2021-2023高考數(shù)學(xué)真題匯編：四、立體幾何（含答案解析）

四、立體幾何——三年（2021-2023）高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新真題精編1.【2023年全國乙卷文科】已知點(diǎn)S，A，B，C均在半徑為2的球面上，是邊長為3的等邊三角形，平面ABC，則__________.2.【2023年全國甲卷理科】在正方體中，E，F(xiàn)分別為AB，的中點(diǎn).以EF為直徑的球的球面與該正方體的棱共有_________個公共點(diǎn).3.【2023年新課標(biāo)Ⅰ卷】如圖，在正四棱柱中，，.點(diǎn)，，，分別在棱，，，上，，，.(1)證明：；(2)點(diǎn)P在棱上，當(dāng)二面角為時，求.4.【2022年北京卷】已知正三棱錐的六條棱長均為6，S是及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合，設(shè)集合，則T表示的區(qū)域的面積為()A. B. C. D.5.【2022年浙江卷】某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積（單位：）是()A. B. C. D.6.【2022年上海卷】如圖，正方體中，P，Q，R，S分別為棱，，，的中點(diǎn)，連接，.對于空間任意兩點(diǎn)M，N，若線段MN上不存在點(diǎn)在線段，上，則稱M，N兩點(diǎn)可視.則下列選項中與點(diǎn)可視的為()A.點(diǎn)P B.點(diǎn)B C.點(diǎn)R D.點(diǎn)Q7.【2022年全國甲卷文科】在長方體中，已知與平面ABCD和平面所成的角均為30°，則()A. B.AB與平面所成的角為30°C. D.與平面所成的角為45°8.【2022年全國乙卷理科】已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為O，底面的四個頂點(diǎn)均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時，其高為()A. B. C. D.9.【2021年新高考Ⅰ卷】已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上，若該球的體積為36π，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是()A. B. C. D.

答案以及解析1.答案：2解析：如圖，設(shè)的外接圓圓心為，連接，因為是邊長為3的等邊三角形，所以其外接圓半徑.將三棱錐補(bǔ)形為正三棱柱，由題意知SA為側(cè)棱，設(shè)球心為O，連接，，則平面ABC，且.又球的半徑，，所以，得.解法二：如圖，設(shè)的外接圓圓心為，連接，因為是邊長為3的等邊三角形，所以其外接圓半徑.設(shè)三棱錐的外接球球心為O，連接，則平面ABC.又平面ABC，所以，連接OS，OA，由題意知.過O作SA的垂線，設(shè)垂足為H，則四邊形為矩形，所以，由可知H為SA的中點(diǎn)，則.所以在中，由勾股定理可得，即，得.2.答案：12解析：如圖，線段EF過正方體的中心，所以以EF為直徑的球的球心即正方體的中心，球的半徑為，而正方體的中心到每一條棱的距離均為，所以以EF為直徑的球與每一條棱均相切，所以共有12個公共點(diǎn).3.答案：(1)證明見解析(2)解析：(1)解法一：依題意，得，所以.解法二：以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，所以，所以.(2)建立空間直角坐標(biāo)系，建系方法同(1)中解法二，設(shè)，則，所以，，設(shè)平面的法向量為，所以，則，令，得.設(shè)平面的法向量為，由(1)解法二知，，，所以，則，令，得.所以，整理得，解得或，所以或，所以.4.答案：B解析：設(shè)O為的中心，連接PO，AO，在正三角形ABC中，，在中，，當(dāng)時，連接OQ，根據(jù)勾股定理可得，易知Q的軌跡是圓心為O，半徑為1的圓，由于集合，故集合T表示的區(qū)域是圓心為O，半徑為1的圓及其內(nèi)部，其面積為，故選B.5.答案：C解析：由三視圖知，該幾何體是由半球體、圓柱體、圓臺組合而成的，其中半球的半徑為1，圓柱的底面半徑為1，高為2，圓臺的上、下底面的半徑分別為1和2，高為2，所以該幾何體的體積為，故選C.6.答案：D解析：設(shè)與點(diǎn)可視的點(diǎn)為G，依題意線段上不存在點(diǎn)在線段，上.當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)P重合時，即，與線段相交，A錯誤；當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)B重合時，即，與線段相交，B錯誤；當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)R重合時，即，與線段相交，C錯誤；當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)Q重合時，即，與線段，均異面，故選D.7.答案：D解析：如圖，連接BD，易知是直線與平面ABCD所成的角，所以在中，，設(shè)，，.易知是直線與平面所成的角，所以在中，，因為，所以，，所以在中，，所以A項錯誤.易知是直線AB與平面所成的角，所以在中，，所以，所以B項錯誤.在中，，而，所以C項錯誤.易知是直線與平面所成的角，因為在中，，所以，所以D項正確.故選D.8.答案：C解析：解法一（特殊法）不妨設(shè)四棱錐的底面是正方形，邊長為a，底面正方形外接樹的半徑為r，則，四棱錐的高，所以四棱錐的體積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，此時四棱錐的高，故選C.解法二（導(dǎo)數(shù)法）設(shè)四棱錐的底面是正方形，底面正方形外接圓的半徑為r，四棱錐的高為h，則，，正方形的邊長為，所以四棱錐的體積.令，則，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取得最大值，所以當(dāng)四棱錐的體積最大時，其高為，故選C.解法三（轉(zhuǎn)化法）該四棱錐的體積最大即以底面截球的圓面和頂點(diǎn)O組成的圓錐體積最大，設(shè)圓錐的高為h（），底面半徑為r，則圓錐的體積，則，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，四棱錐的體積最大，故選C.9.答案：C解析：通解：如圖，設(shè)該球的球心為O，半徑為R，正四棱錐的底邊長為a，高為h，依題意，得，解得.由題意及圖可得，解得，所以正四棱錐的體積，所以，令，得，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以該正四棱錐的體積的取值范圍是.故選C.光速解：如圖，設(shè)該球的球心為O，半徑為R，正四棱錐的底邊長為a，高為h，依題意，得，解得.由題意及圖可得，解得，又，所以該正四棱錐的體積（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號），所以正四棱錐的體積的最大值為，排除A,B,D，故選C.優(yōu)美解：如圖，設(shè)該球的半徑為R，球心為O，正四棱錐的底邊長為a，高為h，正四棱錐的側(cè)棱與高所成的角為，依題意，得，解得，所以正四棱錐的底邊長，高.在中，作，