湖南省懷化市辰溪縣實驗中學2022年高二數(shù)學理聯(lián)考試題含解析

湖南省懷化市辰溪縣實驗中學2022年高二數(shù)學理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.雙曲線﹣=1的焦距的最小值為（）A． B．2 C．5 D．10參考答案：B【考點】雙曲線的標準方程．【分析】由題意，2c=2，即可求出雙曲線﹣=1的焦距的最小值．【解答】解：由題意，2c=2，∴雙曲線﹣=1的焦距的最小值為2，故選B．2.一個四面體的頂點在空間直角坐標系O﹣xyz中的坐標分別是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），畫該四面體三視圖中的正視圖時，以zOx平面為投影面，則得到正視圖可以為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】簡單空間圖形的三視圖．

【專題】計算題；作圖題．【分析】由題意畫出幾何體的直觀圖，然后判斷以zOx平面為投影面，則得到正視圖即可．【解答】解：因為一個四面體的頂點在空間直角坐標系O﹣xyz中的坐標分別是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），幾何體的直觀圖如圖，是正方體的頂點為頂點的一個正四面體，所以以zOx平面為投影面，則得到正視圖為：故選A．【點評】本題考查幾何體的三視圖的判斷，根據(jù)題意畫出幾何體的直觀圖是解題的關(guān)鍵，考查空間想象能力．3.設(shè)，則

（

）A．

B．

C.

D．參考答案：B略4.如圖⑴、⑵、⑶、⑷為四個幾何體的三視圖，根據(jù)三視圖可以判斷這四個幾何體依次分別為（

）A．三棱柱、四棱錐、圓錐、圓臺

B．三棱臺、三棱錐、圓錐、圓臺

C．三棱臺、三棱柱、圓錐、圓臺

D．三棱柱、三棱臺、圓錐、圓臺參考答案：A略5.某班主任對全班50名學生進行了作業(yè)量多少的調(diào)查，數(shù)據(jù)如下表：根據(jù)表中數(shù)據(jù)得到，因為，則認為“喜歡玩電腦游戲與認為作業(yè)量的多少有關(guān)系”的把握大約為A．2.5%

B．95%

C．97.5%

D.不具有相關(guān)性參考答案：C略6.已知雙曲線：與雙曲線：，給出下列說法，其中錯誤的是（

）A.它們的焦距相等 B.它們的焦點在同一個圓上C.它們的漸近線方程相同 D.它們的離心率相等參考答案：D由題知．則兩雙曲線的焦距相等且，焦點都在圓的圓上，其實為圓與坐標軸交點．漸近線方程都為，由于實軸長度不同故離心率不同．故本題答案選，7.將十進制數(shù)89轉(zhuǎn)化為二進制數(shù)為（

）A．1111110 B．1010101C．1001111 D．1011001參考答案：D考點：算法案例試題解析：把余數(shù)倒著寫出來，即為：1011001．故答案為：D8.在復平面內(nèi),復數(shù)(為虛數(shù)單位)的共軛復數(shù)對應的點位于 A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限參考答案：D9.用系統(tǒng)抽樣法從160名學生中抽取容量為20的樣本，將160名學生隨機地從1～160編號，按編號順序平均分成20組（1～8,9～16，…，153～160），若第16組得到的號碼為126，則第1組中用抽簽的方法確定的號碼是（

）A．8 B．6 C．4 D．2參考答案：B考點：抽樣試題解析：被抽出的號碼構(gòu)成以8為公差的等差數(shù)列，即所以第1組中用抽簽的方法確定的號碼是6．故答案為：B10.下列函數(shù)在（0，2）上是增函數(shù)的是（

）A．

B.

C.

D.參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.求與雙曲線共焦點，則過點（2，1）的圓錐曲線的方程為

.參考答案：或；略12.已知，設(shè)在R上單調(diào)遞減，的定義域為R，如果“或”為真命題，“或”也為真命題，則實數(shù)的取值范圍是_________．參考答案：略13.命題“”的否定是___

___.參考答案：14.橢圓的一個焦點是，那么實數(shù)的值為_____________；

參考答案：略15.函數(shù)在附近的平均變化率為_________________；參考答案：略16.如右圖，在正三棱錐S﹣ABC中，M，N分別為棱SC，BC的中點，AM⊥MN，若，則正三棱錐S﹣ABC的外接球的體積為

．參考答案：【考點】球內(nèi)接多面體；球的體積和表面積．【專題】計算題．【分析】由題意推出MN⊥平面SAC，即SB⊥平面SAC，∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，將此三棱錐補成正方體，則它們有相同的外接球，正方體的對角線就是球的直徑，求出直徑即可求出球的表面積．【解答】解：∵M，N分別為棱SC，BC的中點，∴MN∥SB∵三棱錐S﹣ABC為正棱錐，∴SB⊥AC（對棱互相垂直）∴MN⊥AC又∵MN⊥AM，而AM∩AC=A，∴MN⊥平面SAC，∴SB⊥平面SAC∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°以SA，SB，SC為從同一定點S出發(fā)的正方體三條棱，將此三棱錐補成以正方體，則它們有相同的外接球，正方體的對角線就是球的直徑．∴2R=，∴R=，∴V=πR3=π×=故答案為：【點評】本題考查了三棱錐的外接球的體積，考查空間想象能力．三棱錐擴展為正方體，它的對角線長就是外接球的直徑，是解決本題的關(guān)鍵．17.計算：+（3+i17）﹣=

．參考答案：4+2i【考點】A7：復數(shù)代數(shù)形式的混合運算．【分析】利用復數(shù)的運算法則分別計算即可．【解答】解：原式=+（3+i）﹣=+3+i﹣i10=i+3+i+1=4+2i；故答案為：4+2i．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.若復數(shù)，，且為純虛數(shù)，(Ⅰ)求a的值；（Ⅱ）求。參考答案：(Ⅰ)（Ⅱ）13【分析】(Ⅰ)先由復數(shù)的除法運算，將化為，再根據(jù)復數(shù)的分類，即可得出結(jié)果；（Ⅱ）根據(jù)(Ⅰ)的結(jié)果，結(jié)合復數(shù)的乘法運算，得到，進而可得到出結(jié)果.【詳解】解:(Ⅰ)由為純虛數(shù)，得（Ⅱ）由(Ⅰ)知:又，【點睛】本題主要考查復數(shù)分類、復數(shù)的乘除運算，以及復數(shù)的模，熟記復數(shù)的運算法則，以及復數(shù)的分類即可，屬于常考題型.19.若an+1=2an+1（n=1，2，3，…）．且a1=1．（1）求a2，a3，a4，a5；（2）歸納猜想通項公式an并用數(shù)學歸納法證明．參考答案：【考點】RG：數(shù)學歸納法．【分析】（1）根據(jù)遞推公式，分別代值計算即可，（2）由（1）可以猜想an=2n﹣1（n∈N*），并用數(shù)學歸納法證明即可【解答】解：（1）由已知a1=1，an+1=2an+1，得a2=3=22﹣1，a3=7=23﹣1，a4=15=24﹣1，a5=31=25﹣1．（2）歸納猜想，得an=2n﹣1（n∈N*），證明如下：①當n=1時，a1=21﹣1=1，成立，②假設(shè)n=k時成立，即ak=2k﹣1（k∈N*），那么ak+1=2ak+1=2?（2k﹣1）+1=2k+1﹣1，即當n=k+1時也成立，由①②可得an=2n﹣1（n∈N*）都成立．20.如圖，四面體ABCD中，O是BD的中點，△ABD和△BCD均為等邊三角形，AB=2，AC=．（1）求證：AO⊥平面BCD；（2）求二面角A﹣BC﹣D的余弦值．參考答案：【考點】直線與平面垂直的判定；與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題．【專題】證明題．【分析】（1）欲證AO⊥平面BCD，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證AO與平面BCD內(nèi)兩相交直線垂直，連接OC，而AO⊥BD，AO⊥OC．∵BD∩OC=O，滿足定理條件；（2）過O作OE⊥BC于E，連接AE，根據(jù)二面角平面角的定義知∠AEO為二面角A﹣BC﹣D的平面角，在Rt△AEO中求出此角即可．【解答】解：（1）證明：連接OC，∵△ABD為等邊三角形，O為BD的中點，∴AO⊥BD．∵△ABD和△CBD為等邊三角形，O為BD的中點，AB=2，，∴．在△AOC中，∵AO2+CO2=AC2，∴∠AOC=90o，即AO⊥OC．∵BD∩OC=O，∴AO⊥平面BCD．（2）過O作OE⊥BC于E，連接AE，∵AO⊥平面BCD，∴AE在平面BCD上的射影為OE．∴AE⊥BC．∴∠AEO為二面角A﹣BC﹣D的平面角．在Rt△AEO中，，，，∴．∴二面角A﹣BC﹣D的余弦值為．【點評】本小題主要考查直線與平面垂直的判定，以及二面角等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力，運算能力和推理論證能力．21.設(shè)拋物線的焦點為F，直線l與拋物線C交于不同的兩點A，B，線段AB中點M的橫坐標為2，且.（Ⅰ）求拋物線C的標準方程；（Ⅱ）若真線l（斜率存在）經(jīng)過焦點F，求直線l的方程.參考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（I）設(shè)出點的坐標，求出線段中點的橫坐標，再利用焦點弦求得的值，即可得出拋物線的標準方程；（II）設(shè)出過焦點的直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，消去，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出斜率，即可寫出直線的方程．【詳解】（Ⅰ）由題意，設(shè)點，，則線段中點的橫坐標為，所以，又，得，所以拋物線的標準方程為.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，拋物線的焦點為，故設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，消去得，∴，解得，所以直線的方程為.【點睛】本題主要考查了拋物線的定義與性質(zhì)，以及直線與拋物線的位置關(guān)系的應用，解答此類題目，通常聯(lián)立直線方程與拋物線聯(lián)立方程組，應用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進行求解，此類問題易錯點是復雜式子的變形能力不足，導致錯解，能較好的考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力、分析問題解決問題的能力等．22.已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的長軸長為4.(1)若以原點為圓心、橢圓短半軸為半徑的圓與直線y＝x＋2相切，求橢圓C的焦點坐標；(2)若點P是橢圓C上的任意一點，過焦點的直線l與橢圓相交于M，N兩點，記直線PM，PN的斜率分別為kPM、kPN，當kPM·kPN＝－時，求橢圓的方程．參考答案：[解析](1)∵圓x2＋y2＝b2與直線y＝x＋2相切，∴b＝，得b＝.又2a＝4，∴a＝