上海市北海中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

上海市北海中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知為銳角，且＝,＝－,則＝（A）

（B）

（C）

（D）以上答案都不對(duì)參考答案：A2.已知f(x)＝，其中＝(2cosx，－sin2x)，＝(cosx,1)(x∈R)．(1)求f(x)的周期和單調(diào)遞減區(qū)間；(2)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，f(A)＝－1，a＝，·＝3，求邊長(zhǎng)b和c的值(b＞c)．參考答案：略3.已知向量,若,則實(shí)數(shù)的取值范圍是(

)

A.

B.

C.

D.參考答案：B4.已知集合，，若，則實(shí)數(shù)a值集合為（

）A.{－1} B.{2} C.{－1,2} D.{－1,0,2}參考答案：D【分析】,可以得到，求出集合的子集，這樣就可以求出實(shí)數(shù)值集合.【詳解】,的子集有，當(dāng)時(shí)，顯然有；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，不存在，符合題意，實(shí)數(shù)值集合為，故本題選D.【點(diǎn)睛】本題考查了通過集合的運(yùn)算結(jié)果，得出集合之間的關(guān)系，求參數(shù)問題.重點(diǎn)考查了一個(gè)集合的子集，本題容易忽略空集是任何集合的子集這一結(jié)論.5.圓臺(tái)的高為2，上底面直,，下底面直徑，與不平行，則三棱錐體積的最大值是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B6.將函數(shù)（）的圖象沿軸向左平移個(gè)單位后，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象，則的最小值為（

）（A）

(B)

(C)

(D)

參考答案：B將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個(gè)單位后，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象，可得，求得的最小值為，故選B．7.集合A={x∈N|0＜x＜4}的真子集個(gè)數(shù)為（）A．3 B．4 C．7 D．8參考答案：C【考點(diǎn)】16：子集與真子集．【分析】先求出集合的元素的個(gè)數(shù)，再代入2n﹣1求出即可．【解答】解：∵集合A={x∈N|0＜x＜4}={1，2，3}，∴真子集的個(gè)數(shù)是：23﹣1=7個(gè)，故選：C．8.若，則z=A．－1－i B．－1+i C．1－i D．1+i參考答案：D,.

9.設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則（

）A.B.C.D.參考答案：A，.10.已知實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組，則的最大值為（

）A.3 B.9 C.22 D.25參考答案：B【分析】根據(jù)約束條件，做出可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，找到最優(yōu)解，從而得到最值【詳解】做出可行域，如圖所示，做出直線：，平移直線，由圖可知，當(dāng)過點(diǎn)A（2,1）時(shí)，截距最大，此時(shí)z最小，所以，故選B【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題，屬基礎(chǔ)題二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若，則滿足的取值范圍是

。參考答案：

12.設(shè)函數(shù)，點(diǎn)為函數(shù)圖像上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．,，用表示向量與的夾角，記，那么____________．參考答案：答案：

解析:∵

∴（事實(shí)上）故

13.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an=sin（+）+（n∈N*），則數(shù)列{an}中最小項(xiàng)的值為

．參考答案：考點(diǎn)：數(shù)列遞推式．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：由已知得n=4k，k∈N*時(shí)，an=sin+；n=4k+1，k∈N*時(shí)，an=sin（）+；n=4k+2，k∈N*時(shí)，an=sin（）+；n=4k+3，k∈N*時(shí)，an=sin（）+．由此能求出數(shù)列{an}中最小項(xiàng)的值．解答： 解：∵an=sin（+）+（n∈N*），∴n=4k，k∈N*時(shí)，an=sin+=，n=4k+1，k∈N*時(shí)，an=sin（）+=，n=4k+2，k∈N*時(shí)，an=sin（）+=，n=4k+3，k∈N*時(shí)，an=sin（）+=．∴數(shù)列{an}中最小項(xiàng)的值為．故答案為：．點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列中最小項(xiàng)的值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意正弦函數(shù)的周期性質(zhì)的合理運(yùn)用．14.如圖所示的程序框圖輸出的結(jié)果為

．參考答案：

略15.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第▲象限。參考答案：三略16.若的展開式中的系數(shù)為2，則=

．參考答案：17.下列各結(jié)論中①拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離為②已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則的值等于③命題“存在，”的否定是“對(duì)于任意，正確結(jié)論的序號(hào)是

參考答案：①②三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過程或演算步驟18.{an}前n項(xiàng)和為Sn，2Sn=an+1﹣+1，n∈N*，且a1，a2+5，a3成等差數(shù)列（1）求a1的值；（2）求{an}通項(xiàng)公式；（3）證明++…+＜．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（1）由2Sn=an+1﹣2n+1+1，n∈N*，分別取n=1，2時(shí)，可得a2=2a1+3，a3=6a1+13．利用a1，a2+5，a3成等差數(shù)列，即可得出；（2）當(dāng)n≥2時(shí)，2an=2Sn﹣2Sn﹣1，化為，變形，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；（3）由≥3n﹣1．可得，再利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．【解答】（1）解：∵2Sn=an+1﹣2n+1+1，n∈N*，∴n=1，2時(shí)，2a1=a2﹣3，2a1+2a2=a3﹣7，∴a2=2a1+3，a3=6a1+13．∵a1，a2+5，a3成等差數(shù)列，∴2（a2+5）=a1+a3，∴2（2a1+8）=a1+6a1+13，解得a1=1．（2）解：當(dāng)n≥2時(shí)，2an=2Sn﹣2Sn﹣1=，化為，∴，a1+2=3．∴數(shù)列是等比數(shù)列，∴，∴．（3）證明：∵≥3n﹣1．∴，∴++…++…+==．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、遞推式的應(yīng)用、“放縮法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．19.（14分）已知集合D={（x1，x2）|x1＞0，x2＞0，x1+x2=k}（其中k為正常數(shù)）．（1）設(shè)u=x1x2，求u的取值范圍；（2）求證：當(dāng)k≥1時(shí)不等式對(duì)任意（x1，x2）∈D恒成立；（3）求使不等式對(duì)任意（x1，x2）∈D恒成立的k2的范圍．參考答案：【考點(diǎn)】不等式的綜合．【專題】證明題；綜合題．【分析】（1）利用基本不等式，其中和為定值，積有最大值；（2）結(jié)合（1）中的范圍直接將左邊展開，利用u在上單調(diào)遞增即可，或者作差法比較；（3）結(jié)合（2）將（3）轉(zhuǎn)化為求使對(duì)恒成立的k的范圍，利用函數(shù)的單調(diào)性解決，或者作差法求解．【解答】解：（1），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故u的取值范圍為．（2）解法一（函數(shù)法）=由，又k≥1，k2﹣1≥0，∴f（u）=u﹣在上是增函數(shù)所以=即當(dāng)k≥1時(shí)不等式成立．解法二（不等式證明的作差比較法）===，將k2﹣4x1x2=（x1﹣x2）2代入得：=∵（x1﹣x2）2≥0，k≥1時(shí)4﹣k2x1x2﹣4k2=4（1﹣k2）﹣k2x1x2＜0，∴，即當(dāng)k≥1時(shí)不等式成立．（3）解法一（函數(shù)法）記=，則，即求使對(duì)恒成立的k2的范圍．由（2）知，要使對(duì)任意（x1，x2）∈D恒成立，必有0＜k＜1，因此1﹣k2＞0，∴函數(shù)在上遞減，在上遞增，要使函數(shù)f（u）在上恒有，必有，即k4+16k2﹣16≤0，解得．解法二（不等式證明的作差比較法）由（2）可知=，要不等式恒成立，必須4﹣k2x1x2﹣4k2≥0恒成立即恒成立由得，即k4+16k2﹣16≤0，解得．因此不等式恒成立的k2的范圍是【點(diǎn)評(píng)】本題考查不等式的綜合應(yīng)用，以及利用轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)思想轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題利用函數(shù)的單調(diào)性解決不等式問題，屬于中檔題．20.（本小題滿分12分）在中，已知，且cos2A+2sin=1．(1)求角的大小和邊的長(zhǎng)；(2)若點(diǎn)在內(nèi)運(yùn)動(dòng)（包括邊界）,且點(diǎn)到三邊的距離之和為d,設(shè)點(diǎn)到的距離分別為x,y，試用x,y表示d，并求d的取值范圍.參考答案：(1)A=

BC=(2)【知識(shí)點(diǎn)】解三角形C8（Ⅰ）cos2A+2sin2[(B+C)/2]=1→1-2sin2A+2sin2[(B+C)/2]=1→sinA=sin[(B+C)/2]

A=(B+C)/2；∴3A=180°，A=60°；

由余弦定理：BC2=AC2+AB2-2AC*AB*cosA=22+12-2*2*1*cos60°=3，∴BC=√3。（Ⅱ）由題意得：d在P與C點(diǎn)重合時(shí)最小為，d在AB上時(shí)取最大值，此時(shí)有(x/sinB)+(y/sinA)=AB；將sinA=sin60°=√3/2、sinB=1/2代入得：(2y/√3)+2x=2，即y=√3-√3x

∴d=x+y+0=（1-√3）x+√3；x的取值范圍為0到1，所以d最大為√3

所以d的取值范圍為到√3【思路點(diǎn)撥】根據(jù)余弦定理求出角和邊，利用d的關(guān)系式求出最值。21.已知拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，過F且與x軸垂直的直線交該拋物線于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝4．（1）求拋物線的方程；（2）過點(diǎn)F的直線l交拋物線于P，Q兩點(diǎn)，若△OPQ的面積為4，求直線l的斜率（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．參考答案：解：（1）由拋物線的定義得2p＝4，所以拋物線的方程為y2＝4x．（2）設(shè)直線l的方程為y＝k(x-1)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．因?yàn)橹本€l與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，所以k≠0，得，代入y2＝4x，得，且恒成立，則