七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊必刷提高練【1.3-1.4 有理數(shù)的加減乘除】（解析版）-2022-2023學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊同步考點(diǎn)必刷練精編講義（人教版）

/2022-2023學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊考點(diǎn)必刷練精編講義（人教版）提高第一章《有理數(shù)》1.3-1.4有理數(shù)的加減乘除知識(shí)點(diǎn)1：倒數(shù)【典例分析01】（2019秋?高新區(qū)校級(jí)期中）如果xy＝1，那么①；②；③x，y互為倒數(shù)；④x，y都不能為零．其中正確的結(jié)論有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)解：∵xy＝1，∴x，y都不能為零，④是正確的；在xy＝1的兩邊分別除以x、y得x＝，y＝，∴①，②是正確的；根據(jù)倒數(shù)的定義得③是正確的．故選：D．【變式訓(xùn)練1-1】（2017秋?啟東市校級(jí)月考）有以下兩個(gè)結(jié)論：①任何一個(gè)有理數(shù)和它的相反數(shù)之間至少有一個(gè)有理數(shù)；②如果一個(gè)有理數(shù)有倒數(shù)，則這個(gè)有理數(shù)與它的倒數(shù)之間至少有一個(gè)有理數(shù)．則（）A．①，②都不對 B．①對，②不對 C．①，②都對 D．①不對，②對解：①因0的相反數(shù)是0，0和0之間沒有1個(gè)有理數(shù)，故錯(cuò)誤；②因1的倒數(shù)是1，1和1之間沒有有理數(shù)，故錯(cuò)誤；故選：A．【變式訓(xùn)練1-2】（2021秋?涇陽縣期末）若兩個(gè)數(shù)的積為﹣1，我們稱它們互為負(fù)倒數(shù)，則0.125的負(fù)倒數(shù)是﹣8．解：0.125的負(fù)倒數(shù)為：﹣1÷0.125＝﹣8．故答案為﹣8．【變式訓(xùn)練1-3】寫出下列各數(shù)的倒數(shù)：3，﹣1，0.3，﹣，，﹣3．解：3的倒數(shù)是，﹣1的倒數(shù)是﹣1，0.3＝，的倒數(shù)是，﹣的倒數(shù)是﹣，的倒數(shù)是4，﹣3＝﹣，﹣的倒數(shù)是﹣．知識(shí)點(diǎn)2：有理數(shù)的加法【典例分析02】（2019秋?舒蘭市期中）計(jì)算（﹣3.14）+（+4.96）+（+2.14）+（﹣7.96）．解：（﹣3.14）+（+4.96）+（+2.14）+（﹣7.96）＝（﹣3.14+2.14）+（4.96﹣7.96）＝﹣1﹣3＝﹣4．【變式訓(xùn)練2-1】（2021秋?郟縣期中）若|x|＝1，|y|＝3．且x，y異號(hào)，則x+y的值為（）A．±2 B．2或﹣4 C．﹣2 D．4或2解：∵|x|＝1，|y|＝3，∴x＝±1，y＝±3，又∵x，y異號(hào)，∴當(dāng)x＝1，y＝﹣3時(shí)，x+y＝﹣2，當(dāng)x＝﹣1，y＝3時(shí)，x+y＝2，∴x+y＝±2故選：A．【變式訓(xùn)練2-2】（2019秋?通道縣期中）已知a，b，c是有理數(shù)，且a+b+c＝0，abc（乘積）是正數(shù)，則的值是（）A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3解：∵a+b+c＝0，∴a+b＝﹣c，a+c＝﹣b，b+c＝﹣a，∵a，b，c是有理數(shù)，且a+b+c＝0，abc（乘積）是正數(shù)，∴a，b，c中有兩個(gè)負(fù)數(shù)，一個(gè)正數(shù)，設(shè)a＜0，b＜0，c＞0，∴原式＝＝﹣（）＝﹣（）＝﹣（1﹣1﹣1）＝1．故選：B．【變式訓(xùn)練2-3】（2021秋?東莞市校級(jí)期中）7箱橘子，標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為每箱15千克，每箱與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量差值如下（單位：千克，超過的用正數(shù)表示，不足的用負(fù)數(shù)表示）：0.3，﹣0.4，0.25，﹣0.2，﹣0.7，1.1，﹣1，稱得總質(zhì)量與總標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量相比超過或不足多少千克？7箱橘子共有多少千克？解：0.3+0.25+1.1﹣0.4﹣0.2﹣0.7﹣1＝﹣0.65（千克），15×7﹣0.65＝104.35（千克），答：不足0.65千克，共104.35千克．【變式訓(xùn)練2-4】（2020秋?饒平縣校級(jí)月考）綜合圖形計(jì)算：．解：．＝1﹣＝．知識(shí)點(diǎn)3：有理數(shù)的減法【典例分析03】（2020秋?譙城區(qū)校級(jí)月考）若|a|＝8，|b|＝5，且a+b＞0，求：a﹣b的值．解：∵|a|＝8，|b|＝5，∴a＝±8．b＝±5．又∵a+b＞0，∴a＝8，b＝5或a＝8，b＝﹣5．當(dāng)a＝8，b＝5時(shí)，a﹣b＝8﹣5＝3；當(dāng)a＝8，b＝﹣5時(shí)，a﹣b＝8﹣（﹣5）＝8+5＝13．∴a﹣b的值為3或13．【變式訓(xùn)練3-1】．（2014秋?敦煌市校級(jí)期中）下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．若a＞0，b＜0，則a﹣b＞0 B．a(chǎn)＜b，b＞0，則a﹣b＜0 C．若a＜0，b＜0，則a﹣（﹣b）＜0 D．若a＜0，b＜0，且|a|＞|b|，則a﹣b＞0解：A、若a＞0，b＜0，則a﹣b＞0正確，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、若a＜b，b＞0，則a﹣b＜0正確，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、若a＜0，b＜0，則a﹣（﹣b）＜0正確，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、若a＜0，b＜0，且|a|＞|b|，則a﹣b＞0錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)正確．故選：D．【變式訓(xùn)練3-2】（2021秋?集賢縣期末）點(diǎn)A，B，C是數(shù)軸上的三個(gè)點(diǎn)，且BC＝2AB．已知點(diǎn)A表示的數(shù)是﹣1，點(diǎn)B表示的數(shù)是3，點(diǎn)C表示的數(shù)是11或﹣5．解：∵點(diǎn)A表示的數(shù)是﹣1，點(diǎn)B表示的數(shù)是3，∴AB＝|﹣1﹣3|＝4；又∵BC＝2AB，∴BC＝2×4＝8．①若C在B的右邊，其坐標(biāo)應(yīng)為3+8＝11；②若C在B的左邊，其坐標(biāo)應(yīng)為3﹣8＝﹣5；故點(diǎn)C表示的數(shù)是11或﹣5．【變式訓(xùn)練3-3】（2018秋?高郵市期末）定義：對于確定位置的三個(gè)數(shù)：a，b，c，計(jì)算a﹣b，，，將這三個(gè)數(shù)的最小值稱為a，b，c的“分差”，例如，對于1，﹣2，3，因?yàn)?﹣（﹣2）＝3，＝﹣1，＝﹣，所以1，﹣2，3的“分差”為﹣．（1）﹣2，﹣4，1的“分差”為；（2）調(diào)整“﹣2，﹣4，1”這三個(gè)數(shù)的位置，得到不同的“分差”，那么這些不同“分差”中的最大值是；（3）調(diào)整﹣1，6，x這三個(gè)數(shù)的位置，得到不同的“分差”，若其中的一個(gè)“分差”為2，求x的值．解：（1）∵a＝﹣2，b＝﹣4，c＝1∴a﹣b＝﹣2﹣（﹣4）＝2，＝，＝，∴﹣2，﹣4，1的“分差”為故答案為：（2）①若a＝﹣2，b＝1，c＝﹣4則a﹣b＝﹣2﹣1＝﹣3，＝＝1，＝，∴﹣2，1，﹣4的“分差”為﹣3②若a＝﹣4，b＝﹣2，c＝1則a﹣b＝﹣4﹣（﹣2）＝﹣2，＝，＝∴﹣4，﹣2，1的“分差”為③若a＝﹣4，b＝1，c＝﹣2則a﹣b＝﹣4﹣1＝﹣5，＝，＝∴﹣4，1，﹣2的“分差”為﹣5④若a＝1，b＝﹣4，c＝﹣2則a﹣b＝1﹣（﹣4）＝5，＝，＝∴1，﹣4，﹣2的“分差”為⑤若a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4則a﹣b＝1﹣（﹣2）＝3，＝，＝∴1，﹣2，﹣4的“分差”為綜上所述，這些不同“分差”中的最大值為故答案為：（3）∵“分差”為2，﹣1﹣6＝﹣7∴三個(gè)數(shù)的順序不能是﹣1，6，x和﹣1，x，6和x，﹣1，6①a＝6，b＝x，c＝﹣1，∴a﹣b＝6﹣x，＝，＝若6﹣x＝2，得x＝4，＜2，不符合若，得x＝5，6﹣x＝1＜2，不符合②a＝6，b＝﹣1，c＝x，∴a﹣b＝6﹣（﹣1）＝7，＝，＝若，得x＝2，＜2，不符合若，得x＝﹣7，＞2，符合③a＝x，b＝6，c＝﹣1∴a﹣b＝x﹣6，＝，＝若x﹣6＝2，得x＝8，＞2，符合若，得x＝3，x﹣6＝﹣3＜2，不符合綜上所述，x的值為﹣7或8．14．（2018秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）列式并計(jì)算：（1）什么數(shù)與﹣的和等于﹣？（2）﹣1減去﹣與的和，所得的差是多少？解：（1）這個(gè)數(shù)＝﹣﹣（﹣）＝﹣+＝﹣；（2）﹣1﹣（﹣+）＝﹣1+＝﹣．知識(shí)點(diǎn)4：有理數(shù)的加減混合運(yùn)算【典例分析04】（2021秋?金沙縣期末）設(shè)a為最小的正整數(shù)，b為最大的負(fù)整數(shù)，c是絕對值最小的有理數(shù)，則a+b﹣c的值為（）A．0 B．2 C．﹣2 D．2或﹣2解：根據(jù)題意知a＝1，b＝﹣1，c＝0，則a+b﹣c＝1﹣1+0＝0，故選：A．【變式訓(xùn)練4-1】（2019秋?通州區(qū)期末）下列運(yùn)算正確的是（）A．﹣2+（﹣5）＝﹣（5﹣2）＝﹣3 B．（+3）+（﹣8）＝﹣（8﹣3）＝﹣5 C．（﹣9）﹣（﹣2）＝﹣（9+2）＝﹣11 D．（+6）+（﹣4）＝+（6+4）＝+10解：A、﹣2+（﹣5）＝﹣（2+5）＝﹣7，故本選項(xiàng)不符合題意．B、（+3）+（﹣8）＝﹣（8﹣3）＝﹣5，本選項(xiàng)符合題意．C、（﹣9）﹣（﹣2）＝（﹣9）+2＝﹣（9﹣2）＝﹣7，本選項(xiàng)不符合題意．D、（+6）+（﹣4）＝+（6﹣4）＝2，本選項(xiàng)不符合題意，故選：B．【變式訓(xùn)練4-2】（2021秋?南京期末）小明在計(jì)算1﹣3+5﹣7+9﹣11+13﹣15+17時(shí)，不小心把一個(gè)運(yùn)算符號(hào)寫錯(cuò)了（“+”錯(cuò)寫成“﹣”或“﹣”錯(cuò)寫成“+”），結(jié)果算成了﹣17，則原式從左往右數(shù)，第6個(gè)運(yùn)算符號(hào)寫錯(cuò)了．解：∵1﹣3+5﹣7+9﹣11+13﹣15+17＝9，9＞﹣17，∴小明不小心把“+”寫成“﹣”，∵9﹣（﹣17）＝26，26÷2＝13，∴小明將+13寫錯(cuò)為﹣13，故答案為：6．【變式訓(xùn)練4-3】（2021秋?凌海市期中）計(jì)算（﹣1）﹣（﹣9）+（﹣9）﹣（﹣6）的結(jié)果是5．解：原式＝﹣1+9﹣9+6＝5，故答案為：5【變式訓(xùn)練4-4】（2021秋?盤龍區(qū)期末）某食堂購進(jìn)30袋大米，每袋以50千克為標(biāo)準(zhǔn)，超過的記為正，不足的記為負(fù)，稱重記錄如表．與標(biāo)準(zhǔn)重量偏差（單位：千克）﹣2﹣10123袋數(shù)5103156（1）這30袋大米的總重量比標(biāo)準(zhǔn)總重量是多還是少？相差多少？（2）大米單價(jià)是每千克5.5元，食堂購進(jìn)大米總共花多少錢？解：（1）﹣2×5﹣1×10+0×3+1×1+2×5+3×6＝9千克，即這30袋大米共多出9千克；（2）∵這30袋大米的總質(zhì)量是：50×30+9＝1509千克，大米單價(jià)是每千克5.5元，∴總費(fèi)用＝1509×5.5＝8299.5元．知識(shí)點(diǎn)5：有理數(shù)的乘法【典例分析05】（2021秋?鄖西縣期中）有理數(shù)a，b在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)如圖所示，下列式子：①a＜0＜b；②|a|＜|b|；③ab＞0；④b﹣a＞a+b；⑤|a﹣b|+a＝b．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)解：由數(shù)軸可得：a＜0＜b，且|a|＞|b|①由a＜0＜b，正確；②由|a|＞|b|可知|a|＜|b|不正確；③由a，b異號(hào)，可知ab＜0，不正確；④b﹣a＞0，b+a＜0，∴b﹣a＞b+a，故④正確；⑤|a﹣b|+a＝b﹣a+a＝b，故⑤正確；綜上，有②④⑤正確．故選：B．【變式訓(xùn)練5-1】（2021秋?啟東市期末）計(jì)算：﹣99×18＝﹣1799．解：原式＝（﹣100+）×18，＝﹣100×18+×18，＝﹣1800+1，＝﹣1799．故答案為：﹣1799．【變式訓(xùn)練5-2】（2021秋?東城區(qū)期末）對于點(diǎn)M，N，給出如下定義：在直線MN上，若存在點(diǎn)P，使得MP＝kNP（k＞0），則稱點(diǎn)P是“點(diǎn)M到點(diǎn)N的k倍分點(diǎn)”．例如：如圖，點(diǎn)Q1，Q2，Q3在同一條直線上，Q1Q2＝3，Q2Q3＝6，則點(diǎn)Q1是點(diǎn)Q2到點(diǎn)Q3的倍分點(diǎn)，點(diǎn)Q1是點(diǎn)Q3到點(diǎn)Q2的3倍分點(diǎn)．已知：在數(shù)軸上，點(diǎn)A，B，C分別表示﹣4，﹣2，2．（1）點(diǎn)B是點(diǎn)A到點(diǎn)C的倍分點(diǎn)，點(diǎn)C是點(diǎn)B到點(diǎn)A的倍分點(diǎn)；（2）點(diǎn)B到點(diǎn)C的3倍分點(diǎn)表示的數(shù)是1或4；（3）點(diǎn)D表示的數(shù)是x，線段BC上存在點(diǎn)A到點(diǎn)D的2倍分點(diǎn)，寫出x的取值范圍．解：（1）∵點(diǎn)A，B，C分別表示﹣4，﹣2，2，∴BA＝﹣2﹣（﹣4）＝2，BC＝2﹣（﹣2）＝4，CA＝2﹣（﹣4）＝6．∵，∴點(diǎn)B是點(diǎn)A到點(diǎn)C的倍分點(diǎn)，∵，∴點(diǎn)C是點(diǎn)B到點(diǎn)A的倍分點(diǎn)．故答案為：；；（2）設(shè)這點(diǎn)為E，對應(yīng)的數(shù)字為a，則＝3．當(dāng)點(diǎn)E在B，C之間時(shí)，∵＝3，∴，解得：x＝1．當(dāng)點(diǎn)E在C點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，∵＝3，∴＝3，解得：x＝4．綜上，點(diǎn)B到點(diǎn)C的3倍分點(diǎn)表示的數(shù)是1或4．故答案為：1或4．（3）①點(diǎn)D在點(diǎn)B的左側(cè)，∵＝2，解得：x＝﹣3．∴x的最小值為﹣3．②點(diǎn)D在點(diǎn)C的右側(cè)，∵，解得：x＝5，∴x的最大值為5，綜上，線段BC上存在點(diǎn)A到點(diǎn)D的2倍分點(diǎn)，則x的取值范圍為：﹣3≤x≤5．【變式訓(xùn)練5-3】（2021秋?東城區(qū)校級(jí)期中）（﹣+）×（﹣36）解：（﹣+）×（﹣36），＝﹣8+9﹣2，＝﹣1．知識(shí)點(diǎn)6：有理數(shù)的除法【典例分析06】（2017秋?大興區(qū)期末）計(jì)算：﹣×解：原式＝﹣××＝﹣．【變式訓(xùn)練6-1】（2021秋?鹽湖區(qū)校級(jí)期中）有理數(shù)a，b在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列各式正確的是（）A．|a|＞|b| B．a(chǎn)﹣b＜0 C． D．a(chǎn)+b＜0解：由數(shù)軸知：a＜0＜b，|a|＜|b|，所以選項(xiàng)A不正確；因?yàn)閍＜0，b＞0，|a|＜|b|，所以a+b＞0，＜0，故選項(xiàng)C、D不正確；由于小數(shù)減大數(shù)的差小于0，大數(shù)減小數(shù)的差大于0，因?yàn)閍＜b，所以a﹣b＜0．故選項(xiàng)B正確．故選：B．【變式訓(xùn)練6-2】（2019秋?衛(wèi)輝市期末）若ab≠0，則的值不可能是（）A．0 B．1 C．2 D．﹣2解：當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，原式＝1+1＝2；當(dāng)a＞0，b＜0時(shí)，原式＝1﹣1＝0；當(dāng)a＜0，b＞0時(shí)，原式＝﹣1+1＝0；當(dāng)a＜0，b＜0時(shí)，原式＝﹣1﹣1＝﹣2，綜上，原式的值不可能為1．故選：B．【變式訓(xùn)練6-3】（2020秋?金牛區(qū)期末）已知有理數(shù)a，b滿足ab≠0，且|a﹣b|＝4a﹣3b，則的值為或．解：①當(dāng)a＞b時(shí)，a﹣b＞0，∴|a﹣b|＝a﹣b，又∵|a﹣b|＝4a﹣3b，∴a﹣b＝4a﹣3b，∴3a＝2b，∴的值為；②當(dāng)a＜b時(shí)，a﹣b＜0，∴|a﹣b|＝﹣a+b，又∵|a﹣b|＝4a﹣3b，∴﹣a+b＝4a﹣3b，∴5a＝4b，∴的值為；綜上所述，的值為或，故答案為：或．【變式訓(xùn)練6-4】（2019秋?桂林期末）1930年，德國漢堡大學(xué)的學(xué)生考拉茲，曾經(jīng)提出過這樣一個(gè)數(shù)學(xué)猜想：對于每一個(gè)正整數(shù)，如果它是奇數(shù)，則對它乘3再加1；如果它是偶數(shù)，則對它除以2．如此循環(huán)，最終都能夠得到1．這一猜想后來成為著名的“考拉茲猜想”，又稱“奇偶?xì)w一猜想”．雖然這個(gè)結(jié)論在數(shù)學(xué)上還沒有得