七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)培優(yōu)專題05 細(xì)究整式的的規(guī)律探究題-解析版

/培優(yōu)專題05細(xì)究整式的的規(guī)律探究題【專題精講】專題精講近年來與整式相關(guān)的中考題,改變了以往單一的整式計(jì)算,出現(xiàn)了整式的規(guī)律探究題,這類題新穎別致,主要考查數(shù)感對(duì)于圖形的理解以及觀察問題和解決問題的能力.對(duì)給出的式或圖認(rèn)真觀察、大膽猜想、反復(fù)驗(yàn)證,找到其中內(nèi)在的規(guī)律,是解決此類問題的關(guān)鍵。一、探究常見類型(1)單項(xiàng)式的系數(shù)及次數(shù)變化類;(2)多項(xiàng)式的項(xiàng)及次數(shù)變化類;(3)數(shù)字變化規(guī)律類;(4)圖形變化規(guī)律類.二、數(shù)式常見規(guī)律一般地,用n表示正整數(shù),從1開始,偶數(shù)用2n表示,奇數(shù)用2m-1或2m+1表示①正方形數(shù):1,4,9,16,…,n2;②三角形數(shù):1,3,6,10，n③連續(xù)奇數(shù)的和:1+3+5+…+(2n-1)＝n2④連續(xù)偶數(shù)和:2+4+6+…+2n＝n(n+1)⑤連續(xù)整數(shù)的平方和:12+22+32+…+n2=16⑥連續(xù)整數(shù)的立方和:13+23+33+…+n3=14n2(n+1)◎類型一：單項(xiàng)式的系數(shù)及次數(shù)變化類1．（2022·全國·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：3，，，，，…，第8個(gè)單項(xiàng)式是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】觀察每個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)和所含字母的指數(shù)，總結(jié)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答即可．【詳解】解：由題意可知：單項(xiàng)式的系數(shù)是從3起的奇數(shù)，單項(xiàng)式中a的指數(shù)偶數(shù)，b的指數(shù)不變，所以第8個(gè)單項(xiàng)式是：．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是數(shù)字的變化規(guī)律、單項(xiàng)式的概念，正確找出單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．2．（2021·甘肅·莊浪縣陽川中學(xué)七年級(jí)期中）觀察下面一列數(shù)：x，-2x2，3x3，-4x4，5x5，-6x6，……，根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，第n個(gè)數(shù)是（

）A．nxn B．-nxn C． D．【答案】D【分析】通過觀察可以發(fā)現(xiàn)：各單項(xiàng)式的系數(shù)的絕對(duì)值是連續(xù)的正整數(shù)，且奇數(shù)是正數(shù)，偶數(shù)為負(fù)數(shù)，字母指數(shù)與該項(xiàng)序號(hào)相同，即可解答．【詳解】通過觀察可以發(fā)現(xiàn)第n個(gè)數(shù)是，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查單項(xiàng)式的變化規(guī)律．觀察得出各單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)的變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．3．（2022·全國·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：，，，，，，，第個(gè)單項(xiàng)式是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】觀察字母a的系數(shù)、次數(shù)的規(guī)律即可寫出第n個(gè)單項(xiàng)式【詳解】解：，，，，，，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，判斷出單項(xiàng)式的符號(hào)，系數(shù)以及冪與序號(hào)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．4．（2022·遼寧大連·七年級(jí)期末）按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：2x，-3x2，4x3，-5x4，6x5，-7x6，…第n個(gè)單項(xiàng)式是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】通過觀察題意可得：奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為正，偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)，且系數(shù)的絕對(duì)值是從2開始的連續(xù)整數(shù)，次數(shù)是連續(xù)整數(shù)，由此可解出本題．【詳解】解：第1個(gè)單項(xiàng)式是2x=（-1）1+1（1+1）x1，第2個(gè)單項(xiàng)式是-3x2=（-1）2+1（1+2）x2，第3個(gè)單項(xiàng)式是4x3=（-1）3+1（1+3）x3，???，第n個(gè)單項(xiàng)式是（-1）n+1（n+1）xn．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查單項(xiàng)式規(guī)律題，確定單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)時(shí)，把一個(gè)單項(xiàng)式分解成數(shù)字因數(shù)和字母因式的積，是找準(zhǔn)單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)的關(guān)鍵．分別找出單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)的規(guī)律也是解決此類問題的關(guān)鍵．◎類型二：多項(xiàng)式的項(xiàng)及次數(shù)變化類5．（2022·云南·昆明市第三中學(xué)七年級(jí)期末）一組按規(guī)律排列的多項(xiàng)式：，，，，……，其中第10個(gè)式子的次數(shù)是（

）A．10 B．17 C．19 D．21【答案】C【分析】通過已知多項(xiàng)式找出規(guī)律，判定出第10個(gè)多項(xiàng)式，然后根據(jù)多項(xiàng)式次數(shù)的定義即可得出結(jié)論．【詳解】解：第1個(gè)多項(xiàng)式為：=；第2個(gè)多項(xiàng)式為=；第3個(gè)多項(xiàng)式為=；第4個(gè)多項(xiàng)式為=；故第10個(gè)式子為，其次數(shù)為19故選C．【點(diǎn)睛】此題考查的是探索規(guī)律題和求多項(xiàng)式的次數(shù)，找出多項(xiàng)式指數(shù)的變化規(guī)律和掌握多項(xiàng)式次數(shù)的定義是解決此題的關(guān)鍵．6．（2022·廣東深圳·七年級(jí)期末）多項(xiàng)式按規(guī)律排列：ab2，a2b3，a3b4……．則第100個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)是_________．【答案】101【分析】根據(jù)已知的式子可以得到每個(gè)式子的第一項(xiàng)中a的次數(shù)是式子的序號(hào)；第二項(xiàng)的符號(hào)是正號(hào)，第二項(xiàng)中b的次數(shù)是序號(hào)加1，據(jù)此寫出100個(gè)多項(xiàng)式即可．【詳解】解：一組按規(guī)律排列的多項(xiàng)式：a+b，a2+b3，a3+b4，a4+b5…每個(gè)式子的第一項(xiàng)中a的次數(shù)是式子的序號(hào)；第二項(xiàng)的符號(hào)是正號(hào)，第二項(xiàng)中b的次數(shù)是序號(hào)加1，其中第100個(gè)式子是a100+b101；次數(shù)為101故答案為：101．【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式的次數(shù)，解題關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)規(guī)律寫出多項(xiàng)式，把多項(xiàng)式分成幾個(gè)單項(xiàng)式的和，分別找出各單項(xiàng)式的規(guī)律是解決這類問題的關(guān)鍵．7．（2021·全國·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）有一組多項(xiàng)式：，，，，．．．，請(qǐng)觀察它們的構(gòu)成規(guī)律，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出第個(gè)多項(xiàng)式為________．【答案】【分析】觀察已知多項(xiàng)式，得出一般性規(guī)律，確定出第n個(gè)多項(xiàng)式即可．【詳解】解：根據(jù)題意，∵，，，，．．．，∴第n個(gè)多項(xiàng)式為：；故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了多項(xiàng)式，找出正確的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．8．（2022·山東煙臺(tái)·期中）我國宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在他的著作《詳解九章算法》中提出“楊輝三角”（如圖），此圖揭示了（n為非負(fù)數(shù)）的項(xiàng)數(shù)及各項(xiàng)系數(shù)的有關(guān)規(guī)律，例如：請(qǐng)寫出展開式中間一項(xiàng)的系數(shù)（

）A．70 B．64 C．56 D．54【答案】A【分析】根據(jù)題意可得每行第一個(gè)和最后一個(gè)數(shù)都是1，其他位置的數(shù)下面的數(shù)等于上面兩個(gè)數(shù)的和，即可求出展開式中間一項(xiàng)的系數(shù)．【詳解】解：由題意可得下面一個(gè)數(shù)等于上面兩個(gè)數(shù)的和，∴中，各項(xiàng)的系數(shù)分別為：1，7，21，35，35，21，7，1，∴中，各項(xiàng)的系數(shù)分別為：1，8，28，56，70，56，28，8，1，∴展開式中間一項(xiàng)的系數(shù)為70，故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了多項(xiàng)式的系數(shù)規(guī)律問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意正確分析出各項(xiàng)系數(shù)的有關(guān)規(guī)律．9．（2022·山東煙臺(tái)·期中）南宋數(shù)學(xué)家楊輝在其著作《詳解九章算法》中揭示了（a＋b）n（n為非負(fù)整數(shù)）展開式的項(xiàng)數(shù)及各項(xiàng)系數(shù)的有關(guān)規(guī)律如下，后人也將其稱為“楊輝三角”．（a＋b）0＝1（a＋b）1＝a＋b（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3（a＋b）4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4（a＋b）5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5…則（a＋b）10展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和是（

）A．2048 B．1024 C．512 D．256【答案】B【分析】根據(jù)楊輝三角展開式中的所有項(xiàng)的系數(shù)和規(guī)律確定出展開式的項(xiàng)系數(shù)和為，求出系數(shù)知和即可【詳解】解：當(dāng)n＝0時(shí)，展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為1＝20，當(dāng)n＝1時(shí)，展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為2＝21，當(dāng)n＝2時(shí)，展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為4＝22，當(dāng)n＝3時(shí)，展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為8＝23……由此可知（a＋b）n展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為2n，則（a＋b）10展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和是210＝1024，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查楊輝三角展開式的系數(shù)的和的求法，通過觀察展開式中的所有項(xiàng)的系數(shù)和，得到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．◎類型三：數(shù)字變化規(guī)律類10．（2022·西藏·中考真題）按一定規(guī)律排列的一組數(shù)據(jù)：，，，，，，…．則按此規(guī)律排列的第10個(gè)數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】把第3個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為：，不難看出分子是從1開始的奇數(shù)，分母是，且奇數(shù)項(xiàng)是正，偶數(shù)項(xiàng)是負(fù)，據(jù)此即可求解．【詳解】原數(shù)據(jù)可轉(zhuǎn)化為：，∴，，，..．∴第n個(gè)數(shù)為：，∴第10個(gè)數(shù)為：．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是由所給的數(shù)總結(jié)出存在的規(guī)律．11．（2022·湖北鄂州·中考真題）生物學(xué)中，描述、解釋和預(yù)測種群數(shù)量的變化，常常需要建立數(shù)學(xué)模型．在營養(yǎng)和生存空間沒有限制的情況下，某種細(xì)胞可通過分裂來繁殖后代，我們就用數(shù)學(xué)模型2n來表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，請(qǐng)你推算22022的個(gè)位數(shù)字是（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】C【分析】利用已知得出數(shù)字個(gè)位數(shù)的變化規(guī)律進(jìn)而得出答案．【詳解】解：∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，∴尾數(shù)每4個(gè)一循環(huán)，∵2022÷4＝505……2，∴22022的個(gè)位數(shù)字應(yīng)該是：4．故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了尾數(shù)特征，根據(jù)題意得出數(shù)字變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．12．（2021·山東濟(jì)寧·中考真題）按規(guī)律排列的一組數(shù)據(jù)：，，□，，，，…，其中□內(nèi)應(yīng)填的數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分子為連續(xù)奇數(shù)，分母為序號(hào)的平方，根據(jù)規(guī)律即可得到答案．【詳解】觀察這排數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，分子為連續(xù)奇數(shù)，分母為序號(hào)的平方，第個(gè)數(shù)據(jù)為：當(dāng)時(shí)的分子為，分母為這個(gè)數(shù)為故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字的探索規(guī)律，分子和分母分別尋找規(guī)律是解題關(guān)鍵．13．（2020·云南·中考真題）按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：，，，，，，…，第個(gè)單項(xiàng)式是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先分析前面所給出的單項(xiàng)式，從三方面（符號(hào)、系數(shù)的絕對(duì)值、指數(shù)）總結(jié)規(guī)律，發(fā)現(xiàn)規(guī)律進(jìn)行概括即可得到答案．【詳解】解：，，，，，，…，可記為：第項(xiàng)為：故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了單項(xiàng)式的知識(shí)，分別找出單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)的規(guī)律是解決此類問題的關(guān)鍵．◎類型四：圖形變化規(guī)律類14．（2022·山東濟(jì)寧·中考真題）如圖，用相同的圓點(diǎn)按照一定的規(guī)律拼出圖形．第一幅圖4個(gè)圓點(diǎn)，第二幅圖7個(gè)圓點(diǎn)，第三幅圖10個(gè)圓點(diǎn)，第四幅圖13個(gè)圓點(diǎn)……按照此規(guī)律，第一百幅圖中圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（

）A．297 B．301 C．303 D．400【答案】B【分析】首先根據(jù)前幾個(gè)圖形圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)規(guī)律即可發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從而得到第100個(gè)圖擺放圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【詳解】解：觀察圖形可知：第1幅圖案需要4個(gè)圓點(diǎn)，即4＋3×0，第2幅圖7個(gè)圓點(diǎn)，即4+3=4+3×1；第3幅圖10個(gè)圓點(diǎn)，即4＋3＋3=4＋3×2；第4幅圖13個(gè)圓點(diǎn)，即4＋3＋3＋3=4＋3×3；第n幅圖中，圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為：4+3(n-1)=3n+1，……，第100幅圖，圓中點(diǎn)的個(gè)數(shù)為：3×100+1=301．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是由所給的圖形總結(jié)出存在的規(guī)律．15．（2022·重慶·中考真題）把菱形按照如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案中有1個(gè)菱形，第②個(gè)圖案中有3個(gè)菱形，第③個(gè)圖案中有5個(gè)菱形，…，按此規(guī)律排列下去，則第⑥個(gè)圖案中菱形的個(gè)數(shù)為（

）A．15 B．13 C．11 D．9【答案】C【分析】根據(jù)第①個(gè)圖案中菱形的個(gè)數(shù)：；第②個(gè)圖案中菱形的個(gè)數(shù)：；第③個(gè)圖案中菱形的個(gè)數(shù)：；…第n個(gè)圖案中菱形的個(gè)數(shù)：，算出第⑥個(gè)圖案中菱形個(gè)數(shù)即可．【詳解】解：∵第①個(gè)圖案中菱形的個(gè)數(shù)：；第②個(gè)圖案中菱形的個(gè)數(shù)：；第③個(gè)圖案中菱形的個(gè)數(shù)：；…第n個(gè)圖案中菱形的個(gè)數(shù)：，∴則第⑥個(gè)圖案中菱形的個(gè)數(shù)為：，故C正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是圖案的變化，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知圖案歸納出圖案個(gè)數(shù)的變化規(guī)律．16．（2022·重慶·中考真題）用正方形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案中有5個(gè)正方形，第②個(gè)圖案中有9個(gè)正方形，第③個(gè)圖案中有13個(gè)正方形，第④個(gè)圖案中有17個(gè)正方形，此規(guī)律排列下去，則第⑨個(gè)圖案中正方形的個(gè)數(shù)為（

）A．32 B．34 C．37 D．41【答案】C【分析】第1個(gè)圖中有5個(gè)正方形，第2個(gè)圖中有9個(gè)正方形，第3個(gè)圖中有13個(gè)正方形，……，由此可得：每增加1個(gè)圖形，就會(huì)增加4個(gè)正方形，由此找到規(guī)律，列出第n個(gè)圖形的算式，然后再解答即可．【詳解】解：第1個(gè)圖中有5個(gè)正方形；第2個(gè)圖中有9個(gè)正方形，可以寫成：5+4=5+4×1；第3個(gè)圖中有13個(gè)正方形，可以寫成：5+4+4=5+4×2；第4個(gè)圖中有17個(gè)正方形，可以寫成：5+4+4+4=5+4×3；．．．第n個(gè)圖中有正方形，可以寫成：5+4（n-1）=4n+1；當(dāng)n=9時(shí)，代入4n+1得：4×9+1=37．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形的變化規(guī)律以及數(shù)字規(guī)律，通過歸納與總結(jié)結(jié)合圖形得出數(shù)字之間的規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵．17．（2021·廣西玉林·中考真題）觀察下列樹枝分叉的規(guī)律圖，若第個(gè)圖樹枝數(shù)用表示，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題目中的圖形，可以寫出前幾幅圖中樹枝分杈的數(shù)量，從而可以發(fā)現(xiàn)樹枝分杈的變化規(guī)律，進(jìn)而得到規(guī)律，代入規(guī)律求解即可．【詳解】解：由圖可得到：則：，∴，故答案選：B．【點(diǎn)睛】本題考查圖形規(guī)律，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．【鞏固訓(xùn)練】1．（2022·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）觀察下列關(guān)于x的單項(xiàng)式，探究其規(guī)律，x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6…按照上述規(guī)律第2021個(gè)單項(xiàng)式是（

）A．2021x2021 B．4041x2020 C．4041x2021 D．4043x2021【答案】C【分析】根據(jù)題目中的單項(xiàng)式，可以發(fā)現(xiàn)單項(xiàng)式的系數(shù)是從1開始的一些連續(xù)的奇數(shù)，字母的指數(shù)冪是從1開始的一些連續(xù)的整數(shù)，從而可以寫出第n個(gè)單項(xiàng)式，然后即可得到第2021個(gè)單項(xiàng)式．【詳解】解：∵一列單項(xiàng)式為：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…，∴第n個(gè)單項(xiàng)式為（2n-1）xn，∴當(dāng)n=2021時(shí)，這個(gè)單項(xiàng)式是（2×2021-1）x2021=4041x2021，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化類、單項(xiàng)式，解答本題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)單項(xiàng)式系數(shù)與數(shù)字的變化特點(diǎn)，寫出相應(yīng)的單項(xiàng)式．2．（2022·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：2x，4x3，8x5，16x7，32x9，64x11，…，則第n個(gè)單項(xiàng)式是（

）A．2nxn＋1 B．2nxn－1 C．2nx2n－1 D．2nx2n＋1【答案】C【分析】根據(jù)前幾個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)的變化規(guī)律求解即可．【詳解】解：由題意，各單項(xiàng)式的系數(shù)為2n，次數(shù)為2n-1，∴第n個(gè)單項(xiàng)式是2nx2n－1，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查單項(xiàng)式規(guī)律題，單項(xiàng)式的系數(shù)、次數(shù)，理解題意，準(zhǔn)確找到單項(xiàng)式系數(shù)和次數(shù)的變化規(guī)律是解答的關(guān)鍵．3．（2020·甘肅天水·中考真題）觀察等式：；；；…已知按一定規(guī)律排列的一組數(shù)：，若，用含的式子表示這組數(shù)據(jù)的和是()A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意得出，再利用整體代入思想即可得出答案．【詳解】解：由題意得：這組數(shù)據(jù)的和為：∵，∴原式=,故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查規(guī)律型問題：數(shù)字變化，列代數(shù)式，整體代入思想，同底數(shù)冪的乘法的逆用，解題的關(guān)鍵是正確找到本題的規(guī)律：，學(xué)會(huì)探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．4．（2019·湖南常德·中考真題）觀察下列等式：根據(jù)其中的規(guī)律可得的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字是（

）A．0 B．1 C．7 D．8【答案】A【分析】首先得出尾數(shù)變化規(guī)律，進(jìn)而得出的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字．【詳解】∵∴個(gè)位數(shù)4個(gè)數(shù)一循環(huán)，∴，∴，∴的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字是：0．故選A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了尾數(shù)特征，正確得出尾數(shù)變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．5．（2020·山東日照·中考真題）用大小相同的圓點(diǎn)擺成如圖所示的圖案，按照這樣的規(guī)律擺放，則第10個(gè)圖案中共有圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）A．59 B．65 C．70 D．7