圓錐曲線解題技巧和方法綜合(全)

圓錐曲線解題技巧和方法綜合(全)圓錐曲線解題技巧一、常規(guī)七大題型：1.中點(diǎn)弦問(wèn)題當(dāng)給定圓錐曲線上兩點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可以通過(guò)設(shè)而不求法（點(diǎn)差法）來(lái)求解中點(diǎn)弦問(wèn)題。具體方法是代入方程，然后利用中點(diǎn)關(guān)系及斜率公式消去四個(gè)參數(shù)。例如，對(duì)于雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，與直線相交于$A$、$B$，設(shè)弦$AB$中點(diǎn)為$M(x,y)$，則有$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$和直線方程代入，應(yīng)用中點(diǎn)關(guān)系及斜率公式，消去四個(gè)參數(shù)，得到$2abxy+k(a^2-b^2)=0$，其中$k$為弦$AB$的斜率。2.焦點(diǎn)三角形問(wèn)題對(duì)于橢圓或雙曲線上一點(diǎn)$P(x,y)$，與兩個(gè)焦點(diǎn)$F_1$、$F_2$構(gòu)成的三角形問(wèn)題，可以利用正、余弦定理來(lái)求解。例如，對(duì)于橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，設(shè)$P(x,y)$為任一點(diǎn)，$F_1(-c,0)$，$F_2(c,0)$為焦點(diǎn)，則有$\anglePF_1F_2=\alpha$，$\anglePF_2F_1=\beta$?？梢宰C明離心率$e=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha+\sin\beta}$，同時(shí)可以求出$|PF_1|+|PF_2|$的最值。3.直線與圓錐曲線位置關(guān)系問(wèn)題對(duì)于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，可以通過(guò)解方程組，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一元二次方程后利用判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、求根公式等來(lái)處理。應(yīng)特別注意數(shù)形結(jié)合的思想，通過(guò)圖形的直觀性幫助分析解決問(wèn)題。例如，對(duì)于拋物線$y^2=4px$，直線$x+y=t$與$x$軸的交點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線的右邊。可以證明直線與拋物線總有兩個(gè)不同交點(diǎn)，并求出交點(diǎn)$A$、$B$的連線$AB$與$x$軸的夾角關(guān)于$p$的函數(shù)$f(t)$的表達(dá)式。4.圓錐曲線的相關(guān)最值（范圍）問(wèn)題對(duì)于圓錐曲線中的有關(guān)最值（范圍）問(wèn)題，可以通過(guò)代數(shù)法和幾何法解決。如果命題的條件和結(jié)論具有明顯的幾何意義，一般可用圖形性質(zhì)來(lái)解決；如果命題的條件和結(jié)論體現(xiàn)明確的函數(shù)關(guān)系式，則可建立目標(biāo)函數(shù)（通常利用二次函數(shù)、三角函數(shù)、均值不等式）求最值。例如，對(duì)于拋物線$y^2=4px$，可以證明當(dāng)$x>0$時(shí)，點(diǎn)$(x,y)$到焦點(diǎn)的距離最小值為$\frac{p}{2}$，最大值為$+\infty$。1.求范圍問(wèn)題可以通過(guò)解不等式或?qū)⒆兞勘硎緸榱硪粋€(gè)變量的函數(shù)來(lái)解決；2.最值問(wèn)題可以通過(guò)建立目標(biāo)函數(shù)、數(shù)形結(jié)合、利用判別式或均值不等式來(lái)解決；3.對(duì)于曲線的方程問(wèn)題，如果曲線的形狀已知，可以用待定系數(shù)法解決；如果曲線的形狀未知，可以求軌跡方程；4.對(duì)于存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，可以按照求兩點(diǎn)所在直線、求直線交點(diǎn)、使交點(diǎn)在圓錐曲線形內(nèi)的方法來(lái)解決；5.對(duì)于兩線段垂直問(wèn)題，可以使用k1·k2=-1或向量的坐標(biāo)x1·x2+y1·y2=0來(lái)處理。1.求解變量范圍問(wèn)題可以采用解不等式或?qū)⒆兞勘硎緸榱硪粋€(gè)變量的函數(shù)的方法。2.處理最值問(wèn)題的思路可以包括建立目標(biāo)函數(shù)、數(shù)形結(jié)合、利用判別式或均值不等式。3.對(duì)于曲線方程問(wèn)題，如果曲線形狀已知，可以使用待定系數(shù)法。如果未知，可以求解軌跡方程。4.處理存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)問(wèn)題時(shí)，可以分為求兩點(diǎn)所在直線、求直線交點(diǎn)、使交點(diǎn)在圓錐曲線形內(nèi)的三個(gè)步驟。5.解決兩線段垂直問(wèn)題時(shí)，可以使用k1·k2=-1或向量的坐標(biāo)x1·x2+y1·y2=0的方法。在教學(xué)中，學(xué)生經(jīng)常感到解析幾何問(wèn)題的計(jì)算量很大。但實(shí)際上，我們可以利用幾何圖形、韋達(dá)定理、曲線系方程和“設(shè)而不求”的策略來(lái)減少計(jì)算量。以下是一些例子：（1）充分利用幾何圖形解析幾何的研究對(duì)象是幾何圖形及其性質(zhì)。因此，在處理解析幾何問(wèn)題時(shí)，除了使用代數(shù)方程，還應(yīng)該充分挖掘幾何條件，并結(jié)合平面幾何知識(shí)。例如，對(duì)于直線3x+4y+m=0和圓x+y+x-2y=0相交于P、Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OP⊥OQ，則可以利用幾何圖形的性質(zhì)來(lái)求解m的值。（2）充分利用韋達(dá)定理及“設(shè)而不求”的策略我們經(jīng)常設(shè)出弦的端點(diǎn)坐標(biāo)而不求它，而是結(jié)合韋達(dá)定理求解。這種方法在有關(guān)斜率、中點(diǎn)等問(wèn)題中常常用到。例如，對(duì)于中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓與直線y=x+1相交于P、Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ，|PQ|=10，可以使用韋達(dá)定理和“設(shè)而不求”的策略來(lái)求解橢圓方程。（3）充分利用曲線系方程利用曲線系方程可以避免求曲線的交點(diǎn)，從而減少計(jì)算。例如，對(duì)于已知圓C1：x+y-4x+2y=0和C2：x+y-2y-4=0的交點(diǎn)，且圓心在直線l：2x+4y-1=0上的圓的方程，可以使用曲線系方程來(lái)求解。（4）充分利用橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程涉及到正、余弦，利用它們的有界性，可以解決相關(guān)的求最值的問(wèn)題。例如，對(duì)于橢圓x^2/a^2+y^2/b^2=1上的一動(dòng)點(diǎn)P，A為長(zhǎng)軸的右端點(diǎn)，B為短軸的上端點(diǎn)，可以使用橢圓的參數(shù)方程來(lái)求解四邊形OAPB面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)。（5）線段長(zhǎng)的幾種簡(jiǎn)便計(jì)算方法①充分利用現(xiàn)成結(jié)果，減少運(yùn)算過(guò)程。一般地，求直線與圓錐曲線相交的弦AB長(zhǎng)的方法是：把直線方程代入圓錐曲線方程中，得到型如ax^2+bx+c=0的方程，方程的兩根設(shè)為xA，xB，判別式為△，則|AB|=√(1+k^2)|xA-xB|/|a|。例如，對(duì)于直線x-y+1=0被橢圓x+4y=16所截得的線段AB的長(zhǎng)，可以使用這個(gè)方法來(lái)求解。②結(jié)合圖形的特殊位置關(guān)系，減少運(yùn)算。在求過(guò)圓錐曲線焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)時(shí)，由于圓錐曲線的定義都涉及焦點(diǎn)，結(jié)合圖形運(yùn)用圓錐曲線的定義，可回避復(fù)雜運(yùn)算。例如，對(duì)于橢圓x^2/a^2+y^2/b^2=1的焦點(diǎn)F1、F2，AB是經(jīng)過(guò)F1的弦，且|AB|=8，可以使用橢圓的定義和圖形的特殊位置關(guān)系來(lái)求解|F2A|+|F2B|。利用拋物線的性質(zhì)，我們可以利用圓錐曲線的定義將到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，從而解決這道題目。給定點(diǎn)A(3,2)為定點(diǎn)，點(diǎn)F是拋物線y=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線y=4x上移動(dòng)，要求|PA|+|PF|的最小值，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。圓錐曲線是解決這類(lèi)問(wèn)題的重要工具。需要掌握直線方程的五種形式，以及與直線相關(guān)的重要內(nèi)容，包括直線的傾斜角、斜率、點(diǎn)到直線的距離、夾角公式和弦長(zhǎng)公式等。此外，還需要掌握?qǐng)A錐曲線的方程及其性質(zhì)，包括橢圓、雙曲線和拋物線的方程形式、通徑、定義以及焦半徑公式等。在解決問(wèn)題時(shí)，我們需要根據(jù)題目的具體要求，選擇合適的工具和方法。例如，在本題中，我們可以利用拋物線的性質(zhì)，將到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，從而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)。在此過(guò)程中，需要注意計(jì)算公式的正確性，以及對(duì)于每個(gè)變量的含義和范圍的理解。綜上所述，圓錐曲線是解決這類(lèi)問(wèn)題的重要工具，需要掌握其方程及性質(zhì)，并根據(jù)題目要求選擇合適的方法和工具進(jìn)行求解。在解題過(guò)程中，需要注意計(jì)算公式的正確性，以及對(duì)于每個(gè)變量的含義和范圍的理解。)(2x-2)=0，因?yàn)锳在y軸正半軸上，所以B和C在橢圓的下半部分，即y<0，所以中點(diǎn)弦的斜率為k=-\frac{x_1-x_2}{y_1-y_2}=-\frac{x}{y}，由重心坐標(biāo)公式可得重心G的坐標(biāo)為G(0,-\frac{4}{5})，又因?yàn)镚在右焦點(diǎn)上，所以e=\sqrt{a^2-b^2}=2，代入橢圓方程可得\frac{x^2}{4}+\frac{(y+\frac{4}{5})^2}{5}=1，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去一個(gè)未知數(shù)可得直線BC的方程為5x+4y+16=0。（2）因?yàn)榻茿為90度，所以AB⊥AC，設(shè)AB的斜率為k，則AC的斜率為-\frac{1}{k}，設(shè)D的坐標(biāo)為(x,y)，則有y-kx=0，以及\frac{(x-x_1)^2}{4}+\frac{(y-y_1)^2}{5}=1，聯(lián)立解得x=\frac{4k^2}{5k^2+4},y=\frac{4k^3}{5k^2+4}，代入點(diǎn)斜式可得直線AD的方程為y=\frac{4k^3}{5k^2+4}(x-x_1)，因?yàn)锳D⊥BC，所以直線BC的斜率為-\frac{1}{k}，代入點(diǎn)斜式可得y+\frac{4}{5}=-\frac{1}{k}(x-x_2)，聯(lián)立解得x=\frac{4k^2}{5k^2+1},y=-\frac{4}{5}-\frac{4k}{5k^2+1}，代入橢圓方程可得\frac{x^2}{4}+\frac{(y+\frac{4}{5})^2}{5}=1，整理可得k^2+4y+5=0，所以點(diǎn)D的軌跡方程為k^2+4y+5=0。1.給定點(diǎn)和直線求解問(wèn)題設(shè)三角形ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)，則有：-重心G的坐標(biāo)為：$G(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3})$；-垂心H的坐標(biāo)為：$H(x_1+x_2+x_3-\frac{2(x_1y_2+x_2y_3+x_3y_1)}{y_1+y_2+y_3},y_1+y_2+y_3-\frac{2(x_1y_2+x_2y_3+x_3y_1)}{x_1+x_2+x_3})$；-外心O的坐標(biāo)為：$O(\frac{(x_1^2+y_1^2)(y_2-y_3)+(x_2^2+y_2^2)(y_3-y_1)+(x_3^2+y_3^2)(y_1-y_2)}{2(x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2))},\frac{(x_1^2+y_1^2)(x_3-x_2)+(x_2^2+y_2^2)(x_1-x_3)+(x_3^2+y_3^2)(x_2-x_1)}{2(y_1(x_2-x_3)+y_2(x_3-x_1)+y_3(x_1-x_2))})$；-內(nèi)心I的坐標(biāo)為：$I(\frac{ax_1+bx_2+cx_3}{a+b+c},\frac{ay_1+by_2+cy_3}{a+b+c})$，其中$a,b,c$分別為$\angleA,\angleB,\angleC$的對(duì)邊長(zhǎng)度。2.直線與曲線的交點(diǎn)設(shè)直線的方程為$y=kx+b$，曲線的方程為$f(x,y)=0$，則求解它們的交點(diǎn)可以轉(zhuǎn)化為求解$f(x,kx+b)=0$的解。3.雙曲線的性質(zhì)設(shè)雙曲線的方程為$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，則有：-焦點(diǎn)的坐標(biāo)為$F_1(-\sqrt{a^2+b^2},0),F_2(\sqrt{a^2+b^2},0)$；-離心率的公式為$e=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}$；-雙曲線的漸近線方程為$y=\pm\frac{a}x$。題目：已知雙曲線C的方程為$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，離心率為$e$，點(diǎn)$C$、$E$在雙曲線上，且$CE=2a$。求雙曲線的離心率$e$的取值范圍。解法：設(shè)點(diǎn)$C$的坐標(biāo)為$(c,0)$，則點(diǎn)$E$的坐標(biāo)為$(c+2a,0)$。將點(diǎn)$C$的坐標(biāo)代入雙曲線方程得$\frac{c^2}{a^2}-\frac{0}{b^2}=1$，即$c^2=a^2+b^2$。將點(diǎn)$E$的坐標(biāo)代入雙曲線方程得$\frac{(c+2a)^2}{a^2}-\frac{0}{b^2}=1$，即$(c+2a)^2=a^2e^2+b^2$。由于$CE=2a$，因此有$(c+2a-c)^2+0^2=4a^2$，即$4a^2=a^2e^2+b^2-c^2$。將$c^2=a^2+b^2$代入得$4a^2=a^2e^2$，即$e^2=4$。因此，$e=\pm2$。又因?yàn)殡p曲線的離心率為正數(shù)，因此$e=2$。所以，雙曲線的離心率的取值范圍為$[2,2]$。，1.5)為雙曲線C上支上任一點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線l的距離為：$\frac{|kx-2+x^2-2k|}{\sqrt{k+1^2}}=\frac{2}{\sqrt{k^2+1}}$由于$|k|<1$，所以$2+x^2>x>kx$，從而有$|kx-2+x^2-2k|=-kx+2+x^2+2k$于是問(wèn)題即可轉(zhuǎn)化為如上關(guān)于x的方程.由于$|k|<1$，所以$2+x^2>x>kx$將其代入前面的方程中得$\frac{-kx+2+x^2+2k}{\sqrt{k+1^2}}=\frac{2}{\sqrt{k^2+1}}$化簡(jiǎn)得$kx^2+(2k^2-2)\cdotx+2k^2+k-2=0$由于$|k|<1$，所以判別式$\Delta=8k^2-8k+8>0$，解得$k=\frac{5}{\sqrt{25+4x^2}}$例4已知橢圓C:$x^2+2y^2=8$和點(diǎn)P(4,1)，過(guò)P作直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，在線段AB上取點(diǎn)Q，使$AP/PB=AQ/QB$，求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡所在曲線的方程.分析：這是一個(gè)軌跡問(wèn)題，解題困難在于多動(dòng)點(diǎn)的困擾，學(xué)生往往不知從何入手。其實(shí)，應(yīng)該想到軌跡問(wèn)題可以通過(guò)參數(shù)法求解.因此，首先是選定參數(shù)，然后想方設(shè)法將點(diǎn)Q的橫、縱坐標(biāo)用參數(shù)表達(dá)，最后通過(guò)消參可達(dá)到解題的目的.由于點(diǎn)Q(x,y)的變化是由直線AB的變化引起的，自然可選擇直線AB的斜率k作為參數(shù)，如何將x,y與k聯(lián)系起來(lái)？一方面利用點(diǎn)Q在直線AB上，另一方面就是運(yùn)用題目條件：P、Q四點(diǎn)共線，不難得到$x=\frac{4(x+x_B)-2x_Ax_B}{8-(x_A+x_B)}$$AP/PB=-AQ/QB$來(lái)轉(zhuǎn)化.由A、B、Q三點(diǎn)共線，要建立x與k的關(guān)系，只需將直線AB的方程代入橢圓C的方程，利用韋達(dá)定理即可.通過(guò)這樣的分析，可以看出，雖然我們還沒(méi)有開(kāi)始解題，但對(duì)于如何解決本題，已經(jīng)做到心中有數(shù).將直線方程代入橢圓方程，消去y，利用韋達(dá)定理$\frac{\sqrt{8-x^2}}{2}\cdot\frac{y}{x}=\frac{\sqrt{8-x^2}}{2}\cdot\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$化簡(jiǎn)得$(x-x_A)(x_B-x)+(y-y_A)(y_B-y)-\frac{1}{2}(x_B-x_A)^2=0$即為動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡所在曲線的方程。簡(jiǎn)化后的文章：設(shè)點(diǎn)$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，$Q(x,y)$，則由$\frac{AP}{PB}=-\frac{AQ}{QB}=\frac{4-x_1}{x_2-4}$可得：$$x-4=\frac{(x_1+x_2)k-2x_1}{x_2}$$解之得：$$x=\frac{4(x_1+x_2)-2x_1x_2}{x_2}$$設(shè)直線$AB$的方程為$y=k(x-4)+1$，代入橢圓$C$的方程，消去$y$得出關(guān)于$x$的一元二次方程：$$2x^2+4k(1-4k)x+2(1-4k)^2-8=0$$解得：$$x=\frac{4k+3}{k+2}$$與$y=k(x-4)+1$聯(lián)立，消去$k$得：$$(2x+y-4)(x-4)=0$$在方程$2x^2+4k(1-4k)x+2(1-4k)^2-8=0$中，由$\Delta=-64k^2+64k+24>0$，解得：$$\frac{16-2\sqrt{210}}{99}<x<\frac{16+2\sqrt{210}}{9}$$結(jié)合$x=\frac{4k+3}{k+2}$，可得：$$\frac{10}{9}<x<\frac{16+2\sqrt{210}}{9}$$故知點(diǎn)$Q$的軌跡方程為$2x+y-4=0$。點(diǎn)評(píng)：本題難點(diǎn)在引出參，活點(diǎn)在應(yīng)用參，重點(diǎn)在消去參。而“引參、用參、消參”三步曲，正是解析幾何綜合問(wèn)題求解的一條有效通道。的對(duì)稱(chēng)關(guān)系式，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為韋達(dá)定理可以直接應(yīng)用的形式.改寫(xiě)1：?jiǎn)栴}的根源在于對(duì)題目整體的理解不夠清晰。求取值范圍的方法有兩種：一是構(gòu)造所求變量關(guān)于某個(gè)（或某幾個(gè)）參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式（或方程），二是構(gòu)造關(guān)于所求量的一個(gè)不等式。從第一種方法入手，我們可以利用直線的斜率k將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的表達(dá)式，然后通過(guò)求根公式得到所求量關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式，再通過(guò)判別式確定k的取值范圍，最終得到所求量的取值范圍。當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，可以直接求得所求量的值，而當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，需要先求解一元二次方程，再代入公式計(jì)算。改寫(xiě)2：另一種方法是構(gòu)造關(guān)于所求量的不等式，通過(guò)判別式的非負(fù)性確定k的取值范圍，然后利用韋達(dá)定理將所求量與k聯(lián)系起來(lái)。但在本題中，無(wú)法直接應(yīng)用韋達(dá)定理，因?yàn)閤AP不是關(guān)于x1和x2的對(duì)稱(chēng)關(guān)系式。解決方法是構(gòu)造對(duì)稱(chēng)關(guān)系式，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為韋達(dá)定理可以直接應(yīng)用的形式，再按照上述步驟計(jì)算所求量的取值范圍。本文介紹了解決橢圓與直線相交問(wèn)題的方法。首先，將直線的方程代入橢圓方程，消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程。然后，應(yīng)用韋達(dá)定理和對(duì)稱(chēng)關(guān)系式，構(gòu)造所求量與k的關(guān)系式，并由判別式得出k的取值范圍。最后，根據(jù)所求量的不等式，得出答案。此外，本文還介紹了解題的一些思維方法，包括樹(shù)立全局觀念，排兵布陣，運(yùn)籌帷幄等。最后，本文以一個(gè)橢圓與直線相交的例題為例，演示了思維流程圖的應(yīng)用方法。給定方程$x+2y=2$，消元得到關(guān)于$m$的方程$3x^2+4mx+2m^2-2=0$。求出方程的兩根之和和兩根之積$MP\cdotFQ$。解題過(guò)程：首先將方程$x+2y=2$化為標(biāo)準(zhǔn)形式，得到$y=-\frac{1}{2}x+1$。根據(jù)題目中給出的條件，可以得到點(diǎn)$M(0,1)$和點(diǎn)$F(1,0)$。設(shè)直線$l$的方程為$y=x+m$，則點(diǎn)$P$和$Q$的坐標(biāo)分別為$\left(\frac{1-m}{2},\frac{1+m}{2}\right)$和$\left(\frac{-1-m}{2},\frac{1-m}{2}\right)$。根據(jù)題目中給出的$MP\cdotFQ$的表達(dá)式，可以得到：$$MP\cdotFQ=\left(\frac{1-m}{2}\right)\left(\frac{-1-m}{2}\right)+\left(\frac{1+m}{2}\right)\left(\frac{1-m}{2}\right)=\frac{1-m^2}{2}$$根據(jù)韋達(dá)定理，可以得到：$$\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{4m}{3}\\x_1x_2=\frac{2m^2-1}{3}\end{cases}$$將$x_1=-\frac{4m}{3}-x_2$代入$x_1x_2=\frac{2m^2-1}{3}$中，整理得到：$$2x_2^2+2(3m-1)x_2+3m^2-3m=0$$由于題目中要求方程的兩根之和和兩根之積，因此可以使用二次方程的求根公式，解得：$$x_2=\frac{1-3m\pm\sqrt{9m^2-8m}}{2}$$因此，方程的兩根之和為$-\frac{4m}{3}$，兩根之積為$\frac{2m^2-1}{3}$，$MP\cdotFQ=\frac{1-m^2}{2}$。點(diǎn)石成金：題目中給出的條件可以轉(zhuǎn)化為垂心的特點(diǎn)，即垂心與頂點(diǎn)的連線垂直對(duì)邊。然后根據(jù)題目所求，將表達(dá)式轉(zhuǎn)化為兩向量乘積為零的形式，使用韋達(dá)定理和二次方程的求根公式即可求解。給定橢圓$E$的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過(guò)$A(-2,0)$、$B(2,0)$、$C\left(\frac{3}{2},\frac{4}{3}\right)$三點(diǎn)。求橢圓$E$的方程，并且在點(diǎn)$D$為橢圓$E$上不同于$A$、$B$的任意一點(diǎn)，$F(-1,0)$，$H(1,0)$的情況下，當(dāng)$\triangleDFH$內(nèi)切圓的面積最大時(shí)，求$\triangleDFH$內(nèi)心的坐標(biāo)。思維流程：根據(jù)題目中給出的條件，可以求出橢圓$E$的方程。然后將$\triangleDFH$內(nèi)切圓的面積最大轉(zhuǎn)化為$\triangleDFH$面積最大，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為點(diǎn)$D$的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值最大，最大點(diǎn)為橢圓短軸端點(diǎn)的問(wèn)題。最后，使用向量和面積的關(guān)系求解$\triangleDFH$內(nèi)心的坐標(biāo)。解題過(guò)程：（Ⅰ）設(shè)橢圓$E$的方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，則焦點(diǎn)的坐標(biāo)為$(\pmc,0)$。由題目中給出的條件，可以列出以下方程組：$$\begin{cases}a^2-c^2=4\\b^2=\frac{16}{9}\\a^2+c^2=\frac{25}{4}\end{cases}$$解得$a=2$，$b=\frac{4}{3}$，$c=\sqrt{3}$。因此，橢圓$E$的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{\frac{16}{9}}=1$，即$9x^2+4y^2=36$。（Ⅱ）由題目中給出的條件，可以得到點(diǎn)$F(-1,0)$和點(diǎn)$H(1,0)$。設(shè)點(diǎn)$D$的坐標(biāo)為$(x,y)$，則根據(jù)橢圓的性質(zhì)，有：$$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{\frac{16}{9}}=1$$因此，$y^2=\frac{16}{9}(1-\frac{x^2}{4})$。由于點(diǎn)$D$不同于$A$、$B$，因此$x\neq\pm2$。又因?yàn)辄c(diǎn)$D$在橢圓上，因此可以得到：$$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{\frac{16}{9}}=1$$$$\frac{x^2}{4}+\frac{16}{9}(1-\frac{x^2}{4})=1$$解得$x=\pm\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$y=\pm\frac{4}{3}$。因此，點(diǎn)$D$的坐標(biāo)為$\left(\frac{2\sqrt{3}}{3},\frac{4}{3}\right)$或$\left(-\frac{2\sqrt{3}}{3},-\frac{4}{3}\right)$。根據(jù)題目中給出的條件，可以得到$\triangleDFH$的三邊長(zhǎng)度分別為$2$，$\sqrt{3}+1$，$\sqrt{3}-1$。因此，$\triangleDFH$的半周長(zhǎng)為$s=\frac{3+\sqrt{3}}{2}$，面積為：$$S=\sqrt{s(s-2)(s-\sqrt{3}-1)(s-\sqrt{3}+1)}=\frac{1}{2}$$$\triangleDFH$內(nèi)切圓的半徑為：$$r=\frac{S}{s}=\frac{1}{3+\sqrt{3}}=\sqrt{3}-1$$由于$\triangleDFH$的三邊長(zhǎng)度已知，因此可以使用向量和面積的關(guān)系求解$\triangleDFH$內(nèi)心的坐標(biāo)。設(shè)$\vec{AD}=(x_D,y_D)$，$\vec{DH}=(2,y_D)$，$\vec{DF}=(x_D+1,y_D)$，則有：$$\vec{AD}\cdot\vec{DH}=\vec{DH}\cdot\vec{DF}=\vec{DF}\cdot\vec{AD}=\frac{1}{2}S$$解得$x_D=\frac{1}{3}$，$y_D=1$。因此，$\triangleDFH$內(nèi)心的坐標(biāo)為$(\frac{1}{3},1)$。當(dāng)點(diǎn)D在橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，可以得到高h(yuǎn)的最大值為3。因此，三角形DFH的面積S的最大值為9。設(shè)三角形DFH的內(nèi)切圓的半徑為R，則根據(jù)三角形的周長(zhǎng)為6可得到：$S_{\DeltaDFH}=\frac{1}{2}R\times6$。因此，$R$的最大值為3，內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)為$(0,3)$。根據(jù)內(nèi)切圓的公式，可以得到$\frac{S_{\Delta}}{r}=\frac{p}{2}$，其中$p$為三角形的周長(zhǎng)，$r$為三角形內(nèi)切圓的半徑。已知定點(diǎn)$C(-1,y_0)$及橢圓$x^2+3y^2=5$，過(guò)點(diǎn)$C$的動(dòng)直線與橢圓相交于$A$、$B$兩點(diǎn)。（Ⅰ）若線段$AB$中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是$-\frac{1}{2}$，求直線$AB$的方程。根據(jù)題意，直線$AB$的斜率存在，設(shè)直線$AB$的方程為$y=k(x+1)$，將其代入橢圓方程中消去$y$可得：$(k^2+3)x^2+6k^2x+k^2-5=0$。設(shè)$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，則有：$\begin{cases}6k^2=x_1+x_2+2\\x_1x_2=3k^2-1\end{cases}$。根據(jù)線段$AB$中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為$-\frac{1}{2}$可得：$\frac{x_1+x_2}{2}=-\frac{1}{2}$，代入上式解得$k=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$。因此，直線$AB$的方程為$x-3y+1=0$或$x+3y+1=0$。（Ⅱ）在$x$軸上是否存在點(diǎn)$M$，使$MA\cdotMB$為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)$M$的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。假設(shè)在$x$軸上存在點(diǎn)$M(m,0)$，使$MA\cdotMB$為常數(shù)。①當(dāng)直線$AB$與$x$軸不垂直時(shí)，根據(jù)直線$AB$的方程可得：$x_1+x_2=-3k-1$，$x_1x_2=\frac{3k^2-1}{2}$。代入$MA\cdotMB$的公式中，整理得：$MA\cdotMB=\frac{1}{3k^2+1}(3k^2m^2+2(3k^2-5)m+k^2-5)$。因?yàn)?MA\cdotMB$是與$k$無(wú)關(guān)的常數(shù)，所以$3k^2m^2+2(3k^2-5)m+k^2-5$是一個(gè)關(guān)于$m$的二次函數(shù)，其判別式$\Delta=4(3k^2+1)(3k^2-5)$必須為非負(fù)數(shù)。解得$-\frac{1}{\sqrt{2}}\leqk\leq\frac{1}{\sqrt{2}}$。②當(dāng)直線$AB$與$x$軸垂直時(shí)，$AB$的斜率不存在，即$k$不存在。此時(shí)，$AB$為$x=-1$，$MA\cdotMB$為$(m+1)^2-1$，與$k$無(wú)關(guān)。因此，$MA\cdotMB$為常數(shù)的點(diǎn)$M$在$x=-1$處，不存在其他點(diǎn)。綜上所述，$MA\cdotMB$為常數(shù)的點(diǎn)$M$有兩個(gè)，分別為$\left(-\frac{1}{2},0\right)$和$(-1,0)$。當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為$(\frac{7}{4},2)$和$(\frac{2}{3},-1)$。此時(shí)，$MA\cdotMB=-1$，使$MA\cdotMB$為常數(shù)的$m$為$-\frac{393}{114}$。在x軸上存在定點(diǎn)$M(-\frac{7}{3},\frac{2}{3})$。例9、已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍且經(jīng)過(guò)點(diǎn)$M(2,1)$，平行于OM的直線$l$在y軸上的截距為$m$（$m\neq0$），$l$交橢圓于$A$、$B$兩個(gè)不同點(diǎn)。（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）求$m$的取值范圍；（Ⅲ）求證直線$MA$、$MB$與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形。思路：（1）設(shè)橢圓方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），則由題意可得$a=2b$，且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)$M(2,1)$，代入方程得$\frac{4}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1$，解得$a=8$，$b=4$，即橢圓方程為$\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{16}=1$。（2）由題意可知$l$的方程為$y=x+m$，代入橢圓方程得$16x^2+64(m+1)x+64m^2-256=0$，由于$l$與橢圓交于兩個(gè)不同點(diǎn)，因此$\Delta>0$，解得$-2<m<2$，且$m\neq0$。（3）設(shè)$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，則$MA\cdotMB=|x_1x_2+y_1y_2|=|(x_1+x_2)^2-4x_1x_2+y_1^2+y_2^2-2y_1y_2|$。由于$l$與橢圓交于兩個(gè)不同點(diǎn)，因此$A$、$B$關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，即$x_1+x_2=-\frac{64(m+1)}{16}=4(m+1)$，$x_1x_2=\frac{64m^2-256}{16}=4(m^2-4)$。代入得$MA\cdotMB=2m^2+2m-16$。設(shè)$k_1$、$k_2$分別為$MA$、$MB$的斜率，則$k_1=-\frac{y_1}{x_1}$，$k_2=-\frac{y_2}{x_2}$，由于$A$、$B$關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，因此$k_1+k_2=0$。證畢。2222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222剔除下面文章的格式