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彈性力學(xué)第四章平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答第1頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月極坐標(biāo)中的應(yīng)力分量xyo由徑向線(xiàn)和圓弧線(xiàn)圍成的圓形,扇形等彈性體,適合用極坐標(biāo)求解。與直角坐標(biāo)的區(qū)別:坐標(biāo)的量綱不同。坐標(biāo)的方向不同。與直角坐標(biāo)的相同處:應(yīng)力與體力的正負(fù)號(hào)規(guī)定相同。切應(yīng)力互等。第2頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月極坐標(biāo)中的平衡方程(1)xyo第3頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月極坐標(biāo)中的平衡方程(2)xyo第4頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月xyoPAP’A’BB’C極坐標(biāo)中的幾何方程(1)
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假定只有徑向位移第5頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月B’’P’’A’’xyoPAB極坐標(biāo)中的幾何方程(2)
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假定只有環(huán)向位移第6頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月xyoPAP’A’BB’C極坐標(biāo)中的幾何方程(3)
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純徑向位移下的線(xiàn)應(yīng)變很小,導(dǎo)致P’C與P’B’的差別可以忽略,因此:第7頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月xyoPAP’A’BB’C極坐標(biāo)中的幾何方程(4)
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純徑向位移下的切應(yīng)變?cè)趦H有徑向位移的情況下,段PA沒(méi)有轉(zhuǎn)動(dòng),因此:第8頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月B’’P’’A’’xyoPAB極坐標(biāo)中的幾何方程(5)
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純環(huán)向位移下的線(xiàn)應(yīng)變DD’很小,導(dǎo)致P’’A’’與PA的差別可以忽略,因此:第9頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月B’’P’’A’’xyoPAB極坐標(biāo)中的幾何方程(6)
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純環(huán)向位移下的切應(yīng)變DD’第10頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月極坐標(biāo)中的幾何方程(7)將純環(huán)向與純徑向位移的結(jié)果相加得極坐標(biāo)中的幾何方程:第11頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月極坐標(biāo)中的物理方程極坐標(biāo)中的物理方程與直角坐標(biāo)中的物理方程形式一樣,只需將直角坐標(biāo)x
和y換成和即可,如平面應(yīng)力問(wèn)題的物理方程為:換為換為對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題:第12頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程(1)為了簡(jiǎn)化推導(dǎo),可以將直角坐標(biāo)的公式直接變換到極坐標(biāo)中來(lái),為此,我們需要如下關(guān)系式:第13頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程(2)建立直角坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與極坐標(biāo)中應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系:第14頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程(3)證明以上應(yīng)力分量滿(mǎn)足平衡方程。第15頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程(4)代入直角坐標(biāo)中的相容方程:將環(huán)向正應(yīng)力與徑向正應(yīng)力相加:得到極坐標(biāo)中的相容方程:注:當(dāng)不計(jì)體力時(shí),在極坐標(biāo)中按應(yīng)力求解平面問(wèn)題需要滿(mǎn)足相容方程,應(yīng)力邊界條件以及位移單值條件。第16頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式(1)應(yīng)力分量在直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換需要建立兩者之間的關(guān)系。xyoBA設(shè)A中斜邊上的面積為ds,則由A中徑向上的力平衡,得到:第17頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式(2)應(yīng)力分量在直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換需要建立兩者之間的關(guān)系。xyoBA簡(jiǎn)化后得到:第18頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式(3)應(yīng)力分量在直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換需要建立兩者之間的關(guān)系。xyoBA由A中環(huán)向上的力平衡,得到:第19頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式(4)應(yīng)力分量在直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換需要建立兩者之間的關(guān)系。xyoBA由B中環(huán)向上的力平衡,得到:第20頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式(5)整理結(jié)果如下:第21頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月軸對(duì)稱(chēng)應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力(1)所謂軸對(duì)稱(chēng),是指物體的形狀或某物理量是繞一軸對(duì)稱(chēng)的,凡通過(guò)對(duì)稱(chēng)軸的任何面都是對(duì)稱(chēng)面。因此,軸對(duì)稱(chēng)應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力分量只與徑向坐標(biāo)有關(guān)而與環(huán)向坐標(biāo)無(wú)關(guān),而應(yīng)力函數(shù)只是徑向坐標(biāo)的函數(shù),即:簡(jiǎn)化相容方程:第22頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月軸對(duì)稱(chēng)應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力(2)軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的拉普拉斯算子可以寫(xiě)成:代入相容方程:得到:第23頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月軸對(duì)稱(chēng)應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力(3)積分四次得到應(yīng)力函數(shù):第24頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月軸對(duì)稱(chēng)應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力(4)軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的應(yīng)力分量函數(shù):第25頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月軸對(duì)稱(chēng)應(yīng)力狀態(tài)下的位移(1)由物理方程可由應(yīng)力分量得到應(yīng)變分量:第26頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月軸對(duì)稱(chēng)應(yīng)力狀態(tài)下的位移(2)由幾何方程可由應(yīng)變分量得到位移分量:第27頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月軸對(duì)稱(chēng)應(yīng)力狀態(tài)下的位移(3)第28頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月軸對(duì)稱(chēng)應(yīng)力狀態(tài)下的位移(4)將以上得到的環(huán)向徑向位移代入切應(yīng)變的幾何方程:得到:第29頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月軸對(duì)稱(chēng)應(yīng)力狀態(tài)下的位移(4)分離變量以便求得未知函數(shù)的形式:第30頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月軸對(duì)稱(chēng)應(yīng)力狀態(tài)下的位移(5)第31頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月軸對(duì)稱(chēng)應(yīng)力狀態(tài)下的位移(6)代入得到第32頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題小結(jié)以上是軸對(duì)稱(chēng)應(yīng)力狀態(tài)下,應(yīng)力分量和位移分量的一般表達(dá)式,適用任何軸對(duì)稱(chēng)應(yīng)力問(wèn)題。其中,待定系數(shù)將由應(yīng)力邊界條件,位移邊界條件和位移單值條件確定。若位移邊界條件也是軸對(duì)稱(chēng)的,則位移也是軸對(duì)稱(chēng)的。第33頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫Γ?)q1q2邊界條件:第34頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫Γ?)q1q2兩個(gè)方程三個(gè)未知數(shù),不能求解A,B,C。因此,需引入位移單值條件:該項(xiàng)必須為零,否則在環(huán)上同一點(diǎn)有兩個(gè)不同的位移,故B=0第35頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫Γ?)q1q2因此,得到圓筒受均勻壓力的拉梅(G.Lame,1795—1870,法國(guó))解答:第36頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫Γ?)q1q2若只有內(nèi)壓力,則徑向正應(yīng)力為壓應(yīng)力,而環(huán)向正應(yīng)力為拉應(yīng)力。另外,若R無(wú)窮大,即在無(wú)限大薄板中有一圓孔,或在無(wú)限大彈性體中有一孔道,則:注:遠(yuǎn)離孔口處應(yīng)力很小,可以不計(jì)。第37頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月壓力隧洞(1)設(shè)有圓筒,埋在無(wú)限大彈性體中,受有均布?jí)毫,圓筒和無(wú)限大彈性體的彈性常數(shù)分別為E,μ和E’,μ’。圓筒內(nèi)外徑分別為r和R。無(wú)限大彈性體可看成是內(nèi)徑為R而外徑為無(wú)限大的圓筒。q第38頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月壓力隧洞(2)圓筒無(wú)限大彈性體軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題環(huán)向位移的一般解答:圓筒無(wú)限大彈性體第39頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月壓力隧洞(3)由應(yīng)力邊界條件得:1.圓筒內(nèi)壁:2.無(wú)限大彈性體離圓筒無(wú)限遠(yuǎn)處:3.接觸面:第40頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月壓力隧洞(4)由位移邊界條件得:4.接觸面:平面應(yīng)力狀態(tài)下軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的徑向位移解答:平面應(yīng)變狀態(tài)下軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的徑向位移解答:0第41頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月壓力隧洞(5)徑向位移解答:4.接觸面:n第42頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月壓力隧洞(6)應(yīng)力分量的最終解答:小結(jié):該問(wèn)題是最簡(jiǎn)單的接觸問(wèn)題,屬于完全接觸問(wèn)題。在接觸面上,兩彈性體的正應(yīng)力與切應(yīng)力相等,法向與切向位移也相等。光滑接觸屬于非完全接觸,在接觸面上,兩彈性體的正應(yīng)力與法向位移相等,而切向位移不相等。此外,還有摩擦滑移接觸,在法向上,正應(yīng)力及位移相等,在切向上,則達(dá)到極限滑移狀態(tài)而產(chǎn)生移動(dòng),此時(shí)兩彈性體的切應(yīng)力都等于極限摩擦力。第43頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月圓孔孔口應(yīng)力集中(1)本節(jié)研究小孔口問(wèn)題,即孔口尺寸遠(yuǎn)小于彈性體尺寸,并且孔邊距彈性體邊界也較遠(yuǎn)。xy孔口附近的應(yīng)力遠(yuǎn)大于無(wú)孔時(shí)的應(yīng)力,也遠(yuǎn)大于距孔口較遠(yuǎn)處的應(yīng)力,這種現(xiàn)象叫孔口應(yīng)力集中。第44頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月圓孔孔口應(yīng)力集中(2)
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四邊受拉力qxyAqqq以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心,以遠(yuǎn)大于圓孔半徑r的長(zhǎng)度R作一個(gè)大圓,如虛線(xiàn)所示。則直角坐標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)問(wèn)題。由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)應(yīng)力分量的轉(zhuǎn)換公式:在虛線(xiàn)上的任意一點(diǎn)的直角坐標(biāo)應(yīng)力分量為:在虛線(xiàn)圓上:第45頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月圓孔孔口應(yīng)力集中(3)
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四邊受拉力qxyAqqqq0-q第46頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月圓孔孔口應(yīng)力集中(4)
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四邊受拉力q0-qR遠(yuǎn)大于r,則r/R=0
矩形薄板在離開(kāi)邊界較遠(yuǎn)處有圓孔,在四邊受均布拉力的引力分量函數(shù):第47頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月圓孔孔口應(yīng)力集中(5)
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左右兩邊受拉力,上下兩邊受壓力qxyAqqq由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)應(yīng)力分量的轉(zhuǎn)換公式:外邊界上的邊界條件內(nèi)邊界上的邊界條件第48頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月圓孔孔口應(yīng)力集中(6)
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左右兩邊受拉力,上下兩邊受壓力qxyAqqq不能將邊界條件代入上式,因?yàn)樯鲜絻H適用于軸對(duì)稱(chēng)應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力分量,而本問(wèn)題不是軸對(duì)稱(chēng)應(yīng)力狀態(tài)(如徑向正應(yīng)力是環(huán)向坐標(biāo)的函數(shù))。第49頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月圓孔孔口應(yīng)力集中(7)
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左右兩邊受拉力,上下兩邊受壓力qxyAqqq第50頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月圓孔孔口應(yīng)力集中(8)
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左右兩邊受拉力,上下兩邊受壓力qxyAqqq代入相容方程第51頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月圓孔孔口應(yīng)力集中(9)
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左右兩邊受拉力,上下兩邊受壓力qxyAqqq第52頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月圓孔孔口應(yīng)力集中(10)
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左右兩邊受拉力,上下兩邊受壓力qxyAqqq代入第53頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月圓孔孔口應(yīng)力集中(11)
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左右兩邊受拉力,上下兩邊受壓力qxyAqqq左右兩邊受拉力,上下兩邊受壓力,離邊界較遠(yuǎn)處有圓孔的應(yīng)力分量函數(shù):第54頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月圓孔孔口應(yīng)力集中(12)
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載荷的組合q1q2q1q2A(q1+q2)/2(q1+q2)/2(q1+q2)/2(q1+q2)/2(q1-q2)/2(q1-q2)/2(q1-q2)/2(q1-q2)/2左右兩邊受一種拉力,上下兩邊受另一種拉力的薄板,可認(rèn)為是以下兩種載荷的組合。第55頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月圓孔孔口應(yīng)力集中(12)
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載荷的組合qqAq/2q/2q/2q/2q/2q/2q/2q/2左右兩邊受拉力,上下兩邊不受拉力的薄板,可認(rèn)為是以下兩種載荷的組合。第56頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月圓孔孔口應(yīng)力集中(13)
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載荷的組合Aq/2q/2q/2q/2q/2q/2q/2q/2第57頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月qq圓孔孔口應(yīng)力集中(14)
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載荷的組合注:另外兩個(gè)應(yīng)力分量在孔邊為零。xyA第58頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月qq圓孔孔口應(yīng)力集中(15)
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載荷的組合x(chóng)yA注:孔邊應(yīng)力是均勻應(yīng)力的三倍第59頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月qq圓孔孔口應(yīng)力集中(15)
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載荷的組合x(chóng)yA第60頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月小孔口問(wèn)題小結(jié)(1)小孔口問(wèn)題的特點(diǎn):1.集中性,孔附近的應(yīng)力遠(yuǎn)大于較遠(yuǎn)處的應(yīng)力。2.局部性,孔口附近的應(yīng)力擾動(dòng)主要發(fā)生在距孔邊1.5倍孔口尺寸的范圍內(nèi)。在此區(qū)域外,由于開(kāi)孔引起的應(yīng)力擾動(dòng)一般小于5%,可以忽略不計(jì)。注:圓孔的應(yīng)力集中程度較低,有凹尖角的孔口應(yīng)力集中程度較高,因此,在設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)時(shí)應(yīng)盡量避免有凹尖角的孔口。第61頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月小孔口問(wèn)題小結(jié)(2)如有任意形狀的薄板,受有任意面力,而在距邊界較遠(yuǎn)處有一小圓孔,那么只要有了無(wú)孔時(shí)的應(yīng)力解答,也就可以計(jì)算孔邊的應(yīng)力,其過(guò)程如下:1.求出無(wú)孔時(shí)相應(yīng)于圓孔中心的應(yīng)力分量,2.由平面中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài),求得兩個(gè)主應(yīng)力的方向和大小。3.將兩個(gè)主應(yīng)力認(rèn)為是在兩個(gè)方向上的均布載荷,則根據(jù)上面的疊加法可求得孔邊應(yīng)力。第62頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月半面體在邊界上受集中力(1)設(shè)有半面體受集中力,如右圖所示。其中F為單位厚度上所受的力,量綱為MT2。abcFρ用半逆解法求解:由于應(yīng)力分量是,,ρ,F的函數(shù),而應(yīng)力分量的量綱為L(zhǎng)-1MT-2,F(xiàn)的量綱為MT-2,角度的量綱為一,因此各應(yīng)力分量只能取FNρ-1的形式,其中N為量綱一的量。又因?yàn)閼?yīng)力函數(shù)中ρ的冪次比應(yīng)力分量高兩階,因此假定:o第63頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月半面體在邊界上受集中力(2)abcFρ代入極坐標(biāo)中的相容方程:得到:o第64頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月半面體在邊界上受集中力(3)abcFρ代入:xy應(yīng)力函數(shù)中的常數(shù)以及關(guān)于坐標(biāo)的一次項(xiàng)略去后不影響應(yīng)力分量的計(jì)算。o第65頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月半面體在邊界上受集中力(4)abcFρo第66頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月半面體在邊界上受集中力(5)abcFρ邊界條件:在o點(diǎn)之外的ac面上,沒(méi)有任何的法向或者切向的面力,因此,上式中的后兩個(gè)方程完全滿(mǎn)足邊界條件。o第67頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月半面體在邊界上受集中力(6)abcFρ在o點(diǎn)附近切出一部分脫離體oabc,運(yùn)用圣維南原理:o第68頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月半面體在邊界上受集中力(7)abcFρo第69頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月半面體在邊界上受垂直集中力(1)abcFρo當(dāng)F垂直于直線(xiàn)邊界時(shí):第70頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月半面體在邊界上受垂直集中力(2)abcFρo將上式中的三角函數(shù)用直角坐標(biāo)表示就可以得到直角坐標(biāo)下的該問(wèn)題的應(yīng)力分量函數(shù)。第71頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月半面體在邊界上受垂直集中力(3)abcFρo第72頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月半面體在邊界上受垂直集中力(4)abcFρo第73頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月半面體在邊界上受垂直集中力(5)abcFρo第74頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月半面體在邊界上受垂直集中力(6)abcFρo第75頁(yè),課件共82頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月半面體在邊界上受垂直集中力(7)abcFρo
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