2023學年八年級數(shù)學上冊高分突破必練專題（人教版） 對角互補模型綜合應用（解析版）

對角互補模型綜合應用應用：通過做垂線或者利用旋轉構造全等三角形解決問題。【類型一：三角形中的互補模型模型】【典例1】（1）如圖（1），在△ABC中，D是BC邊上的中點，DE⊥DF，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF．若∠A＝90°，探索線段BE、CF、EF之間的數(shù)量關系，并加以證明；（2）如圖（2），在四邊形ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D為頂點作一個60°角，角的兩邊分別交AB、AC于E、F兩點，連接EF，探索線段BE、CF、EF之間的數(shù)量關系，并加以證明．【解答】證明：（1）EF2＝BE2+CF2，理由如下：如圖（1）延長ED到G，使DG＝ED，連接CG，F(xiàn)G，在△DCG與△DBE中，，∴△DCG≌△DBE（SAS），∴DG＝DE，CG＝BE，∠B＝∠DCG，又∵DE⊥DF，∴FD垂直平分線段EG，∴FG＝FE，∵∠A＝90°，∴∠B+∠ACB＝90°，∴∠FCG＝90°，在△CFG中，CG2+CF2＝FG2，∴EF2＝BE2+CF2；（2）如圖（2），結論：EF＝EB+FC，理由如下：延長AB到M，使BM＝CF，∵∠ABD+∠C＝180°，又∠ABD+∠MBD＝180°，∴∠MBD＝∠C，在△BDM和△CDF中，，∴△BDM≌△CDF（SAS），∴DM＝DF，∠BDM＝∠CDF，∴∠EDM＝∠EDB+∠BDM＝∠EDB+∠CDF＝∠CDB﹣∠EDF＝120°﹣60°＝60°＝∠EDF，在△DEM和△DEF中，，∴△DEM≌△DEF（SAS），∴EF＝EM，∴EF＝EM＝BE+BM＝EB+CF．【變式1】（1）閱讀理解：如圖①，在△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長AD到點E使DE＝AD，再連接BE，這樣就把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關系可判斷線段AE的取值范圍是；則中線AD的取值范圍是；（2）問題解決：如圖②，在△ABC中，D是BC邊的中點，DE⊥DF于點D，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，此時：BE+CFEF（填“＞”或“＝”或“＜”）；（3）問題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，∠B+∠D＝180，CB＝CD，∠BCD＝140°，以C為頂點作∠ECF＝70°，邊CE，CF分別交AB，AD于E，F(xiàn)兩點，連接EF，此時：BE+DFEF（填“＞”或“＝”或“＜“）；（4）若在圖③的四邊形ABCD中，∠ECF＝α（0°＜α＜90°），∠B+∠D＝180，CB＝CD，且（3）中的結論仍然成立，則∠BCD＝（用含α的代數(shù)式表示）.【解答】解：（1）在△ADC與△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE＝AC＝3，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即2＜AE＜8，∴2＜2AD＜8，∴1＜AD＜4，故答案為：2＜AE＜8；1＜AD＜4；（2）如圖，延長FD至點G，使DG＝DF，連接BG，EG，∵點D是BC的中點，∴DB＝DC，∵∠BDG＝∠CDF，DG＝DF，∴△BDG≌△CDF（SAS），∴BG＝CF，∵ED⊥FD，F(xiàn)D＝GD，∴EF＝EG，在△BEG中，BE+BG＞EG，∴BE+CF＞EF，故答案為：＞；（3）BE+DF＝EF，如圖，延長AB至點G，使BG＝DF，連接CG，∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠CBG＝180°，∴∠CBG＝∠D，又∵CB＝CD，BG＝DF，∴△CBG≌△CDF（SAS），∴CG＝CF，∠BCG＝∠DCF，∵∠BCD＝140°，∠ECF＝70°，∴∠DCF+∠BCE＝70°，∴∠BCE+∠BCG＝70°，∴∠ECG＝∠ECF＝70°，又∵CE＝CE，CG＝CF，∴△ECG≌△ECF（SAS），∴EG＝EF，∵BE+BG＝EG，∴BE+DF＝EF，故答案為：＝；（4）由（3）同理可得△CBG≌△CDF，∴CG＝CF，∠BCG＝∠DCF，若BE+DF＝EF，則EG＝EF，∴△ECF≌△ECG（SSS），∴∠ECG＝∠ECF，∴∠BCD＝2∠ECF＝2α，故答案為：2α．【類型二：四邊形中的互補模型】【典例2】（1）如圖1，四邊形ABCD是邊長為5cm的正方形，E，F(xiàn)分別在AD，CD邊上，∠EBF＝45°．為了求出△DEF的周長．小南同學的探究方法是：如圖2，延長EA到H，使AH＝CF，連接BH，先證△ABH≌△CBF，再證△EBH≌△EBF，得EF＝EH，從而得到△DEF的周長＝cm；（2）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝100°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F(xiàn)分別是線段BC，CD上的點．且∠EAF＝50°．探究圖中線段EF，BE，F(xiàn)D之間的數(shù)量關系；（3）如圖4，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F(xiàn)分別是線段BC，CD上的點，且2∠EAF＝∠BAD，（2）中的結論是否仍然成立，若成立，請證明，若不成立，請說明理由；（4）若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，點E、F分別在CB、DC的延長線上，且2∠EAF＝∠BAD，請畫出圖形，并直接寫出線段EF、BE、FD之間的數(shù)量關系．【解答】解：（1）如圖1，延長EA到H，使AH＝CF，連接BH，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝AD＝CD＝5cm，∠BAD＝∠BCD＝90°，∴∠BAH＝∠BCF＝90°，又∵AH＝CF，AB＝BC，∴△ABH≌△CBF（SAS），∴BH＝BF，∠ABH＝∠CBF，∵∠EBF＝45°，∴∠CBF+∠ABE＝45°＝∠HBA+∠ABE＝∠EBF，∴∠EBH＝∠EBF，又∵BH＝BF，BE＝BE，∴△EBH≌△EBF（SAS），∴EF＝EH，∴EF＝EH＝AE+CF，∴△DEF的周長＝DE+DF+EF＝DE+DF+AE+CF＝AD+CD＝10（cm）．故答案為：10．（2）EF＝BE+DF．證明：如圖2所示，延長FD到點G．使DG＝BE．連接AG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠BAD＝100°，∠EAF＝50°，∴∠BAE+∠FAD＝∠DAG+∠FAD＝50°，∴∠EAF＝∠FAG＝50°，在△EAF和△GAF中，，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF＝FG＝DF+DG，∴EF＝BE+DF；（3）成立．證明：如圖3，延長EB到G，使BG＝DF，連接AG．∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABG+∠ABC＝180°，∴∠ABG＝∠D，∵在△ABG與△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，∵2∠EAF＝∠BAD，∴∠DAF+∠BAE＝∠BAG+∠BAE＝∠BAD＝∠EAF，∴∠GAE＝∠EAF，又AE＝AE，∴△AEG≌△AEF（SAS），∴EG＝EF，∵EG＝BE+BG，∴EF＝BE+FD；（4）EF＝DF﹣BE，理由如下：在DF上截取DH，使DH＝BE，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，∴∠ABE＝∠ADH，且AB＝AD，DH＝BE，∴△ABE≌△ADH（SAS），∴∠BAE＝∠DAH，AH＝AE，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠DAH+∠BAF＝∠BAD，∴∠HAF＝∠BAD＝∠EAF，且AF＝AF，AE＝AH，∴△FAH≌△FAE（SAS），∴HF＝EF，∴EF＝HF＝DF﹣DH＝DF﹣BE【變式2-1】如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點，且∠EAF＝∠BAD，求證：EF＝BE+FD．【解答】證明：延長CB至M，使BM＝FD，連接AM，如圖所示：∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABM+∠ABC＝180°，∴∠ABM＝∠D，在△ABM與△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AF＝AM，∠BAM＝∠DAF，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠DAF+∠BAE＝∠BAD＝∠FAE，∴∠BAM+∠BAE＝∠EAF，即∠MAE＝∠EAF，在△AME與△AFE中，，∴△AME≌△AFE（SAS），∴EF＝ME，∵ME＝BE+BM，∴EF＝BE+FD．【變式2-2】“截長補短法”證明線段的和差問題：先閱讀背景材料，猜想結論并填空，然后做問題探究．背景材料：（1）如圖1：在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且∠EAF＝60°．探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關系．探究的方法是，延長FD到點G．使DG＝BE，連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出的結論是．探索問題：（2）如圖2，若四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且∠EAF＝∠BAD，上述結論是否仍然成立？成立的話，請寫出推理過程．【解答】證明：（1）在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；故答案為：EF＝BE+DF．（2）解：結論EF＝BE+DF仍然成立；理由：延長FD到點G．使DG＝BE．連接AG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF．1．閱讀理解：課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到E，使得DE＝AD，再連接BE（或將△ACD繞點D逆時針旋轉180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三邊關系可得2＜AE＜8，則1＜AD＜4．感悟：解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”字樣，可以考慮構造以中點為對稱中心的中心對稱圖形，把分散的已知條件和所求證的結論集中到同一個三角形中．（1）問題解決：受到（1）的啟發(fā)，請你證明下面命題：如圖2，在△ABC中，D是BC邊上的中點，DE⊥DF，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF．①求證：BE+CF＞EF；②若∠A＝90°，探索線段BE、CF、EF之間的等量關系，并加以證明；（2）問題拓展：如圖3，在四邊形ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D為頂點作一個60°角，角的兩邊分別交AB、AC于E、F兩點，連接EF，探索線段BE、CF、EF之間的數(shù)量關系，并加以證明．【解答】解：①延長FD到G，使得DG＝DF，連接BG、EG．（或把△CFD繞點D逆時針旋轉180°得到△BGD），∴CF＝BG，DF＝DG，∵DE⊥DF，∴EF＝EG．在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．（4分）②若∠A＝90°，則∠EBC+∠FCB＝90°，由①知∠FCD＝∠DBG，EF＝EG，∴∠EBC+∠DBG＝90°，即∠EBG＝90°，∴在Rt△EBG中，BE2+BG2＝EG2，∴BE2+CF2＝EF2；（3分）（2）將△DCF繞點D逆時針旋轉120°得到△DBG．∵∠C+∠ABD＝180°，∠4＝∠C，∴∠4+∠ABD＝180°，∴點E、B、G在同一直線上．∵∠3＝∠1，∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，∴∠1+∠2＝60°，故∠2+∠3＝60°，即∠EDG＝60°∴∠EDF＝∠EDG＝60°，∵DE＝DE，DF＝DG，∴△DEG≌△DEF，∴EF＝EG＝BE+BG，即EF＝BE+CF．（4分）2．如圖，△ABC中，AB＝AC，點D為△ABC內一點，其中AD平分∠BAC且∠CBD＝30°，點E為AC中點，EF⊥AC交BD延長線于點F，連接AF、CF．（1）求∠ADF的大?。唬?）求證：△ACF是等邊三角形；（3）猜想AD、BD、DF的數(shù)量關系并說明理由．【解答】解：（1）延長AD交BC于點M，∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AM⊥BC，∵∠CBD＝30°，∴∠BDM＝90°﹣∠CBD＝60°，∴∠ADF＝∠BDM＝60°；（2）由（1）知∠ADC＝∠BDC＝120°，∵∠ADF＝60°，∴∠CDF＝60°，過點F作FG⊥AD于點G，F(xiàn)H⊥DC于點H，∴FG＝FH，∵EF⊥AC，E為AC的中點，∴AF＝CF，在Rt△AGF和Rt△CHF中，，∴Rt△AGF≌Rt△CHF（HL），∴∠AFG＝∠CFH，∵∠DGF＝∠H＝90°，∠DGF+∠H+∠GDH+∠GFH＝360°，∴∠GDH+∠GFH＝180°，∵∠GDH＝120°，∴∠GFH＝60°，∴∠AFC＝∠AFG+∠GFC＝∠CFH+∠GFC＝60°，又∵AF＝CF，∴△ACF為等邊三角形；（3）DF＝AD+BD．理由：在BF上截取PF＝BD，連接AP，∵△ACF為等邊三角形，∴AF＝AC，又∵AF＝AC，∴AB＝AF，∴∠ABD＝∠AFP，∴△ABD≌△AFP（SAS），∴AD＝AP，又∵∠ADP＝60°，∴△ADP為等邊三角形，∴AD＝DP，∴DF＝DP+PF＝AD+BD．3．（1）問題背景．如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是線段BC、線段CD上的點．若∠BAD＝2∠EAF，試探究線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關系．小明同學探究此問題的方法是，延長FD到點G．使DG＝BE．連接AG，先證明△ABE≌△ADG．再證明△AEF≌△AGF，可得出結論，他的結論應是．（2）猜想論證．如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E在線段BC上、F在線段CD延長線上．若∠BAD＝2∠EAF，上述結論是否依然成立？若成立說明理由；若不成立，試寫出相應的結論并給出你的證明．【解答】解：延長FD到點G．使DG＝BE，連接AG，∵∠B+∠ADF＝180°，∠ADF+∠ADG＝180°，∴∠ADG＝∠B，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠BAD＝2∠EAF，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△AGF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；故答案為：EF＝BE+DF．（2）結論EF＝BE+FD不成立，結論：EF＝BE﹣FD．理由如下：證明：如圖2中，在BE上截取BG，使BG＝DF，連接AG．∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF．∵在△ABG與△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS）．∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．∴∠BAD＝∠BAG+∠GAD＝∠DAF+∠GAD＝∠GAF．∵∠BAD＝2∠EAF，∴∠GAF＝2∠EAF，∴∠GAE＝∠EAF．∵AE＝AE，∴△AEG≌△AEF（SAS）．∴EG＝EF∵EG＝BE﹣BG∴EF＝BE﹣FD4．通過類比聯(lián)想，引申拓展研究典型題目，可達到解一題知一類的目的，下面是一個案例，請補充完整．原題：如圖1，點E、F分別在正方形ABCD的邊DC、BC上，∠EAF＝45°，連接EF，試猜想EF、BF、DE之間的數(shù)量關系．（1）思路梳理把△ADE繞點A順時針旋轉90°至△ABG，可使AD與AB重合，由∠ABG＝∠D＝90°，得∠FBG＝180°，即點F、B、G共線，易證△AFG≌，故EF、BF、DE之間的數(shù)量關系為．（2）類比引申如圖②，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°．E、F分別是DC、BC上的點．且∠EAF＝∠BAD．猜想圖中線段BF、EF、DE之間的數(shù)量關系．（3）拓展提高如圖③，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分別是BC、CD上的點，且∠EAF＝∠BAD，探究上述結論是否仍然成立？說明理由．【解答】解：（1）思路梳理：如圖①，把△ADE繞點A順時針旋轉90°至△ABG，可使AD與AB重合，即AB＝AD，由旋轉得：∠ABG＝∠D＝90°，DE＝BG，∠1＝∠2，AE＝AG，∴∠FBG＝∠ABF+∠ABG＝90°+90°＝180°，即點F、B、G共線，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BAD＝90°，∵∠EAF＝45°，∴∠DAE+∠B＝∠FAG＝45°，∴∠EAF＝∠FAG＝45°，在△AFE和△AFG中，，∴△AFE≌△AFG（SAS），∴EF＝FG，∴EF＝BF+BG＝BF+DE；故答案為：△AFE，EF＝BF+DE；（2）類比引申如圖②，把△ADE繞點A順時針旋轉90°至△ABG，可使AD與AB重合，即AB＝AD，由旋轉得：∠ABG＝∠D＝90°，DE＝BG，∠GAB＝∠DAE，AE＝AG，∴∠FBG＝∠ABF+∠ABG＝90°+90°＝180°，即點F、B、G共線，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠DAE+∠BAF＝BAD，∴∠GAF＝∠EAF，在△AFE和△AFG中，，∴△AFE≌△AFG（SAS），∴EF＝FG，∴EF＝BF+BG＝BF+DE；（3）拓展提高結論DE+BF＝EF仍然成立，理由如下：如圖③，將△ADE繞點A順時針旋轉90°得到△ABH，由旋轉可得，AH＝AE，BH＝DE，∠1＝∠2，∵∠EAF＝∠DAB，∴∠HAF＝∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠BAD，∴∠HAF＝∠EAF，∵∠ABH+∠ABF＝∠D+∠ABF＝180°，∴點H、B、F三點共線，在△AEF和△AHF中，∴△AEF≌△AHF（SAS），∴EF＝HF，∵HF＝BH+BF，∴EF＝DE+BF．5．如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，EF分別是BC，CD上的點，且∠EAF＝60°，探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關系．（1）提示：探究此問題的方法是延長FD到點G，使DG＝BE，連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF．請根據(jù)提示按照提示的方法完成探究求解過程．（2）探索延伸：如圖2，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且∠EAF＝∠BAD，上述結論是否仍然成立？（成立或不成立）（3）實際應用：如圖3，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等．接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時的速度前進，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時的速度前進，1.5小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E，F(xiàn)處，且兩艦艇之間夾角為70°，試求此時兩艦艇之間的距離．【解答】解：（1）EF＝BE+DF．理由如下：如圖1，延長FD到G，使DG＝BE，連接AG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△GAF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；（2）EF＝BE+DF仍然成立．證明：如圖2，延長FD到G，使DG＝BE，連接AG，∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADG＝180°，∴∠B＝∠ADG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△GAF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；故答案是：成立；（3）如圖3，連接EF，延長AE、BF相交于點C，∵∠AOB＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，∠EOF＝70°，∴∠EOF＝∠AOB，又∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝180°，∴符合探索延伸中的條件，∴結論EF＝AE+BF成立，即EF＝1.5×（60+80）＝210（海里）．答：此時兩艦艇之間的距離是210海里．6．在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，∠BCD＝120°，現(xiàn)將一個30°角的頂點落在點A處．（1）如圖①，當該角的兩邊分別與BC、CD邊相交于E、F時．求證：EF＝BE+DF；（2）現(xiàn)在將該角繞點A進行旋轉，其兩邊分別與BC、CD邊的延長線相交于點F，那么（1）中的結論是否仍然成立？若成立，說明理由；若不成立，試探究線段BE與DF之間的等量關系，并加以證明．（利用圖②進行探索）【解答】解：（1）如圖①，延長CB到H點，使BH＝DF，連接AH，∵∠B＝∠D＝90°，∠BCD＝120°，∴∠D+∠B＝180°，∵∠ABE+∠ABH＝180°，∴∠ABH＝∠D，∵AD＝AB，BH＝DF，∴在△ABH和△ADF中，，∴△ABH≌△ADF（SAS），∴AH＝AF，∠HAB＝∠FAD，∵∠DAB＝60°，∠FAE＝30°，∴∠FAD+∠BAE＝30°，∴∠BAE+∠HAB＝30°，即∠HAE＝30°，在△HAE和△EAF中，，∴△HAE≌△FAE（SAS），∴HE＝EF，∵HE＝HB+BE＝DF+BE，∴EF＝BE+DF；（2）（1）中的結論不成立，如圖②，在BC上截取BH＝DF，在△ABH與△ADF中，，∴△ABH≌△ADF，∴∠BAH＝∠DAF，AH＝AF，∴∠EAF＝30°，∴∠BAH+∠EAD＝30°，∵∠B＝∠D＝90°，∠BCD＝120°，∴∠BAD＝60°，∴∠HAE＝30°，在△HAE與△FAE中，，∴△HAE≌△F