平衡問題探驪

平衡問題探驪第1頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月物體平衡的種類穩(wěn)定平衡模型特征O稍微偏離原平衡位置后能回到原位置不穩(wěn)定平衡模型特征稍微偏離原平衡位置后不能回到原位置隨機平衡模型特征能在隨機位置保持平衡O平衡位置是位能最低的位置第2頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月判斷物體平衡種類的一般操作對由重力與支持力作用下的平衡

設計一個元過程，即設想對物體施一微擾，使之稍偏離原平衡位置．

或從能量角度考察受擾動后物體重心位置的高度變化，根據(jù)重心是升高、降低還是不變來判斷物體原本是穩(wěn)定平衡、不穩(wěn)定平衡或是隨遇平衡；

為比較擾動前后物體的受力與態(tài)勢，要作出直觀明晰的圖示；由于對微擾元過程作的是“低細節(jié)”的描述，故常需運用合理的近似這一數(shù)學處理手段．

或從受力角度考察受擾動后重力作用點的側移量，即重力對擾動后新支點的力臂，從而判斷物體原來的平衡態(tài)屬于哪一種．依問題的具體情況，擇簡而從．第3頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月

如圖所示，一個熟雞蛋的圓、尖兩端的曲率半徑分別為a、b且長軸的長度為l，蛋圓的一端可以在不光滑的水平面上穩(wěn)定直立．求蛋尖的一端可以在一個半球形的碗內穩(wěn)定地直立，碗的半徑r需滿足的條件．

專題3-問題1考察質心位置的高度變化蛋圓在水平面處穩(wěn)定平衡,應滿足BAbaClR低細節(jié)描述蛋尖在球形碗內處穩(wěn)定平衡,應滿足微擾情況下α、β為小量，整理得碗的半徑續(xù)解第4頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月MNOα-βCAβBα蛋尖在球形碗內處穩(wěn)定平衡,應滿足續(xù)解續(xù)解第5頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月考察質心位置側移量蛋處于穩(wěn)定平衡的條件是:重力對擾動后新支點N的力矩可使蛋返回原位，即滿足低細節(jié)描述碗的半徑第6頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月

如圖所示，桿長l=a+b,質心在C點,桿的A、B兩端分別支于互相垂直的兩個光滑斜面上而處于平衡.試問在圖示位置時,此桿的平衡是穩(wěn)定平衡、隨遇平衡還是不穩(wěn)定平衡？并證明之.

專題3-問題2先研究三力桿平衡時的幾何位置特點:ABabφ0αCO在△BOC中由正弦定理:α證明FAFBG第7頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月證法一:考察質心位置的高度變化ABφαCy擾動后當桿處于與右斜面成夾角φ方位時已有結論質心C的高度有最大值受擾動后桿質心降低,屬不穩(wěn)定平衡續(xù)解第8頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月證法二:考慮質心對桿的瞬時轉動中心的側移量φ0αABCO原平衡位置時桿的瞬時轉動中心為O如示擾動后桿的瞬時轉動中心為O′此時,重力對O的力矩為0此時,重力對的力矩使桿繼續(xù)順時針遠離原平衡位置!不穩(wěn)定平衡abαα第9頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月

如圖所示，課桌面與水平面夾角成α，在桌面上放一支正六棱柱形鉛筆，欲使鉛筆既不向下滾動、又不向下滑動．試求：⑴在此情況下鉛筆與桌面的靜摩擦因數(shù)μ．⑵鉛筆的軸與斜面母線（斜面與水平面的交線）應成多大的角度放置？專題3-問題3考慮不滑動鉛筆在斜面上恰不滑動,有摩擦角恰為斜面傾角αφ若滿足筆不會因滑動而破壞平衡!考慮不滾動低細節(jié)描述筆所受重力作用線不超出斜面對筆的支持面!應滿足放置筆時筆的軸線與斜面母線所成角筆不會因滾動而破壞平衡!第10頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月B1BOAαCa過筆質心的橫截面臨界狀態(tài)下續(xù)解重力作用線第11頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月127

飛檐問題：如圖所示，建造屋頂邊緣時，用長度為L的長方形磚塊，一塊壓著下面一塊并伸出磚長的1/8，如果不用水泥粘緊，則最多可以堆幾層同樣的磚剛好不翻倒？這樣的幾層磚最多可使屋檐“飛”出多長？

專題3-問題4GL若共堆n層、每塊伸出1/8的磚而恰未翻倒C全nG123n最上1層磚恰不翻倒,最多伸出最上2層磚恰不翻倒,最多伸出2G3G最上3層磚恰不翻倒,最多伸出GG以此類推，7層磚的最大伸出第12頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月

如圖所示，一矩形導電線圈可繞其中心軸O轉動．它處于與軸垂直的勻強磁場中，在磁場的作用下，線框開始轉動，最后靜止的平面位置是圖中的鞏固練習1AOBBBOCBODBO選項A不穩(wěn)定平衡選項B穩(wěn)定平衡選項C不穩(wěn)定平衡選項D不穩(wěn)定平衡第13頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月

圖中每一系統(tǒng)的兩個球都用一跨過滑輪的線聯(lián)結起來，問每一種情況各屬哪種平衡？鞏固練習2隨機平衡穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡給兩小球線繩系統(tǒng)一擾動,從受力角度考察受擾動后,兩小球重力沿繩方向力的合力指向,從而判斷平衡種類!第14頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月llmLαm

如圖所示裝置，它是由一個長L的木釘、從木釘上端向左右斜伸出兩個下垂的、長為l的細木桿，以及在木桿的末端裝有質量同為m的小重球而組成．木釘及木桿的質量可忽略，木桿與木釘間夾角為α，此裝置放在硬質木柱上，則l、L、α間應當滿足______________關系才能使木釘由垂直位置稍微偏斜后，此裝置只能以O點為支點擺動而不致傾倒．鞏固練習3為滿足題意即系統(tǒng)處于穩(wěn)定平衡,給系統(tǒng)一擾動,兩小球重力對O的力矩應能使系統(tǒng)回到原位!原平衡位置時受一微擾后ααO2mg不能回到原位原平衡位置時2mg受一微擾后能回到原位第15頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月

如圖所示,長度為2L、粗細均勻的桿，一端靠在鉛直的墻上，而另一端靠在不動的光滑面上．為了使桿即使沒有摩擦仍能在任意位置處于平衡，試寫出這個表面的橫截線的函數(shù)表達式Ｙ(x)（桿總是位于垂直于墻面的豎直平面內）鞏固練習4為滿足題意即桿處于隨遇平衡,應使桿的重心始終在x軸!OyxC(0,)(x,y)表面的橫截線滿足該表面為橢球面的一部分第16頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月

如圖所示,兩個質量分別為m1和m2的小環(huán)能沿著一光滑的輕繩滑動．繩的兩端固定于直桿的兩端，桿與水平線成角度θ．在此桿上又套一輕小環(huán)，繩穿過輕環(huán)并使m1、m2在其兩邊．設環(huán)與直桿的接觸是光滑的，當系統(tǒng)平衡時，直桿與輕環(huán)兩邊的繩夾角為φ．試證：鞏固練習5m2θm1同一光滑繩上張力處處相同設為FT,m1gφφFT兩小環(huán)平衡,分析受力如圖:m2gFT由力矢量三角形:第17頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月

一根質量為m的均勻桿，長為L，處于豎直的位置，一端可繞固定的水平軸轉動．有兩根水平輕彈簧，勁度系數(shù)相同，把桿的上端拴住，如圖所示，問彈簧的勁度系數(shù)k為何值時才能使桿處于穩(wěn)定平衡？

鞏固練習6為使桿處于穩(wěn)定平衡,給桿一擾動,彈簧拉力對O的力矩應大于桿重力矩!mgFT即其中得FT第18頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月如圖所示,一塊厚d的木板位于半徑為R的圓柱上，板的重心剛好在圓柱的軸上方．板與圓柱的一根摩擦因數(shù)為μ．試求板可以處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)的條件．鞏固練習7RC令板從原平衡位置偏轉一小角度αα板處于穩(wěn)定平衡條件是重心升高!以圓柱軸為參照,原板重心高度擾動后重心高度α應有考慮到且第19頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月

如圖所示,用均勻材料制成的浮子，具有兩個半徑均為R的球冠圍成的外形，像一粒豆子．浮子的厚度h＜2R，質量為m1．沿浮子對稱軸向浮子插入一細輻條，穿過整個厚度．輻條長l＞h，質量為m2．當將浮子輻條向上地浸于水中時，浮子只有少部分沒于水中．浮子的狀態(tài)是穩(wěn)定的嗎？

鞏固練習8先由同向平行力合成求浮子重力合力作用點－重心位置：Cm1gm2g浮子偏轉小角度低細節(jié)描述浮子為不穩(wěn)定平衡!浮子為隨遇平衡!浮子為穩(wěn)定平衡!至題9第20頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月CC續(xù)解CCC第21頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月OOKDhRKDβαCKO

如圖所示,兒童玩具不倒翁高h＝21cm，質量m＝300g，相對軸KD對稱分布．不倒翁的下部是半徑R＝６cm的球面，如果不倒翁放在與水平面成角α＝30°的粗糙面上，當它的軸KD與豎直方向傾角β＝45°，則處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)．為了使它在水平面上失去穩(wěn)定平衡，試問最少需在頭頂Ｋ加多少塑泥？鞏固練習9C先求原重心位置：在三角形OCD中運用正弦定理：在水平面上：O

DKC不倒翁失去穩(wěn)定平衡條件是重心高于O!Δm第22頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月

有一長為0.2m、截面積為2cm2的均勻細棒，密度為5×102kg/m3．⑴在細棒下端釘上一小鐵片（不計體積），讓細棒豎立在水面，若細棒露出水面部分的長為0.02m，則小鐵片質量為多少？⑵不拿去浸在水中的小鐵片，在上端要截去多少長度，恰好使上端面與水面齊平？⑶要使細棒豎在水面是穩(wěn)定平衡，下端小鐵片至少要多重?鞏固練習10⑴分析此時受力：CM⑵此時態(tài)勢為：C1⑶低細節(jié)描述系統(tǒng)為穩(wěn)定平衡條件是浮心高于合重心!C總至題11第23頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月C總C總C總不穩(wěn)定平衡隨機平衡穩(wěn)定平衡續(xù)解第24頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月ab

兩個相同長方體處于圖示位置．問當α角為多少時它們才可能平衡？長方體與水平面間摩擦因數(shù)為μ，長方體長b寬a．長方體間無摩擦．鞏固練習11α分析受力：G系統(tǒng)可能平衡條件是在此條件下,對右物塊由力矩平衡Gα在此條件下,對左物塊由力矩平衡綜上第25頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月

在互相垂直的斜面上放置一勻質桿AB，設各接觸面的摩擦角均為φ（μ＝tgφ）,求平衡時桿AB與斜面AO交角θ的范圍．已知斜面BO與水平面交角為α．鞏固練習12αABOθ三力桿平衡時的幾何位置特點:不穩(wěn)定平衡桿兩端約束力與重力三力匯交當θ=α時αGABOθfA=0fB=0續(xù)解結論:平衡時桿AB與斜面AO交角θ的范圍為α

第26頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月當θ＜α時αGOABθGφφ-δαfA=fm

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fmφ桿平衡位置與左斜面的夾角θ續(xù)解第27頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月當θ＞