角含半角模型

角含半角模型第九章：半角模型模型1：倍長中線或類中線構(gòu)造全等三角形，已知如下條件：①∠2=1/2∠AOB；②OA=OB。連接F′B，將△FOB繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至△FOA的位置，連接F′E、FE，可得△OEF′≌△OEF。分析：（1）半角模型的命名：存在兩個角度是一半關(guān)系，并且這兩個角共頂點(diǎn)；（2）通過先旋轉(zhuǎn)全等再軸對稱全等，一般結(jié)論是證明線段和差關(guān)系；（3）常見的半角模型是90°含45°，120°含60°。實(shí)例：例1：在四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°，AB=AD，E、F分別是線段BC、CD上的點(diǎn)，且BE+FD=EF。求證：∠EAF=1/2∠BAD。例2：在四邊形ABCD中，∠B+∠ADC=180°，AB=AD，E、F分別是BC、CD延長線上的點(diǎn)，且∠EAF=1/2∠BAD。求證：EF=BE-FD。例3：在等邊△ABC的兩邊AB、AC上分別有兩點(diǎn)M、N，D為△ABC外一點(diǎn)，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC。探究：當(dāng)M、N分別在線段AB、AC上移動時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系。（1）當(dāng)DM=DN時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是；（2）當(dāng)DM≠DN時，猜想（1）的結(jié)論是否成立，需要證明；例4：在等邊△ABC中，點(diǎn)O是邊AC、BC的垂直平分線的交點(diǎn)，M、N分別在直線AC、BC上，且∠MON=60°。（1）當(dāng)CM=CN時，M、N分別在邊AC、BC上時，AM、CN、MN三者之間的數(shù)量關(guān)系是；（2）當(dāng)CM≠CN時，需要證明（1）中的結(jié)論是否成立；（3）當(dāng)點(diǎn)M在邊AC上，點(diǎn)N在BC的延長線上時，AM、CN、MN三者之間的數(shù)量關(guān)系是。例5：在正方形ABCD中，∠MAN=45°，它的兩邊分別交線段CB、DC于點(diǎn)M、N。求證：BM+DN=MN。2作AH⊥MN于點(diǎn)H，證明AH=AB。在直角三角形ABH中，由勾股定理可得：AH2=AB2-BH2。因?yàn)锳B是正方形的一條邊，所以AB=BH，代入上式得：AH2=AB2-AB2=0，所以AH=0，即AH=AB。7在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D、E分別為線段BC上兩動點(diǎn)，若∠DAE=45°。猜想BD、DE、EC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系為BD2+DE2=EC2，并給予證明。將△AEC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABE'，因?yàn)椤螧AC=90°，所以△ABE'為等腰直角三角形，BE'=AB=AC，因?yàn)椤螪AE=45°，所以∠EAE'=45°，所以△ADE'為等腰直角三角形，DE'=DA，因此，BD2+DE2=BD2+DA2=BA2=EC2，所以BD2+DE2=EC2。當(dāng)動點(diǎn)E在線段BC上，動點(diǎn)D運(yùn)動到線段CB的延長線上時，猜想BD2+DE2>EC2，并給予證明。同樣將△AEC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABE'，此時E'和D在同一直線上，所以BE'+BD=BC，即AB+BD=BC，因?yàn)锳B=AC，所以BD=BC-AC，代入BD2+DE2>EC2中得：(BC-AC)2+DE2>EC2，展開化簡后得：BC2-2BC×AC+AC2+DE2>EC2，因?yàn)锽C>AC，所以BC2-2BC×AC+AC2<0，所以BD2+DE2>EC2。8已知四邊形ABCD，∠EAF的兩邊分別與DC的延長線交于點(diǎn)F，與CB的延長線交于點(diǎn)E連接EF。(1)當(dāng)四邊形ABCD為正方形，且∠EAF=45°時，EF2=2BE2。(2)當(dāng)AB=AD，∠ABC與∠ADC互補(bǔ)，且∠EAF=∠BAD時，EF2=2BD2。證明：(1)因?yàn)锳BCD為正方形，所以AB=BC=CD=DA，因?yàn)椤螮AF=45°，所以∠EAB=45°，所以△ABE為等腰直角三角形，所以BE=AB/√2，又因?yàn)锳B=BC，所以BE=BC/√2，EF2=BE2+BF2=BE2+(BC+CF)2=BE2+BC2+2BC×CF+CF2=2BE2。(2)因?yàn)锳B=AD，所以△ABD為等腰三角形，所以BD=AB/√2，因?yàn)椤螦BC與∠ADC互補(bǔ)，所以△ABC與△ADC相似，所以BC/AC=AC/DC，