相似三角形小結與復習

第十九章相似三角形小結與復習一、掌握本章知識結構［線罵苗出:比例的性質線啟的比I成比例的線段一平行線分線段成比例相似形+相似三角形（定義、判定及性質）推U廣、相似多邊形（定義及性質）二、按照“特殊——一般——特殊”的認識規(guī)律，理解本章的基本圖形的形成、變化及發(fā)展過程，把握本章的兩個重點1.平行線分線段成比例定理所對應的基本圖形（2從）一般到特殊：要求：用對比的方法掌握相似三角形和相似多邊形的定義及性質，系統總結相似三角形的判3熟.悉一些常用的基本圖形中的典型結論有助于探求解題思路.bb已知：3'5.求:b€的值分析：已知等比條件時常有以下幾種求值方法：設比值為（2比）例的基本性質；（3方）程的思想，用其中一個字母表示其他字母abbc即 設二一及一，-即 設則b－)c:)(=ba2b5解法二-.?b3'c4a+b5b一c_1a+b25-b3'b5-b一c3解法一由得TOC\o"1-5"\h\za bb 5 2 4b，,—， a， ,c，—解法三■/2 3c 4...3b 5<2 )/ 、b+b\a+b? (3丿 5 1 25(b€c? ( 4" 3 5 3b一一b- k5丿例2已知：如圖,在梯形中，〃，對角線交于點,112112+€ADBCEF過作〃，分別交，于，求證:若為梯形中位線，求證〃分析：（1利）用比例證明兩線段相等的方法ac①若dd■或 nd IJIH nd ■或ab②若da則 只適用于線段，對實數不成立；aca' c'③若ddd' d' / / /則=利）用平行線證明比例式及換中間比的方法112111+—+——證明ADBCEF時，可將其轉化為“abc”類型后:C+C—1化為ab直接求出各比值，或可用中間比求出各比值再相加，證明比值的和為1；直接通分或移項轉化為證明四條線段成比例.（4可）用分析法證明第（3題），并延長兩腰將梯形問題轉化為三角形問題延長，交于，〃

〃成立用運動的觀點將問題進行推廣若直線平行移動后不過點，分別交，，，于，，，，如圖與是否相等為什么（6其）它常用的推廣問題的方法有：類比、從特殊到一般等例3已知：如圖5－12在^中， =為中點，丄于，為中點，1八、、9交于N交于求證： 丄分析：（1分）解基本圖形探求解題思路.（2總）結利用相似三角形的性質證明兩角相等，進一步證明兩直線位置關系（平行垂直等）

ADDE的方法，利用△s'得到DCCFADDF結合中點定義得到BCCE結合Z=得到△s'，因此Z=進一步可得到丄總結證明四條線段成比例的常用方法：①比例的定義；②平行線分線段成比例定理；③三角形相似的預備定理；④直接利用相似三角形的性質；⑤利用中間比等量代換；⑥利用面積關系進例已知：如圖一，△中，Z °,丄于，丄于，丄于求證：分析A D Q掌握基本圖形“ △ ,Z。，丄于”中的常用結論勾股定理：面積公式：*三個比例中項：AC-CD=BC-AD,兩個等積式Jbc?CD二AC?ED（可由圖中相似三角形得到）-AC-CD=BC-AD,AC2€ADBC2BD（，靈）活運用以上結論，并掌握恒等變形的各種方法，是解決此類問題的基本途徑，如等式兩邊都乘或除以某項，都平方、立方，或兩等式相乘等進

學習三類問題的常見的思考方法，并熟悉常用的恒等變形方法證明型：先得到型，再兩邊乘方，求出來，進行化簡證法一或在兩邊乘以同一線段，再進行化簡證法二證明 型問題的常用方法：a2€m mci先證b2n再利用中間比證明ndaxa2 x2 x2c ii先證by再兩邊平方：b2 y2然后設法將右邊降次，得y2damae a2meiii先分別求出bnbf兩式相乘得b2 nf再將右邊化簡證明 型問題的常用方法：a2€mxi先用有關定理求出b2 ny，再通過代換變形實現；a_xii先證by兩邊平方或立方，再通過代換實現；amaeax a3mexc ... iii先分別求出bnbfby然后相乘并化簡：b3nfy d第題：證法一??? ?AC，BC證法二AC，BCAB(BD證法二AC，BCAB(BD，BC…AB?，AB第（2題）：BC2BD，BABDBDDF_CE證法一AC2AD，ABAD利用△s△A證得ADEAAE命題得證BCDEBC2DE2AE?ECCE€ ,得€ € € -證法二由ACAEAC2AE2AE2 AE證法三■/△ aBC_DF?-?ACde相似三角形對應高的比等于對應邊的比BCDE■BCDE■〃■AC5??AE■第（3題）BC2_BD?AB證法?AC2—AD?ABBDADBC2_DF.DE_DFCEAC2—DE~AE~~AE~~AEBC4_BD2_BF?BCBC3_BF

?.AC4—AD2—AE?AC二AC3—ABC_DF證法二：△■證法二：△5 ??BC3_DF3_DF?DF2_DF?BF?CF_BF二AC3—DE3—DE?DE2~DE?AE?EC~~AE.BC_DFBC_DEBC_BF證法三■.?AC_DE，AC~AE，AC_DFBC3BCBCBCDF?DE?BFBF€??€€■?AC3ACACACDE?AE?DFAE四、師生共同小結在學生思考總結的基礎上，教師歸納：1本.章重點內容及基本圖形.2.本章重要的解題方法、數學思想方法及研究問題的方法.五、作業(yè)課本第?頁復習題五中選取補充題：1利.用相似三角形的性質計算.已知：如圖一，在△，中z ,為上一點，過交于，過作丄交于若J 6=5求的長答:的中線求證：提示:證明交于，過作丄交于若J 6=5求的長答:的中線求證：提示:證明△S△DE得到AB3若已知：如圖〃求證：,△內一點分別作各邊的平行線〃C，F〃GAB，竺+DH+GK€1A)CABBC設△若構造相似三角形來解決問題設△若構造相似三角形來解決問題已知:如圖一，△則S.兀仏"中點，點在上，，zO°0，;答：8O°0，提示：延長至，使作Z平分線交于一（2已）知：如圖5－3在^中，Z：Z:z求證：若BACBC若111AB+AC1+€€（提示：把ABACBC變形為AB，ACBC，進-步變形為AB+ACACAB BC設法AB+ACAC和構造相似三角形，使其對應邊的比分別為ABBC，作 交延長線于，延長至，使5構.造基本圖形（平行線分線段成比例定理）.三線交于一點若求證：AFBDCE