天津市第100中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末調(diào)研試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若滿足，則的最大值為()A．8 B．7 C．2 D．12．已知是定義在上的函數(shù)，且對于任意，不等式恒成立，則整數(shù)的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．43．若函數(shù)有個零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B．C． D．4．下列命題中為真命題的是（）A．若B．命題：若，則或的逆否命題為：若且，則C．“”是“直線與直線互相垂直”的充要條件D．若命題，則5．觀察下列各式：3272112152……據(jù)此規(guī)律.所得的結(jié)果都是8的倍數(shù).由此推測可得（）A．其中包含等式：1032-1=10608 B．C．其中包含等式：532-1=2808 D．6．設(shè)集合，若，則（）A．1 B． C． D．-17．在平面幾何里有射影定理：設(shè)三角形的兩邊，是點(diǎn)在上的射影，則.拓展到空間，在四面體中，面，點(diǎn)是在面內(nèi)的射影，且在內(nèi)，類比平面三角形射影定理，得出正確的結(jié)論是（）A． B．C． D．8．下列函數(shù)為奇函數(shù)的是（）A． B． C． D．9．中國古代儒家提出的“六藝”指:禮?樂?射?御?書?數(shù).某校國學(xué)社團(tuán)預(yù)在周六開展“六藝”課程講座活動,周六這天準(zhǔn)備排課六節(jié),每藝一節(jié),排課有如下要求:“樂”與“書”不能相鄰,“射”和“御”要相鄰,則針對“六藝”課程講座活動的不同排課順序共有()A．18種 B．36種 C．72種 D．144種10．在的展開式中，系數(shù)的絕對值最大的項(xiàng)為（）A． B． C． D．11．已知點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動，點(diǎn)在圓上運(yùn)動，則的最小值為（）A．2 B． C．4 D．12．某商場對某一商品搞活動，已知該商品每一個的進(jìn)價為3元，銷售價為8元，每天售出的第20個及之后的半價出售.該商場統(tǒng)計(jì)了近10天這種商品的銷量，如圖所示，設(shè)x(個)為每天商品的銷量，y(元)為該商場每天銷售這種商品的利潤.從日利潤不少于96元的幾天里任選2天，則選出的這2天日利潤都是97元的概率是()A．110 B．19 C．1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)是的導(dǎo)函數(shù)，若，則的______.（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）14．某次測試共有100名考生參加，測試成績的頻率分布直方圖如下圖所示，則成績在80分以上的人數(shù)為__________．15．已知點(diǎn)及拋物線上的動點(diǎn)，則的最小值為______.16．從長度為、、、的四條線段中任選三條，能構(gòu)成三角形的概率為.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓C經(jīng)過P(4，－2)，Q(－1，3)兩點(diǎn)，且圓心C在直線x＋y－1＝0上．(1)求圓C的方程；(2)若直線l∥PQ，且l與圓C交于點(diǎn)A，B且以線段AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線l的方程．18．（12分）已知，是正數(shù)，求證：.19．（12分）如圖，已知四棱錐的底面是邊長為2的正方形，底面，.（1）求直線與平面所成的角的大??；（2）求四棱錐的側(cè)面積.20．（12分）某產(chǎn)品具有一定的時效性，在這個時效期內(nèi)，由市場調(diào)查可知，在不做廣告宣傳且每件獲利a元的前提下，可賣出b件；若做廣告宣傳，廣告費(fèi)為n千元比廣告費(fèi)為千元時多賣出件。（1）試寫出銷售量與n的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)時，廠家應(yīng)該生產(chǎn)多少件產(chǎn)品，做幾千元的廣告，才能獲利最大？21．（12分）已知函數(shù)f(x)＝ex,g(x)＝lnx.(1)設(shè)f(x)在x1處的切線為l1,g(x)在x2處的切線為l2,若l1//l2,求x1＋g(x2)的值;(2)若方程af2(x)－f(x)－x＝0有兩個實(shí)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)設(shè)h(x)＝f(x)(g(x)－b),若h(x)在[ln2,ln3]內(nèi)單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.22．（10分）如圖，四棱錐中，，，，，，.（1）求證：；（2）求鈍二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】試題分析：作出題設(shè)約束條件可行域，如圖內(nèi)部（含邊界），作直線，把直線向上平移，增加，當(dāng)過點(diǎn)時，為最大值．故選B．考點(diǎn)：簡單的線性規(guī)劃問題．2、A【解析】

利用的單調(diào)性和奇偶性，將抽象不等式轉(zhuǎn)化為具體不等式，然后將恒成立問題轉(zhuǎn)化成最值問題，借助導(dǎo)數(shù)知識，即可解決問題．【詳解】，可知，且單調(diào)遞增，可以變?yōu)?，即，∴，可知，設(shè)，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減，可知，∴，∵，∴整數(shù)的最小值為1.故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的性質(zhì)、抽象不等式的解法、以及恒成立問題的一般解法，意在考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識的的能力．3、D【解析】分析：首先研究函數(shù)的性質(zhì)，然后結(jié)合函數(shù)圖象考查臨界情況即可求得最終結(jié)果.詳解：令，，原問題等價于與有兩個不同的交點(diǎn)，當(dāng)時，，，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，繪制函數(shù)圖象如圖所示，函數(shù)表示過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線，考查臨界情況，即函數(shù)與函數(shù)相切的情況，當(dāng)時，，當(dāng)時，，數(shù)形結(jié)合可知：的取值范圍是.本題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)睛：本題主要考查導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線方程，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.4、B【解析】分析：對四個命題，分別進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．詳解：對于A，，利用基本不等式，可得，故不正確；

對于B，命題：若，則或的逆否命題為：若且，則，正確；

對于C，“”是“直線與直線互相垂直”的充要條件，故不正確；

對于D，命題命題，則，故不正確．

故選：B．點(diǎn)睛：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬基礎(chǔ)題．5、A【解析】

先求出數(shù)列3,7,11,15，……的通項(xiàng)，再判斷得解.【詳解】數(shù)列3,7,11,15，……的通項(xiàng)為an當(dāng)n=26時，a26故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查歸納推理，考查等差數(shù)列的通項(xiàng)的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】

由得且，把代入二次方程求得，最后對的值進(jìn)行檢驗(yàn).【詳解】因?yàn)椋郧?，所以，解?當(dāng)時，，顯然，所以成立，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交運(yùn)算，注意求出參數(shù)的值后要記得檢驗(yàn).7、A【解析】

由平面圖形到空間圖形的類比推理中，一般是由點(diǎn)的性質(zhì)類比推理到線的性質(zhì)，由線的性質(zhì)類比推理到面的性質(zhì)，即可求解，得到答案．【詳解】由已知在平面幾何中，若中，是垂足，則，類比這一性質(zhì)，推理出：若三棱錐中，面面，為垂足，則．故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了類比推理的應(yīng)用，其中類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題（猜想），著重考查了推理能力，屬于基礎(chǔ)題．8、A【解析】試題分析：由題意得，令，則，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故選A．考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判定．9、D【解析】

由排列、組合及簡單的計(jì)數(shù)問題得：由題意可將“射”和“御”進(jìn)行捆綁看成一個整體，共有種，然后與“禮”、“數(shù)”進(jìn)行排序，共有種，最后將“樂”與“書”插入4個空即可，共有種，再相乘得解．【詳解】由題意“樂”與“書”不能相鄰,“射”和“御”要相鄰，可將“射”和“御”進(jìn)行捆綁看成一個整體，共有種，然后與“禮”、“數(shù)”進(jìn)行排序，共有種，最后將“樂”與“書”插入4個空即可，共有種，由于是分步進(jìn)行，所以共有種，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題，根據(jù)問題選擇合適的方法是關(guān)鍵，此類問題常見的方法有元素優(yōu)先法、捆綁法、插空法等，本題屬于中等題.10、D【解析】

根據(jù)最大的系數(shù)絕對值大于等于其前一個系數(shù)絕對值；同時大于等于其后一個系數(shù)絕對值；列出不等式求出系數(shù)絕對值最大的項(xiàng)；【詳解】二項(xiàng)式展開式為：設(shè)系數(shù)絕對值最大的項(xiàng)是第項(xiàng)，可得可得，解得在的展開式中，系數(shù)的絕對值最大的項(xiàng)為：故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開式中絕對值系數(shù)最大項(xiàng)的求解，涉及展開式通項(xiàng)的應(yīng)用，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題．11、C【解析】

根據(jù)已知條件先求得拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，求得圓的圓心和半徑，運(yùn)用圓外一點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的距離的最值和拋物線的定義，結(jié)合基本不等式，即可得到所求最小值.【詳解】如圖：拋物線的準(zhǔn)線方程為，焦點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，由拋物線的定義可得,圓的圓心為，半徑，可得的最大值為，由，可令，則，即，可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即，所以的最小值為故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線定義以及基本不等式求最小值，考查了計(jì)算能力，屬于較難題.12、A【解析】

分別計(jì)算每個銷量對應(yīng)的利潤，選出日利潤不少于96元的天數(shù)，再利用排列組合公式求解.【詳解】當(dāng)x=18時：y=18×5=90當(dāng)x=19時：y=19×5=95當(dāng)x=20時：y=19×5+1=96當(dāng)x=21時：y=19×5+2=97日利潤不少于96元共有5天，2天日利潤是97元故P=C故答案選A【點(diǎn)睛】本題考查了頻率直方圖，概率的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

構(gòu)造函數(shù)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式得到答案.【詳解】構(gòu)造函數(shù)單調(diào)遞增.故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵.14、25【解析】分析：先求成績在80分以上的概率，再根據(jù)頻數(shù)等于總數(shù)與對應(yīng)概率乘積求結(jié)果.詳解：因?yàn)槌煽冊?0分以下的概率為，所以成績在80分以上的概率為，因此成績在80分以上的人數(shù)為點(diǎn)睛：頻率分布直方圖中小長方形面積等于對應(yīng)區(qū)間的概率,所有小長方形面積之和為1;頻率分布直方圖中組中值與對應(yīng)區(qū)間概率乘積的和為平均數(shù);頻率分布直方圖中小長方形面積之比等于對應(yīng)概率之比,也等于對應(yīng)頻數(shù)之比.15、2【解析】試題分析：設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F（0,1），由拋物線的知：，所以的最小值為.考點(diǎn)：拋物線的定義；兩點(diǎn)間的距離公式．點(diǎn)評：把“的最小值”應(yīng)用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為“”，是解題的關(guān)鍵，考查了學(xué)生分析問題、解決問題的能力．16、【解析】試題分析：這是的道古典概率題，其基本事件有共4個，由于是任意選取的，所以每個基本事件發(fā)生的可能性是相等的，記事件A為“所選三條線段能構(gòu)成三角形”，則事件A包含2個基本事件，根據(jù)概率公式得：．考點(diǎn)：古典概率的計(jì)算三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）y＝－x＋4或y＝－x－3【解析】

（1）由圓的性質(zhì)知圓心在線段的垂直平分線上，因此可求得線段的垂直平分線的方程，與方程聯(lián)立，可求得圓心坐標(biāo)，再求得半徑后可得圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)的方程為．代入圓方程，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝m＋1，x1x2＝－1．而以線段AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則有，即，由此可求得，得直線方程．【詳解】(1)∵P(4，－2)，Q(－1，3)，∴線段PQ的中點(diǎn)M，斜率kPQ＝－1，則PQ的垂直平分線方程為，即．解方程組得∴圓心C(1，2)，半徑．故圓C的方程為．(2)由l∥PQ，設(shè)l的方程為．代入圓C的方程，得．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝m＋1，x1x2＝－1．故y1y2＝(m－x1)(m－x2)＝m2＋x1x2－m(x1＋x2)，依題意知OA⊥OB，則．∴(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2＝2，于是m2＋2x1x2－m(x1＋x2)＝2，即m2－m－12＝2．∴m＝4或m＝－3，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足Δ>2．故直線l的方程為y＝－x＋4或y＝－x－3．【點(diǎn)睛】本題考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與圓的位置關(guān)系．求圓的方程，可先確定圓心坐標(biāo)，求得圓的半徑，然后寫出標(biāo)準(zhǔn)方程．本題直線與圓相交問題中采用設(shè)而不求法，即設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，由直線方程與圓方程聯(lián)立方程組消元后可得（不直接求出交點(diǎn)坐標(biāo)），代入A，B滿足的其他條件（本題中就是）求得參數(shù)值．18、見證明【解析】

運(yùn)用基本不等式即可證明【詳解】證明：因?yàn)?，是正?shù)，所以.所以.即.當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式，較為簡單，注意需要滿足“一正二定三相等”的條件19、（1）；（2）【解析】

（1）先得到平面的垂線,可得即為所求角；（2）容易證明側(cè)面的各個面均為直角三角形,有勾股定理求出各棱長后,將面積求和即可【詳解】解：（1）底面是正方形,,底面,底面,,平面,直線與平面所成的角為,（2）由題可知,側(cè)面由,,,四個三角形構(gòu)成由（1）知,,,即是直角三角形【點(diǎn)睛】本題考查線面角,考查側(cè)面積,考查線面垂直,考查運(yùn)算能力20、(1)(2)【解析】試題分析：(1)根據(jù)若做廣告宣傳，廣告費(fèi)為n千元比廣告費(fèi)為千元時多賣出件，可得，利用疊加法可求得.(2)根據(jù)題意在時,利潤,可利用求最值.試題解析：（1）設(shè)表示廣告費(fèi)為0元時的銷售量，由題意知，由疊加法可得即為所求。（2）設(shè)當(dāng)時，獲利為元，由題意知，，欲使最大，則，易知，此時.考點(diǎn)：疊加法求通項(xiàng),求最值.21、(1)0.(2)0<a<1.(3)b≥ln2＋.【解析】分析：（1）求導(dǎo)，利用l1//l2時k值相等，即可求出答案；（2）參變分離，利用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及數(shù)形結(jié)合即可得到答案；（3）由題意h(x)＝f(x)(g(x)－b)＝ex(lnx－b),求導(dǎo)，因?yàn)閔(x)在[ln2,ln3]內(nèi)單調(diào)遞減，所以在[ln2,ln3]上恒成立，再參變分離，分析討論即可.詳解：(1)f′(x)＝ex,g′(x)＝由題意知：＝故x1＋g(x2)＝x1－ln＝0.(2)方程af2(x)－f(x)－x＝0，ae2x－ex－x＝0，a＝令φ(x)＝,則φ′(x)＝－當(dāng)x<0時，ex<1,ex－1<0,所以ex＋2x－1<0，所以φ′(x)>0，故φ(x)單調(diào)增；當(dāng)x>0時，ex>1,ex－1>0,所以ex＋2x－1>0，所以φ′(x)<0，故φ(x)單調(diào)減.從而φ(x)max＝φ(0)＝1又，當(dāng)x>0時，φ(x)＝>0原方程有兩個實(shí)根等價于直線y＝a與φ(x)的圖像有兩個交點(diǎn)，故0<a<1.(3)由題意h(x)＝f(x)(g(x)－b)＝ex(lnx－b),得h′(x)＝ex(lnx＋－b)因?yàn)閔(x)在[ln2,ln3]內(nèi)單調(diào)遞減，所以h′(x)＝ex(lnx＋－b)≤0在[ln2,ln3]內(nèi)恒成立由于ex>0，故只需lnx＋－b≤0在[ln2,ln3]內(nèi)恒成立即b≥lnx＋在[ln2,ln3]內(nèi)恒成立令t(x)＝lnx＋,t′(x)＝－＝當(dāng)ln2≤x<1時，t′(x)<0，故t(x)單調(diào)減；當(dāng)1≤x≤ln3時，t′(x)>0，故t(x)單調(diào)增.下面只要比較t