【微專題】2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)?？键c(diǎn)微專題提分精練（人教版） 構(gòu)造直角三角形利用三角函數(shù)求邊長(zhǎng)小題（原卷版）

構(gòu)造直角三角形利用三角函數(shù)求邊長(zhǎng)小題【典例講解】Rt△ABC中，∠A=90°，BC=4，有一個(gè)內(nèi)角為60°，點(diǎn)P是直線AB上不同于A、B的一點(diǎn)，且∠ACP=30°，則PB的長(zhǎng)為_(kāi)______．【詳解】分兩種情況考慮：當(dāng)∠ABC=60°時(shí)，如圖所示：∵∠CAB=90°，∴∠BCA=30°．又∵∠PCA=30°，∴∠PCB=∠PCA+∠ACB=60°．又∵∠ABC=60°，∴△PCB為等邊三角形．又∵BC=4，∴PB=4．當(dāng)∠ABC=30°時(shí)，（i）當(dāng)P在A的右邊時(shí)，如圖所示：∵∠PCA=30°，∠ACB=60°，∴∠PCB=90°．又∠B=30°，BC=4，∴，即．（ii）當(dāng)P在A的左邊時(shí)，如圖所示：∵∠PCA=30°，∠ACB=60°，∴∠BCP=30°．又∠B=30°，∴∠BCP=∠B．∴CP=BP．在Rt△ABC中，∠B=30°，BC=4，∴AC=BC=2．根據(jù)勾股定理得：，∴AP=AB－PB=－PB．在Rt△APC中，根據(jù)勾股定理得：AC2＋AP2=CP2=BP2，即22+（－PB）2=BP2，解得：BP=．綜上所述，BP的長(zhǎng)為4或或．【綜合演練】1．在△ABC中，BC＝＋1，∠B＝45°，∠C＝30°，則△ABC的面積為（

）A． B．＋1 C． D．＋12．如圖，在中，，，為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與、重合），連接，則的最小值是（

）A． B． C． D．23．如圖，有一塊三角形空地需要開(kāi)發(fā)，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)可知該空地的面積為（

）A． B． C． D．4．如圖，，，AC＝10，則的面積是（）A．42 B．43 C．44 D．455．如圖，正六邊形ABCDEF中，AB=2，點(diǎn)P是ED的中點(diǎn)，連接AP，則AP的長(zhǎng)為（）A． B．4 C． D．6．已知在中，、是銳角，且，，，則的面積等于__．7．△ABC中，AB＝4，AC＝5，△ABC的面積為5，那么∠A的度數(shù)是_________．8．如圖，在四邊形中，，，，．則的長(zhǎng)的值為_(kāi)_________．9．如圖，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2，則S△ABC＝__．10．如圖，在中，，，，，垂足為，的平分線交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為_(kāi)_________．11．如圖，某小區(qū)物業(yè)想對(duì)小區(qū)內(nèi)的三角形廣場(chǎng)進(jìn)行改造，已知與的夾角為，米，米，請(qǐng)你幫助物業(yè)計(jì)算出需要改造的廣場(chǎng)面積是______平方米.（結(jié)果保留根號(hào)）12．如圖，在△ABC中，∠A＝30°，tanB＝，AC＝2，AB的長(zhǎng)___________．13．如圖，等腰直角△ABC的面積為16，點(diǎn)D在斜邊AC的延長(zhǎng)線上，∠BDC＝30°，則△BDC的面積是__.14．已知：在△ABC中，AC=a，AB與BC所在直線成45°角，AC與BC所在直線形成的夾角的余弦值為（即cosC=），則AC邊上的中線長(zhǎng)是_____________．15．在中，，，為銳角且．(1)求的面積；(2)求的值；(3)求的值．16．如圖，在△ABC中，sinB＝，，AC＝5，則△ABC的面積為多少？17．已知在△ABC中，∠ACB＝135°，AC＝8，D、E分別是邊BC、AB上的一點(diǎn)，若tan∠DEA＝2，DE＝，S△DEB＝4，求四邊形ACDE的面積．18．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC邊上一點(diǎn)，∠BAD＝45°，AC＝3，AB＝，求BD的長(zhǎng)．19．如圖，的角平分線，，、所對(duì)的邊記為、.（1）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）求的面積（用含，的式子表示即