多元函數(shù)的基本概念極限和連續(xù)性課件

多元函數(shù)的基本概念極限和連續(xù)性ppt課件1一、區(qū)域1.鄰域點(diǎn)集稱為點(diǎn)P0的

鄰域.例如,在平面上,(圓鄰域)在空間中,(球鄰域)說(shuō)明：若不需要強(qiáng)調(diào)鄰域半徑

,也可寫成點(diǎn)P0的去心鄰域記為一、區(qū)域1.鄰域點(diǎn)集稱為點(diǎn)P0的鄰域.例如,在平2在討論實(shí)際問(wèn)題中也常使用方鄰域,平面上的方鄰域?yàn)椤Ｒ驗(yàn)榉洁徲蚺c圓鄰域可以互相包含.在討論實(shí)際問(wèn)題中也常使用方鄰域,平面上的方鄰域?yàn)?。因?yàn)榉洁徲?2.區(qū)域(1)內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)設(shè)有點(diǎn)集

E

及一點(diǎn)

P:

若存在點(diǎn)P的某鄰域U(P)

E,

若存在點(diǎn)P的某鄰域U(P)∩E=,

若對(duì)點(diǎn)P的任一鄰域U(P)既含

E中的內(nèi)點(diǎn)也含E則稱P為E的內(nèi)點(diǎn)；則稱P為E的外點(diǎn)

;則稱P為E

的邊界點(diǎn)

.的外點(diǎn),顯然,E的內(nèi)點(diǎn)必屬于E,

E的外點(diǎn)必不屬于E,E的邊界點(diǎn)可能屬于E,也可能不屬于E.PE2.區(qū)域(1)內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)設(shè)有點(diǎn)集E及一點(diǎn)P4(2)聚點(diǎn)若對(duì)任意給定的

,點(diǎn)P

的去心鄰域內(nèi)總有E中的點(diǎn),則稱P是E的聚點(diǎn).聚點(diǎn)可以屬于E,也可以不屬于E(因?yàn)榫埸c(diǎn)可以為所有聚點(diǎn)所成的點(diǎn)集成為E的導(dǎo)集.E的邊界點(diǎn))

內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)；

邊界點(diǎn)可能是聚點(diǎn)；（孤立點(diǎn)是邊界點(diǎn)，但不是聚點(diǎn)）

若點(diǎn)的某一個(gè)鄰域內(nèi)除點(diǎn)外其余各點(diǎn)都不屬于E，則稱為點(diǎn)集E的孤立點(diǎn)。(2)聚點(diǎn)若對(duì)任意給定的,點(diǎn)P的去心鄰域內(nèi)總有E中5例如邊界上的點(diǎn)都是聚點(diǎn)也都屬于集合．例如(0,0)既是邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn)但不屬于集合例如邊界上的點(diǎn)都是聚點(diǎn)也都屬于集合．例如(0,0)既是邊界點(diǎn)6D(3)開(kāi)區(qū)域及閉區(qū)域

若點(diǎn)集E的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱E為開(kāi)集；

若點(diǎn)集E

E

,則稱E為閉集；

若集D中任意兩點(diǎn)都可用一完全屬于D的折線相連,

開(kāi)區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.則稱D是連通的;

連通的開(kāi)集稱為開(kāi)區(qū)域,簡(jiǎn)稱區(qū)域;

E的邊界點(diǎn)的全體稱為E的邊界,記作

E;D(3)開(kāi)區(qū)域及閉區(qū)域若點(diǎn)集E的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱7例如，在平面上開(kāi)區(qū)域閉區(qū)域

例如，在平面上開(kāi)區(qū)域閉區(qū)域8

整個(gè)平面

點(diǎn)集是開(kāi)集，是最大的開(kāi)域,也是最大的閉域;但非區(qū)域.

對(duì)區(qū)域D,若存在正數(shù)K,使一切點(diǎn)P

D與某定點(diǎn)A的距離AP

K,則稱D為有界域,

界域.否則稱為無(wú)整個(gè)平面點(diǎn)集是開(kāi)集，是最大的開(kāi)域,也9（4）n維空間n維空間的記號(hào)為說(shuō)明：

n維空間中兩點(diǎn)間距離公式（4）n維空間n維空間的記號(hào)為說(shuō)明：n維空間中兩點(diǎn)間10

n維空間中鄰域、區(qū)域等概念特殊地當(dāng)時(shí)，便為數(shù)軸、平面、空間兩點(diǎn)間的距離．內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、區(qū)域、聚點(diǎn)等概念也可定義．鄰域：設(shè)兩點(diǎn)為n維空間中鄰域、區(qū)域等概念特殊地當(dāng)11二、二元函數(shù)的定義類似地可定義三元及三元以上函數(shù)．二、二元函數(shù)的定義類似地可定義三元及三元以上函數(shù)．12例1求的定義域．解所求定義域?yàn)槔?求13（6）二元函數(shù)的圖形（如下頁(yè)圖）（6）二元函數(shù)的圖14二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.15多元函數(shù)的基本概念極限和連續(xù)性ppt課件16例如,圖形如右圖.例如,左圖球面.單值分支:例如,圖形如右圖.例如,左圖球面.單值分支:17三、多元函數(shù)的極限三、多元函數(shù)的極限18說(shuō)明：（1）定義中的方式是任意的；（2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限（3）二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似．說(shuō)明：（1）定義中的方式是任意的19例2求證證當(dāng)時(shí)，原結(jié)論成立．例2求證證當(dāng)20例3求極限解其中例3求極限解其中21例4證明不存在．證取其值隨k的不同而變化，故極限不存在．例4證明不22確定極限不存在的方法：確定極限不存在的方法：23利用點(diǎn)函數(shù)的形式有利用點(diǎn)函數(shù)的形式有24四、多元函數(shù)的連續(xù)性定義3四、多元函數(shù)的連續(xù)性定義325例5討論函數(shù)在(0,0)處的連續(xù)性．解取例5討論函數(shù)在(0,0)處的連續(xù)性．解取26故函數(shù)在(0,0)處連續(xù).當(dāng)時(shí)故函數(shù)在(0,0)處連續(xù).當(dāng)27例6討論函數(shù)在(0,0)的連續(xù)性．解取其值隨k的不同而變化，極限不存在．故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)．例6討論函數(shù)在(0,0)的連續(xù)性．解取其值隨k的不同而變28閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在D上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩值之間的任何值至少一次．（1）最大值和最小值定理（2）介值定理閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)29多元初等函數(shù)：由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個(gè)式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的．定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域．多元初等函數(shù)：由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算30例７解例７解31多元函數(shù)極限的概念多元函數(shù)連續(xù)的概念閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（注意趨近方式的任意性）五、小結(jié)多元函數(shù)的定義多元函數(shù)極限的概念多元函數(shù)連續(xù)的概念閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（32思考題思考題33思考題解答不能.例取但是不存在.原因?yàn)槿羧∷伎碱}解答不能.例取但是34練習(xí)是否存在？解:利用所以極限不存在.練習(xí)是否存在？解:利用所以極限不存在.35多元函數(shù)的基本概念極限和連續(xù)性ppt課件36練習(xí)題練習(xí)題37多元函數(shù)的基本概念極限和連續(xù)性ppt課件38多元函數(shù)的基本概念極限和連續(xù)性ppt課件39練習(xí)題答案練習(xí)題答案40不存在.觀察不存在.觀察41觀察不存在.觀察不存在.42觀察不存在