七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專題13 與角相關(guān)的旋轉(zhuǎn)（翻折）問題 專項(xiàng)講練（原卷版）

/專題13與角相關(guān)的旋轉(zhuǎn)（翻折）問題專項(xiàng)講練與角有關(guān)的旋轉(zhuǎn)（翻折）問題屬于人教版七年級(jí)上期必考?jí)狠S題型，是尖子生必須要攻克的一塊重要內(nèi)容，對(duì)考生的綜合素養(yǎng)要求較高。絕大部分學(xué)生對(duì)角度旋轉(zhuǎn)問題信心不足，原因就是很多角度旋轉(zhuǎn)問題需要自己畫出圖形，與分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想等結(jié)合得很緊密，思考性強(qiáng)，難度大。本專題重點(diǎn)研究與角有關(guān)的旋轉(zhuǎn)問題（求值問題；定值問題；探究問題；分類討論問題）和與角有關(guān)的翻折問題。【與角相關(guān)的旋轉(zhuǎn)問題】【解題技巧】1、角度旋轉(zhuǎn)問題解題步驟：①找——根據(jù)題意找到目標(biāo)角度；②表——表示出目標(biāo)角度：1）角度一邊動(dòng)另一邊不動(dòng)，角度變大：目標(biāo)角=起始角+速度×?xí)r間；2）角度一邊動(dòng)另一邊不動(dòng)，角度變?。耗繕?biāo)角=起始角—速度×?xí)r間；3）角度一邊動(dòng)另一邊不動(dòng)，角度先變小后變大：變?。耗繕?biāo)角=起始角—速度×?xí)r間；變大：目標(biāo)角=速度×?xí)r間—起始角③列——根據(jù)題意列方程求解。注：①注意題中是否確定旋轉(zhuǎn)方向，未確定時(shí)要分順時(shí)針與逆時(shí)針分類討論；②注意旋轉(zhuǎn)角度取值范圍。常見的三角板旋轉(zhuǎn)的問題：三角板有兩種，一種是等腰直角三角板(90°、45°、45°)，另一種是特殊角的直角三角板(90°、60°、30°)。三角板的旋轉(zhuǎn)中隱藏的條件就是上面所說的這幾個(gè)特殊角的角度?？傊还苓@個(gè)角如何旋轉(zhuǎn)，它的角度大小是不變的，旋轉(zhuǎn)的度數(shù)就是組成角的兩條射線旋轉(zhuǎn)的度數(shù)（角平分線也旋轉(zhuǎn)了同樣的度數(shù)）。抓住這些等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵，三角板只是把具體的度數(shù)隱藏了起來。【重要題型】題型1：求值問題例1．（2022·江蘇·七年級(jí)期中）已知∠AOB和∠COD均為銳角，∠AOB＞∠COD，OP平分∠AOC，OQ平分∠BOD，將∠COD繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使∠BOC=α（0≤α＜180°）（1）若∠AOB=60°，∠COD=40°，①當(dāng)α=0°時(shí)，如圖1，則∠POQ=；②當(dāng)α=80°時(shí)，如圖2，求∠POQ的度數(shù)；③當(dāng)α=130°時(shí)，如圖3，請(qǐng)先補(bǔ)全圖形，然后求出∠POQ的度數(shù)；（2）若∠AOB=m°，∠COD=n°，m＞n，則∠POQ=，（請(qǐng)用含m、n的代數(shù)式表示）．變式1．（2022?高新區(qū)期末）已知∠AOB＝90°，∠COD＝60°，按如圖1所示擺放，將OA、OC邊重合在直線MN上，OB、OD邊在直線MN的兩側(cè)：（1）保持∠AOB不動(dòng)，將∠COD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置，則①∠AOC+∠BOD＝；②∠BOC﹣∠AOD＝．（2）若∠COD按每分鐘5°的速度繞點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，∠AOB按每分鐘2°的速度也繞點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，OC旋轉(zhuǎn)到射線ON上時(shí)都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)旋轉(zhuǎn)t分鐘，計(jì)算∠MOC﹣∠AOD（用t的代數(shù)式表示）．（3）保持∠AOB不動(dòng)，將∠COD繞點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)n°（n≤360），若射線OE平分∠AOC，射線OF平分∠BOD，求∠EOF的大?。兪?.（2022?浙江七年級(jí)期中）如圖1，為直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作射線，，將一直角三角板（）的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)處，一邊在射線上，另一邊與都在直線的上方．（注：本題旋轉(zhuǎn)角度最多．）（1）將圖1中的三角板繞點(diǎn)以每秒的速度沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)．如圖2，經(jīng)過秒后，______度（用含的式子表示），若恰好平分，則______秒（直接寫結(jié)果）．（2）在（1）問的基礎(chǔ)上，若三角板在轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí)，射線也繞點(diǎn)以每秒的速度沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，如圖3，經(jīng)過秒后，______度（用含的式子表示）若平分，求為多少秒？（3）若（2）問的條件不變，那么經(jīng)過秒平分？（直接寫結(jié)果）題型2：定值問題（角度不變問題）例2．（2022·江蘇南京·七年級(jí)期末）如圖，兩條直線AB，CD相交于點(diǎn)O，且∠AOC＝∠AOD，射線OM從OB開始繞O點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，速度為15°/s，射線ON同時(shí)從OD開始繞O點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，速度為12°/s，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜12，本題出現(xiàn)的角均小于平角）（1）圖中一定有個(gè)直角；當(dāng)t＝2時(shí)，∠MON的度數(shù)為，∠BON的度數(shù)為；（2）若OE平分∠COM，OF平分∠NOD，當(dāng)∠EOF為直角時(shí)，請(qǐng)求出t的值；（3）當(dāng)射線OM在∠COB內(nèi)部，且是定值時(shí)，求t的取值范圍，并求出這個(gè)定值．變式1．（2022?渝中區(qū)七年級(jí)期中）如圖1，∠AOB＝40°，∠COD＝60°，OM、ON分別為∠AOB和∠BOD的角平分線．（1）若∠MON＝70°，則∠BOC＝°；（2）如圖2，∠COD從第（1）問中的位置出發(fā)，繞點(diǎn)O逆時(shí)針以每秒4°的速度旋轉(zhuǎn)；當(dāng)OC與OA重合時(shí)，∠COD立即反向繞點(diǎn)O順時(shí)針以每秒6°的速度旋轉(zhuǎn)，直到OC與OA互為反向延長(zhǎng)線時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，∠COD的大小不變，OC旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)射線記為OC′，OD旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)射線記為OD′，∠BOD′的角平分線記為ON′，∠AOD′的角平分線記為OP．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．①當(dāng)OC′平分∠BON′時(shí)，求出對(duì)應(yīng)的t的值；②請(qǐng)問在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某個(gè)時(shí)間段使得|∠BOP﹣∠MON′|的值不變？若存在，請(qǐng)直接寫出這個(gè)定值及其對(duì)應(yīng)的t的取值范圍（包含運(yùn)動(dòng)的起止時(shí)間）；若不存在，請(qǐng)說明理由．變式2．（2022?碑林區(qū)七年級(jí)開學(xué)）如圖1，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)O作射線OC，使∠BOC＝120°，將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．（1）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2，使一邊OM在∠BOC的內(nèi)部，且恰好平分∠BOC，問：直線ON是否平分∠AOC？請(qǐng)直接寫出結(jié)論：直線ON平分（平分或不平分）∠AOC．（2）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O按每秒6°的速度沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，第t秒時(shí)，直線ON恰好平分銳角∠AOC，則t的值為10或40．（直接寫出結(jié)果）（3）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，請(qǐng)?zhí)骄?，?dāng)ON始終在∠AOC的內(nèi)部時(shí)（如圖3），∠AOM與∠NOC的差是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出這個(gè)差值；若變化，請(qǐng)舉例說明．題型3：探究類問題（判斷角的數(shù)量之間的關(guān)系）例3．（2022·四川·成都市七年級(jí)期末）如圖所示：點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，∠是直角，平分∠．（1）如圖1，若∠=40°，求∠的度數(shù)；（2）如圖1，若∠=，直接寫出∠的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；（3）保持題目條件不變，將圖1中的∠按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至圖2所示的位置，探究∠和∠的度數(shù)之間的關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并說明理由．變式1．（2022·廣東七年級(jí)期中）如圖（a），將兩塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)C疊放在一起．（1）若∠DCE=25°，∠ACB等于多少；若∠ACB=130°，則∠DCE等于多少；（2）猜想∠ACB與∠DCE的大小有何特殊關(guān)系，并說明理由；（3）如圖（b），若是兩個(gè)同樣的三角尺60°銳角的頂點(diǎn)A重合在一起，則∠DAB與∠CAE的大小有何關(guān)系，請(qǐng)說明理由；（4）已知∠AOB=α，∠COD=β（α、β都是銳角），如圖（c），若把它們的頂點(diǎn)O重合在一起，則∠AOD與∠BOC的大小有何關(guān)系，請(qǐng)說明理由．變式2．（2022?喀喇沁旗七年級(jí)期中）如圖1，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)O作射線OC，使∠BOC＝120°，將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．（1）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2，使點(diǎn)N在OC的反向延長(zhǎng)線上，請(qǐng)直接寫出圖中∠MOB的度數(shù)；（2）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖3，使一邊OM在∠BOC的內(nèi)部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度數(shù)；（3）將圖1中的三角尺繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖4，使ON在∠AOC內(nèi)部，請(qǐng)?zhí)骄俊螦OM與∠NOC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．題型4：分類討論問題例4．（2022·成都市七中育才學(xué)校七年級(jí)月考）一副三角板（直角三角板和直角三角板）如圖1所示放置，兩個(gè)頂點(diǎn)重合于點(diǎn)，與重合，且，，，．將三角板繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)過程中，平分，平分，（和均是指小于180°的角）探究的度數(shù)．（1）當(dāng)三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至如圖2的位置時(shí)，與重合，______°，______°．（2）三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過程中，的度數(shù)還有其他可能嗎？如果有，請(qǐng)研究證明結(jié)論，若沒有，請(qǐng)說明理由．（3）類比拓展：當(dāng)?shù)亩葦?shù)為時(shí)，其他條件不變，在旋轉(zhuǎn)過程中，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)．（用含的式子來表示）變式1.（2022?廣東七年級(jí)期末）如圖（1），∠BOC和∠AOB都是銳角，射線OB在∠AOC內(nèi)部，，．（本題所涉及的角都是小于180°的角）(1)如圖（2），OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，填空：①當(dāng)，時(shí)，______，______，______；②______（用含有或的代數(shù)式表示）．(2)如圖（3），P為∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，直線PQ過點(diǎn)O，點(diǎn)Q在∠AOB外部：①當(dāng)OM平分∠POB，ON平分∠POA，∠MON的度數(shù)為______；②當(dāng)OM平分∠QOB，ON平分∠QOA，∠MON的度數(shù)為______；（∠MON的度數(shù)用含有或的代數(shù)式表示）(3)如圖（4），當(dāng)，時(shí)，射線OP從OC處以5°/分的速度繞點(diǎn)O開始逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，同時(shí)射線OQ從OB處以相同的速度繞點(diǎn)O逆時(shí)針也旋轉(zhuǎn)一周，OM平分∠POQ，ON平分∠POA，那么多少分鐘時(shí)，∠MON的度數(shù)是40°？變式2．（2022·成都市七年級(jí)階段練習(xí)）定義：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，在角的內(nèi)部引兩條射線，如果這兩條射線所成的角等于這個(gè)角的一半，那么這兩條射線所成的角叫做這個(gè)角的內(nèi)半角，如圖1，若，則是的內(nèi)半角．（1）如圖1，已知，，是的內(nèi)半角，則________；（2）如圖2，已知，將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度得，當(dāng)旋轉(zhuǎn)的角度為何值時(shí)，是的內(nèi)半角；（3）已知，把一塊含有角的三角板如圖3疊放，將三角板繞頂點(diǎn)以3度/秒的速度按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（如圖4），問：在旋轉(zhuǎn)一周的過程中，射線，，，能否構(gòu)成內(nèi)半角？若能，請(qǐng)求出旋轉(zhuǎn)的時(shí)間；若不能，請(qǐng)說明理由．

【折疊（翻折）問題】【解題技巧】折疊前后對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)邊相等；出現(xiàn)角的比值或無角的具體度數(shù)卻求度數(shù)常設(shè)列方程。在旋轉(zhuǎn)問題中求解角度是初一數(shù)學(xué)的難點(diǎn)題型，需要熟悉并靈活運(yùn)用角度求解的方法，本文就例題詳細(xì)解析這類題型的解題思路，希望能給初一學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶來幫助。解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題目給出的角度或角與角之間的關(guān)系，確定射線旋轉(zhuǎn)的角度，再根據(jù)射線的旋轉(zhuǎn)速度，就可以求得射線旋轉(zhuǎn)的時(shí)間，特別要注意在角的兩邊所處位置不明確的情況下，必須要考慮多解的可能。例1．（2022·山東東營(yíng)·期末）如圖，長(zhǎng)方形紙片，點(diǎn)、分別在邊、上，連接．將對(duì)折，點(diǎn)落在直線上的點(diǎn)處，得折痕；將對(duì)折，點(diǎn)落在直線上的點(diǎn)處，得折痕．則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．不能確定變式1．（2022·遼寧沈陽·七年級(jí)期末）將一張長(zhǎng)方形紙片按如圖所示方式折疊，AE、AF為折痕，點(diǎn)B、D折疊后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為、，若，則的度數(shù)為（

）A．40.5° B．41° C．41.5° D．42°例2．（2022·遼寧西豐縣·七年級(jí)期中）利用折紙可以作出角平分線．（1）如圖1，若∠AOB＝58°，則∠BOC＝．（2）折疊長(zhǎng)方形紙片，OC，OD均是折痕，折疊后，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′，點(diǎn)B落在點(diǎn)B'，連接OA'．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)B'在OA'上時(shí)，判斷∠AOC與∠BOD的關(guān)系，并說明理由；②如圖3，當(dāng)點(diǎn)B'在∠COA'的內(nèi)部時(shí)，連接OB'，若∠AOC＝44°，∠BOD＝61°，求∠A'OB'的度數(shù)．變式2．（2022·湖南長(zhǎng)沙·七年級(jí)月考）已知長(zhǎng)方形紙片ABCD，E、F分別是AD、AB上的一點(diǎn)，點(diǎn)I在射線BC上、連接EF，F(xiàn)I，將∠A沿EF所在的直線對(duì)折，點(diǎn)A落在點(diǎn)H處，∠B沿FI所在的直線對(duì)折，點(diǎn)B落在點(diǎn)G處．(1)如圖1，當(dāng)HF與GF重合時(shí)，則∠EFI＝_________°；(2)如圖2，當(dāng)重疊角∠HFG＝30°時(shí)，求∠EFI的度數(shù)；(3)如圖3，當(dāng)∠GFI＝α，∠EFH＝β時(shí)，∠GFI繞點(diǎn)F進(jìn)行逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，且∠GFI總有一條邊在∠EFH內(nèi)，PF是∠GFH的角平分線，QF是∠EFI的角平分線，旋轉(zhuǎn)過程中求出∠PFQ的度數(shù)(用含α，β的式子表示)．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2022·偃師市實(shí)驗(yàn)中學(xué)初一月考）如圖,將長(zhǎng)方形紙片ABCD的∠C沿著GF折疊(點(diǎn)F在BC上,不與B,C重合),使點(diǎn)C落在長(zhǎng)方形內(nèi)部的點(diǎn)E處,若FH平分∠BFE,則∠GFH的度數(shù)是____.

2．（2022·東平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)初一期中）將一張長(zhǎng)方形紙片按如圖所示的方式折疊，BD、BE為折痕，若∠CBD＝66°，則∠ABE＝_________.3．（2022·重慶七年級(jí)期中）如圖，將一張長(zhǎng)方形紙片ABCD沿對(duì)角線BD折疊后，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，連接BE交AD于F，再將三角形DEF沿DF折疊后，點(diǎn)E落在點(diǎn)G處，若DG剛好平分∠ADB，那么∠ADB的度數(shù)是（）A．18° B．20° C．36° D．45°4．（2022·山西·初一期末）如圖1，長(zhǎng)方形紙片，點(diǎn)分別在邊上，連接，將對(duì)折，點(diǎn)落在直線上的點(diǎn)處，的到折痕；將對(duì)折，點(diǎn)落在直線上的點(diǎn)處，得到折痕.（1）求的度數(shù).（2）如圖2，在（1）的基礎(chǔ)上，將紙片展平，然后將對(duì)折，點(diǎn)落在直線上的處，得到折痕，猜想和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.圖1圖24．（2022·四川省金堂實(shí)驗(yàn)中學(xué)初一月考）如圖，以直線AB上一點(diǎn)O為端點(diǎn)作射線OC，使∠BOC=70°，將一個(gè)直角三角形的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處．（注：∠DOE=90°）(1)如圖①，若直角三角板DOE的一邊OD放在射線OB上，則∠COE=°；(2)如圖②，將直角三角板DOE繞點(diǎn)O逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)到某個(gè)位置，若OC恰好平分∠BOE，求∠COD的度數(shù)；(3)如圖③，將直角三角板DOE繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)，如果OD始終在∠BOC的內(nèi)部，試猜想∠BOD和∠COE有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．5．（2022·山東·濟(jì)南市天橋區(qū)濼口實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)期中）將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)C按如圖方式疊放在一起，其中∠A=60°，∠B=45°．(1)如圖1，若∠DCE=40°，則∠ACE=．∠ACB=．(2)由（1）猜想∠ACB和∠DCE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論：(3)若固定△ACD，將△BCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)．①如圖2，當(dāng)旋轉(zhuǎn)至BEAC時(shí)，則∠ACE=．②如圖3，當(dāng)旋轉(zhuǎn)至BCAD時(shí)，則∠ACE=．6．（2022·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）（1）已知：如圖1，P是直角三角板ABC斜邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，CD、CE分別是∠ACP和∠BCP的平分線．當(dāng)點(diǎn)P在斜邊AB上移動(dòng)時(shí)，∠DCE＝°；（2）把直角三角板的直角頂點(diǎn)C放在直尺的一邊MN上：①點(diǎn)A和點(diǎn)B在直線MN的上方（如圖2），此時(shí)∠ACM與∠BCN的數(shù)量關(guān)系是∠ACM+∠BCN＝；②當(dāng)把這把直角三角板繞頂點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)A在直線MN的下方、點(diǎn)B仍然在直線MN的上方時(shí)（如圖3），∠ACM與∠BCN的數(shù)量關(guān)系是；③當(dāng)把這把直角三角板繞頂點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)A和點(diǎn)B都在直線MN的下方時(shí)（如圖4），∠ACM與∠BCN的數(shù)量關(guān)系是．7．（2022·湖南株洲·七年級(jí)期末）點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作射線，使，將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)處．(1)如圖1，當(dāng)三角板的一邊與射線重合時(shí)，則________；(2)如圖2，將三角板繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，此時(shí)是的平分線，求和的度數(shù)；(3)將三角板繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖3所示的位置時(shí)，，求的度數(shù)．8．（2022·江蘇鹽城·七年級(jí)期末）【閱讀理解】如圖1，一套三角板如圖拼在一起，我們將三角板COD繞點(diǎn)O以每秒15°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°．【解決問題】（1）在旋轉(zhuǎn)過程中，∠AOB、∠AOC、∠BOC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為9秒時(shí)，圖中有角平分線嗎？找出并說明理由．（3）運(yùn)動(dòng)過程中，如圖2，形成的三個(gè)角：∠AOB、∠AOC、∠BOC，當(dāng)其中一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角的兩倍時(shí)，則稱射線OC是∠AOB的“優(yōu)線”．①第（2）問中旋轉(zhuǎn)后的射線OC是“優(yōu)線”嗎？為什么？②在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中，若旋轉(zhuǎn)時(shí)間記為t秒，當(dāng)射線OC是“優(yōu)線”時(shí)，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的t值．9．（2022·江蘇連云港·七年級(jí)期末）【問題提出】七年級(jí)上冊(cè)《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊(cè)》中有“三角尺拼角”的問題．(1)①填空：如圖（1），用副三角板可以直接畫出大于小于的角，它們是：，，，，，，，，______，，．②如果用兩副三角板能畫出嗎？________．（填“能”或“不能”）(2)【問題探究】如圖（2），現(xiàn)有、角的兩種模板，，，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種方案，只用給出的模板和鉛筆畫出角．小明想出了一個(gè)方案，利用角模板畫出角．動(dòng)手操作：如圖（3），M、O、N三點(diǎn)在一條直線上，的頂點(diǎn)A與點(diǎn)O重合，邊與射線重合，如圖所示，將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得，再將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得，…，如此連續(xù)操作52次．再利用兩個(gè)平角等于一個(gè)周角，可得的角，即：．請(qǐng)聰明的你設(shè)計(jì)一個(gè)方案，利用角模板畫出角，并說明理由．(3)【問題拓展】現(xiàn)將【問題探究】中兩種模板按照如圖（4）所示放置，即M、O、N三點(diǎn)在一條直線上，與的頂點(diǎn)A、D都與點(diǎn)O重合，、邊與射線重合．動(dòng)手操作：將繞點(diǎn)O以每秒的速度逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，同時(shí)也繞點(diǎn)O以每秒的速度逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)一方先完成旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，另一方隨之停止轉(zhuǎn)動(dòng)．．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．①當(dāng)t為何值時(shí)，？②請(qǐng)直接寫出在旋轉(zhuǎn)過程中，與的數(shù)量關(guān)系（數(shù)量關(guān)系中不能含t）．10．（2022·安徽亳州·七年級(jí)期末）如圖（）所示，將兩塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)C疊放在一起．(1)若，則________°；若∠ACB=130°，則_________°．(2)如圖（b）所示，若兩個(gè)同樣的三角板，將銳角的頂點(diǎn)A疊放在一起，則與有何數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)說明理由．(3)如圖（c）所示，已知，（，都是銳角）．若把它們的頂點(diǎn)O疊放在一起，則與有何數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論．11．（2022·福建泉州·七年級(jí)期末）如圖，，射線以的速度從位置出發(fā)，射線以的速度從位置出發(fā)，設(shè)兩條射線同時(shí)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．(1)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；(2)若．①當(dāng)三條射線、、構(gòu)成的三個(gè)度數(shù)大于的角中，有兩個(gè)角相等，求此時(shí)的值；②在射線，轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，射線始終在內(nèi)部，且平分，當(dāng)，求的值．12．（2022·安徽·定遠(yuǎn)縣第一初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期末）已知，，OM，ON分別是和的平分線．(1)如圖1，如果OA，OC重合，且OD在的內(nèi)部，求的度數(shù)；(2)如圖2，固定，將圖1中的繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（）．①與旋轉(zhuǎn)度數(shù)有怎樣的數(shù)量關(guān)系？說明理由；②當(dāng)n為多少時(shí)，為直角？(3)如果的位置和大小不變，的邊OD的位置不變，改變的大小；將圖1中的OC繞著O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（），如圖3，請(qǐng)直接寫出與旋轉(zhuǎn)度數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系：_____．13．（2022·湖北武漢·七年級(jí)期末）【學(xué)習(xí)概念】如圖1，在∠AOB的內(nèi)部引一條射線OC，則圖中共有3個(gè)角，分別是∠AOB、∠AOC和∠BOC．若其中有一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角度數(shù)的兩倍，則稱射線OC是∠AOB的“好好線”．【理解運(yùn)用】（1）①如圖2，若∠MPQ＝∠NPQ，則射線PQ∠MPN的“好好線”（填“是”或“不是”）；②若∠MPQ≠∠NPQ，∠MPQ＝α，且射線PQ是∠MPN的“好好線”，請(qǐng)用含α的代數(shù)式表示∠MPN；【拓展提升】（2）如圖3，若∠MPN＝120°，射線PQ繞點(diǎn)P從PN位置開始，以每秒12°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t秒．當(dāng)PQ與PN成110°時(shí)停止旋轉(zhuǎn)．同時(shí)射線PM繞點(diǎn)P以每秒6°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，并與PQ同時(shí)停止．當(dāng)PQ、PM其中一條射線是另一條射線與射線PN的夾角的“好好線”時(shí)，則t＝秒．14．（2022·江蘇淮安·七年級(jí)期末）【閱讀理解】射線OC是∠AOB內(nèi)部的一條射線，若∠AOC＝∠BOC，則稱射線OC是射線OA在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”．如圖1，若∠AOB＝75°，∠AOC＝25°，則∠AOC＝∠BOC，所以射線OC是射線OA在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”．【解決問題】(1)在圖1中，若作∠BOC的平分線OD，則射線OD（填“是”或“不是”）射線OB在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”；(2)如圖2，∠AOB的度數(shù)為n，射線OM是射線OB在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”，ON平分∠AOB，則∠MON的度數(shù)為（用含n的代數(shù)式表示）；(3)如圖3，射線OB先從與射線OA重合的位置出發(fā)，繞點(diǎn)