有限元板殼單元課件

8.1板殼結(jié)構(gòu)第八章關(guān)于板殼單元

8.2薄板基礎(chǔ)理論知識8.33結(jié)點(diǎn)三角形薄板單元

8.4厚板基礎(chǔ)理論知識

8.54結(jié)點(diǎn)四邊形板單元

8.7ANSYS板殼單元計(jì)算示例8.6殼單元8.1板殼結(jié)構(gòu)第八章關(guān)于板殼單元8.2薄板基礎(chǔ)理論

板殼結(jié)構(gòu)在工程上應(yīng)用十分廣泛。在設(shè)計(jì)分析中采用板殼單元進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析，可以得到足夠的精度和良好的效果。

第八章關(guān)于板殼單元

板殼結(jié)構(gòu)在工程上應(yīng)用十分廣泛。在設(shè)計(jì)分析中采用第八章關(guān)于板殼單元

8.1板殼結(jié)構(gòu)

板殼結(jié)構(gòu)是指板的厚度t與其它兩個(gè)方向的尺寸相比小得多。板殼結(jié)構(gòu)的板可以是平板也可以是單曲面或雙曲面板，同時(shí)可以承受任意方向上的載荷，也就是既有作用在平面內(nèi)的載荷，又作用有垂直于平面的載荷。一般板殼結(jié)構(gòu)處于三維應(yīng)力狀態(tài)。結(jié)構(gòu)是否為板殼問題，需要確定厚度與其它方位尺寸的比值，如果1/80≤t≤1/10可以歸結(jié)為板（薄殼）問題，若介于1/10~1/5之間屬于厚殼問題，若大于1/5則不屬于板殼結(jié)構(gòu)問題。板殼單元的力學(xué)模型取為結(jié)構(gòu)單元的中性面，即以各中性面來代表為不同厚度的板或殼單元的組合體，以此來模擬結(jié)構(gòu)體。在工程有限單元法的軟件設(shè)計(jì)中，常常將板殼結(jié)構(gòu)劃分成薄板、厚板以及殼單元。第八章關(guān)于板殼單元8.1板殼結(jié)構(gòu)板殼結(jié)如圖8-1所示平板，取其中性面為坐標(biāo)面，z軸垂直于中性面。其中t為板厚。當(dāng)板受有垂直于板中性面的外力時(shí)，板的中性面將發(fā)生彎扭變形，從而變成一個(gè)曲面。板變形的同時(shí)，在板的橫截面上將存在內(nèi)力——彎矩和扭矩。第八章關(guān)于板殼單元

圖8-1平板彎曲對于薄板彎曲問題采用如下假設(shè)：

a.板的法線沒有伸縮；

b.板的法線在板變形后仍垂直于中性面；8.2薄板基礎(chǔ)理論知識如圖8-1所示平板，取其中性面為坐標(biāo)面，z軸圖8-2所示為板的一個(gè)微元體。為方便計(jì)，取和的方向的寬度均為1。在垂直于軸的橫截面上的正應(yīng)力與z坐標(biāo)成正比，并可合成為一個(gè)力偶，從而構(gòu)成該橫截面上的彎矩（單位寬度上的彎矩）。同理，彎矩，和合成扭矩和。由于剪應(yīng)力互=。內(nèi)力列向量為合成等，因此圖8-2薄板微元體內(nèi)力與應(yīng)力示意圖

c.板內(nèi)各點(diǎn)沒有平行于中性面的位移；

d.垂直于板面擠壓應(yīng)力可以不計(jì)。圖8-2所示為板的一個(gè)微元體。為方便計(jì)，取=（8-11）

是對中性面力矩的合成（見圖8-2），即引用記號（8-12）則（8-13）式中——彈性薄板的應(yīng)力應(yīng)變轉(zhuǎn)換矩陣，它等于平面應(yīng)力問題中的

與的乘積。=（8-根據(jù)與之間的關(guān)系，不難由（8-13）和（8-10）式求出板上下表面的應(yīng)力（8-15）（8-14）綜上所述，薄板的中性面撓度w

是基本的未知量。由w即可計(jì)算出位移、應(yīng)變、應(yīng)力及內(nèi)力。8.33結(jié)點(diǎn)三角形薄板單元8.3.1坐標(biāo)變換圖8-3為一個(gè)任意形狀的3結(jié)點(diǎn)三角形板單元，結(jié)點(diǎn)編號1、2、3按右手法則排序。圖8-3（a）為單元直角坐標(biāo)系,圖8-3（b）為單元自然坐標(biāo)系。根據(jù)與（a）單元直角坐標(biāo)系（b）單元自然坐標(biāo)系圖8-33結(jié)點(diǎn)三角形板單元坐標(biāo)系單元坐標(biāo)變換（8-16）為面積坐標(biāo)。式中（8-17）（a）單元直角坐標(biāo)系（b）單元自然坐標(biāo)系單元坐標(biāo)變換（面積坐標(biāo)具有插值函數(shù)的性質(zhì)，即（8-18）8.3.2位移向量根據(jù)薄板理論，薄板結(jié)點(diǎn)位移如圖8-4所示。圖8-4薄板結(jié)點(diǎn)位移示意圖單元任一結(jié)點(diǎn)位移列向量為面積坐標(biāo)具有插值函數(shù)的性質(zhì)，即（8-18）8.3.2（8-19）單元結(jié)點(diǎn)位移列向量（8-20）單元內(nèi)任意點(diǎn)的位移w用結(jié)點(diǎn)位移插值表示如下（8-21）其中，、和為插值函數(shù)，是的行陣（8-19）單元結(jié)點(diǎn)位移列向量（8-20）單元內(nèi)任意點(diǎn)的（8-22）插值函數(shù)具體形式如下（8-23）其中，，，，。8.3.3應(yīng)變位移轉(zhuǎn)換矩陣為了建立單元剛度矩陣，需要建立位移應(yīng)變轉(zhuǎn)換矩陣，即建立與單元結(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系式。（8-22）插值函數(shù)具體形式如下（8-23）其中，，將式（8-21）代入式（8-5），可得（8-24）式中（8-25）矩陣是插值函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。是的函數(shù)，它們對x和y的偏導(dǎo)數(shù)按復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則（8-26）將式（8-21）代入式（8-5），可得（8-24）式中（類似地有（8-27）對式（8-26）和式（8-2）二階求導(dǎo)（8-28）類似地有（8-27）對式（8-26）和式（8-2）二階求導(dǎo)式中

為二階微分算子。（8-29）由式（8-23）可得（8-30）式中為二階微分算子。（8-29）由式（8-23）可得（同樣，是與單元結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)的數(shù)，見第3章。8.3.4單元剛度矩陣由虛功原理得到薄板的單元剛度矩陣（8-31）一般采用哈默值積分來計(jì)算式（8-31）比較方便。（8-32）同樣，是與單元結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)的數(shù)，見第3章。8.3.4單元剛8.4厚板基礎(chǔ)理論知識厚板理論假設(shè)如下：a．板的撓度w微??；b．板中性面法線在變形后仍保持直線,但不再垂直變形后的中曲面；c．垂直于中性面的應(yīng)力可以忽略。由此確定了板的獨(dú)立位移分量為在薄板理論中，因不考慮橫向剪切變形，即因此，與薄板理論類似，板的曲率和扭率為8.4厚板基礎(chǔ)理論知識厚板理論假設(shè)如下：在?。?-33）式（8-33）與薄板的區(qū)別在于，這里還要考慮由于剪切而產(chǎn)生的應(yīng)變（8-34）（8-33）式（8-33）與薄板的區(qū)別在于，這里還要考慮由圖8-6厚板微元體內(nèi)力與應(yīng)力示意圖厚板的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系如下（8-35）對于各向同性材料有圖8-6厚板微元體內(nèi)力與應(yīng)力示意圖厚板的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系如下（（8-35）8.54結(jié)點(diǎn)四邊形板單元8.5.1坐標(biāo)變換圖8-7所示為任意四邊形板單元，結(jié)點(diǎn)編號按逆時(shí)針排序。圖8-7（a）為直角坐標(biāo)系，圖8-7（b）為自然坐標(biāo)系。實(shí)際單元與基本單元的對應(yīng)關(guān)系為（8-39）（8-35）8.54結(jié)點(diǎn)四邊形板單元8.5.1坐標(biāo)變換(a)直角坐標(biāo)系與實(shí)際單元(b)自然坐標(biāo)系與基本單元圖8-7四結(jié)點(diǎn)四邊形厚板單元8.5.2

單元位移場與應(yīng)變位移轉(zhuǎn)換矩陣單元任意結(jié)點(diǎn)位移有三個(gè)獨(dú)立分量單元結(jié)點(diǎn)位移列向量（8-40）(a)直角坐標(biāo)系與實(shí)際單元同樣，用表示單元的幾何坐標(biāo)變換的結(jié)點(diǎn)插值函數(shù)來表示單元內(nèi)任意點(diǎn)的位移變換關(guān)系。（8-41）將位移表達(dá)式（8-40）代入應(yīng)變式（8-33）和式（8-34）可得（8-42）式中（8-43）同樣，用表示單元的幾何坐標(biāo)變換的結(jié)點(diǎn)插值函數(shù)來表示單元內(nèi)任意（8-44）8.5.3

單元剛度矩陣單元剛度矩陣由彎曲和剪切兩部分構(gòu)成（8-45）式中——由于彎曲引起的剛度；——由于剪切引起的剛度。（8-44）8.5.3單元剛度矩陣單元剛度矩陣由彎曲和剪8.6殼單元8.6.1板殼結(jié)構(gòu)物理特性殼體的中性面是一個(gè)曲面，殼單元受力狀態(tài)及應(yīng)力狀態(tài)見圖8-8。(a)殼單元受力狀態(tài)示意圖(b)殼單元應(yīng)力狀態(tài)示意圖圖8-8殼單元8.6殼單元8.6.1板殼結(jié)構(gòu)物理特性殼在作結(jié)構(gòu)分析時(shí)，一般采用平面單元（板）或者曲面單元處理。平面單元是平面應(yīng)力單元和平面彎曲單元的組合體，它依賴于平板理論。在幾何上以平板代替殼體，結(jié)構(gòu)模擬是一種近似。但是，這種單元簡單，只要結(jié)構(gòu)離散化分合理，完全可以滿足工程上的要求。曲面單元能夠更好地模擬真實(shí)結(jié)構(gòu)，相應(yīng)得到的計(jì)算結(jié)果會更有效。但是，曲面殼體的變形與平板變形有所區(qū)別。殼體的中性面變形不能忽略，在殼體中的內(nèi)力包括彎曲內(nèi)力和中性面內(nèi)力。對于曲面單元，現(xiàn)常采用考慮橫向剪切變形的超參數(shù)曲面殼單元。有關(guān)內(nèi)容本節(jié)不作介紹，需要時(shí)讀者自己可以查閱相關(guān)資料。在作結(jié)構(gòu)分析時(shí)，一般采用平面單元（板）或者曲平面殼單元的物理特性如下：平面殼單元可以視為平面應(yīng)力單元與板彎曲單元的組合體。平面應(yīng)力單元（亦稱膜單元）僅僅能夠承受作用于平面內(nèi)的載荷，不能夠承受其它載荷。假設(shè)z方向上的位移w=0，每一結(jié)點(diǎn)僅存在沿x軸和y軸的位移（a）平面單元模擬（b）平面彎曲單元模擬圖8-9殼單元模擬。板彎曲單元僅僅承受彎曲載荷，此類單元只有沿坐標(biāo)z方向的位移，見圖8-10。圖中陰影部分為中性面，、、分別為板殼結(jié)構(gòu)的頂面、中性面及底面應(yīng)力。平面殼單元的物理特性如下：平面第八章關(guān)于板殼單元

圖8-10四結(jié)點(diǎn)板彎曲單元示意圖平面殼單元結(jié)點(diǎn)的位移列向量為結(jié)點(diǎn)力列向量為單元內(nèi)應(yīng)力分量可以簡單地將相應(yīng)的平面應(yīng)力單元和板彎曲單元的應(yīng)力分量進(jìn)行疊加。

（8-46）第八章關(guān)于板殼單元平面殼單元結(jié)點(diǎn)的位式中、、—平面應(yīng)力單元（膜單元）應(yīng)力分量；

、、、、

—?dú)卧獞?yīng)力分量；—板彎曲單元應(yīng)力分量。8.6.2三結(jié)點(diǎn)平面殼單元三結(jié)點(diǎn)平面殼單元的整體坐標(biāo)與局部坐標(biāo)一般如圖8-11（a）所示。三結(jié)點(diǎn)三角形殼單元結(jié)點(diǎn)位移及內(nèi)力列向量如圖8-11（b）所示。(a)整體坐標(biāo)系與局部坐標(biāo)系(b)位移列向量示意圖圖8-11三結(jié)點(diǎn)三角形平面殼單元式中、、—平面應(yīng)力單元（膜單元）應(yīng)力分量；、、、在局部坐標(biāo)系下在整體坐標(biāo)系下三角形平面殼單元的3個(gè)結(jié)點(diǎn)i，j，m共有15個(gè)自由度，位移函數(shù)可采用如下形式。

（8-47）在局部坐標(biāo)系下在整體坐標(biāo)系下三角形平面殼單（8-48）三結(jié)點(diǎn)三角形平面殼單元的位移函數(shù)可以看成是平面應(yīng)力單元位移函數(shù)式(8-47)與板彎曲單元的位移函數(shù)式(8-48)的組合。按照有限單元法求解步驟，不難得出在局部坐標(biāo)下的單元剛度矩陣。經(jīng)坐標(biāo)變換后得出整體坐標(biāo)下的單元剛度矩陣（8-48）三結(jié)點(diǎn)三角形平面殼單元的位移8.7ANSYS板殼單元計(jì)算示例

開口的圓弧為180°，半徑為0.05m，CA長為0.1m，殼體厚0.001m，=90°，彈性模量E=210GPa，μ=0.3。約束：邊CD和邊DE全約束。承受載荷：B點(diǎn)作用集中載荷F＝10N，方向水平向右。8.7.1問題描述

根據(jù)平衡條件建立原始平衡方程同樣，原始平衡方程經(jīng)過約束出理后即可求解。8.7ANSYS板殼單元計(jì)算示例開口的圓

8.7.2ANSYS求解操作過程（1）選擇單元類型運(yùn)行Preprocessor>ElementType>Add/Edit/Delete，彈出ElementTypes對話框如圖8-6所示，然后單擊Add，彈出LibraryofElementTypes窗口，如圖8-7所示，選擇ShellElastic4node63，選擇完畢單擊OK按鈕。圖8-5殼體示意圖圖8-6單元類型對話框第八章關(guān)于板殼單元

8.7.2ANSYS求解操作過程（（2）設(shè)置材料屬性運(yùn)行Preprocessor>MaterialProps>MaterialModels，彈出圖8-8所示對話框，雙擊Isotropic，彈出如圖8-9所示對話框，在EX選項(xiàng)欄中設(shè)置數(shù)值2.1e11，在PRXY選項(xiàng)欄中設(shè)置數(shù)值0.3。設(shè)置完畢單擊OK按鈕。圖8-7單元類型庫對話框圖8-8選擇材料屬性對話框第八章關(guān)于板殼單元

（2）設(shè)置材料屬性圖8-7單元類型庫對話框圖第八章關(guān)于板殼單元

（3）設(shè)置殼厚參數(shù)運(yùn)行Preprocessor>RealConstants>Add/Edit/Delete，彈出如圖8-10所示對話框，設(shè)置TI(k)選項(xiàng)欄為0.001。設(shè)置完畢單擊OK按鈕完成設(shè)置。圖8-9設(shè)置材料屬性對話框圖8-10設(shè)置實(shí)常數(shù)對話框第八章關(guān)于板殼單元（3）設(shè)置殼厚參數(shù)圖8-9（4）建立模型生成圓環(huán)，選擇Preprocessor>Modeling>Create>Lines>Arcs>ByCent&Radius，彈出如圖8-11所示對話框，填寫數(shù)據(jù)0,0,0，單擊Apply按鈕，接著對話框提示再選取一點(diǎn)，填入0.05作為半徑，單擊OK按鈕，彈出如圖8-12所示對話框。圖8-11依圓心和半徑生成弧線對話框圖8-12圓弧旋轉(zhuǎn)角度設(shè)置對話框

第八章關(guān)于板殼單元

（4）建立模型圖8-11依圓心和半徑生成弧線對話在ARC選項(xiàng)欄中填寫旋轉(zhuǎn)角度180°，生成圓弧。建立關(guān)鍵點(diǎn)（0.05,0,-0.1），（-0.05,0,-0.1），（0,0.05,-0.1）。建立完關(guān)鍵點(diǎn)后沿關(guān)鍵點(diǎn)生成線，將圖形連接如圖8-13所示圖形。運(yùn)行Modeling>Operate>Booleans>Add>Lines，利用布爾運(yùn)算將線相加：將CD，DE相加為一條線，另外將圓弧的兩段線加為一條線。生成面：運(yùn)行Preprocessor>Modeling>Create>Areas>Arbitrary>Bylines，拾取相交后的線可得到如圖8-14所示的圖形。

圖8-13殼體線框模型圖8-14殼體模型第八章關(guān)于板殼單元

在ARC選項(xiàng)欄中填寫旋轉(zhuǎn)角度180°，生成圓（5）劃分網(wǎng)格設(shè)置網(wǎng)格大?。哼\(yùn)行Meshing>SizeCntrls>ManualSize>Areas>AllAreas，彈出如圖8-15所示對話框，設(shè)置Elementedgelength為0.005。設(shè)置完畢點(diǎn)擊OK。運(yùn)行Meshing>Mesh>Areas>Free，拾取殼體。劃分網(wǎng)格完畢，如圖8-16所示。圖8-15設(shè)置網(wǎng)格尺寸對話框圖8-16殼體有限元模型第八章關(guān)于板殼單元

（6）施加約束選擇菜單Solution>DefineLoads>Apply>Structure>Displacement>OnLines，拾取線段CD和DE，選擇AllDOF在這兩條線段上施加全約束。（5）劃