差分方程基本知識課件

差分方程一、差分方程的基本概念二、一階常系數(shù)線性差分方程三、差分方程的簡單應(yīng)用差分方程一、差分方程的基本概念二、一階常系數(shù)線性差分方程三1.差分的定義定義1設(shè)函數(shù)我們稱為函數(shù)的一階差分；一、差分方程的基本概念1.差分的定義定義1設(shè)函數(shù)我們稱為函數(shù)的一階差分；

稱為函數(shù)的二階差分.為三階差分.同樣，稱稱為函數(shù)的二階差分.為三階差分.同樣，稱依此類推，函數(shù)的n階差分定義為：且有二階及二階以上的差分統(tǒng)稱為高階差分．依此類推，函數(shù)的n階差分定義為：且有二階及二階以上的差分性質(zhì)1當(dāng)

是常數(shù)，是函數(shù)時，有以下結(jié)論成立：性質(zhì)1當(dāng)是常數(shù)，是函數(shù)時，有以下結(jié)論成立：例1求則解設(shè)例2設(shè)求解

例1求則解設(shè)例2設(shè)求解定義2含有未知函數(shù)差分或未知函數(shù)幾個時期值的方程就稱為差分方程.例如差分方程的不同形式之間可以相互轉(zhuǎn)化.差分方程中含有未知函數(shù)下標(biāo)的最大值與最小值之差數(shù)稱為差分方程的階.定義2含有未知函數(shù)差分或未知函數(shù)幾個時期值的方程就稱為差是一個二階差分方程，如果將原方程的左邊寫為則原方程還可化為例如，可以化為是一個二階差分方程，如果將原方程的左邊寫為則原方程還可化為例又如：可化為

定義3如果一個函數(shù)代入差分方程后，方程兩邊其中A為任意常數(shù).恒等，則稱此函數(shù)為差分方程的解.又如：可化為定義3如果一個函數(shù)代入差分方程后，方程我們往往要根據(jù)系統(tǒng)在初始時刻所處的狀態(tài)，對差分方程附加一定的條件，這種附加條件稱之為初始條件.滿足初始條件的解稱之為特解.如果差分方程中含有相互獨立的任意常數(shù)的個數(shù)恰好等于差分方程的階數(shù)，則稱它為差分方程的通解.其中A為任意常數(shù).我們往往要根據(jù)系統(tǒng)在初始時刻所處的狀態(tài)，其中A3.常系數(shù)線性差分方程及解的性質(zhì)

的差分方程稱為n階常系數(shù)線性差分方程，其中為常數(shù)，且為已知函數(shù).時，差分方程(1)稱為齊次的，對應(yīng)的齊次差分方程為(2)定義4形如(1)當(dāng)否則稱為非齊次的.當(dāng)時，與差分方程(1)3.常系數(shù)線性差分方程及解的性質(zhì)的差分方程稱為n階常系

定理1

設(shè)的k個特解，則線性組合也是該差分方程的解，其中是n階常系數(shù)齊次線性差分方程為任意常數(shù).定理1設(shè)的k個特解，則線性組合也是該差分方程的解，其中的n個線性無關(guān)的解，則方程的通解為其中為任意常數(shù)．定理2n階常系數(shù)齊次線性差分方程一定存在n個線性無關(guān)的特解．若是方程的n個線性無關(guān)的解，則方程的通解為其中為任意常數(shù)．定理2

定理3n階非齊次線性差分方程的通解與它自己本身的一個特解之和，它對應(yīng)的齊次方程即通解等于其中是它自己本身的一個特解.定理3n階非齊次線性差分方程的通解與它自己本身的一個以上三個定理揭示了n階齊次及非齊次線性差分方程的通解結(jié)構(gòu),它們是求解線性差分方程非常重要的基礎(chǔ)知識．在本書中．我們只探討一階常系數(shù)線性差分方程的解法．以上三個定理揭示了n階齊次及非齊次線性差分方程

(3)為常數(shù)，為已知函數(shù).時，稱方程

(4)則(3)稱為一階常系數(shù)非齊次線性一階常系數(shù)線性差分方程的一般形式為其中當(dāng)為一階常系數(shù)齊次線性差分方程.若差分方程.二、一階常系數(shù)線性差分方程(3)為常數(shù)，為已知函數(shù).時，稱方程(4)則(3)稱(1)迭代法求解：一般地，對于一階常系數(shù)齊次線性差分方程通常有如下兩種解法.1.常系數(shù)齊次線性差分方程的通解(1)迭代法求解：一般地，對于一階常系數(shù)齊次線性差分方程通(2)特征方程法求解：設(shè)化簡得：即(2)特征方程法求解：設(shè)化簡得：即分別稱為方程和是方程(4)的解.

再由解的結(jié)構(gòu)及通解的定義知：

的特征方程和特征根.是齊次方程的通解.為任意常數(shù))故分別稱為方程和是方程(4)的解.再由解的結(jié)構(gòu)及通例4求的通解.從而特征根為于是原方程的通解為其中C為任意常數(shù).解特征方程為例4求的通解.從而特征根為于是原方程的通解為其中C為任意常的右端項為某些特殊形式的函數(shù)時的特解.考慮差分方程(c為任意常數(shù)),則差分方程為1)采用迭代法求解：有迭代公式給定初值的右端項為某些特殊形式的函數(shù)時的特解.考慮差分方程(c為任意差分方程基本知識ppt課件2)一般法求解：設(shè)差分方程的特解.具有形如(1)當(dāng)時，(2)當(dāng)時，2)一般法求解：設(shè)差分方程的特解.具有形如(1)當(dāng)時，(2例5求差分方程的通解.解對應(yīng)齊次差分方程的通解為由于故可設(shè)其特解為：代入方程，解得：故原差分方程通解為：例5求差分方程的通解.解對應(yīng)設(shè)差分方程(6)具有形如的特解。于是設(shè)差分方程(6)具有形如的特解。于是即解得于是和即解得于是和例6

求差分方程

的通解。解對應(yīng)齊次差分方程的通解為由于故可設(shè)其特解為：代入方程，解得：故原差分方程通解為：例6求差分方程設(shè)差分方程(7)具有形如的特解.將特解代入差分方程(7)后比較兩端同次項系數(shù)確定系數(shù)設(shè)差分方程(7)具有形如的特解.將特解代入差分方程(7)后例7求差分方程

的通解。解對應(yīng)齊次差分方程的通解為由于故可設(shè)其特解為代入方程，得比較系數(shù)：例7求差分方程原差分方程通解為解得故方程特解為原差分方程通解為解得故方程特解為設(shè)差分方程具有形如的特解.綜上所述，有如下結(jié)論：若設(shè)差分方程具有形如的特解.綜上所述，有如下結(jié)論：若當(dāng)時，(*)式左端為次多項式，要使(*)式成立，則要求當(dāng)時，(*)式左端為次多項式，要使故可設(shè)差分方程（8）具有形如的特解.前面三種情況都是差分方程（8）的特殊情形：當(dāng)時，取否則，取故可設(shè)差分方程（8）具有形如的特解.前面三種情況都是差分方程例8（存款模型)為期存款總額，利率，按年復(fù)利計息，則與有如下關(guān)系式：這是關(guān)于的一個一階常系數(shù)齊次線性差分方程，其中為初始存款總額.為存款其通解為設(shè)三、差分方程在經(jīng)濟問題中的簡單應(yīng)用例8（存款模型)為期存款總額，利率，按年復(fù)利計息，則與有如下例9（貸款模型）設(shè)每個月應(yīng)付x元(貸款額為元）,月利率是第一個月應(yīng)付利息為可入住,另一半由銀行以年利r貸款,均每月付多少元？共付利息多少元？n年付清，問平設(shè)某房屋總價為a元,先付一半解例9（貸款模型）設(shè)每個月應(yīng)付x元(貸款額為元）,月利率是第一第二個月應(yīng)付利息為于是依此類推可得這是一個一階常系數(shù)非齊次線性差分方程，所以特征根為，

其對應(yīng)的齊次線性差分方程的特征方程為第二個月應(yīng)付利息為于是依此類推可得這是一個一階常系數(shù)非齊次線其對應(yīng)的齊次線性差分方程的通解為由于1不是特征方程的根，代入原方程，得即于是故原方程的通解為于是令特解其對應(yīng)的齊次線性差分方程的通解為由于1不是特征方程的根，代當(dāng)時，得所以原方程滿足初始條件的特解為當(dāng)時，得所以原方程滿足初始條件的特解為于是n年利息之和為于是n年利息之和為由于上式中也是總利息，所以有從而得因此，平均每月付元，共付利息元.由于上式中也是總利息，所以有從而得因此，平均每月付元，共付利該問題可分為兩個階段，第一階段是在前面20年例10（籌措教育經(jīng)費模型）某家庭從現(xiàn)在著手從每月工資中拿出一部分資金存入銀行，用于投資子女的教育.并計劃20年后開始從投資帳戶中每月支取1000元，共計支取10年，直到子女完成學(xué)業(yè)并用完全部資金.要實現(xiàn)這個投資目標(biāo)，20年內(nèi)共要籌措多少資金？每月要向銀行存入多少錢？假設(shè)投資的月利率為0.5%，10年后子女大學(xué)畢業(yè)用完全部資金.分析該問題可分為兩個階段，第一階段是在前面20年例10（解設(shè)從現(xiàn)在到20年內(nèi)共要籌措x元資金，第n個月

每月存入資金a元.同時.投資賬戶資金為In元，也設(shè)20年后第n個月投資帳戶資金為Sn元，于是，20年后，關(guān)于Sn的差分方程模型為每月向銀行存入一定數(shù)量的資金，第二階段是在20年后將所有資金用于子女教育，每月支取1000元，10內(nèi)用完所有資金.解設(shè)從現(xiàn)在到20年內(nèi)共要籌措x元資金，第n個月每月

并且解方程(9)，得通解以及

（9）并且解方程從而有從現(xiàn)在到20年內(nèi)，In滿足的差分方程為

(10)解方程(10),得通解，且從而有從現(xiàn)在到20年內(nèi)，In滿足的差分方程為(10)解方以及從而有即要達到投資目標(biāo)，20年內(nèi)要籌措資金90073.45元，平均每月要存入銀行194.95元.以及從而有即要達到投資目標(biāo)，20年內(nèi)要籌措資金90073在自由市場上一定注意過這樣的現(xiàn)象：一個時期由于豬肉的上市量你遠(yuǎn)大于需求量時，銷售不暢會導(dǎo)致價格下跌，農(nóng)民覺得養(yǎng)豬賠錢，于是轉(zhuǎn)而經(jīng)營其它農(nóng)副產(chǎn)品.過一段時間豬肉上市量減少，供不應(yīng)求導(dǎo)致價格上漲，原來的飼養(yǎng)戶覺得有利可圖，又重操舊業(yè)，這樣下一個時期會重新出現(xiàn)供大于求,價格下跌的局面.在沒有外界干預(yù)的條件下，這種現(xiàn)象將一直循環(huán)下，在完全自由競爭的市場體系中，這種現(xiàn)象是永遠(yuǎn)不可避免的.由于商品的價格主要由需求例11(動態(tài)經(jīng)濟系統(tǒng)的蛛網(wǎng)模型)在自由市場上一定注意過這樣的現(xiàn)象：一個時期由例11(動態(tài)經(jīng)關(guān)系來決定的，商品數(shù)量越多，意味需求量減少，因而價格越低.而下一個時期商品的數(shù)量是由生產(chǎn)者的供求關(guān)系決定，商品價格越低，生產(chǎn)的數(shù)量就越少.當(dāng)商品數(shù)量少到一定程度時，價格又出現(xiàn)反彈.這樣的需求和供給關(guān)系決定了市場經(jīng)濟中商品的價格和數(shù)量必然是振蕩的.有的商品這種振蕩的振幅越來越小，最后趨于平穩(wěn)，有的商品的振幅越來越大，最后導(dǎo)致經(jīng)濟崩潰.現(xiàn)以豬肉價格的變化與需求和供給關(guān)系來研究上述振蕩現(xiàn)象.關(guān)系來決定的，商品數(shù)量越多，意味需求量減少，圖4.1：蛛網(wǎng)模型圖個時期(假定為一年)豬肉的產(chǎn)量為價格為產(chǎn)量與價格的關(guān)系為這種產(chǎn)銷關(guān)系可用下述過程來描述：設(shè)第決定下一時期的產(chǎn)量，因此本時期的價格又設(shè)圖4.1：蛛網(wǎng)模型圖個時期(假定為一年)豬肉的產(chǎn)量為價格在圖4.1中，是以產(chǎn)量Q和價格P作為坐標(biāo)系的橫軸和和縱軸，這種關(guān)系很象一個蜘蛛網(wǎng)，故稱為蛛網(wǎng)模型.對于蛛網(wǎng)模型，假定商品本期的需求量決定于本期即需求函數(shù)為的價格商品本期產(chǎn)量決定于前一期的價格即供給函數(shù)為從而蛛網(wǎng)模型可以用下述聯(lián)立方程式來表示：其中均為常數(shù)且均大于零.在圖4.1中，是以產(chǎn)量Q和價格P作為坐標(biāo)系的橫軸和和縱軸，蛛網(wǎng)模型分析了商品的產(chǎn)量和價格波動的三種情況.下面只討論一種情形：供給曲線斜率的絕對值大于需求即當(dāng)市場由于受到干擾偏離原有的曲線斜率的絕對值.均衡狀態(tài)以后，實際價格和實際產(chǎn)量會圍繞均衡水平上下波動，但波動的幅度越來越小，最后會回復(fù)到原來的均衡點.假設(shè),在第一期由于某種外在原因的干擾,如惡劣的減少為氣候條件，實際產(chǎn)量由均衡水平曲線，消費者愿意支付根據(jù)需求的價格購買全部的產(chǎn)量于是，實際價格上升為.根據(jù)第一期較高的價格水平蛛網(wǎng)模型分析了商品的產(chǎn)量和價格波動的三種情況.下面只討論一種在第二期，生產(chǎn)者為了出售全部的產(chǎn)量接受于是，實際價格下降為.根據(jù)第二期的較低的價格水平生產(chǎn)者將第三在第三期，消費者愿意支付的價格購買全部的產(chǎn)量于是，實際價格又上升為根據(jù)第三期較高的價格水平如此循環(huán)下去(如圖4.2所示)，實際消費者所愿意支付的價格期的產(chǎn)量減少為生產(chǎn)者又將第四期的產(chǎn)量增加為產(chǎn)量和實際價格的波動幅度越來越小，最后恢復(fù)到均衡按照供給曲線，生產(chǎn)者將第二期的產(chǎn)量增加為所代表的水平.點在第二期，生產(chǎn)者為了出售全部的產(chǎn)量接受于是，實際價格下降為.圖4.2收斂型蛛網(wǎng)圖4.2收斂型蛛網(wǎng)由此可見，圖4.2中的平衡點所代表的平衡狀態(tài)是后，經(jīng)濟制度中存在著自發(fā)的也就是說，由于外在的原因，當(dāng)價格和產(chǎn)量穩(wěn)定的.偏離平衡點因素，能使價格和產(chǎn)量自動地恢復(fù)均衡狀態(tài).產(chǎn)量和蛛網(wǎng)模型名稱的由來.價格的變化軌