新教材高中數(shù)學(xué)第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)本章小結(jié)學(xué)案（含解析）

第一章集合與常用邏輯本章小結(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解集合之間包含與相等的含義,能識(shí)別給定集合的子集;在具體情境中了解全集與空集的含義;2.理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義,能求兩個(gè)簡(jiǎn)單集合的并集與交集;理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義,能求給定子集的補(bǔ)集;能使用維恩圖表達(dá)集合間的基本關(guān)系及集合的基本運(yùn)算,體會(huì)圖形對(duì)理解抽象概念的作用;3.通過對(duì)典型數(shù)學(xué)命題的梳理,理解必要條件的意義,理解性質(zhì)定理與必要條件的關(guān)系;理解充分條件的意義,理解判定定理與充分條件的關(guān)系;理解充要條件的意義,理解數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系;4.通過已知的數(shù)學(xué)實(shí)例,理解全稱量詞與存在量詞的意義;能正確使用存在量詞對(duì)全稱命題進(jìn)行否定;能正確使用全稱量詞對(duì)存在性命題進(jìn)行否定.自主預(yù)習(xí)1.(多選題)下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.{x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}B.若{x2,1}={0,1},則x=0或x=1C.對(duì)于任意兩個(gè)集合A,B,關(guān)系(A∩B)?(A∪B)恒成立D.含有n個(gè)元素的集合有2n個(gè)真子集2.(多選題)下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.若已知p:x>1和q:x≥1,則p是q的充分不必要條件B.“長(zhǎng)方形的對(duì)角線相等”是存在性命題C.當(dāng)q是p的必要條件時(shí),p是q的充分條件D.p:?x∈R,x2≥-1;p:?x∈R,x2≤-1.3.已知區(qū)間A=(-3,1),B=[-2,3],則A∩B=,A∪B=.

4.若命題p:?a∈R,一次函數(shù)y=x+a的圖像經(jīng)過原點(diǎn),則p:;是命題.(填“真”或“假”)

課堂探究典例剖析,探究深化例1已知集合A={x|-3<x<2},B={x|0≤x<5},C={x|x<m},全集為R.(1)求A∩(?RB);(2)若(A∪B)?C,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.變式訓(xùn)練已知集合A={x|-3≤x≤5},B={x|m+1<x<2m-1},C={x∈Z|x∈A或x∈B},(1)當(dāng)m=3時(shí),用列舉法表示出集合C;(2)若A∩B=B,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.歸納小結(jié):例2已知P={x|-2≤x≤10},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈S的必要條件,求m的取值范圍.【探究1】本例條件不變,若x∈P是x∈S的必要不充分條件,求m的取值范圍.【探究2】本例條件不變,若x∈P的必要條件是x∈S,求m的取值范圍.【探究3】本例條件不變,問是否存在實(shí)數(shù)m,使x∈P是x∈S的充要條件?并說(shuō)明理由.歸納小結(jié):自主總結(jié),形成網(wǎng)絡(luò)總結(jié)——交流——完善,得到本章的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖:核心素養(yǎng)專練1.已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},則B∩?UA=()A.{1,6} B.{1,7}C.{6,7} D.{6}2.已知集合A={x|0≤x≤2},B={x|x≤a},若A?B,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.[2,+∞) B.(2,+∞)C.(-∞,0) D.(-∞,0]3.已知集合A={1,3,m},B={1,m},A∪B=A,則m=()A.0或3 B.0或3C.1或3 D.1或34.(多選題)下列有關(guān)命題的說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A.?x0∈R,sinx0+cosx0=2B.“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分條件C.命題“?x∈R,使得x2+x-1<0”的否定是“?x∈R,有x2+x-1≥0”D.命題“?x<0,(x-1)(x+2)<0”的否定是“?x0≥0,(x0-1)(x0+2)≥0”參考答案自主預(yù)習(xí)1.ABD2.BD3.[-2,1)(-3,3]4.?a∈R,一次函數(shù)y=x+a的圖像不經(jīng)過原點(diǎn)假.課堂探究典例剖析,探究深化:例1解:(1)?RB={x|x<0或x≥5};∴A∩?RB={x|-3<x<0}.(2)A∪B={x|-3<x<5},∵(A∪B)?C,∴m≥5.∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為[5,+∞).變式訓(xùn)練解:(1)當(dāng)m=3時(shí),B={x|4<x<5},∴C={x∈Z|-3≤x≤5或4<x<5}={-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5}.(2)∵A∩B=B,∴B?A,當(dāng)B=?時(shí),m+1≥2m-1,即m≤2;當(dāng)B≠?時(shí),m+1<2m-1,即m>2,易得m+1≥3,2m綜上,得實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-∞,3].例2解:∵x∈P是x∈S的必要條件,則S?P.∴1-m≥-2∵S為非空集合,∴1-m≤1+m,解得m≥0.綜上,m的取值范圍是[0,3].【探究1】解:由例知,S?P,∴1-m解得0≤m≤3或0≤m<3,∴0≤m≤3.故m的取值范圍是[0,3].【探究2】解:由例知P={x|-2≤x≤10},若x∈P的必要條件是x∈S,即x∈S是x∈P的必要條件,∴P?S,∴1-m≤1+m,1-m≤-2,1+【探究3】解:由例題知P={x|-2≤x≤10}.若x∈P是x∈S的充要條件,則P=S,∴1-m=-2,自主總結(jié),形成網(wǎng)絡(luò):核心素養(yǎng)專練1.C2.A3.B4.ABD學(xué)習(xí)目標(biāo)通過構(gòu)建第一章知識(shí)網(wǎng)絡(luò),體現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng),從而提高總結(jié)歸納、拓展提升的能力.自主預(yù)習(xí)請(qǐng)大家結(jié)合本章內(nèi)容的學(xué)習(xí),構(gòu)建出本章的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖.課堂探究素養(yǎng)一數(shù)學(xué)抽象例1已知集合a,ba,4={a2,a+3b,0},例2已知A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3},若1∈A,求實(shí)數(shù)a的值.變式訓(xùn)練已知集合A={2,4,x2-5x+9},B={3,x2+ax+a},2∈B,B?A,求實(shí)數(shù)a,x的值.素養(yǎng)二數(shù)學(xué)運(yùn)算例3已知集合A={x||x|<2},B={-2,0,1,2},則A∩B=()A.{0,1} B.{-1,0,1}C.{-2,0,1,2} D.{-1,0,1,2}例4設(shè)全集I=R,已知集合M={-3},N={x|x2+x-6=0}.(1)求N∩(?IM).(2)記集合A=N∩(?IM),已知集合B=[a-1,a+5],a∈R,若A∩B=A,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.素養(yǎng)三邏輯推理例5集合M={x|x=3k-2,k∈Z},P={y|y=3n+1,n∈Z},S={z|z=6m+1,m∈Z}之間的關(guān)系是()A.S?P?M B.S=P?MC.S?P=M D.P=M?S例6寫出下列全稱量詞命題或存在量詞命題的否定,并判斷所得命題的真假:(1)p:空集是任何一個(gè)非空集合的真子集;(2)q:?x∈R,4x2>2x-1+3x2;(3)r:?x∈{-2,-1,0,1,2},|x-2|<2;(4)s:所有圓的圓心到其切線的距離都等于半徑.核心素養(yǎng)專練一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.下列表示正確的是()A.{所有實(shí)數(shù)}=R B.整數(shù)集={Z}C.?={?} D.1∈{有理數(shù)}2.集合A={x|-1≤x≤2},B={x|x<1},則A∪(?RB)=()A.{x|x>1} B.{x|x≥-1}C.{x|1<x≤2} D.{x|1≤x≤2}3.滿足{1}?X?{1,2,3,4}的集合X有()A.4個(gè) B.5個(gè)C.6個(gè) D.7個(gè)4.命題“對(duì)任意x∈R,都有x2≥1”的否定是()A.對(duì)任意x∈R,都有x2<1B.不存在x∈R,使得x2<1C.存在x∈R,使得x2≥1D.存在x∈R,使得x2<15.命題“?x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是()A.?x∈R,x3-x2+1<0B.?x∈R,x3-x2+1≥0C.?x∈R,x3-x2+1>0D.?x∈R,x3-x2+1≤06.“a=-1”是“函數(shù)y=ax2+2x-1與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)”的()A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件7.a2>b2的一個(gè)充分條件是()A.a>b B.a<bC.a=b D.a=2,b=18.下列命題中,真命題是()A.若x,y∈R,且x+y>2,則x,y至少有一個(gè)大于1B.?x∈R,2x>x2C.a+b=0的充要條件是ab=-D.?x∈R,x2+2≤09.一元二次方程ax2+4x+3=0(a≠0)有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根的充分不必要條件是()A.a<0 B.a>0 C.a<-1 D.a>110.已知集合A={x|x>2},B={x|x<2m},且A??RB,那么m的值可以是()A.1 B.2 C.3 D.411.若集合A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|5≤x≤16},則能使A?B成立的所有a組成的集合為()A.{a|2≤a≤7} B.{a|6≤a≤7}C.{a|a≤7} D.?12.滿足“閉合開關(guān)K1”是“燈泡R亮”的充要條件的電路圖是()二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.把答案填在題中橫線上)13.設(shè)全集U=R,集合A={x|x<0},B={x|x>1},則A∪(?UB)=.

14.命題“?1≤x≤2,使x2-a≥0”是真命題,則a的取值范圍是.

15.設(shè)集合A={x|0<x<1},B={x|0<x<3},那么“m∈A”是“m∈B”的條件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)

16.定義集合運(yùn)算:A☉B(tài)={z|z=xy(x+y),x∈A,y∈B}.設(shè)集合A={0,1},B={2,3},則集合A☉B(tài)的所有元素之和為.

三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟)17.(本小題滿分10分)判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題,并寫出它們的否定:(1)p:對(duì)任意的x∈R,x2+x+1=0都成立;(2)p:?x∈R,x2+2x+5>0.18.(本小題滿分12分)已知A={x|-2<x<3},B={x|-3<x≤3},求?RA,?R(A∩B),(?RA)∩B.19.(本小題滿分12分)判斷下列各題中的條件p是結(jié)論q的什么條件.(1)條件p:a,b∈R,a+b>0,結(jié)論q:ab>0;(2)條件p:A?B,結(jié)論q:A∪B=B.20.(本小題滿分12分)已知集合A={x|1<x<3},集合B={x|2m<x<1-m}.(1)當(dāng)m=-1時(shí),求A∪B;(2)若A?B,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.21.(本小題滿分12分)已知集合A={x|2<x<4},B={x|a<x<3a},且B≠?.(1)若x∈A是x∈B的充分條件,求a的取值范圍;(2)若A∩B=?,求a的取值范圍.22.(本小題滿分12分)已知x,y都是非零實(shí)數(shù),且x>y,求證:1x<1y的充要條件是xy>參考答案自主預(yù)習(xí)略課堂探究例1答案:4解析:因?yàn)榧蟖,ba,4={a2,a+3b,0},所以b=0,a2=4,解得a=±2,當(dāng)a=-2,b=0時(shí),{-2,0,4}={4,-2,0}成立,此時(shí)2|a|+b=4;當(dāng)a=2,b=0時(shí),{2,0,4}={4,2,0},成立,此時(shí)例2解:由題設(shè)條件可知,1∈A,若a+2=1,即a=-1時(shí),(a+1)2=0,a2+3a+3=1=a+2,不滿足集合中元素的互異性,舍去;若(a+1)2=1,則a=0或a=-2.當(dāng)a=0時(shí),a+2=2,(a+1)2=1,a2+3a+3=3,滿足條件;當(dāng)a=-2時(shí),a+2=0,(a+1)2=1,a2+3a+3=1,不滿足集合中元素的互異性,舍去;若a2+3a+3=1,即a=-1或a=-2,均不滿足條件.綜上可知,實(shí)數(shù)a的值只能是a=0.變式訓(xùn)練解:因?yàn)閍,x∈R,集合A={2,4,x2-5x+9},B={3,x2+ax+a},2∈B,B?A,所以x2-5x+9=3,x2例3答案:A解析:集合A={x|-2<x<2},所以A∩B={0,1}.例4解:(1)因?yàn)镸={-3},則?IM={x|x≠-3},又因?yàn)镹={2,-3},從而有N∩(?IM)={2}.(2)因?yàn)锳∩B=A,所以A?B,又因?yàn)锳={2},所以a-1≤2≤a+5,解得-3≤a≤3,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-3,3].例5答案:C解析:運(yùn)用整數(shù)的性質(zhì)求解,集合M,P表示的是被3整除余1的整數(shù)集,集合S表示的是被6整除余1的整數(shù)集.例6解:(1)p:存在一個(gè)非空集合,空集不是該集合的真子集,假命題.(2)q:?x∈R,4x2≤2x-1+3x2,真命題.(3)r:?x∈{-2,-1,0,1,2},|x-2|≥2,假命題.(4)s:有的圓的圓心到其切線的距離不等于半徑,假命題.核心素養(yǎng)專練一、1.D[選項(xiàng)A不正確,因?yàn)榉?hào)“{}”已包含“所有”“全體”的含義,因此不用再加“所有”;選項(xiàng)B不正確,Z表示整數(shù)集,不能加花括號(hào);顯然選項(xiàng)C不正確;選項(xiàng)D正確.]2.B[由B={x|x<1}可知?RB={x|x≥1},A∪(?RB)={x|x≥-1}.]3.D[集合X可以是{1},{1,2},{1,3},{1,4},{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4},共7個(gè).]4.D[因?yàn)槿Q量詞命題的否定是存在量詞命題,所以命題“對(duì)任意x∈R,都有x2≥1”的否定是:存在x∈R,使得x2<1.故選D.]5.C[由存在量詞命題的否定可得,所給命題的否定為“?x∈R,x3-x2+1>0”.故選C.]6.B[當(dāng)a=-1時(shí),函數(shù)y=ax2+2x-1=-x2+2x-1與x軸只有一個(gè)交點(diǎn);但若函數(shù)y=ax2+2x-1與x軸只有一個(gè)交點(diǎn),則a=-1或a=0,所以“a=-1”是“函數(shù)y=ax2+2x-1與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)”的充分不必要條件.]7.D[A中,當(dāng)a=0,b=-2時(shí),a2=0,b2=4,不能推出a2>b2;B中,當(dāng)a=-1,b=1時(shí),a2=b2,不能推出a2>b2;C中,當(dāng)a=b時(shí),a2=b2,不能推出a2>b2;D中,a2=4,b2=1,能推出a2>b2,故選D.]8.A[當(dāng)x=2時(shí),2x=x2,故B錯(cuò)誤;當(dāng)a=b=0時(shí),滿足a+b=0,但ab=-1不成立,故C錯(cuò)誤;?x∈R,x2+2>0,故?x∈R,x2+2≤0錯(cuò)誤,故選A.9.C[方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根時(shí),根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系知3a<0,即a<0,a<-1可以推出a<0,但a<0不一定推出a<-1,故選C.10.A[根據(jù)補(bǔ)集的概念,?RB={x|x≥2m}.∵A??RB,∴2m≤2.解得m≤1,故m的值可以是1.]11.C[當(dāng)3a-5<2a+1,即a<6時(shí),A=??B;當(dāng)3a-5≥2a+1,即a≥6時(shí),A≠?,要使A?B,需有3a-5≤16,2綜上可知,a≤7.]12.C[由題圖A,閉合開關(guān)K1或者閉合開關(guān)K2都可以使燈泡R亮;反之,若要使燈泡R亮,不一定非要閉合開關(guān)K1,因此“閉合開關(guān)K1”是“燈泡R亮”的充分不必要條件.由題圖B,閉合開關(guān)K1而不閉合開關(guān)K2,燈泡R不亮;反之,若要使燈泡R亮,則開關(guān)K1必須閉合.因此“閉合開關(guān)K1”是“燈泡R亮”的必要不充分條件.由題圖C,閉合開關(guān)K1可使燈泡R亮;反之,若要使燈泡R亮,開關(guān)K1一定是閉合的.因此“閉合開關(guān)K1”是“燈泡R亮”的充要條件.由題圖D,閉合開關(guān)K1但不閉合開關(guān)K2,燈泡R不亮;反之,燈泡R亮也可不閉合開關(guān)K1,只要閉合開關(guān)K2即可.因此“閉合開關(guān)K1”是“燈泡R亮”的既不充分也不必要條件.]二、13.{x|x≤1}[∵B={x|x>1},∴?UB={x|x≤1},則A∪?UB={x|x≤1}.]14.{a|a≤1}[命題p:a≤x2在1≤x≤2上恒成立,y=x2在1≤x≤2上的最小值為1,故a≤1.]15.充分不必要[由于A={x|0<x<1},所以A?B,所以“m∈A”是“m∈B”的充分不必要條件.]16.18[當(dāng)x=0時(shí),y=2,3,對(duì)應(yīng)的z=0;當(dāng)x=1時(shí),y=2,3,對(duì)應(yīng)的z=6,12.即A☉B(tài)={0,6,12}.故集合A☉B(tài)的所有元素之和為18.]三、17.解:(1)由于命題中含有全稱量詞“任意的”,因而是全稱量詞命題;由于“任意”的否定為“存在