廣西壯族自治區(qū)南寧市武鳴縣羅波中學高三數(shù)學文聯(lián)考試題含解析

廣西壯族自治區(qū)南寧市武鳴縣羅波中學高三數(shù)學文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在透明塑料制成的正方體容器中灌進體積的水，密封后可以任意擺放，那么容器內(nèi)水面形狀可能是：①三角形；②梯形；③長方形；④五邊形．其中正確的結果是A．①②③

B．①③④

C．②③④

D．①②③④參考答案：D2.已知集合A={x|log3x＜1}，B={y|y=3x，x≥0}，則A∩B=（）A．? B．{x|1＜x≤3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|1≤x＜3}參考答案：D【考點】交集及其運算．【分析】分別求解指數(shù)不等式與對數(shù)不等式化簡集合A，B，再利用交集運算得答案．【解答】解：∵A={x|log3x＜1}={x|0＜x＜3}，B={y|y=3x，x≥0}={y|y≥1}，∴A∩B={x|1≤x＜3}．故選：D．【點評】本題考查交集及其運算，考查指數(shù)不等式與對數(shù)不等式的解法，是基礎題．3.集合的子集的個數(shù)為（

）A．4

B．8

C．16

D．無數(shù)個參考答案：

B4.設的三邊長分別為,的面積為,,若,,則( )A.{Sn}為遞減數(shù)列

B.{Sn}為遞增數(shù)列 C.{S2n-1}為遞增數(shù)列,{S2n}為遞減數(shù)列 D.{S2n-1}為遞減數(shù)列,{S2n}為遞增數(shù)列參考答案：B5.函數(shù)的定義域為（

）

ABCD參考答案：D略6.直線y＝kx＋1與曲線y＝x3＋ax＋b相切于點A(1,3)，則2a＋b的值為()A．2

B．－1

C．1

D．－2參考答案：C7.已知定義在上的函數(shù)滿足，且函數(shù)為奇函數(shù)，給出三個結論：①是周期函數(shù)；②是圖象關于點對稱；③是偶函數(shù)．其中正確結論的個數(shù)為A．3

B．2

C．1

D．0參考答案：A略8.已知集合，則等于A．

B． C．

D．參考答案：C9.（5分）（2011?安徽）若直線3x+y+a=0過圓x2+y2+2x﹣4y=0的圓心，則a的值為（）A．﹣1B．1C．3D．﹣3參考答案：B圓x2+y2+2x﹣4y=0的圓心為（﹣1，2），代入直線3x+y+a=0得：﹣3+2+a=0，∴a=1，故選B．10.若，，成等差數(shù)列，則的值等于（

）A．1

B．0或

C．

D．參考答案：D故選：D

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.圓與直線的位置關系是__________.參考答案：相離化為直角坐標方程得：圓方程為，直線方程為，圓心到直線的距離，填相離12.設a、b、c分別是△ABC中∠A、∠B、∠C所對邊的邊長，則直線與的位置關系是

．參考答案：垂直13.已知數(shù)列的前上，則數(shù)列

.參考答案：

由題意可得：14.若的最小值為_________.參考答案：略15.若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是

參考答案：

由于，則有，即，解得，故實數(shù)的取值范圍是.16.數(shù)列滿足且對任意的，都有，則的前項和_____.參考答案：17.已知log7[log3（log2x）]=0，則x=．參考答案：8【考點】對數(shù)的運算性質(zhì)．【分析】由對數(shù)的運算從外向內(nèi)求得即可．【解答】解：∵log7[log3（log2x）]=0，∴l(xiāng)og3（log2x）=1，∴l(xiāng)og2x=3，∴x=8，故答案為：8．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=lnx﹣（1+a）x2﹣x．（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）當a＜1時，證明：對任意的x∈（0，+∞），有f（x）＜﹣﹣（1+a）x2﹣a+1．參考答案：【考點】利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】綜合題；函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化思想；分析法；導數(shù)的綜合應用．【分析】（1）求出原函數(shù)的導函數(shù)，對a分類求解原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）利用分析法證明，把要證的不等式轉(zhuǎn)化為證明成立，即證．令g（x）=，h（x）=x﹣lnx，由導數(shù)求出g（x）的最大值和h（x）的最小值，由g（x）的最大值小于h（x）的最小值得答案．【解答】（1）解：由f（x）=lnx﹣（1+a）x2﹣x，得f′（x）=（x＞0），當a=﹣1時，f′（x）=，當x∈（0，1）時，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，當x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；當時，﹣2（1+a）＞0，﹣2（1+a）x2﹣x+1≥0，即f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)；當時，﹣2（1+a）＞0，二次方程﹣2（1+a）x2﹣x+1=0有兩根，，當x∈（0，x1），x∈（x2，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，當x∈（x1，x2）時，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；當a＞﹣1時，﹣2（1+a）＜0，二次方程﹣2（1+a）x2﹣x+1=0有兩根，，，當x∈（0，x2）時，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，當x∈（x2，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)．（2）證明：要證f（x）＜﹣﹣（1+a）x2﹣a+1，即證lnx﹣（1+a）x2﹣x＜﹣﹣（1+a）x2﹣a+1，即，∵a＜1，∴1﹣a＞0，也就是證，即證．令g（x）=，則g′（x）=，當x∈（0，e）時，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)，當x∈（e，+∞）時，g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)，∴；令h（x）=x﹣lnx，h′（x）=1﹣，當x∈（0，1）時，h′（x）＜0，h（x）為減函數(shù)，當x∈（1，+∞）時，h′（x）＞0，h（x）為增函數(shù)，∴h（x）min=h（1）=1，∴成立，故對任意的x∈（0，+∞），有f（x）＜﹣﹣（1+a）x2﹣a+1．【點評】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導數(shù)求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想方法，考查邏輯推理能力和運算能力，屬難題．19.（本小題滿分12分）如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，平面,,,點是的中點．

（1）求證：；（2）求二面角的大小．參考答案：（1）證明：

平面，,,

（2）取的中點,連結，則∥,平面,平面.取的中點,連結,則∥，,連結,則是二面角的平面角，又二面角大小為

略20.已知拋物線的焦點為，過點F的直線l交拋物線C于A，B兩點，直線AO，BO分別與直線相交于M，N兩點.（1）求拋物線C的方程；（2）證明：△ABO與△MNO的面積之比為定值.參考答案：（1）由題意知，，∴，∴拋物線的方程為.（2）證明：當直線垂直于軸時，與相似，∴.當直線與軸不垂直時，設直線AB的方程為.，聯(lián)立，得，∴，且.∵，∴.綜上所述，.

21.（本小題12分）已知函數(shù)(1)若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；(2)若定義在區(qū)間D上的函數(shù)對于區(qū)間D上的任意兩個值總有以下不等式成立，則稱函數(shù)為區(qū)間D上的“凹函數(shù)”.試證當時，為“凹函數(shù)”.

參考答案：（1）由，得……2分函數(shù)為上單調(diào)函數(shù).若函數(shù)為上單調(diào)增函數(shù)，則在上恒成立，即不等式在上恒成立.也即在上恒成立.

………………4分令，上述問題等價于，而為在上的減函數(shù)，則，于是為所求.…………6分（2）證明：由得

………7分

……8分而

①

………………9分又，

∴

②………10分∵

∴，∵

∴

③

……………11分由①、②、③得即，從而由凹函數(shù)的定義可知函數(shù)為凹函數(shù).

………12分22.某學校為了解高三年級學生寒假期間的學習情況，抽取甲、乙兩班，調(diào)查這兩個班的學生在寒假期間每天平均學習的時間（單位：小時），統(tǒng)計結果繪成頻率分別直方圖（如圖）．已知甲、乙兩班學生人數(shù)相同，甲班學生每天平均學習時間在區(qū)間[2，4]的有8人．（Ⅰ）求直方圖中a的值及甲班學生每天平均學習時間在區(qū)間[10，12]的人數(shù)；（Ⅱ）從甲、乙兩個班每天平均學習時間大于10個小時的學生中任取4人參加測試，設4人中甲班學生的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學期望．參考答案：【考點】CH：離散型隨機變量的期望與方差；CG：離散型隨機變量及其分布列．【分析】（1）利用頻率分布直方圖的性質(zhì)即可得出．（2）（2）乙班學習時間在區(qū)間[10，12]的人數(shù)為40×0.05×2=4（人）．由（1）知甲班學習時間在區(qū)間[10，12]的人數(shù)為3人．在兩班中學習時間大于10小時的同學共7人，ξ的所有可能取值為0，1，2，3，利用超幾何分布列的計算公式及其數(shù)學期望計算公式即可得出．【解答】解：（1）由直方圖知，（0.150+0.125+0.100+0.0875+a）×2=1，解得a=0.0375，因為甲班學習時間在區(qū)間[2，4]的有8人，所以甲班的學生人數(shù)為．所以甲、乙兩班人數(shù)均為40人，所以甲班學習時間在區(qū)間[10，12]的人數(shù)