經(jīng)濟數(shù)學高職高專PPT完整全套教學課件

經(jīng)濟數(shù)學JINGJISHUXUE授課教師：xxx授課時間：xxx第一篇一元函數(shù)微積分第一章函數(shù)第二章函數(shù)的極限與連續(xù)第三章導數(shù)與微分第四章導數(shù)的應用第五章不定積分第六章定積分

第二篇線性代數(shù)初步第七章行列式第八章矩陣第九章線性方程組

第三篇概率論初步第十一章隨機變量及其分布第十二章隨機變量的數(shù)字特征全套可編輯PPT課件第一章函數(shù)03導數(shù)與微分02函數(shù)的極限與連續(xù)04導數(shù)的應用第一篇一元函數(shù)微積分CONTENT不定積分定積分第二章第三章第四章第五章第六章第一章函數(shù)第一節(jié)函數(shù)的概念第二節(jié)反函數(shù)第三節(jié)復合函數(shù)與初等函數(shù)第一節(jié)

函數(shù)的概念【案例導入】總收益是指生產(chǎn)者出售一定量產(chǎn)品所得到的全部收入，是銷量的函數(shù).當產(chǎn)品銷量為q、價格為p時，收益函數(shù)的一般形式是R(q)=p·q.如果產(chǎn)銷平衡，即產(chǎn)量為q，銷量也為q，則利潤函數(shù)的一般形式是L(q)=R(q)-C(q).（1）當L(q)=R(q)-C(q)>0時，生產(chǎn)者盈利.（2）當L(q)=R(q)-C(q)<0時，生產(chǎn)者虧損.（3）當L(q)=R(q)-C(q)=0時，生產(chǎn)者盈虧平衡.使L(q)=0的點q0稱為盈虧平衡點（保本點）.某廠生產(chǎn)錄音機的成本為每臺200元，預計當以每臺P元的價格賣出錄音機時，消費者每月購買300-P臺，請將該廠的月利潤表達為價格P的函數(shù).第一節(jié)函數(shù)的概念一、函數(shù)的定義設(shè)x,y為兩個變量，D為一個非空實數(shù)集，若對于數(shù)集D中的任意一個數(shù)x，按照某種對應法則f，y都有唯一確定的值與之對應，則稱y是x的函數(shù)，記作y=f(x).其中x是自變量，y是因變量.數(shù)集D稱為函數(shù)的定義域，即D是使函數(shù)表達式有意義的自變量x的取值范圍，常用區(qū)間表示.函數(shù)y在點x0處的函數(shù)值記作對應于自變量x∈D的函數(shù)值的全體稱為函數(shù)的值域.微積分的學習主要用到求函數(shù)的定義域和函數(shù)值.第一節(jié)函數(shù)的概念一、函數(shù)的定義例1:求下列函數(shù)的定義域.解:（1）由3x2+2x≠0，解得x≠且x≠0.故函數(shù)的定義域為（2）由4－x2≥0，解得－2≤x≤2.故函數(shù)的定義域為[－2,2].（3）由3x－4>0，解得x>.故函數(shù)的定義域為(

,+∞).（4）由,解得.故函數(shù)的定義域為(

,+∞).第一節(jié)函數(shù)的概念一、函數(shù)的定義例2:已知求解:第一節(jié)函數(shù)的概念二、分段函數(shù)定義在定義域的不同范圍內(nèi)用不同的解析式來表示的函數(shù)稱為分段函數(shù).例如，絕對值函數(shù)；符號函數(shù)

；取整函數(shù)y=［x］=n(n≤x<n+1,n∈Z).根據(jù)取整函數(shù)的定義可以看出，記號［x］表示不超過x的最大整數(shù).例如，［6.8］=6,［0.4］=0,［－7.3］=－8,［－9］=－9等.對于分段函數(shù)，我們要能夠正確求出其定義域及自變量為x時對應的函數(shù)值.例如，分段函數(shù)的定義域為［－2,3).也就是說，分段函數(shù)的定義域為各段定義域的并集.第一節(jié)函數(shù)的概念二、分段函數(shù)例3:已知函數(shù)，，求函數(shù)f（x）的定義域及解:根據(jù)題意可知，函數(shù)f（x）的定義域為[－4,+∞).第一節(jié)函數(shù)的概念三、函數(shù)的性質(zhì)1.奇偶性設(shè)區(qū)間I關(guān)于原點對稱，若對任意的x∈I，都有f(－x)=f(x)，則稱函數(shù)f(x)是區(qū)間I上的偶函數(shù)；若對任意的x∈I，都有f(－x)=－f(x)，則稱函數(shù)f(x)是區(qū)間I上的奇函數(shù)；若函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，則稱函數(shù)f(x)為非奇非偶函數(shù).2.周期性設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為(－∞,+∞)，若存在正數(shù)T，使得對于一切實數(shù)x，都有f(x+T)=f(x)，則稱y=f(x)為周期函數(shù).例如，2π為y=sinx的周期，π為y=tanx的周期.第一節(jié)函數(shù)的概念三、函數(shù)的性質(zhì)3.單調(diào)性設(shè)x1和x2為區(qū)間a,b內(nèi)的任意兩個數(shù)，若當x1<x2時，有f(x1)<f(x2)，則稱y=f(x)在a,b內(nèi)單調(diào)增加；若當x1<x2時，有f(x1)>f(x2)，則稱y=f(x)在a,b內(nèi)單調(diào)減少.4.有界性設(shè)函數(shù)f(x)在集合D上有定義，若存在一個正數(shù)M，使對任意的x∈D，恒有f(x)≤M，則稱f(x)為在D上的有界函數(shù)；若不存在這樣的正數(shù)M，則稱f(x)為在D上的無界函數(shù).例如，當x∈(－∞,+∞)時，恒有|sinx|≤1，則y=sinx在(－∞,+∞)內(nèi)是有界函數(shù).又如，函數(shù)y=tanx在

內(nèi)是無界函數(shù).第二節(jié)

反函數(shù)第二節(jié)反函數(shù)一、反函數(shù)的定義設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為D，值域為A.若對于數(shù)集A中的每個數(shù)y，在D中都有唯一的一個數(shù)x使f(x)=y，則稱變量x是變量y的函數(shù)，這個函數(shù)稱為y=f(x)的反函數(shù)，記作x=f－1(y)，其定義域為A，值域為D.習慣上將y=f(x)的反函數(shù)用y=f－1(x)來表示.例1:求函數(shù)y=4x－1的反函數(shù).解:根據(jù)題意可知，

，則所求函數(shù)的反函數(shù)為在中學時，我們學過指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù).例如，y=2x和y=log2x互為反函數(shù).第二節(jié)反函數(shù)二、反三角函數(shù)定義1正弦函數(shù)y=sinx在區(qū)間

上的反函數(shù)稱為反正弦函數(shù)，記作y=arcsinx，其定義域為[－1,1]，值域為

.定義2

余弦函數(shù)y=cosx在區(qū)間[0,π]上的反函數(shù)稱為反余弦函數(shù)，記作y=arccosx，其定義域為[－1,1]，值域為[0,π].定義3

正切函數(shù)y=tanx在區(qū)間

上的反函數(shù)稱為反正切函數(shù)，記作y=arctanx，其定義域為(－∞,+∞)，值域為

.定義4

余切函數(shù)y=cotx在區(qū)間(0,π)上的反函數(shù)稱為反余切函數(shù)，記作y=arccotx，其定義域為(－∞,+∞)，值域為(0,π).第二節(jié)反函數(shù)二、反三角函數(shù)例2:求下列反三角函數(shù)值.解:第三節(jié)

復合函數(shù)與初等函數(shù)第三節(jié)復合函數(shù)與初等函數(shù)一、基本初等函數(shù)常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).為后面學習方便，現(xiàn)對這六類基本初等函數(shù)的表達式、定義域、值域、圖形、性質(zhì)進行歸納總結(jié)（見表1-1）.第三節(jié)復合函數(shù)與初等函數(shù)一、基本初等函數(shù)第三節(jié)復合函數(shù)與初等函數(shù)一、基本初等函數(shù)第三節(jié)復合函數(shù)與初等函數(shù)一、基本初等函數(shù)第三節(jié)復合函數(shù)與初等函數(shù)一、基本初等函數(shù)第三節(jié)復合函數(shù)與初等函數(shù)二、復合函數(shù)定義若函數(shù)y=F(u)的定義域為U1，函數(shù)u=φ(x)的值域為U2，其中U2?U1，則y通過u成為x的函數(shù)，這個函數(shù)稱為由函數(shù)y=F(u)和函數(shù)u=φ(x)構(gòu)成的復合函數(shù)，記作y=F[φ(x)]，其中u稱為中間變量.注意：（1）不是任何兩個函數(shù)都可以復合成一個復合函數(shù).例如，

就不能復合成一個復合函數(shù).（2）復合函數(shù)可以由兩個及兩個以上的函數(shù)復合而成，中間變量可以用u，v，w等表示.二、復合函數(shù)例1:寫出下列函數(shù)所構(gòu)成的復合函數(shù).解:第三節(jié)復合函數(shù)與初等函數(shù)二、復合函數(shù)例2:指出下列函數(shù)的復合過程.解:第三節(jié)復合函數(shù)與初等函數(shù)第三節(jié)復合函數(shù)與初等函數(shù)三、初等函數(shù)由基本初等函數(shù)及常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和有限次復合而成，并且可用一個數(shù)學式子表示的函數(shù)叫作初等函數(shù).例如，

等都是初等函數(shù).十分感謝你的聆聽授課教師：xxx授課時間：xxx經(jīng)濟數(shù)學JINGJISHUXUE授課教師：xxx授課時間：xxx第一章函數(shù)03導數(shù)與微分02函數(shù)的極限與連續(xù)04導數(shù)的應用第一篇一元函數(shù)微積分CONTENT不定積分定積分第二章第三章第四章第五章第六章第二章函數(shù)的極限與連續(xù)第一節(jié)函數(shù)極限的概念第二節(jié)無窮小與無窮大第三節(jié)極限的性質(zhì)與運算第四節(jié)兩個重要極限第五節(jié)函數(shù)的連續(xù)性【案例導入】極限概念是在求某些實際問題的精確解答中產(chǎn)生的.我國古代數(shù)學家劉徽指出：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣.”這就是利用圓內(nèi)接正多邊形來計算圓面積的方法（割圓術(shù)），就是極限思想在幾何上的應用.具體的方法是把圓周三等分、六等分、十二等分、二十四等分……這樣繼續(xù)分割下去，所得多邊形的面積就無限接近于圓的面積.若對一尺長的木棒每天截取一半，則剩余木棒的長度可表示為數(shù)列an，即那么隨著項數(shù)n的無限增大，數(shù)列an的變化趨勢是怎樣的？第一節(jié)函數(shù)極限的概念第一節(jié)函數(shù)極限的概念一、x→∞時函數(shù)f(x)的極限定義1

設(shè)函數(shù)y=f(x)在(－∞,+∞)內(nèi)有定義,若當|x|無限增大時,相應的函數(shù)值f(x)無限接近于某一確定的常數(shù)A,則A稱為函數(shù)f(x)當x→∞時的極限,記為其中x→∞表示x的絕對值無限增大.若當x→+∞（或x→－∞）時，函數(shù)趨近于某一確定的常數(shù)A，記為從圖2-1中容易看出，定理1極限的充分必要條件是第一節(jié)函數(shù)極限的概念二、x→x0時函數(shù)f(x)的極限定義2

設(shè)函數(shù)f(x)在點x0的某個鄰域（點x0可除外，即0<|x－x0|<δ,δ為某一正數(shù)）內(nèi)有定義，當自變量x無限趨近于點x0時，函數(shù)f(x)的值無限趨近于某一確定的常數(shù)A，則稱A為x→x0時函數(shù)f(x)的極限，記為其中x→x0表示既可以從大于x0的方向趨近于點x0，也可以從小于x0的方向趨近于點x0.在討論x→x0時函數(shù)f(x)的極限問題中，對x→x0的過程，若限制x<x0或x>x0，便引出了單側(cè)極限的概念.第一節(jié)函數(shù)極限的概念二、x→x0時函數(shù)f(x)的極限定義3

設(shè)函數(shù)f(x)在點x0的某個左半鄰域(x0－δ,x0)（或右半鄰域(x0,x0+δ)）內(nèi)有定義，當自變量x從點x0的左（或右）邊無限趨近于點x0時，函數(shù)f(x)的值無限趨近于某一確定的常數(shù)A，則稱A為x→x0時函數(shù)f(x)的左（或右）極限，記為定理2極限的充分必要條件是二、x→x0時函數(shù)f(x)的極限第一節(jié)函數(shù)極限的概念第二節(jié)無窮小與無窮大例如，因為

，所以函數(shù)

為n→∞時的無窮??；因為

，所以函數(shù)

為x→∞時的無窮小.又如，第一節(jié)例題中的函數(shù)f(x)，因為

，所以函數(shù)f(x)為x→0時的無窮小.第二節(jié)無窮小與無窮大一、無窮小定義1在自變量的某一變化過程中，以零為極限的變量稱為該變化過程的無窮小量，簡稱無窮小.注意：(1)判斷是否為無窮小必須考慮變化過程，同一個變量在不同的變化過程中情況不同，如當x→0時，x2是無窮小;但當x→1時，x2就不是無窮小.(2)無窮小是個變量（零除外），不能把很小很小的量作為無窮小，如0.00001不是無窮小.零是可以作為無窮小的唯一的常數(shù).性質(zhì)1

有限個無窮小的和也是無窮小.例如，當x→0時，x與sinx都是無窮小，x+sinx也是無窮小.無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無窮小，如第二節(jié)無窮小與無窮大一、無窮小無窮小具有以下性質(zhì).性質(zhì)2

有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.例如，當x→∞時，

是無窮小，arctanx是有界函數(shù)，所以

也是無窮小.推論1常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論2有限個無窮小的乘積也是無窮小.第二節(jié)無窮小與無窮大一、無窮小無窮小與函數(shù)極限有如下關(guān)系.定理1

函數(shù)limf(x)=A的充分必要條件是f(x)=A+α(其中l(wèi)im

α=0).沒有標明自變量變化過程的記號“l(fā)im”是指自變量x的變化過程可以是x→x0－,x→x0+,x→∞,x→－∞,x→+∞中的任何一種，以后不再贅述.顯然，當n→∞時，n,n2,n3,…都是無窮大.第二節(jié)無窮小與無窮大二、無窮大定義2在自變量的某一變化過程中，絕對值無限增大的變量稱為該變化過程的無窮大量，簡稱無窮大.注意：無窮大不趨向于任何確定的常數(shù),所以無窮大的極限不存在.但為了敘述函數(shù)的這一性態(tài)，也說“函數(shù)的極限是無窮大”，并記為limf(x)=∞.第二節(jié)無窮小與無窮大三、無窮小與無窮大的關(guān)系定理2在自變量的同一變化過程中,(1)如果函數(shù)f(x)是無窮小,且f(x)≠0,則

是無窮大;(2)如果函數(shù)f(x)是無窮大,則

是無窮小.例如，當x→0時，x2是無窮小，

是無窮大.第二節(jié)無窮小與無窮大四、無窮小的比較根據(jù)無窮小的性質(zhì)，我們知道任意兩個無窮小的和、差、積都還是無窮小.但是兩個無窮小的商則會有較大的差異.例如，x→0時，x,5x,x3都是無窮小，但是這是因為它們雖然都是無窮小，但它們各自趨近于零的快慢程度是不同的.比較表2-1的數(shù)據(jù)可以看出，當x→0時，x,5x,x3中的x3趨近于零的速度最快，而5x與x則較為相仿.例如,當x→0時，x,2x,x2都是無窮小，因為,所以當x→0時,x2是比x高階的無窮??；由于

，所以當x→0時，2x與x是同階無窮小.第二節(jié)無窮小與無窮大四、無窮小的比較定義3設(shè)α與β是自變量的同一變化過程中的兩個無窮小,(1)如果

,則稱β是比α高階的無窮小,記為β＝o(α);(2)如果,則稱β是比α低階的無窮小;(3)如果

,則稱β與α是同階無窮小.特別地，當c=1時，稱β與α是等價無窮小,記為α

~β.第三節(jié)極限的性質(zhì)與運算性質(zhì)1(唯一性)

若

存在,則極限值唯一.性質(zhì)2(有界性)

若

存在,則在點x0的某一去心鄰域（0<|x－x0|<δ,δ為某一正數(shù)）內(nèi)函數(shù)f(x)有界.性質(zhì)3(保號性)

若

且A>0(或A<0),則必存在點x0的某一去心鄰域,使得在該鄰域內(nèi)函數(shù)f(x)>0(或f(x)<0).推論若

，且在點x0的某一去心鄰域內(nèi)函數(shù)f(x)≥0(或f(x)≤0),則A≥0(或A≤0).第三節(jié)極限的性質(zhì)與運算一、極限的性質(zhì)雖然數(shù)列極限是函數(shù)極限的特殊情形,但是它們都可歸結(jié)為在自變量的某一變化過程中,函數(shù)值無限接近于某一確定的常數(shù),因而它們具有共同的性質(zhì).下面以x→x0時的情形為例進行說明.定理設(shè)在自變量x的同一變化過程中極限

及

都存在,則有第三節(jié)極限的性質(zhì)與運算二、極限的四則運算1.四則運算法則法則(1)和法則(2)均可推廣到有限個函數(shù)的情形.并有如下推論.推論1(C為常數(shù)).推論2(n為正整數(shù)).二、極限的四則運算例1：求下列極限.解:第三節(jié)極限的性質(zhì)與運算注意：極限的四則運算法則要求參與運算的各個函數(shù)的極限均存在，且法則（3）還必須滿足分母的極限不為零；否則，不能直接使用該法則.（1）

型未定式.若極限

且g(x)≠0，則極限

可能存在也可能不存在，我們稱之為

型未定式.對它求解的方法通常有以下兩種.①通過因式分解約去分子、分母中極限為零的公因子.②當分子或分母中含有根式時，先進行分子或分母的有理化，然后約去分子和分母中極限為零的公因子.二、極限的四則運算2.常見未定式極限及其解法第三節(jié)極限的性質(zhì)與運算二、極限的四則運算例2：求解：由于

，故不能直接使用法則（3）求解.當x→3時，x≠3，故可約去公因子x－3，得第三節(jié)極限的性質(zhì)與運算二、極限的四則運算例3：求解：當x→0時，分母和分子的極限均為零，不能直接使用極限的四則運算法則求解.可先對分子有理化，再求極限.第三節(jié)極限的性質(zhì)與運算（2）型未定式.若極限

，則極限

可能存在也可能不存在，我們稱之為型未定式.對它求解的一般方法是：分子、分母同時除以分子、分母中x的最高次冪.二、極限的四則運算2.常見未定式極限及其解法第三節(jié)極限的性質(zhì)與運算二、極限的四則運算例4：求下列函數(shù)的極限.解：(1)當x→∞時,分子、分母的極限均不存在(無窮大),不能直接使用極限的四則運算法則求解.將分子、分母同除以x的最高次冪x5,得第三節(jié)極限的性質(zhì)與運算(2)分子、分母同除以x的最高次冪x3,得二、極限的四則運算例4：求下列函數(shù)的極限.解：(3)分子、分母同除以x的最高次冪x4,得第三節(jié)極限的性質(zhì)與運算由于分子的極限為1,分母的極限為0,所以一般地,當a0≠0,b0≠0,m,n為非負整數(shù)時,有二、極限的四則運算2.常見未定式極限及其解法第三節(jié)極限的性質(zhì)與運算（3）∞-∞型未定式.若極限

，則極限

可能存在也可能不存在，我們稱之為∞-∞型未定式.對它求解的方法通常有兩種：一是通分，二是含有根式時考慮有理化.通過通分或有理化轉(zhuǎn)化為前兩種未定式后再處理.二、極限的四則運算2.常見未定式極限及其解法第三節(jié)極限的性質(zhì)與運算例5：求解：當x→1時，上式兩項極限均不存在，可先通分再求極限.第四節(jié)兩個重要極限一、這個極限的一般形式為第四節(jié)兩個重要極限例1：求下列極限.解:一、第四節(jié)兩個重要極限二、若令,則當x→∞時,t→0,于是可得第四節(jié)兩個重要極限該重要極限的一般形式為或例2：求下列極限.解:二、第四節(jié)兩個重要極限第五節(jié)函數(shù)的連續(xù)性為了建立函數(shù)連續(xù)性的定義,首先引入增量的概念.定義1

設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義,當自變量由x0變到x(x仍在該鄰域內(nèi))時,稱差x－x0為自變量在點x0處的增量，記為Δx，即Δx=x－x0.相應地，函數(shù)值由f(x0)變到f(x),稱差f(x)－f(x0)為函數(shù)f(x)在點x0處的增量，記為Δy，即Δy=f(x)－f(x0)或Δy=f(x0+Δx)－f(x0).一、增量的定義自然界中許多現(xiàn)象的變化過程都是連續(xù)不斷的,如氣溫、生物的生長等都是隨著時間連續(xù)變化的，這種現(xiàn)象反映在數(shù)學上就是函數(shù)的連續(xù)性.第五節(jié)函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)增量的幾何意義如圖2-3所示.一、增量的定義例2：設(shè)函數(shù)y=f(x)=x2.(1)當x從－1改變到2時，求自變量的增量與函數(shù)的增量;(2)當x從x0改變到x0+Δx時，求函數(shù)的增量.解：(1)自變量的增量為Δx=2－(－1)=3,函數(shù)的增量為Δy=f(2)－f(－1)=22－(－1)2=3.

(2)Δy=f(x0+Δx)－f(x0)=(x0+Δx)2－x02=(2x0+Δx)Δx.第五節(jié)函數(shù)的連續(xù)性二、函數(shù)在某點處的連續(xù)性從自變量的增量與函數(shù)的增量的關(guān)系出發(fā)，給出函數(shù)在某點處連續(xù)的定義.定義2

設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義,若當自變量的增量Δx=x－x0趨于零時,對應的函數(shù)增量也趨于零,即第五節(jié)函數(shù)的連續(xù)性則稱函數(shù)y=f(x)在點x0處連續(xù),點x0稱為函數(shù)f(x)的連續(xù)點.若令x0+Δx=x,當Δx→0時,x→x0,則有即二、函數(shù)在某點處的連續(xù)性于是,函數(shù)y=f(x)在點x0處連續(xù)的定義又可敘述如下.定義3

設(shè)函數(shù)f(x)在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義,如果

則稱函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù).第五節(jié)函數(shù)的連續(xù)性例2：證明函數(shù)

在點x=0處連續(xù).解：二、函數(shù)在某點處的連續(xù)性如果,則稱函數(shù)f(x)在點x0處左連續(xù);如果,則稱函數(shù)f(x)在點x0處右連續(xù).顯然,函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)的充分必要條件是它在點x0處既左連續(xù),又右連續(xù).綜上所述，函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)必須同時滿足以下三個條件.(1)函數(shù)f(x)在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義.(2)函數(shù)f(x)的極限

存在.(3)第五節(jié)函數(shù)的連續(xù)性若以上三條中有一條不滿足，函數(shù)f(x)就在點x0處間斷（不連續(xù)），點x0稱為函數(shù)f(x)的間斷點.例如，x=0是函數(shù)

的間斷點.二、函數(shù)在某點處的連續(xù)性例3：判定函數(shù)在點x=0處的連續(xù)性.解：所以f(x)在點x=0處左連續(xù)且右連續(xù)，從而f(x)在點x=0處連續(xù).第五節(jié)函數(shù)的連續(xù)性三、函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的每一點處都連續(xù),則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù),或稱f(x)是區(qū)間(a,b)內(nèi)的連續(xù)函數(shù);若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù),且在左端點a處右連續(xù),在右端點b處左連續(xù),則稱函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù),此時也稱f(x)是閉區(qū)間［a,b］上的連續(xù)函數(shù).第五節(jié)函數(shù)的連續(xù)性由于所有的基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的，結(jié)合定理1可以得出下面的結(jié)論.定理2所有的初等函數(shù)在其定義區(qū)間（包含在定義域內(nèi)的區(qū)間）上都是連續(xù)函數(shù).由初等函數(shù)的連續(xù)性知，若f(x)是初等函數(shù),且x0是f(x)定義區(qū)間內(nèi)的點，則f(x)在x→x0時的極限值等于f(x)在點x0處的函數(shù)值，即四、初等函數(shù)的連續(xù)性定理1

兩個連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商(分母不為零)仍為連續(xù)函數(shù)，兩個連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)也是連續(xù)函數(shù).第五節(jié)函數(shù)的連續(xù)性四、初等函數(shù)的連續(xù)性例4：求解：因為

是初等函數(shù),且在點x=2處有定義,所以第五節(jié)函數(shù)的連續(xù)性四、初等函數(shù)的連續(xù)性例5：求解：第五節(jié)函數(shù)的連續(xù)性注意：對于連續(xù)函數(shù)，極限符號與函數(shù)符號可以交換運算次序.定義4

對于在區(qū)間I上有定義的函數(shù)f(x)，如果有x0∈I，使得對于任一x∈I都有f(x)≤f(x0)（f(x)≥f(x0)），則稱f(x0)是函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最大值（最小值）.五、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定義在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)在理論和應用中有很多重要的性質(zhì).下面將對這些性質(zhì)給予簡單的介紹.第五節(jié)函數(shù)的連續(xù)性如圖2-4所示，函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)，在點ξ1處取得最大值，在點ξ2處取得最小值.五、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理3(最值定理)

閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)在該區(qū)間上一定存在最大值和最小值.第五節(jié)函數(shù)的連續(xù)性推論1(有界性定理)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)在該區(qū)間上一定有界.五、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理4(介值定理)

設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù),且f(a)≠f(b),C為介于f(a)與f(b)之間的任何數(shù),則至少存在一點ξ∈(a,b),使得f(ξ)=C.第五節(jié)函數(shù)的連續(xù)性如圖2-5所示，對介于f(a)與f(b)之間的任何一個數(shù)C,直線y=C與連續(xù)曲線y=f(x)有三個交點，使得f(ξ1)=f(ξ2)=f(ξ3)=C.五、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)推論2(零點定理)

設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù),且f(a)·f(b)<0,則至少存在一點ξ∈(a,b),使得f(ξ)=0.第五節(jié)函數(shù)的連續(xù)性如圖2-6所示，連續(xù)曲線y=f(x)滿足f(a)<0,f(b)>0，那么曲線與x軸必有交點ξ∈(a,b)，這時有f(ξ)=0.五、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)例6：證明方程x3－4x2+1=0在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有一個實根.解：函數(shù)f(x)=x3－4x2+1在閉區(qū)間［0,1］上連續(xù)，又f(0)=1>0，f(1)=－2<0.根據(jù)零點定理，在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有一點ξ，使得f(ξ)=0.因此，方程x3－4x2+1=0在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有一個實根.第五節(jié)函數(shù)的連續(xù)性十分感謝你的聆聽授課教師：xxx授課時間：xxx經(jīng)濟數(shù)學JINGJISHUXUE授課教師：xxx授課時間：xxx第一章函數(shù)03導數(shù)與微分02函數(shù)的極限與連續(xù)04導數(shù)的應用第一篇一元函數(shù)微積分CONTENT不定積分定積分第二章第三章第四章第五章第六章第三章導數(shù)與微分第一節(jié)導數(shù)的概念第二節(jié)導數(shù)的四則運算第三節(jié)復合函數(shù)的導數(shù)第四節(jié)隱函數(shù)的導數(shù)及對數(shù)求導法則第五節(jié)高階導數(shù)第六節(jié)微分【案例導入】某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的總成本C是產(chǎn)量q的函數(shù)C=C(q)，當產(chǎn)品的產(chǎn)量為q0時，總成本的變化率為多少？第一節(jié)導數(shù)的概念第一節(jié)導數(shù)的概念一、導數(shù)引例在引入導數(shù)的概念前，先來討論兩個實際問題.引例1

平面曲線的切線斜率.設(shè)有曲線C及C上的一點M，在點M外另取C上一點N，作割線MN.當點N沿曲線C趨于點M時，如果割線MN繞點M旋轉(zhuǎn)而趨于極限位置MT，直線MT就稱為曲線C在點M處的切線(見圖3-1).一、導數(shù)引例下面求函數(shù)y=f(x)在點M(x0,y0)處的切線的斜率.分析如圖3-2所示，在點M外另取C上的一點N(x0+Δx,y0+Δy)，于是割線MN的斜率為其中φ為割線MN的傾角.當點N沿曲線C趨于點M時，有Δx→0.如果當Δx→0時，上式的極限存在，設(shè)為k，即第一節(jié)導數(shù)的概念存在，則此極限k就是割線斜率的極限，也就是切線的斜率.這里k=tanα，其中α是切線MT的傾角.于是，通過點M且以k為斜率的直線MT便是曲線C在點M處的切線.第一節(jié)導數(shù)的概念一、導數(shù)引例引例2

收益對銷量的變化率.設(shè)某商品的總收益R是銷量q的函數(shù)R(q)(q>0)，求當銷量為q0個單位時總收益的變化率.分析如果銷量q由q0改變到q0+Δq，則總收益取得相應的改變量為總收益的平均變化率為

，其經(jīng)濟內(nèi)涵為平均銷售價格.如果極限

存在，則此極限就表示銷量為q0個單位時總收益的變化率，其經(jīng)濟內(nèi)涵為銷售過程中的即時定價.上述兩個問題的實際意義完全不同,但從數(shù)量關(guān)系來看都是研究當自變量的增量趨于零時，函數(shù)的增量與自變量增量的比值的極限問題.數(shù)學上把這種特定的極限稱為函數(shù)的導數(shù).第一節(jié)導數(shù)的概念二、導數(shù)的定義定義1

設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義,當自變量x在點x0處有增量Δx(Δx≠0,x0+Δx仍在該鄰域內(nèi))時,函數(shù)相應地有增量Δy=f(x0+Δx)－f(x0).如果極限

存在,則稱函數(shù)y=f(x)在點x0處可導,并稱此極限值為函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù)，記為即如果上述極限不存在,則稱函數(shù)y=f(x)在點x0處不可導.第一節(jié)導數(shù)的概念二、導數(shù)的定義根據(jù)導數(shù)的定義,曲線C在點M(x0,y0)處的切線的斜率就是曲線y=f(x)在點x0處的導數(shù),即k=tanα=f'(x0)；產(chǎn)量為q0時收益對銷量的變化率為MR=R′(q0).若令x=x0+Δx，則函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)也可表示為第一節(jié)導數(shù)的概念二、導數(shù)的定義例1：求函數(shù)y=x2在點x=1處的導數(shù).解:當x=1時，y=1；當x=1+Δx時，y=(1+Δx)2.故

Δy=(1+Δx)2－1=2Δx+(Δx)2,所以第一節(jié)導數(shù)的概念二、導數(shù)的定義由函數(shù)f(x)在點x0處的左極限與右極限的定義，可得函數(shù)f(x)在點x0處的左導數(shù)與右導數(shù)的定義.定義2

如果極限與存在,則稱它們分別為函數(shù)y=f(x)在點x0處的左導數(shù)和右導數(shù),分別記為

和.顯然,函數(shù)y=f(x)在點x0處可導的充分必要條件是y=f(x)在點x0處的左導數(shù)和右導數(shù)都存在且相等,即第一節(jié)導數(shù)的概念二、導數(shù)的定義例2：解:因為

，所以f′(0)不存在.第一節(jié)導數(shù)的概念二、導數(shù)的定義定義3

若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點處都可導,則稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導.若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導,并且在區(qū)間的左、右端點處

都存在,則稱函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間［a,b］上可導.若函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間內(nèi)可導,則對于該區(qū)間內(nèi)的每一個x,都有唯一確定的導數(shù)值f′(x)與之對應,這樣就確定了一個新的函數(shù),稱為函數(shù)y=f(x)的導函數(shù),簡稱導數(shù),記為由導數(shù)的定義,若y=f(x)在某區(qū)間I上可導,則y=f(x)在I上的導函數(shù)為顯然,函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù)f′(x0)就是導函數(shù)f′(x)在點x0處的函數(shù)值,即第一節(jié)導數(shù)的概念二、導數(shù)的定義例3：設(shè)函數(shù)f(x)=x3，求f′(x)，f′(2).解:所以第一節(jié)導數(shù)的概念二、導數(shù)的定義由導數(shù)的定義可知,求函數(shù)y=f(x)的導數(shù)可分為以下三個步驟.(1)求增量:(2)算比值:(3)取極限:運算熟練后不必細分步驟.下面利用導數(shù)的定義來求一些簡單函數(shù)的導數(shù).第一節(jié)導數(shù)的概念二、導數(shù)的定義例4：求函數(shù)f(x)=C(C為常數(shù))的導數(shù).解:例5：求冪函數(shù)f(x)=xn(n為正整數(shù))的導數(shù).解:即(n為正整數(shù)).一般地,對任何冪函數(shù)y=xα(α∈R),都有(xα)′=αxα－1(α∈R).第一節(jié)導數(shù)的概念二、導數(shù)的定義例6:求函數(shù)f(x)=sinx的導數(shù).解:即(sinx)′=cosx.同理可得(cosx)′=－sinx.第一節(jié)導數(shù)的概念二、導數(shù)的定義例7:求對數(shù)函數(shù)f(x)=logax(a>0,a≠1)的導數(shù).解:即特別地,當a=e時,有第一節(jié)導數(shù)的概念三、基本初等函數(shù)的導數(shù)公式按照導數(shù)定義求導數(shù)通常比較復雜.為了便于計算，下面直接給出基本初等函數(shù)的導數(shù)公式（見表3-1）.第一節(jié)導數(shù)的概念四、導數(shù)的幾何意義由前面的討論可知，函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù)f′(x0)等于函數(shù)所表示的曲線C在相應點M(x0,y0)處的切線的斜率，即f′(x0)=tanα(α為傾角)，這就是導數(shù)的幾何意義（見圖3-3）.根據(jù)導數(shù)的幾何意義及直線的點斜式方程可知,若函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù)存在,則曲線y=f(x)在點M(x0,y0)處的切線方程為過切點M(x0,y0)且與切線垂直的直線稱為曲線y=f(x)在點M(x0,y0)處的法線.若f′(x0)≠0,則過點M(x0,y0)的法線方程為第一節(jié)導數(shù)的概念四、導數(shù)的幾何意義例8:求拋物線y=x2在點(2,1)處的切線方程和法線方程.解:由導數(shù)的幾何意義知,拋物線y=x2在點(2,1)處的切線的斜率為所求的切線方程為y－1=4(x－2),即y=4x－7.法線方程為即第一節(jié)導數(shù)的概念五、可導與連續(xù)的關(guān)系設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x處可導，即

存在.由函數(shù)的極限與無窮小的關(guān)系知其中，當Δx→0時α為無窮小.上式兩邊同乘以Δx，得由此可見，當Δx→0時，Δy→0.這就是說，函數(shù)y=f(x)在點x處是連續(xù)的.定理如果函數(shù)y=f(x)在點x處可導，則函數(shù)在該點處必連續(xù).由定理知,函數(shù)可導必連續(xù)，但是連續(xù)卻不一定可導.第一節(jié)導數(shù)的概念五、可導與連續(xù)的關(guān)系例9:討論函數(shù)y=|x|在點x=0處的連續(xù)性與可導性.解:因為Δy=f(0+Δx)－f(0)=|0+Δx|－|0|=|Δx|,所以即y=|x|在點x=0處連續(xù),而即,所以函數(shù)y=x在點x=0處不可導.第二節(jié)導數(shù)的四則運算定理1

如果函數(shù)u=u(x)與v=v(x)在點x處可導，那么它們的和、差、積、商（除分母為零的點外）都在點x處可導，并且第二節(jié)導數(shù)的四則運算一、導數(shù)的四則運算法則按照導數(shù)定義計算導數(shù)通常比較復雜或不太可行.本節(jié)將介紹一般函數(shù)的求導方法,下面先給出求導的運算法則.法則(1)與法則(2)可推廣到有限多個可導函數(shù)的情形.一、導數(shù)的四則運算法則例1:求下列函數(shù)的導數(shù).解:即第二節(jié)導數(shù)的四則運算注意:secx是正割函數(shù)，且,sec2x=1+tan2x；cscx是余割函數(shù)，且

二、反函數(shù)的導數(shù)定理2若函數(shù)x=φ(y)在區(qū)間Iy內(nèi)單調(diào)、可導,且φ′(y)≠0,則它的反函數(shù)y=f(x)在區(qū)間Ix={x|x=φ(y),y∈Iy}內(nèi)也可導,且有第二節(jié)導數(shù)的四則運算例2:求指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)的導數(shù).解:因為y=ax的反函數(shù)為,所以即(ax)′=axlna.特別地，(ex)′=ex.二、反函數(shù)的導數(shù)例3:求y=arcsinx的導數(shù).解:因為y=arcsinx是x=siny的反函數(shù),x=siny在區(qū)間

內(nèi)單調(diào)、可導,且所以即第二節(jié)導數(shù)的四則運算同理可得二、反函數(shù)的導數(shù)例4:求y=arctanx的導數(shù).解:因為y=arctanx是x=tany的反函數(shù),x=tany在區(qū)間－π2,π2內(nèi)單調(diào)、可導,且

所以即第二節(jié)導數(shù)的四則運算同理可得第三節(jié)復合函數(shù)的導數(shù)復合函數(shù)的求導法則可以推廣到任意有限多個中間變量的情形.下面以兩個中間變量為例，設(shè)y=f(u),u=φ(v),v=ψ(x)都可導,則有第三節(jié)復合函數(shù)的導數(shù)定理若函數(shù)u=φ(x)在點x處可導,函數(shù)y=f(u)在點u=φ(x)處可導,則復合函數(shù)y=f［φ(x)］在點x處可導,且當然，這里假定上式右端所出現(xiàn)的導數(shù)在相應點處都存在.這種復合函數(shù)的求導法則又叫鏈式法則.鏈式法則可以歸納為：“按照復合層次，從外層到內(nèi)層逐層求導.”我們可以把復合函數(shù)的求導過程看作“剝洋蔥”，即由外向內(nèi)一層層剝開.例1：求函數(shù)y=ln（cosx）的導數(shù).解:函數(shù)y=ln（cosx）是由y=lnu和u=cosx復合而成的，因為第三節(jié)復合函數(shù)的導數(shù)所以例2：求函數(shù)

的導數(shù).解:第三節(jié)復合函數(shù)的導數(shù)所以復合函數(shù)求導熟練后，可不必寫出中間變量，直接利用鏈式法則，按照復合的次序，由外向內(nèi)層層求導即可.例3：求函數(shù)

的導數(shù).解:第三節(jié)復合函數(shù)的導數(shù)例4：求函數(shù)

的導數(shù).解:第四節(jié)隱函數(shù)的導數(shù)及對數(shù)求導法一、隱函數(shù)的導數(shù)第四節(jié)隱函數(shù)的導數(shù)及對數(shù)求導法函數(shù)y=f(x)表示變量y與x之間的對應關(guān)系，這種對應關(guān)系有不同的表達方式.例如，y=sinx,等，其特點是：因變量y和含有自變量x的式子分別位于等號的兩邊，此類函數(shù)稱為顯函數(shù).而有些函數(shù)，因變量y與自變量x之間的關(guān)系以方程F(x,y)=0的形式出現(xiàn)，這樣的函數(shù)稱為隱函數(shù)，如ex+y－xy=0，2x－y+1=0等.下面探討隱函數(shù)的求導方法.先把方程F(x,y)=0所確定的隱函數(shù)y=f(x)代入原方程，得到的結(jié)果為恒等式F［x,f(x)］≡0.將這個恒等式的兩邊對x求導，所得結(jié)果也必然相等.但應注意，左端F［x,f(x)］是將y=f(x)代入F(x,y)后所得的結(jié)果，所以當方程F(x,y)=0的兩邊對x求導時，要記住y是x的函數(shù)，然后利用復合函數(shù)的求導法則求導，便可以得到所要求的導數(shù).例1：求由方程xy－ex+ey=0確定的隱函數(shù)的導數(shù)y′.解:方程兩邊同時對x求導.因y是x的函數(shù),由復合函數(shù)的求導法則得y+xy′－ex+eyy′=0，一、隱函數(shù)的導數(shù)第四節(jié)隱函數(shù)的導數(shù)及對數(shù)求導法解出y′,得隱函數(shù)的導數(shù)為例2：求橢圓4x2+y2=8在點(1,－2)處的切線方程.解：方程兩邊分別對x求導.因y是x的函數(shù),得8x+2yy′=0,一、隱函數(shù)的導數(shù)第四節(jié)隱函數(shù)的導數(shù)及對數(shù)求導法解出因此，切線方程為y+2=2(x－1)，即2x－y－4=0.二、對數(shù)求導法第四節(jié)隱函數(shù)的導數(shù)及對數(shù)求導法由于對數(shù)具有化積商為和差的性質(zhì)，所以在有的求導運算中，可以先將函數(shù)取自然對數(shù)，然后利用隱函數(shù)的求導法則求導，這就是所謂的對數(shù)求導法.這是一種特殊的求導法，主要利用對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)及隱函數(shù)的求導思路解決一些復雜函數(shù)的求導問題，如求冪指函數(shù)y=［u(x)］v(x)或多個因子連乘、除、乘方、開方的函數(shù)的導數(shù).例3：求函數(shù)

的導數(shù).解：先對等式兩邊取絕對值，再取對數(shù)，二、對數(shù)求導法第四節(jié)隱函數(shù)的導數(shù)及對數(shù)求導法上式兩邊對x求導，注意到y(tǒng)是x的函數(shù)，得于是例4求函數(shù)y=xx（x>0）的導數(shù).解：等式兩邊同時取對數(shù)，得二、對數(shù)求導法第四節(jié)隱函數(shù)的導數(shù)及對數(shù)求導法上式兩邊對x求導，得于是第五節(jié)高階導數(shù)類似地，二階導數(shù)的導數(shù)稱為三階導數(shù)，記為

；三階導數(shù)的導數(shù)稱為四階導數(shù)，記為.一般地，f(x)的n－1階導數(shù)的導數(shù)稱為f(x)的n階導數(shù)，記為.二階及二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為高階導數(shù).第五節(jié)高階導數(shù)定義若函數(shù)y=f(x)的導數(shù)y′=f′(x)仍是x的可導函數(shù),則稱f′(x)的導數(shù)為f(x)的二階導數(shù),記為由高階導數(shù)的定義知，求函數(shù)y=f(x)的高階導數(shù)，只需連續(xù)多次求導數(shù)即可，因此仍可應用前面的求導方法進行計算.例1：已知函數(shù)f(x)=cos2x,求f″(x),f″(0).解：第五節(jié)高階導數(shù)例2：求指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)的n階導數(shù).解：特別地，第六節(jié)微分一、微分的概念及幾何意義第六節(jié)微分1.微分的概念引例一塊正方形金屬薄片受溫度變化影響時,其邊長由x0變到x0+Δx(見圖3-4),問此薄片的面積改變了多少？前面介紹的導數(shù)是描述函數(shù)在某點處的變化率.有時還需要考慮某點處當自變量有較小改變時，函數(shù)值相應改變量的大小，而要精確計算函數(shù)值的改變量往往很復雜，于是引入微分的概念.一、微分的概念及幾何意義第六節(jié)微分1.微分的概念分析設(shè)此薄片的邊長為x,面積為y,則y=x2,薄片受溫度變化影響時,面積的改變量可看成當自變量x自x0取得增量Δx時,函數(shù)y相應的增量Δy,即Δy=(x0+Δx)2-x02=2x0Δx+(Δx)2.式中,Δy由兩部分組成:第一部分2x0Δx是Δx的線性函數(shù),稱為Δy的線性主部;第二部分(Δx)2是比Δx高階的無窮小,即Δy=2x0Δx+ο(Δx).當|Δx|很小時,(Δx)2可以忽略不計,面積增量Δy可以近似地用2x0Δx來表示,即Δy≈2x0Δx.因為y′=2x，故當|Δx|很小時，有此結(jié)論對于一般的可導函數(shù)也是成立的，稱

為函數(shù)y在點x0處的微分.一、微分的概念及幾何意義第六節(jié)微分1.微分的概念定義設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x0處可導，則稱

為函數(shù)y=f(x)在點x0處的微分,記為,即.此時，稱函數(shù)y=f(x)在點x0處可微.例1：求函數(shù)y=x2在點x=1和x=3處的微分.解：函數(shù)y=x2在點x=1處的微分為函數(shù)y=x2在點x=3處的微分為一、微分的概念及幾何意義第六節(jié)微分1.微分的概念函數(shù)y=f(x)在任意點x處的微分，稱為函數(shù)的微分，記為dy或df(x)，即例2：求函數(shù)y=x2+lnx的微分.解：顯然，函數(shù)的微分

與x和Δx有關(guān).一、微分的概念及幾何意義第六節(jié)微分1.微分的概念例3：求函數(shù)y=x2在x=2,Δx=0.001時的改變量及微分.解：Δy=(x+Δx)2－x2=2.0012－22=0.004001.因為所以一、微分的概念及幾何意義第六節(jié)微分1.微分的概念當函數(shù)y=x時,函數(shù)的微分,即dx=Δx.于是，函數(shù)y=f(x)的微分可以寫成上式兩邊同除以dx,有,即導數(shù)等于函數(shù)的微分與自變量的微分之商.因此，導數(shù)也稱為微商.導數(shù)和微分是密切相關(guān)的，可導函數(shù)一定可微，可微函數(shù)也一定可導.一、微分的概念及幾何意義第六節(jié)微分2.微分的幾何意義如圖3-5所示,點M(x0,y0)是曲線y=f(x)上一點,當自變量x有微小改變量Δx時,得到曲線上的另一點N(x0+Δx,y0+Δy),于是MQ=Δx,NQ=Δy.過點M作曲線的切線MT,其傾角為α,則即dy=QP.由此可知,微分dy是曲線y=f(x)在點M處切線的縱坐標的改變量.當|Δx|很小時,|Δy－dy|比|Δx|小很多,因此在點M附近可用切線段近似代替曲線段,俗稱“以直代曲”.二、微分的基本公式與運算法則第六節(jié)微分由導數(shù)的基本公式與運算法則就可得到微分的基本公式和運算法則.1.微分的基本公式微分的基本公式如表3-2所示.二、微分的基本公式與運算法則第六節(jié)微分由導數(shù)的基本公式與運算法則就可得到微分的基本公式和運算法則.1.微分的基本公式微分的基本公式如表3-2所示.二、微分的基本公式與運算法則第六節(jié)微分2.函數(shù)和、差、積、商的微分運算法則設(shè)函數(shù)u=u(x)和v=v(x)在點x處可微，則二、微分的基本公式與運算法則第六節(jié)微分3.復合函數(shù)的微分法則若u=φ(x)在點x處可導，y=f(u)在點u處可導，則上式稱為微分形式不變性,即不論u是自變量還是中間變量，函數(shù)y=f(u)的微分都具有

的形式.例4：求函數(shù)y=cos(2x+1)的微分.解：三、微分在近似計算中的應用第六節(jié)微分設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù)f′(x0)≠0且|Δx|很小時,有近似公式移項可得例5：計算sin61°的近似值.解：十分感謝你的聆聽授課教師：xxx授課時間：xxx經(jīng)濟數(shù)學JINGJISHUXUE授課教師：xxx授課時間：xxx第一章函數(shù)03導數(shù)與微分02函數(shù)的極限與連續(xù)04導數(shù)的應用第一篇一元函數(shù)微積分CONTENT不定積分定積分第二章第三章第四章第五章第六章第三章導數(shù)的應用第一節(jié)微分中值定理第二節(jié)洛必達法則第三節(jié)函數(shù)的單調(diào)性第四節(jié)函數(shù)的極值與最值第五節(jié)曲線的凹凸性第六節(jié)導數(shù)在經(jīng)濟中的應用【案例導入】在城市的郊區(qū)有一個采沙場，按照正常的進度，采沙場每個月的產(chǎn)量可以達到x（t），如果按照市場價格，每噸沙土的價格是n元，如果利用數(shù)學公式可以列出產(chǎn)量與價格之間的關(guān)系式為n=24200－15x2，而且已經(jīng)知道開采沙土x（t）的成本為m，成本和產(chǎn)量的關(guān)系式為m=50000+200x，采沙場為了獲得更大利潤，每個月的產(chǎn)量應該為多少？最大利潤是多少？第一節(jié)微分中值定理第一節(jié)微分中值定理一、羅爾定理定理1（羅爾定理）若函數(shù)y=f(x)滿足（1）在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù);（2）在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導;（3）f(a)=f(b).則至少存在一點ξ∈(a,b),使得f′(ξ)=0.微分中值定理在微積分理論中占有重要地位，它建立了函數(shù)與導數(shù)之間的聯(lián)系，提供了導數(shù)應用的基礎(chǔ)理論依據(jù).本節(jié)介紹羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理,這三個定理統(tǒng)稱為微分中值定理.羅爾定理的幾何意義為:若連續(xù)曲線除端點外處處都有不垂直于x軸的切線,且端點的函數(shù)值相等,則曲線上至少存在一點,過該點的切線平行于x軸(見圖4-1).一、羅爾定理第一節(jié)微分中值定理例1：驗證羅爾定理對函數(shù)f(x)=2x2－x－3在區(qū)間

上的正確性，并求出羅爾定理結(jié)論中的ξ.解:由初等函數(shù)的連續(xù)性知，函數(shù)f(x)=2x2－x－3在－1,32上連續(xù)，又f′(x)=4x－1在

內(nèi)存在，且

，所以f(x)在

上滿足羅爾定理的條件.一、羅爾定理第一節(jié)微分中值定理例2：不用求函數(shù)f(x)=(x－1)(x－2)(x－3)的導數(shù)，說明f′(x)=0有幾個實根.解：函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞,+∞)內(nèi)可導，并且滿足f(1)=f(2)=f(3)=0.于是f(x)在區(qū)間［1,2］和［2,3］上分別滿足羅爾定理的三個條件.因此，由羅爾定理推出f′(x)在開區(qū)間(1,2)和(2,3)上各至少存在一點ξ1和ξ2，使得f′(ξ1)=0和f′(ξ2)=0.f′(x)為二次多項式，至多有兩個實根.所以恰好f′(x)有兩個實根分別在(1,2)和(2,3)內(nèi).第一節(jié)微分中值定理二、拉格朗日中值定理定理2（拉格朗日中值定理）若函數(shù)y=f(x)滿足（1）在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù);（2）在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導.則至少存在一點ξ∈(a,b),使得上式稱為拉格朗日中值公式.顯然，羅爾定理是拉格朗日中值定理在f(a)=f(b)時的特殊情況.拉格朗日中值定理的幾何意義:若連續(xù)曲線除端點外處處都有不垂直于x軸的切線,則曲線上至少存在一點,使該點處曲線的切線平行于過兩端點的直線(見圖4-2).第一節(jié)微分中值定理二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理在微分學中的應用非常廣泛，下面介紹兩個推論.推論1

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上可導,且f′(x)≡0,則f(x)在區(qū)間I上是一個常數(shù).推論2

設(shè)f(x)與g(x)都在區(qū)間I上可導,且f′(x)=g′(x),則f(x)=g(x)+C（C為常數(shù)）.例3：驗證函數(shù)f(x)=x3+3x在區(qū)間［－2,3］上滿足拉格朗日中值定理的條件，并求ξ的值.解:由初等函數(shù)的連續(xù)性可知，f(x)=x3+3x在區(qū)間［－2,3］上連續(xù)，又f′(x)=3x2+3在(－2,3)內(nèi)存在，所以函數(shù)f(x)=x3+3x在區(qū)間［－2,3］上滿足拉格朗日中值定理的條件.由拉格朗日中值定理，得即第一節(jié)微分中值定理例4：證明：當x>0時，證明：令

，因f(x)在(0,+∞)內(nèi)可導，并且故f(x)≡C.二、拉格朗日中值定理特別地，取x=1，得因此，當x>0時，第一節(jié)微分中值定理三、柯西中值定理定理3（柯西中值定理）若函數(shù)f(x),F(x)滿足（1）在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù);（2）在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導,且F′(x)≠0.則至少存在一點ξ∈(a,b),使得易知，拉格朗日中值定理是柯西中值定理當F(x)=x時的特殊形式.第二節(jié)洛必達法則第二節(jié)洛必達法則一、

型未定式定理1（洛必達法則Ⅰ）若函數(shù)f(x)和g(x)滿足條件：注意：將洛必達法則Ⅰ中的x→x0改為x→∞或其他極限過程，結(jié)論同樣成立.例1：求

的極限.解：當x→0時，ln(1+x)→0，此極限屬于

型未定式，由洛必達法則Ⅰ得一、

型未定式第二節(jié)洛必達法則例2：求

的極限.解：當x→0時，

，此極限屬于

型未定式，由洛必達法則Ⅰ得一、

型未定式第二節(jié)洛必達法則注意：若用了一次洛必達法則Ⅰ之后，

仍是

型未定式，且仍滿足洛必達法則Ⅰ的條件，則可以繼續(xù)運用洛必達法則Ⅰ.例3：求的極限.解：當x→0時，x－sinx→0，x3→0，此極限屬于

型未定式，由洛必達法則Ⅰ得一、

型未定式第二節(jié)洛必達法則仍為

型未定式，繼續(xù)使用洛必達法則Ⅰ，得例4：求的極限.解當x→0時，ex－e－x－2x→0，x－sinx→0，此極限屬于

型未定式，由洛必達法一、

型未定式第二節(jié)洛必達法則第二節(jié)洛必達法則二、型未定式定理2（洛必達法則Ⅱ）若函數(shù)f(x)和g(x)滿足條件：注意：（1）將洛必達法則Ⅱ中的x→x0改為x→∞或其他極限過程，結(jié)論同樣成立.（2）若用了一次洛必達法則Ⅱ之后，

仍是型未定式，且仍滿足洛必達法則Ⅱ的條件，則可以繼續(xù)運用洛必達法則Ⅱ.例5：求的極限.解：當x→+∞時，

此極限屬于型未定式，由洛必達法則Ⅱ得第二節(jié)洛必達法則二、型未定式例6：求的極限.解：當x→+∞時，

此極限屬于型未定式，由洛必達法則Ⅱ得第二節(jié)洛必達法則二、型未定式例6：求的極限.解：當x→+∞時，

此極限屬于型未定式，由洛必達法則Ⅱ得第二節(jié)洛必達法則二、型未定式第二節(jié)洛必達法則三、其他類型未定式除了

型和型兩種基本未定式外，還有0·∞,∞－∞,00,1∞,∞0型未定式,它們都可以經(jīng)過適當變形化為

型或型未定式后，再應用洛必達法則求解.1.0·∞型未定式求解步驟：例8：求解:第二節(jié)洛必達法則三、其他類型未定式2.∞－∞型未定式求解步驟：例9：求解:第二節(jié)洛必達法則三、其他類型未定式3.00,1∞,∞0型未定式求解步驟：例10：求解:設(shè)y=xx，兩邊取對數(shù)得

當x→0+時為0·∞型未定式，由洛必達法則得取對數(shù)第三節(jié)函數(shù)的單調(diào)性首先從函數(shù)

的圖形上進行直觀的分析.如圖4-3（a）所示，函數(shù)

在區(qū)間(a,b)上單調(diào)增加，其圖形在(a,b)內(nèi)是一條沿x軸正向上升的曲線，在曲線上的各點處作切線，可以看出切線的斜率非負，即≥0；如圖4-3（b）所示，函數(shù)

在區(qū)間(a,b)上單調(diào)減少，其圖形在(a,b)內(nèi)是一條沿x軸正向下降的曲線，在曲線上的各點處作切線，可以看出切線的斜率非正，即≤0.第三節(jié)函數(shù)的單調(diào)性一、函數(shù)單調(diào)性的判定方法單調(diào)性是函數(shù)的一個重要特征.從圖形上看，單調(diào)性表現(xiàn)為曲線的上升或下降，經(jīng)濟學中常常研究函數(shù)的升降關(guān)系.例如，商品價格的上漲往往會引起市場需求的減少和供應的增加，居民收入的增長會使社會購買力增強，銀行利率的提高會增強人們的儲蓄欲望等.這些現(xiàn)象都可以用數(shù)學上的單調(diào)性來表示.那么，反過來結(jié)論是否成立呢？為此，給出如下定理.定理設(shè)函數(shù)

在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導,則有(1)若在(a,b)內(nèi)>0,則函數(shù)f(x)在［a,b］上單調(diào)增加;(2)若在(a,b)內(nèi)<0,則函數(shù)f(x)在［a,b］上單調(diào)減少．第三節(jié)函數(shù)的單調(diào)性一、函數(shù)單調(diào)性的判定方法注意：若把定理中的閉區(qū)間換成其他各種區(qū)間,結(jié)論仍然成立；把>0與<0分別換成≥0與≤0（等號只在個別點處成立），結(jié)論也仍然成立.例1：判定函數(shù)f(x)=3x2－x3的單調(diào)區(qū)間.解:函數(shù)的定義域為(－∞,+∞)，=6x－3x2=3x(2－x).令f′(x)=0，得x1=0,x2=2.點x1=0,x2=2把定義域分成三個小區(qū)間，列表（見表4-1）討論.所以，函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞,0)和(2,+∞)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞增.第三節(jié)函數(shù)的單調(diào)性一、函數(shù)單調(diào)性的判定方法觀察函數(shù)在單調(diào)區(qū)間分界點處的導數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)y=x2在點x=0處的導數(shù)為0，y=|x|在點x=0處不可導（即導數(shù)不存在）.一般地，函數(shù)f(x)在單調(diào)區(qū)間的分界點處，要么導數(shù)等于0［使=0的點稱為該函數(shù)的駐點］，要么導數(shù)不存在.確定函數(shù)單調(diào)性的步驟如下.（1）求函數(shù)的定義域.（2）求.令=0，求出

的根及

不存在的點.（3）用這些點將函數(shù)的定義域分成若干區(qū)間，在這些區(qū)間內(nèi)判別

的符號.（4）根據(jù)

的符號確定函數(shù)

的單調(diào)性.第三節(jié)函數(shù)的單調(diào)性二、確定函數(shù)單調(diào)性的步驟例2：討論函數(shù)

的單調(diào)性．解:函數(shù)的定義域為(－∞,+∞).因為

，令y′=0，得x1=－1,x2=1，另有不可導點x3=0.上述三個點將定義域分成四個小區(qū)間，列表(見表4-2)討論如下.所以，函數(shù)

在（－1,0）和（1,+∞)內(nèi)單調(diào)增加，在(－∞,－1）和（0,1）內(nèi)單調(diào)減少.第三節(jié)函數(shù)的單調(diào)性二、確定函數(shù)單調(diào)性的步驟例3：消費品的需求量y與消費者收入x有關(guān)，在忽略其他因素的前提下，把需求僅看成收入的函數(shù)y=f(x)，在經(jīng)濟學文獻中被稱為恩格爾函數(shù)，其最簡單的形式為y=Axb，其中A>0,b為常數(shù).討論y的單調(diào)性.解:y′=Abxb－1，因為x>0,A>0，所以若b>0，則y′>0,y單調(diào)增加；反之y單調(diào)減少.從經(jīng)濟學的角度來理解，收入越高，購買力越強，正常情況下對應商品的需求量也越大，此時恩格爾函數(shù)為增函數(shù)；若收入增加，對商品的需求量反而減少，只能說明該商品的質(zhì)量有問題或消費者根本就不需要.一般來說，若商品的恩格爾函數(shù)為y=Axb，則當b>0時，該商品是正常消費品.第三節(jié)函數(shù)的單調(diào)性二、確定函數(shù)單調(diào)性的步驟第四節(jié)函數(shù)的極值與最值第四節(jié)函數(shù)的極值與最值日常生活和經(jīng)濟管理中的許多問題都可以歸結(jié)為極值或最值問題.本節(jié)將討論函數(shù)的極值及其導數(shù)之間的關(guān)系，從而提供求函數(shù)極值或最值的方法.一、極值的定義函數(shù)的極值是指函數(shù)的“局部最值”.從圖4-4中不難看出，點x1附近任何一點的函數(shù)值都比f(x1)要小，而點x2附近任何一點的函數(shù)值都比f(x2)要大.下面給出函數(shù)極值的一般性定義.第四節(jié)函數(shù)的極值與最值一、極值的定義定義設(shè)函數(shù)f(x)在點x0的某個鄰域內(nèi)