慣性載荷作用下的準(zhǔn)則法拓?fù)鋬?yōu)化方法

慣性載荷作用下的準(zhǔn)則法拓?fù)鋬?yōu)化方法

1慣性載荷作用下結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)的應(yīng)用結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)是指在給定空間內(nèi)獲得的最佳材料分布。這是目前最具挑戰(zhàn)的研究領(lǐng)域之一。目前,常用的拓?fù)鋬?yōu)化方法有均勻化方法、變密度法SIMP、雙向進(jìn)化方法BESO等。均勻化方法慣性載荷是航天器在發(fā)射和再入階段必須考慮的載荷工況,在該運(yùn)行階段航天器速度和加速度都在馬赫量級(jí)。典型的實(shí)例有超音速飛行的運(yùn)載火箭、導(dǎo)彈、航天飛機(jī)等。這些飛行器的關(guān)鍵承力結(jié)構(gòu)不僅要有足夠的強(qiáng)度剛度,還要盡可能輕。結(jié)構(gòu)自重也是慣性載荷的表現(xiàn)形式之一,航天器靜載必然受到自重的作用,同樣需要分析研究?？傊?研究慣性載荷作用下結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題具有非常重要的理論價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值。慣性載荷作用下結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化是一個(gè)載荷相關(guān)的優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題。早期拓?fù)鋬?yōu)化研究主要集中在載荷不隨優(yōu)化迭代過(guò)程變化的情況,隨著研究領(lǐng)域的拓展,慣性力的拓?fù)鋬?yōu)化研究逐漸進(jìn)入人們的視野。文獻(xiàn)優(yōu)化準(zhǔn)則法是優(yōu)化設(shè)計(jì)中最有效的優(yōu)化數(shù)值求解算法之一。該方法簡(jiǎn)單、收斂快而且迭代次數(shù)少。本文使用均勻化方法和優(yōu)化準(zhǔn)則法,推導(dǎo)考慮慣性載荷的準(zhǔn)則法迭代公式,并對(duì)準(zhǔn)則法迭代進(jìn)行修正,通過(guò)文獻(xiàn)示例對(duì)本文方法的正確性進(jìn)行驗(yàn)證,最后應(yīng)用本文提出的方法對(duì)火箭橇結(jié)構(gòu)進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。2在不可抗拒的情況下，優(yōu)化模型和基準(zhǔn)法2.1材料的彈性模量和微結(jié)構(gòu)的力學(xué)分析在進(jìn)行復(fù)合材料力學(xué)行為分析時(shí),由于復(fù)合材料的高度異質(zhì)性,迫使研究者假想一個(gè)無(wú)限小、具有周期性的微結(jié)構(gòu),用該微結(jié)構(gòu)幾何特性的變化等效描述宏觀結(jié)構(gòu)物理特性的變化,如圖1所示,該微結(jié)構(gòu)稱為單胞。單胞的力學(xué)性能(彈性模量、密度等)遵循如下方程,即式中:Φ可表示材料的彈性模量、密度、位移、應(yīng)力等;ε為一個(gè)非常小的正數(shù),表示一個(gè)單胞與整個(gè)結(jié)構(gòu)體的尺度大小之比。用均勻化方法對(duì)周期性復(fù)合材料中典型的單胞進(jìn)行分析,可得復(fù)合材料的等效彈性模量為式中:|Y|為單胞的體積;χ為單胞微觀特征位移場(chǎng)。在進(jìn)行結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化時(shí),引入上述均勻化思想,采用有限元方法將連續(xù)體離散成長(zhǎng)方形帶孔洞的單元結(jié)構(gòu),如圖2所示。以孔洞長(zhǎng)度a2.2優(yōu)化數(shù)學(xué)模型設(shè)拓?fù)鋬?yōu)化的設(shè)計(jì)空間為?其中:Z為設(shè)計(jì)變量,Z={z本文以結(jié)構(gòu)剛度最大化(柔度最小化)為優(yōu)化目標(biāo),以結(jié)構(gòu)的體積為優(yōu)化約束條件,使用均勻化方法優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型表述如下其中:U為結(jié)構(gòu)的位移向量;K為結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣;F對(duì)2D單胞模型構(gòu)造拉格朗日方程,即其中Λ、λ均為拉格朗日乘子。在優(yōu)化過(guò)程中,設(shè)計(jì)變量的值如果低于下限則取下限值,若高于上限則取上限值,此時(shí)λ由KKT條件有式(6)中目標(biāo)函數(shù)對(duì)設(shè)計(jì)變量的敏度為將式(7)式代入式(6)得令λ=-2U,則式(8)簡(jiǎn)化為在單元尺度下,式(9)改寫為式(10)兩邊同除以-Λ(-b式(11b)稱為迭代算子。同理,對(duì)設(shè)計(jì)變量2.3迭代過(guò)程中靈敏度修正與通常拓?fù)鋬?yōu)化中只有呆載荷作用的工況不同,在考慮慣性載荷的結(jié)構(gòu)靈敏度迭代式中,式(11b)中多了(2u為了解決慣性載荷引起的結(jié)構(gòu)靈敏度非單調(diào)性問(wèn)題,本文對(duì)慣性力部分靈敏度的計(jì)算進(jìn)行了修正對(duì)式(12b)也可作相同的處理。式(13)對(duì)慣性力部分靈敏度計(jì)算的修正貫穿于整個(gè)優(yōu)化迭代過(guò)程。事實(shí)上,在拓?fù)鋬?yōu)化的初期階段:若目標(biāo)函數(shù)值變化大,慣性力項(xiàng)引起的振蕩幅度較大,需要對(duì)式(13)中第一項(xiàng)值的大小進(jìn)行限制,減小此項(xiàng)的影響;若目標(biāo)函數(shù)值變化不大時(shí),慣性力項(xiàng)引起的振蕩幅度小,則不需要對(duì)式(13)中第一項(xiàng)的值進(jìn)行限制,這樣也符合式(11b)和式(12b)的要求。為此本文在式(13)的基礎(chǔ)上,結(jié)合目標(biāo)函數(shù)變化情況,將式(13)進(jìn)一步修正為式中μ按下式取值式中:k為迭代次數(shù);ν為目標(biāo)函數(shù)的相對(duì)變化量,按經(jīng)驗(yàn)取值。數(shù)值經(jīng)驗(yàn)表明ν較合適的取值范圍為0.01～0.1。2.4移動(dòng)極限因子更新在優(yōu)化迭代過(guò)程中,為了保證設(shè)計(jì)變量穩(wěn)定、平緩變化,引入阻尼因子ζ(0<ζ<1)和移動(dòng)極限因子m(0<m<1),則式(11)和式(12)的迭代更新算式可表示為3抗彎能力優(yōu)化計(jì)算的示例分析算例模型如圖3所示3.1結(jié)構(gòu)靈敏度計(jì)算式驗(yàn)證承受自重工況下的優(yōu)化結(jié)果如圖4所示。圖4(a)為按式(14)～(17)進(jìn)行優(yōu)化迭代的結(jié)果,圖5為其優(yōu)化迭代過(guò)程曲線。圖4(b)為按式(11)、式(12)、式(16)、式(17)進(jìn)行優(yōu)化迭代的結(jié)果。由圖4(a)與圖4(b)可知,修正后的結(jié)構(gòu)靈敏度計(jì)算式使優(yōu)化結(jié)果更為緊湊,而對(duì)結(jié)構(gòu)靈敏度計(jì)算式不作修正時(shí)優(yōu)化結(jié)果出現(xiàn)結(jié)構(gòu)中空現(xiàn)象。本文優(yōu)化結(jié)果與文獻(xiàn)3.2材料的優(yōu)化結(jié)果整體結(jié)構(gòu)承受水平方向加速度時(shí)(a=9.8m/s圖6的優(yōu)化結(jié)果去除了設(shè)計(jì)區(qū)域的大部分材料。由圖6可知:水平方向的慣性力對(duì)結(jié)構(gòu)的拓?fù)湫螤钣绊懕容^小,對(duì)準(zhǔn)則法迭代乘子計(jì)算式作修正和不作修正的結(jié)果相差不大。3.3不同載荷對(duì)拓?fù)湫螤畹挠绊懻w結(jié)構(gòu)承受自身重力(a=9.8m/s由圖8結(jié)果可知,兩個(gè)方向載荷對(duì)優(yōu)化起作用大小不同,自重載荷對(duì)拓?fù)湫螤钣绊懯冀K比較大,水平方向載荷始終比較小。優(yōu)化結(jié)果的拓?fù)湫螤钆c自重拓?fù)湫螤詈芙咏?迭代過(guò)程曲線亦是如此。下一節(jié)實(shí)例優(yōu)化使用式(14)修正迭代乘子進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算。4幾何模型的建立火箭橇是一種在火箭滑軌上運(yùn)行的特殊結(jié)構(gòu),其結(jié)構(gòu)需要承載火箭發(fā)動(dòng)機(jī)、待試驗(yàn)件、試驗(yàn)控制、測(cè)量?jī)x器。結(jié)構(gòu)運(yùn)行速度在音速和超音速范圍之間,結(jié)構(gòu)運(yùn)行時(shí)間極短,在幾秒至十幾秒;運(yùn)行軌道平直,不帶彎道。本文取橇體某一橫截面進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。對(duì)該實(shí)例建立幾何模型和有限元模型,分別如圖10和圖11所示。將安裝發(fā)動(dòng)機(jī)區(qū)域(下部深色圓柱形區(qū))簡(jiǎn)化為質(zhì)量不變的固定質(zhì)量區(qū)域;將安裝待試驗(yàn)件區(qū)域(上部淺色圓柱形區(qū))也簡(jiǎn)化為質(zhì)量不變區(qū)域。同時(shí),需要保證橇體和滑軌的連接區(qū)域,把橫截面兩底端(兩底端深色方形區(qū))也簡(jiǎn)化為質(zhì)量不變區(qū)域。在拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)過(guò)程中,這些區(qū)域?yàn)榉窃O(shè)計(jì)區(qū)域。火箭橇整體結(jié)構(gòu)在運(yùn)行過(guò)程中,必然受到自身重力,在自重方向取加速度a=9.8m/s圖12和圖13分別為工程實(shí)例的自重載荷作用和自重、軸向雙向載荷作用的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果。優(yōu)化結(jié)果符合結(jié)構(gòu)分別受到重力和運(yùn)行軸向慣性載荷的承載拓?fù)錁?gòu)型。5準(zhǔn)則法迭代算子的修正本文基于均勻化優(yōu)化方法和準(zhǔn)則優(yōu)化方法,推導(dǎo)了考慮慣性載荷的準(zhǔn)則法迭代計(jì)算公式;為了保證在拓?fù)鋬?yōu)化迭代中收斂到最優(yōu)解,根據(jù)計(jì)算過(guò)程中目標(biāo)函數(shù)變化的特點(diǎn),引入了靈敏度過(guò)濾函數(shù),對(duì)準(zhǔn)則法迭代中涉及的慣性載荷敏度計(jì)算部分進(jìn)行了修正。通過(guò)典型的算例研究表明:修正的準(zhǔn)則法迭代算子可以保證迭代過(guò)程平穩(wěn)且獲得最佳的拓?fù)錁?gòu)型。本文得到的拓?fù)錁?gòu)型與采用SIMP和BESO方法得到的拓樸構(gòu)型基本一致,說(shuō)明本文提出的方法是可行的。最后利用本