第6講 最值問題

第6講最值問題一、問題綜述1．最值定義：1）一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋绻嬖趯?shí)數(shù)滿足：=1\*GB3①對于任意的，都有；=2\*GB3②存在，使得，那么稱是函數(shù)的最大值，記為．2）一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果存在?shí)數(shù)滿足：=1\*GB3①對于任意的，都有；=2\*GB3②存在，使得，那么稱是函數(shù)的最小值，記為．2．最值定理：一般地，如果在區(qū)間上函數(shù)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值與最小值．3．用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在上最值的步驟：（1）求在內(nèi)的極值；（2）將的各極值與比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值．二、典例分析類型1：求函數(shù)的最大（?。┲?．函數(shù)表達(dá)式中不含參的最值問題【例1】已知函數(shù)為奇函數(shù)，其圖像在點(diǎn)處的切線與直線垂直，導(dǎo)函數(shù)的最小值為．（1）求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，并求函數(shù)在上的最大值和最小值．【解析】（1）因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，則，所以．因?yàn)榈淖钚≈禐?，所以又，所以．所以．?）由（1）得，令解得．列表如下：極大值極小值所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和；又，在上的最大值是，最小值是．【方法小結(jié)】1．用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值和求函數(shù)的極值方法類似，在給定區(qū)間是閉區(qū)間時(shí)，極值要和區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較；2．當(dāng)函數(shù)多項(xiàng)式的次數(shù)大于2或者用傳統(tǒng)方法不易求最值時(shí)，可考慮用導(dǎo)數(shù)的方法求解．2．函數(shù)表達(dá)式中含參的最值問題【例2】已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的值及曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求在區(qū)間上的最大值．解析：（1），則，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（2）令，解得．當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以；當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以；當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．綜上所述，．類型2：已知函數(shù)最值求參數(shù)【例3】已知函數(shù)時(shí)，的最大值為3，最小值為，求的值．解析：由題設(shè)知，否則為常數(shù)，與題設(shè)矛盾．又，（1）當(dāng)時(shí)，列表如下：則；又，則，解得．（2）當(dāng)時(shí)，同理可得；，解得．綜上可得，或．【方法小結(jié)】1．本題因參數(shù)的取值對的最值產(chǎn)生影響，從而對分大于、等于和小于三類情況加以討論；2．在涉及參數(shù)的最值問題中，常因最值的大小不定而需討論，求解時(shí)務(wù)必“分清主次，統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)”，做到“不重不漏”．類型3：與函數(shù)最值有關(guān)的恒成立問題1．不等式恒成立的參數(shù)探討【例4】已知函數(shù)在處取得極值，其中為常數(shù)．若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍．【解析】由．所以，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增．所以，解得．所以的取值范圍為．【例5】已知．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）對一切的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1），所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）由題意得恒成立，所以．設(shè)，則．所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．【方法小結(jié)】1．涉及不等式恒成立、能成立的問題時(shí)，一般需轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值來解決．若不等式中含參數(shù)，則可考慮分離參數(shù)，以避免分類討論．2．不等式恒成立問題常見的轉(zhuǎn)化策略：（1）恒成立，恒成立．（2）恒成立．（3）恒成立．2．不等式的證明【例6】已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)．設(shè)兩曲線有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同．（1）用表示，并求的最大值；（2）求證：．【解析】設(shè)兩曲線的公共點(diǎn)為，則，即，又，由得，因?yàn)?，所以，所以．?gòu)造函數(shù)，由得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．所以，即實(shí)數(shù)的最大值為．（2）設(shè)．則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．所以，即．【方法小結(jié)】不等式證明的步驟：（1）構(gòu)造函數(shù)；（2）求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)性；（3）將函數(shù)與某個(gè)特殊的函數(shù)值作比較；（4）下結(jié)論．類型4：與函數(shù)最值有關(guān)的存在性問題【例7】（2010年山東高考理22）已知函數(shù)．(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（Ⅱ）設(shè)當(dāng)時(shí)，若對任意，存在，使，求實(shí)數(shù)取值范圍．【解析】(Ⅰ)，令（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng),函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞增．(2)當(dāng)時(shí)，由，即，解得．當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，當(dāng),函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞增．綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減．（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，2）上是增函數(shù)，所以對任意，有，又已知存在，使，所以，，（*）又當(dāng)時(shí)，與（*）矛盾；當(dāng)時(shí)，也與（*）矛盾；當(dāng)時(shí)，．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．【方法小結(jié)】利用函數(shù)的最值研究不等式存在性問題一般轉(zhuǎn)化為不等式問題來處理：成立；成立．注：不等式存在性問題所求最值恰與不等式恒成立問題所求最值相反，即恒成立，則；，使，則．類型5：生活中的優(yōu)化問題【例7】（2015江蘇高考）某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計(jì)劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路．記兩條相互垂直的公路為，山區(qū)邊界曲線為，計(jì)劃修建的公路為．如圖所示，為的兩個(gè)端點(diǎn)，測得點(diǎn)到的距離分別為5千米和40千米，點(diǎn)到的距離分別為20千米和2．5千米，以所在的直線分別為軸，建立平面直角坐標(biāo)系．假設(shè)曲線符合函數(shù)（其中為常數(shù)）模型．（1）求的值；（2）設(shè)公路與曲線相切于點(diǎn),的橫坐標(biāo)為．=1\*GB3①請寫出公路長度的函數(shù)解析式，并寫出其定義域；=2\*GB3②當(dāng)為何值時(shí)，公路的長度最短？求出最短長度．OOC解析：（1）由題意知，點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為（5，40），（20，2．5），將其分別代入，得解得（2）=1\*GB3①由（1）知，（），則點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)在點(diǎn)處的切線交，軸分別于，點(diǎn)，，則的方程為，由此得，故=2\*GB3②設(shè)，則，令，解得當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)．從而，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值，也是最小值，所以，此時(shí)答：當(dāng)時(shí)，公路的長度最短，最短長度為千米．【方法小結(jié)】解生活優(yōu)化的綜合問題關(guān)鍵注意以下幾點(diǎn)：（1）理解實(shí)際問題的情景和背景，抓住關(guān)鍵詞句，理出主線，設(shè)置主元，將多變量轉(zhuǎn)化為主元的函數(shù)關(guān)系式，即建立正確的數(shù)學(xué)模型；（2）求函數(shù)模型的最大（?。┲担趯?shí)際問題中若僅出現(xiàn)唯一的極值點(diǎn)通常就是最優(yōu)點(diǎn)；（3）注意所求的最值點(diǎn)是否在函數(shù)定義域內(nèi)，是否符合實(shí)際問題的意義．三、鞏固練習(xí)1．求下列函數(shù)的最值：（1）；（2）；（3）．2．（2017北京高考理19）已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．3．（2019全國Ⅲ理20）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）是否存在，使得在區(qū)間的最小值為且最大值為1？若存在，求出的所有值；若不存在，說明理由．4．（2017新課標(biāo)Ⅲ）已知函數(shù)．(1)若，求的值；(2)設(shè)為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)，，求的最小值．5．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）對任意的恒成立，求的最小值．6．（2015新課標(biāo)Ⅱ）已知函數(shù)．（Ⅰ）討論的單調(diào)性；（Ⅱ）當(dāng)有最大值，且最大值大于時(shí)，求的取值范圍．7．（2016年山東理20）已知．（=1\*ROMANI）討論的單調(diào)性；（=2\*ROMANII）當(dāng)時(shí)，證明對于任意的成立．8．（2017新課標(biāo)Ⅲ）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，證明．9．（2014新課標(biāo)Ⅰ）設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線斜率為0．（1）求b；（2）若存在，使得，求的取值范圍．10．（2013重慶）某村莊擬修建一個(gè)無蓋的圓柱形蓄水池(不計(jì)厚度)．設(shè)該蓄水池的底面半徑為米，高為米，體積為立方米．假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面積的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12000元(為圓周率)．（1）將表示成的函數(shù)，并求該函數(shù)的定義域；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性，并確定和為何值時(shí)該蓄水池的體積最大．四、鞏固練習(xí)參考答案1．（1）．令，解得，列表如下：所以，；．（2），所以在上單調(diào)遞減，故；．（3）得所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，無最大值．2．（1），，，在處的切線方程為，即（2）令，則，時(shí)，，在上單調(diào)遞減，時(shí)，，即，在上單調(diào)遞減，時(shí)，有最大值，時(shí)，有最小值．解法2．設(shè)對恒成立；在上單調(diào)遞減又，即又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞減解法3．令則則在上單調(diào)遞增設(shè)對恒成立，則在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減3．（1）．令，解得，或．①時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增．②時(shí)，函數(shù)在，，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．③時(shí)，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．（2）由（1）可得：①時(shí)，函數(shù)在，上單調(diào)遞增．則，（1），解得，，滿足條件．②時(shí)，函數(shù)在，上單調(diào)遞減．，即時(shí)，函數(shù)在，上單調(diào)遞減．則，（1），解得，，滿足條件．，即時(shí)，函數(shù)在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．則，而，（1），（1），聯(lián)立解得：無解，舍去．③時(shí)，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，則，（1），解得，，不滿足條件，舍去．綜上可得：存在，，即，或，使得在區(qū)間，的最小值為且最大值為1．4．⑴，則，且當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)增，所以時(shí)，，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增．①若，在上單調(diào)遞增∴當(dāng)時(shí)矛盾②若，在上單調(diào)遞減∴當(dāng)時(shí)矛盾③若，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增∴滿足題意綜上所述．⑵當(dāng)時(shí)即則有當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立∴，一方面：，即．另一方面：當(dāng)時(shí)，∵，，∴的最小值為．5．（1），所以的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為．（2）對任意的，即恒成立．令，則，令，則，故在上為減函數(shù)，所以，從而，所以在上為增函數(shù)，，則的最小值為．6．（Ⅰ）的定義域?yàn)椋?，則，所以在單調(diào)遞增．若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)時(shí)，在上無最大值；當(dāng)時(shí)，在取得最大值，最大值為．因此等價(jià)于．令，則在單調(diào)遞增，．于是，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．因此的取值范圍是．7．（Ⅰ）的定義域?yàn)椋唬?dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞增；，單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，．（1），，當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；（2）時(shí)，，在內(nèi)，，單調(diào)遞增；（3）時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在 內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，時(shí)，，，令，．則，由可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號．又，設(shè)，則在單調(diào)遞減，因?yàn)椋栽谏洗嬖谑沟脮r(shí)，，時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以，即對任意的恒成立．8．（1）的定義域?yàn)椋?，則當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞增．若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故在QUOTE0,-12a單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，在取得最大值，最大值為．所以等價(jià)于，即．設(shè)，則．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．故當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為．所以當(dāng)時(shí)，．從而當(dāng)時(shí)，，即QUOTEfx≤-34a-2．

9．（I），由題設(shè)知，，解得．（Ⅱ）的定義域?yàn)?/p>