+PF]取得最小值時，點[P]的坐標為.

解析作[PBl]于[B]，則[PB=PF].

作[ACl]于[C]，則[PA+PF=PA+PB][ABAC=72].

當點[P]為直線[AC]與拋物線的交點時取等號，此時[yP=2]，即[P（2，2）].

點撥“看到準線想到焦點，看到焦點想到準線”，這是拋物線問題中定義法的直觀特點.“由數(shù)想形，由形想數(shù)，數(shù)形結合”是利用拋物線的幾何性質靈活解題的一條捷徑.求過拋物線焦點的弦長時常轉化為兩端點到準線的距離和，再利用根與系數(shù)的關系求解，有時也把點到準線的距離轉化為點到焦點的距離進行求解.

題型二拋物線的方程

求拋物線的標準方程的基本方法是定義法和待定系數(shù)法.焦點在[x（或y）]軸上的拋物線的標準方程，為避免討論，可統(tǒng)設為[y2=ax（或x2=ay）（a≠0）].

例2已知拋物線的頂點在坐標原點，對稱軸為[x]軸，且與圓[x2+y2=4]相交的公共弦長等于[23]，求此拋物線的方程.

解析設所求拋物線的方程為[y2=ax]，交點[A（x1，y1）（y1>0）]，[B（x2，y2）]，

則[y1+y2=23]，

[y1=3]，[x1=±1]，[a=±3].

即所求拋物線方程為[y2=±3x].

點撥確定拋物線的方程要從定型（開口方向）、定位（焦點位置）和定量（焦參數(shù)值）三方面來進行.對拋物線方程的形式要考慮全面，拋物線方程中字母[p]的幾何意義是指拋物線的焦點[F]到準線[l]的距離，拋物線頂點到焦點的距離和到準線的距離都為[p2]，這對解題非常重要.

題型三直線與拋物線的位置關系

例3已知拋物線[x2=4y]，

（1）若過點[P（2，1）]作直線[l]與拋物線有且只有一個公共點，求直線[l]的方程；

（2）過點[Q（1，1）]作直線交拋物線于[A]，[B]兩點，使得點[Q]恰好平分線段[AB]，求直線[AB]的方程和線段[AB]的長.

解析（1）顯然點[P]在此拋物線上.

當[lx]軸時，[l：x=2]與拋物線只有一個公共點；

當[l]不垂直于[x]軸時，設[l：y-1=k（x-2）]，代入[x2=4y]中，

得[x2-4kx+8k-4=0]，[Δ=16（k-1）2=0]，

即[k=1]，此時[l：y=x-1].

[l]的方程為[x=2]或[y=x-1].

（2）方法一設[A（x1，y1）]，[B（x2，y2）]，直線[AB]的方程為[x-1=m（y-1）]，代入[x2=4y]中，

得[m2y2-2（m2-m+2）y+（m-1）2=0]，

則[y1+y2=2（m2-m+2）m2]=2，即[m=2].

直線[AB]的方程[x-2y+1=0].

又[y1?y2=14]，

[AB=（1+m2）（y1+y2）2-4y1y2=15].

方法二設[A（x1，y1）]，[B（x2，y2）]，則[x21=4y1x22=4y2]，

[（x1-x2）（x1+x2）=4（y1-y2）].

[kAB=y1-y2x1-x2=x1+x24=12xQ=12].

[lAB：x-2y+1=0].

又[x1+x2=2，]

[y1+y2=2=x21+x224=（x1+x2）2-4x1x24]，

[x1x2=-2]，

[][AB=（1+kAB2）（x1+x2）2-4x1x2=15].

點撥本題主要考查了拋物線的簡單性質、直線與拋物線的位置關系及弦長公式.在研究直線與拋物線交點個數(shù)的問題時，不要僅用[Δ]的正負來進行判斷，還要注意平方項的系數(shù)對交點個數(shù)的影響.直線與拋物線只有一個公共點的情形有兩種，即直線與拋物線相切和直線與拋物線的對稱軸平行.涉及弦長問題時，利用弦長公式和韋達定理求解，注意在適當時候利用平面圖形的幾何性質.涉及弦的中點或中點弦問題時，一是設出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理和拋物線定義解決問題；二是設出弦的端點坐標，代入拋物線方程列出坐標方程組，相減后轉化為弦的中點坐標與弦所在的直線的斜率關系.

題型四拋物線與其它曲線間的關系

例4已知圓[M：（x-1）2+（y-12）2=r2（r>0）]與拋物線[C：y=（x+1）2]有一個公共點[A]，且在[A]處兩曲線的切線為同一直線[l].

（1）求[r]；

（2）設[m，n]是異于[l]且與[C]及[M]都相切的兩條直線，[m，n]的交點為[D]，求[D]到[l]的距離.

解析（1）設[A（x0，y0）]，拋物線[C]上點[A]處的切線方程為[y+y02=（x0+1）（x+1）]①；

圓[M]的切線方程為

[（x0-1）（x-1）+（y0-12）（y-12）=r2=（x0-1）2+（y0-1）2②.]

①②是共點公切線，[2（x0+1）=-x0-1y0-12].

又[y0=（x0+1）2]，[A（0，1）]，代入②得[r=52].

（2）拋物線[C]與圓[M]應有三條公切線（如圖）.由（1）知，公切線[l]的方程為[y=2x+1].

設另外兩條公切線[m，n]與拋物線[C]切于點[Bi（xi，（xi+1）2）][（xi≠0，i=1，2）]，

則切線方程為[y+（xi+1）22][=（xi+1）（x+1）]，

即[2（xi+1）x-y-x2i+1=0].

又直線[m，n]與[M]相切，

[2（xi+1）-12-xi2+12（xi+1）2+1=52]，

即[x2i-4xi-6=0].

設[m：2（x1+1）x-y-x21+1=0]，

[n：2（x2+1）x-y-x22+1=0]，

則[x1+x2=4]，聯(lián)立[m，n]的方程得[D（2，-1）]，故[D]到[l]的距離為[d