2023年高中物理競賽中的高等數(shù)學(xué)

高中物理競賽中的高等數(shù)學(xué)一、微積分初步物理學(xué)研究的是物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，因此經(jīng)常碰到的物理量大多數(shù)是變量，而要研究的正是一些變量彼此間的聯(lián)系．這樣，微積分這個(gè)數(shù)學(xué)工具就成為必要的了．考慮到，讀者在學(xué)習(xí)基礎(chǔ)物理課時(shí)若能較早地掌握一些微積分的初步知識(shí)，對于物理學(xué)的一些基本概念和規(guī)律的進(jìn)一步理解是很有好處的．所以在這里先簡樸地介紹一下微積分中最基本的概念和簡樸的計(jì)算方法，在講述方法上不求嚴(yán)格和完整，而是較多地借助于直觀并密切地結(jié)合物理課的需要．至于更系統(tǒng)和更進(jìn)一步地掌握微積分的知識(shí)和方法，可在通過高等數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)去完畢．§1．函數(shù)及其圖形1．1函數(shù)自變量和因變量絕對常量和任意常量在數(shù)學(xué)中函數(shù)的功能是這樣定義的：有兩個(gè)互相聯(lián)系的變量x和y，假如每當(dāng)變量x取定了某個(gè)數(shù)值后，按照一定的規(guī)律就可以擬定y的相應(yīng)值，那么稱y是x的函數(shù)，并記作：y=f(x)，（A．1）；其中x叫做自變量，y叫做因變量，f是一個(gè)函數(shù)記號(hào)，它表達(dá)y和x數(shù)值的相應(yīng)關(guān)系．有時(shí)把y=f(x)也記作y=y(x)．假如在同一個(gè)問題中碰到幾個(gè)不同形式的函數(shù)，也可以用其它字母作為函數(shù)記號(hào)，如j(x)、ψ(x)等等．①常見的函數(shù)可以用公式來表達(dá)，例如，，，，，等等．在函數(shù)的表達(dá)式中，除變量外，還往往包含一些不變的量，如上面出現(xiàn)的和等，它們叫做常量；常量有兩類：一類如等，它們在一切問題中出現(xiàn)時(shí)數(shù)值都是擬定不變的，這類常量叫做絕對常量；另一類如a、b、c等，它們的數(shù)值需要在具體問題中具體給定，這類常量叫做任意常量．在數(shù)學(xué)中經(jīng)常用拉丁字母中最前面幾個(gè)（如a、b、c）代表任意常量，最后面幾個(gè)（x、y、z）代表變量．當(dāng)y=f(x)的具體形式給定后，就可以擬定與自變量的任一特定值x0相相應(yīng)的函數(shù)值f(x0)．例如：（1）若y=f(x)=3+2x，則當(dāng)x=-2時(shí)y=f(-2)=3+2×(-2)=-1．一般地說，當(dāng)x=x0時(shí)，y=f(x0)=3+2x0．（2）若，則當(dāng)時(shí)，．1．2函數(shù)的圖形在解析幾何學(xué)和物理學(xué)中經(jīng)常用平面上的曲線來表達(dá)兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系，這種方法對于直觀地了解一個(gè)函數(shù)的特性是很有幫助的．作圖的辦法是先在平面上取一直角坐標(biāo)系，橫軸代表自變量x，縱軸代表因變量（函數(shù)值）y=f(x)．這樣一來，把坐標(biāo)為（x，y）且滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x)的那些點(diǎn)連接起來的軌跡就構(gòu)成一條曲線，它描繪出函數(shù)的面貌．圖A-1便是上面舉的第一個(gè)例子y=f(x)=3+2x的圖形，其中P1，P2，P3，P4，P5各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：（-2，-1）、（-1，1）、（0，3）、（1，5）、（2，7），各點(diǎn)連接成一根直線．圖A-2是第二個(gè)例子的圖形，其中P1，P2，P3，P4，P5各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：、、、、，各點(diǎn)連接成雙曲線的一支．1．3物理學(xué)中函數(shù)的實(shí)例反映任何一個(gè)物理規(guī)律的公式都是表達(dá)變量與變量之間的函數(shù)關(guān)系的．下面舉幾個(gè)例子．（1）勻速直線運(yùn)動(dòng)公式：s=s0＋vt．（A．2）此式表達(dá)了物體作勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)的位置s隨時(shí)間t變化的規(guī)律，在這里t相稱于自變量x，s相稱于因變量y，s是t的函數(shù)．因此記作：s=s(t)＝s0＋vt，（A．3）式中初始位置s0和速度v是任意常量，s0與坐標(biāo)原點(diǎn)的選擇有關(guān)，v對于每個(gè)勻速直線運(yùn)動(dòng)有一定的值，但對于不同的勻速直線運(yùn)動(dòng)可以取不同的值．圖A-3是這個(gè)函數(shù)的圖形，它是一根傾斜的直線．易知它的斜率等于v．（2）勻變速直線運(yùn)動(dòng)公式：，（A．4），v=v0＋at．（A．5）兩式中s和v是因變量，它們都是自變量t的函數(shù)，因此記作：，（A．6），v=v(t)=v0＋at，（A．7）圖A-4a、4b分別是兩個(gè)函數(shù)的圖形，其中一個(gè)是拋物線，一個(gè)是直線．（A．6）和（A．7）式是勻變速直線運(yùn)動(dòng)的普遍公式，式中初始位置s0、初速v0和加速度a都是任意常量，它們的數(shù)值要根據(jù)討論的問題來具體化．例如在討論自由落體問題時(shí)，若把坐標(biāo)原點(diǎn)選擇在開始運(yùn)動(dòng)的地方，則s0＝0，v0＝0，a＝g≈9.8M／s2，這時(shí)（A．6）和（A．7）式具有如下形式：,（A．8）；v＝v(t)＝gt．（A．9）；這里的g可看作是絕對常量，式中不再有任意常量了．（3）玻意耳定律：PV＝C．（A．10）上式表達(dá)了一定質(zhì)量的氣體，在溫度不變的條件下，壓強(qiáng)P和體積V之間的函數(shù)關(guān)系，式中的C是任意常量．可以選擇V為自變量，P為因變量，這樣，（A．10）式就可寫作：，（A．11）它的圖形和圖A-2是同樣的，只但是圖中的x、y應(yīng)換成V、P．在（A．10）式中也可以選擇P為自變量，V為因變量，這樣它就應(yīng)寫成：，（A．12）由此可見，在一個(gè)公式中自變量和因變量往往是相對的．（4）歐姆定律：．（A．13）當(dāng)討論一段導(dǎo)線中的電流I這樣隨著外加電壓U而改變的問題時(shí)，U是自變量，I是因變量，R是常量．這時(shí)，（A．13）式應(yīng)寫作：，（A．14）；即I與U成正比．應(yīng)當(dāng)指出，任意常量與變量之間的界線也不是絕對的．例如，當(dāng)討論串聯(lián)電路中電壓在各電阻元件上分派問題時(shí)，由于通過各元件的電流是同樣的，（A．13）式中的電流I成了常量，而R是自變量，U是因變量．于是U＝U(R)＝IR，（A．15）即U與R成正比．但是當(dāng)討論并聯(lián)電路中電流在各分支里的分派問題時(shí)，由于各分支兩端具有共同的電壓，（A．13）式中的U就成了常量，而R為自變量，I是因變量，于是：，（A．16）即I與R成反比．總之，每個(gè)物理公式都反映了一些物理量之間的函數(shù)關(guān)系，但是其中哪個(gè)是自變量，哪個(gè)是因變量，哪些是常量，有時(shí)公式自身反映不出來，需要根據(jù)所要討論的問題來具體分析．§2．導(dǎo)數(shù)2．1極限若當(dāng)自變量x無限趨近某一數(shù)值x0（記作x→x0）時(shí)，函數(shù)f(x)的數(shù)值無限趨近某一擬定的數(shù)值a，則a叫做x→x0時(shí)函數(shù)f(x)的極限值，并記作：，（A．17）（A．17）式中的“l(fā)im”是英語“l(fā)imit（極限）”一詞的縮寫，（A．17）式讀作“當(dāng)x趨近x0時(shí)，f（x）的極限值等于a”．極限是微積分中的一個(gè)最基本的概念，它涉及的問題面很廣．這里不企圖給“極限”這個(gè)概念下一個(gè)普遍而嚴(yán)格的定義，只通過一個(gè)特例來說明它的意義．考慮下面這個(gè)函數(shù)：，（A．18），這里除x＝1外，計(jì)算任何其它地方的函數(shù)值都是沒有困難的．例如當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，等等．但是若問x＝1時(shí)函數(shù)值f（1）＝？，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，這時(shí)（A．18）式的分子和分母都等于0，即！用0去除以0，一般地說是沒故意義的．所以表達(dá)式（A．18）沒有直接給出f（1），但給出了x無論如何接近1時(shí)的函數(shù)值來．下表列出了當(dāng)x的值從小于1和大于1兩方面趨于1時(shí)f（x）值的變化情況：表A-1x與f(x)的變化值0.9-0.47-0.14.70.99-0.0497-0.014.970.999-0.004997-0.0014.9970.9999-0.0004997-0.00014.99971.10.530.15.31.010.5030.015.031.0010.0050030.0015.0031.00010.000500030.00015.0003從上表看，x值無論從哪邊趨近1時(shí)，分子分母的比值都趨于一個(gè)擬定的數(shù)值5，這便是x→1時(shí)f(x)的極限值．其實(shí)計(jì)算f(x)值的極限無需這樣麻煩，只要將（A．18）式的分子作因式分解：3x2-x-2＝(3x＋2)(x-1)，并在x≠1的情況下從分子和分母中將因式(x－1)消去：；即可看出：x趨于1時(shí)，函數(shù)f(x)的數(shù)值趨于：3×1＋2＝5．所以根據(jù)函數(shù)極限的定義，．2．2幾個(gè)物理學(xué)中的實(shí)例（1）瞬時(shí)速度當(dāng)一個(gè)物體作任意直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，它的位置可用它到某個(gè)坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離s來描述．在運(yùn)動(dòng)過程中s是隨時(shí)間t變化的，也就是說，s是t的函數(shù)：s＝s(t)．函數(shù)s(t)表達(dá)的是這個(gè)物體什么時(shí)刻到達(dá)什么地方．形象一些說，假如物體是一列火車，則函數(shù)s(t)就是它的一張“旅行時(shí)刻表”．但是，在實(shí)際中往往不滿足于一張“時(shí)刻表”，還需要知道物體運(yùn)動(dòng)快慢的限度，即速度或速率的概念．例如，當(dāng)車輛駛過繁華的街道或橋梁時(shí)，為了安全，對它的速率就要有一定的限制；一個(gè)上拋體（如高射炮彈）可以達(dá)成如何的高度，也與它的初始速率有關(guān)，等等．為了建立速率的概念，就要研究在一段時(shí)間間隔里物體位置的改變情況．假設(shè)考慮的是從t＝t0到t＝t1的一段時(shí)間間隔，則這間隔的大小為：△t＝t1-t0．根據(jù)s和t的函數(shù)關(guān)系s（t）可知，在t0和t1＝t0+△t兩個(gè)時(shí)刻，s的數(shù)值分別為s（t0）和s（t1）＝s（t0+△t），即在t0到t1這段時(shí)間間隔里s改變了：△s＝s（t1）－s（t0）＝s（t0+△t）－s（t0）．在同樣大小的時(shí)間間隔△t里，若s的改變量△s小，就表白物體運(yùn)動(dòng)得慢，所以就把與之比叫做這段時(shí)間間隔里的平均速率，用來表達(dá)，則，（A．19），舉例說明如下．對于勻變速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)（A．4）式有和，；平均速率反映了物體在一段時(shí)間間隔內(nèi)運(yùn)動(dòng)的快慢，除了勻速直線運(yùn)動(dòng)的特殊情況外，的數(shù)值或多或少與的大小有關(guān)；取得越短，就越能反映出物體在時(shí)刻運(yùn)動(dòng)的快慢；通常就把時(shí)的極限值叫做物體在t＝t0時(shí)刻的瞬時(shí)速率v，即，（A．20）對于勻變速直線運(yùn)動(dòng)來說，．這就是熟悉的勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速率公式（A．5）．（2）瞬時(shí)加速度一般地說，瞬時(shí)速度或瞬時(shí)速率v也是t的函數(shù)：v＝v（t）．但是在許多實(shí)際問題中，只有速度和速率的概念還不夠，還需要知道速度隨時(shí)間變化的快慢，即需要建立“加速度”的概念．平均加速度和瞬時(shí)加速度概念的建立與和的建立類似．在直線運(yùn)動(dòng)中，一方面取一段時(shí)間間隔t0到t1，根據(jù)瞬時(shí)速率v和時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系v（t）可知，在t＝t0和t＝t1兩時(shí)刻的瞬時(shí)速率分別為v（t0）和v（t1）＝v（t0+△t），因此在t0到t1這段時(shí)間間隔里v改變了△v=v（t0+△t）-v（t0）．通常把叫做這段時(shí)間間隔里的平均加速度，記作；，（A．21）舉例來說，對于勻變速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)（A．5）式有，．所以平均加速度為（常數(shù)）．對于一般的變速運(yùn)動(dòng)，也是與有關(guān)的，這時(shí)為了反映出某一時(shí)刻速度變化的快慢，就需要取在時(shí)的極限，這就是物體在t＝t0時(shí)刻的瞬時(shí)加速度a：，（A．22）（3）應(yīng)用舉例水渠的坡度任何排灌水渠的兩端都有一定的高度差，這樣才干使水流動(dòng)．為簡樸起見，假設(shè)水渠是直的，這時(shí)可以把x坐標(biāo)軸取為逆水渠走向的方向（見圖A-5），于是各處渠底的高度h便是x的函數(shù)：h=h（x）．知道了這個(gè)函數(shù)，就可以計(jì)算任意兩點(diǎn)之間的高度差．在修建水渠的時(shí)候，人們經(jīng)常運(yùn)用“坡度”的概念．譬如說，若逆水渠而上，渠底在100m的距離內(nèi)升高了20cm，人們就說這水渠的坡度是，因此所謂坡度，就是指單位長度內(nèi)的高度差，它的大小反映著高度隨長度變化的快慢限度．假如用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)，就要取一段水渠，設(shè)它的兩端的坐標(biāo)分別為x0和x1，于是這段水渠的長度為：△x＝x1-x0．根據(jù)h和x的函數(shù)關(guān)系h(x)可知，在x0和x1=x0+△x兩地h的數(shù)值分別為h(x0)和h（x1）＝h(x0+△x)，所以在△x這段長度內(nèi)h改變了：△h＝h(x0+△x)-h(x0)．根據(jù)上述坡度的定義，這段水渠的平均坡度為：，（A．23）前面所舉例子，△x采用了100米的數(shù)值．事實(shí)上在100米的范圍內(nèi)，水渠的坡度也許各處不同．為了更細(xì)致地把水渠在各處的坡度反映出來，應(yīng)當(dāng)取更小的長度間隔，取得越小，就越能精確反映出x=x0處的坡度．所以在x=x0處的坡度k應(yīng)是時(shí)的平均坡度的極限值，即，（A．24）2．3函數(shù)的變化率——導(dǎo)數(shù)前面舉了三個(gè)例子，在前兩個(gè)例子中自變量都是t，第三個(gè)例子中自變量是x．這三個(gè)例子都表白，在研究變量與變量之間的函數(shù)關(guān)系時(shí)，除了它們數(shù)值上“靜態(tài)的”相應(yīng)關(guān)系外，往往還需要有“運(yùn)動(dòng)”或“變化”的觀點(diǎn)，著眼于研究函數(shù)變化的趨勢、增減的快慢，即函數(shù)的“變化率”概念．當(dāng)變量由一個(gè)數(shù)值變到另一個(gè)數(shù)值時(shí)，后者減去前者，叫做這個(gè)變量的增量．增量，通常用代表變量的字母前面加個(gè)“△”來表達(dá)．例如，當(dāng)自變量x的數(shù)值由x0變到x1時(shí)，其增量就是△x≡x1-x0．（A．25）與此相應(yīng)．因變量y的數(shù)值將由y0＝f(x0)變到y(tǒng)1=f(x1)，它的增量為△y≡y1-y0=f(x1)－f(x0)＝f(x0+△x)－f(x0)．（A．26）應(yīng)當(dāng)指出，增量是可正可負(fù)的，負(fù)增量代表變量減少．增量比，（A．27）可以叫做函數(shù)在x＝x0到x＝x0+△x這一區(qū)間內(nèi)的平均變化率，它在△x→0時(shí)的極限值叫做函數(shù)y＝f(x)對x的導(dǎo)數(shù)或微商，記作y′或f′(x)，，（A．28）除或外，導(dǎo)數(shù)或微商還經(jīng)常寫作、、等其它形式．導(dǎo)數(shù)與增量不同，它代表函數(shù)在一點(diǎn)的性質(zhì)，即在該點(diǎn)的變化率．應(yīng)當(dāng)指出，函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)自身也是x的一個(gè)函數(shù)，因此可以再取它對x的導(dǎo)數(shù)，這叫做函數(shù)y＝f(x)的二階導(dǎo)數(shù)，記作、、等；，（A．29）據(jù)此類推，則不難定義出高階的導(dǎo)數(shù)來．有了導(dǎo)數(shù)的概念，前面的幾個(gè)實(shí)例中的物理量就可表達(dá)為：瞬時(shí)速率：，（A．30）；瞬時(shí)加速度：，（A．31）；水渠坡度：，（A．32）．2．4導(dǎo)數(shù)的幾何意義在幾何中切線的概念也是建立在極限的基礎(chǔ)上的．如圖A-6所示，為了擬定曲線在P0點(diǎn)的切線，先在曲線上P0附近選另一點(diǎn)P1，并設(shè)想P1點(diǎn)沿著曲線向P0點(diǎn)靠攏．P0P1的聯(lián)線是曲線的一條割線，它的方向可用這直線與橫坐標(biāo)軸的夾角α來描述．從圖上不難看出，P1點(diǎn)愈靠近P0點(diǎn)，α角就愈接近一個(gè)擬定的值α0，當(dāng)P1點(diǎn)完全和P0點(diǎn)重合的時(shí)候，割線P0P1變成切線P0T，α的極限值α0就是切線與橫軸的夾角．在解析幾何中，把一條直線與橫坐標(biāo)軸夾角的正切叫做這條直線的斜率．斜率為正時(shí)表達(dá)α是銳角，從左到右直線是上坡的（見圖A-7a）；斜率為負(fù)時(shí)表達(dá)α是鈍角，從左到右直線是下坡的（見圖A-7b）．現(xiàn)在來研究圖A-6中割線P0P1和切線P0T的斜率．設(shè)P0和P1的坐標(biāo)分別為（x0，y0）和（x0+△x，y0+△y），以割線P0P1為斜邊作一直角三角形△P0P1M，它的水平邊P0M的長度為△x，豎直邊MP1的長度為△y，因此這條割線的斜率為：．假如圖A-6中的曲線代表函數(shù)y=f(x)，則割線P0P1的斜率就等于函數(shù)在附近的增量比，切線的低斜率是時(shí)，割線P0P1斜率的極限值，即；所以導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切線的斜率．§3．導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算在上節(jié)里只給出了導(dǎo)數(shù)的定義，本節(jié)將給出以下一些公式和定理，運(yùn)用它們可以把常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出來．3．1基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式（1）y＝f(x)＝C(常量)：；（2）y＝f(x)＝x：；（3）y＝f(x)=x2：；（4）y＝f(x)＝x3：；（5）y＝f(x)＝：；（6）y＝f(x)＝：上面推導(dǎo)的結(jié)果可以歸納成一個(gè)普遍公式：當(dāng)時(shí)，，（為任何數(shù)），（A．33）．例如：當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；等等．運(yùn)用（A．33）式還可以計(jì)算其它冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（見表A-2）．除了冪函數(shù)外，物理學(xué)中常見的基本函數(shù)尚有三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)．現(xiàn)在只給出這些函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式（見表A-2）而不推導(dǎo)，解題時(shí)可以直接引用．3．2有關(guān)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的幾個(gè)定理定理一：，（A．34）．證明：．定理二：，（A．35）．證明：．表A-2基本導(dǎo)數(shù)公式函數(shù)y=f(x)導(dǎo)數(shù)y′=f′(x)函數(shù)y=f(x)導(dǎo)數(shù)y′=f′(x)c(任意常量)0，xn(n為任意常量)nxn-1，n=1，x1…………n=2，x22xn=3，x33x2，，，…………定理三：，（A．36）．證明：．定理四：，（A．37）．證明：例1．求（a為常量）的導(dǎo)數(shù)．解：．例2．求（a為常量）的導(dǎo)數(shù)．解：．例3．求（a為常量）的導(dǎo)數(shù)．解：．例4．求的導(dǎo)數(shù)．解：．例5．求的導(dǎo)數(shù)．解：．例6．求的導(dǎo)數(shù)．解：．例7．求（a、b為常量）的導(dǎo)數(shù)．解：令，，則．例8．求的導(dǎo)數(shù)．解：令，，則．例9．求（a為常量）的導(dǎo)數(shù)．解：令，，則§4．微分和函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開4．1微分自變量的微分，就是它的任意一個(gè)無限小的增量△x．用dx代表x的微分，則dx=△x．（A．38）一函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)乘以自變量的微分dx即為該函數(shù)的微分，用dy或df(x)表達(dá)，即dy=df(x)=f′(x)dx，（A．39）所以，（A．40）在之前曾把導(dǎo)數(shù)寫成的形式，是把它作為一個(gè)整體引入的．當(dāng)時(shí)它雖然表面上具有分?jǐn)?shù)的形式，但在運(yùn)算時(shí)并不象普通分?jǐn)?shù)那樣可以拆成“分子”和“分母”兩部分．在引入微分的概念之后，就可把導(dǎo)數(shù)當(dāng)作微分dy與dx之商（所謂“微商”），即一個(gè)真正的分?jǐn)?shù)了．把導(dǎo)數(shù)寫成分?jǐn)?shù)形式，經(jīng)常是很方便的，例如，把上節(jié)定理四（A．37）式的左端簡寫成，則該式化為；此公式從形式上看和分?jǐn)?shù)運(yùn)算法則一致，很便于記憶．下面看微分的幾何意義．圖A-8是任一函數(shù)y＝f(x)的圖形，P0（x0，y0）和P1（x0+△x，y0+△y）是曲線上兩個(gè)鄰近的點(diǎn)，P0T是通過P0的切線．直角三角形△P0MP1的水平邊，豎直邊（見圖）．設(shè)與的交點(diǎn)為，則，但為切線P0T的斜率，它等于x=x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)，因此．所以微分dy在幾何圖形上相稱于線段MN的長度，它和增量相差一段長；從上一節(jié)計(jì)算導(dǎo)數(shù)時(shí)取極限的過程可以看出，是中正比于的那一部分，而則是正比于(△x)2以及△x更高冪次的各項(xiàng)之和[例如對于函數(shù)y=f(x)＝x3，△y＝3x2△x＋3x(△x)2＋(△)3，而dy=f′(x)△x=3x2△x]．當(dāng)△x很小時(shí)，（△x）2、（△x）3、…比△x小得多，也就比小得多，所以可以把微分叫做增量中的線性主部．也就是說，若函數(shù)在x=x0的地方像線性函數(shù)那樣增長，則它的增量就是dy．4．2冪函數(shù)的展開已知一個(gè)函數(shù)f(x)在x＝x0一點(diǎn)的數(shù)值f(x0)，如何求得其附近的點(diǎn)x＝x0+△x處的函數(shù)值f(x)＝f(x0+△x)？若f(x)為x的冪函數(shù)，可以運(yùn)用牛頓的二項(xiàng)式定理：，（A．41）此式合用于任何n（整數(shù)、非整數(shù)、正數(shù)、負(fù)數(shù)等等）．若n為正整數(shù)，則上式中的級(jí)數(shù)在M＝n的地方截?cái)?，余下的?xiàng)自動(dòng)為0，否則上式為無窮級(jí)數(shù)．但是當(dāng)△x<<x0時(shí)，后面的項(xiàng)越來越小，只需保存有限多項(xiàng)就足夠精確了．不要認(rèn)為數(shù)學(xué)表達(dá)式越精確越好．如圖A-9中A、B兩點(diǎn)間的水平距離為l，若將B點(diǎn)豎直向上提高一個(gè)很小的距離a(a<<l)到達(dá)B′，問AB′之間的距離比AB增長了多少？運(yùn)用勾股定理易得距離的增長量為．這是個(gè)精確的公式，但沒有給出一個(gè)鮮明的印象，究竟△l是隨a如何變化的？若用二項(xiàng)式定理將它展開，只保存到最低檔的非0項(xiàng)，則有，即△l是正比于a平方增長的，屬二級(jí)小量．這種用冪級(jí)數(shù)展開來分析重要變化趨勢的辦法，在物理學(xué)里是經(jīng)常用到的．4．3泰勒展開非冪函數(shù)(譬如sinx、ex)如何作冪級(jí)數(shù)展開？這要用泰勒(Taylor)展開．下面用一種不太嚴(yán)格，但簡樸明了的辦法將它導(dǎo)出．假設(shè)函數(shù)f(x)在x=x0處的增量△f=f(x)－f(x0)可以展成△x＝x－x0的冪級(jí)數(shù)：，（A．42）則通過逐項(xiàng)求導(dǎo)可得；當(dāng)x→x0時(shí)，m＞1的項(xiàng)都趨于0，于是有f′(x0)＝a1；再次求導(dǎo)，得，當(dāng)x→x0時(shí)，m＞2的項(xiàng)都趨于0，于是有f(x0)＝2a2；如此類推，一般地說，對于階導(dǎo)數(shù)有；于是(A．42)式可以寫為：，(A．43)．若定義第0階導(dǎo)數(shù)f(0)(x)就是函數(shù)f(x)自身，則上式還可進(jìn)一步簡寫為：，(A．44)．上述(A．43)或(A．44)式稱為泰勒展開式，它在物理學(xué)中是非常有用的公式．下面在表A-3中給出幾個(gè)常見函數(shù)在x0＝0或1處的泰勒展開式．表A-3常見函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式函數(shù)展開式收斂范圍§5．積分5．1幾個(gè)物理中的實(shí)例（1）變速直線運(yùn)動(dòng)的路程大家都熟悉勻速直線運(yùn)動(dòng)的路程公式．若物體的速率是v，則它在ta到tb一段時(shí)間間隔內(nèi)走過的路程是s＝v(tb－ta)，(A．45)．對于變速直線運(yùn)動(dòng)來說，物體的速率v是時(shí)間的函數(shù)：v＝v(t)，函數(shù)的圖形是一條曲線(見圖A-10a)，只有在勻速直線運(yùn)動(dòng)的特殊情況下，它才是一條直線(參見圖A-4b)．對于變速直線運(yùn)動(dòng)，(A.45)式已不合用．但是，可以把t＝ta到t＝tb這段時(shí)間間隔分割成許多小段，當(dāng)小段足夠短時(shí)，在每小段時(shí)間內(nèi)的速率都可以近似地當(dāng)作是不變的．這樣一來，物體在每小段時(shí)間里走過的路程都可以按照勻速直線運(yùn)動(dòng)的公式來計(jì)算，然后把各小段時(shí)間里走過的路程都加起來，就得到ta到tb這段時(shí)間里走過的總路程．設(shè)時(shí)間間隔(tb－ta)被t＝t1(=ta)、t2、t3、…、tn、tb分割成n小段，每小段時(shí)間間隔都是△t，則在t1、t2、t3、…、tn各時(shí)刻速率分別是v(t1)、v(t2)、v(t3)、…、v(tn)．若把各小段時(shí)間的速率v當(dāng)作是不變的，則按照勻速直線運(yùn)動(dòng)的公式，物體在這些小段時(shí)間走過的路程分等于v(t1)△t、v(t2)△t、v(t3)△t、…、v(tn)△t．于是，在整個(gè)(tb-ta)這段時(shí)間里的總路程是，(A．46)．現(xiàn)在再看看上式的幾何意義．在函數(shù)v＝v(t)的圖形中，通過t=t1、t2、t3、…、tn各點(diǎn)垂線的高度分別是v(t1)、v(t2)、v(t3)、…、v(tn)(見圖A-10b)，所以v(t1)△t、v(t2)△t、v(t3)△t、…、v(tn)△t就分別是圖中那些狹長矩形的面積，而則是所有這些矩形面積的總和，即圖中畫了斜線的階梯狀圖形的面積．在上面的計(jì)算中，把各小段時(shí)間△t里的速率v看做是不變的，事實(shí)上在每小段時(shí)間里v多少還是有些變化的，所以上面的計(jì)算并不精確．要使計(jì)算精確，就需要把小段的數(shù)目n加大，同時(shí)所有小段的△t縮短(見圖A-10c)．△t越短，在各小段里v就改變得越少，把各小段里的運(yùn)動(dòng)當(dāng)作勻速運(yùn)動(dòng)也就越接近實(shí)際情況．所以要嚴(yán)格地計(jì)算變速運(yùn)動(dòng)的路程s，就應(yīng)對(A．46)式取n→∞、△t→0的極限，即，(A．47)．當(dāng)n越來越大，△t越來越小的時(shí)候，圖A-10中的階梯狀圖形的面積就越來越接近v(t)曲線下面的面積(圖A-10d)．所以(A．47)式中的極限值等于(tb－ta)區(qū)間內(nèi)v(t)曲線下的面積．總之，在變速直線運(yùn)動(dòng)中，物體在任一段時(shí)間間隔(tb－ta)里走過的路程要用(A．47)式來計(jì)算，這個(gè)極限值的幾何意義相稱于這區(qū)間內(nèi)v(t)曲線下的面積．（2）變力的功當(dāng)力與物體移動(dòng)的方向一致時(shí)，在物體由位置s＝sa移到s＝sb的過程中，恒力F對它所作的功為：A＝F(sb－sa)（A．48)；若力F是隨位置變化的，即F是s的函數(shù)：F＝F(s)，則不能運(yùn)用(A．48)式來計(jì)算力F的功．此時(shí)，也需要象計(jì)算變速運(yùn)動(dòng)的路程那樣，把(sb－sa)這段距離分割成n個(gè)長度為△s的小段(見圖A-11)：并把各小段內(nèi)力F的數(shù)值近似當(dāng)作是恒定的，用恒力作功的公式計(jì)算出每小段路程△s上的功，然后加起來取n→∞、△s→0的極限值．具體地說，設(shè)力F在各小段路程內(nèi)的數(shù)值分別為F(s1)、F(s2)、F(s3)、…、F(sn)，則在各小段路程上力F所作的功分別為F(s1)△s、F(s2)△s、F(s3)△s、…、F(sn)△s，在(sb－sa)整段路程上力F的總功A就近似地等于；由于事實(shí)上在每一小段路程上加都是變化的，所以嚴(yán)格地計(jì)算，還應(yīng)取n→∞、△s→0的極值，即，(A．49)．同上例，這極限值應(yīng)是(sb－sa)區(qū)間內(nèi)F(s)下面的面積(見圖A-12)．5．2定積分以上兩個(gè)例子表白，許多物理問題中需要計(jì)算象(A．47)和(A．49)式中給出的那類極限值．概括起來說，就是要解決如下的數(shù)學(xué)問題：給定一個(gè)函數(shù)f(x)，用x＝x1(=a)、x2、x3、…、xn、b把自變量x在(b－a)區(qū)間內(nèi)的數(shù)值提成n小段，設(shè)每小段的大小為△x，求n→∞、△x→0時(shí)的極限；通常把這類形式的極限用符號(hào)來表達(dá)，即，(A．50)；叫做到區(qū)間內(nèi)對的定積分，叫做被積函數(shù)，b和a分別叫做定積分的上限和下限．用定積分的符號(hào)來表達(dá)，(A．47)和(A．49)式可分別寫為，(A．51)、，(A．52)．在變速直線運(yùn)動(dòng)的路程公式(A．51)里，自變量是t，被積函數(shù)是v(t)，積分的上、下限分別是tb和ta；在變力作功的公式(A．52)里，自變量是s，被積函數(shù)是F(s)，積分的上、下限分別是sb和sa．求任意函數(shù)定積分的辦法有賴于下面關(guān)于定積分的基本定理：若被積函數(shù)f(x)是某個(gè)函數(shù)Ф(x)的導(dǎo)數(shù)，即f(x)=Ф′(x)，則在x＝a到x＝b區(qū)間內(nèi)f(x)對x的定積分等于Ф(x)在這區(qū)間內(nèi)的增量，即，(A．53)．下面來證明上述定理．在a≤x≤b區(qū)間內(nèi)任選一點(diǎn)xi，一方面考慮Ф(x)在x=xi到x=xi+△x=xi+1區(qū)間的增量△Ф(xi)=Ф(xi+1)-Ф(xi)：，當(dāng)時(shí)，可用Ф(x)的導(dǎo)數(shù)代替；但按照定理的前提，Ф′(x)=f(x)，故△Ф(xi)≈Ф′(xi)△x=f(xi)△x式中≈表達(dá)“近似等于”，若取△x→0的極限，上式就是嚴(yán)格的等式．把a(bǔ)≤x≤b區(qū)間提成n－1小段，每段長△x；上式合用于每小段．根據(jù)積分的定義和上式，有：因x1＝a，xn＝b，于是得(A.53)式，至此定理證畢．下面看看函數(shù)Ф(x)在f-x圖(見圖A-13)中所表現(xiàn)的幾何意義．如前所述，△Ф(xi)=Ф(xi+1)-Ф(xi)=f(xi)△x，正是寬為△x、高為的一個(gè)矩形（即圖中的）的面積．它和曲線段PiPi+1下面的梯形xixi+1Pi+1Pi的面積只是相差一小三角形PiNPi＋1的面積．當(dāng)△x→0時(shí)，可認(rèn)為△Ф(xi)就是梯形xixi+1Pi+1Pi的面積．既然當(dāng)x由xi變到xi+1時(shí)，Ф(x)的增量的幾何意義是相應(yīng)區(qū)間f-x曲線下的面積，則Ф(x)自身的幾何意義就是從原點(diǎn)O到x區(qū)間f-x曲線下面的面積加上一個(gè)常量C＝Ф(0)．例如Ф(xi)的幾何意義是圖形OxiPiP0的面積加C，Ф(xi＋1)的幾何意義是圖形Oxi+1Pi+1P0的面積加C，等等．這樣，△Ф(xi)=Ф(xi+1)-Ф(xi)就是：(Oxi+1Pi+1P0的面積+C)-(OxiPiP0的面積+C)=xixi+1Pi+1Pi的面積，而Ф(b)-Ф(a)的幾何意義是：(ObPbP0的面積+C)－(OaPaP0的面積+C)＝abPbPa的面積．它相稱于定積分的值．5．3不定積分及其運(yùn)算在證明了上述定積分的基本定理之后，就可以著手解決積分的運(yùn)算問題了．根據(jù)上述定理，只規(guī)定得函數(shù)Ф(x)的表達(dá)式，運(yùn)用(A.53)式立即可以算出定積分來，那么，給出了被積函數(shù)的表達(dá)式之后，如何去求Ф(x)的表達(dá)式呢？上述定理說明，Ф′(x)=f(x)，所以這就相稱于問f(x)是什么函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．由此可見，積分運(yùn)算是求導(dǎo)的逆運(yùn)算．假如f(x)是Ф(x)的導(dǎo)數(shù)，可以稱Ф(x)是f(x)的逆導(dǎo)數(shù)或原函數(shù)．求f(x)的定積分就可以歸結(jié)為求它的逆導(dǎo)數(shù)或原函數(shù)．在上節(jié)里講了一些求導(dǎo)數(shù)的公式和定理，常見的函數(shù)都可以按照一定的法則把它們的導(dǎo)數(shù)求出來．然而求逆導(dǎo)數(shù)的問題卻不像求導(dǎo)數(shù)那樣容易，而需要靠判斷和試探．例如，知道了Ф(x)＝x3的導(dǎo)數(shù)Ф′(x)＝3x2，也就知道了F(x)＝3x2的逆導(dǎo)數(shù)是Ф(x)＝x3；這時(shí)，假如要問函數(shù)f(x)＝x2的逆導(dǎo)數(shù)是什么，那么就不難想到，它的逆導(dǎo)數(shù)應(yīng)當(dāng)是x3/3；這里要指出一點(diǎn)，即對于一個(gè)給定的函數(shù)f(x)來說，它的逆導(dǎo)數(shù)并不是唯一的．Ф1(x)＝x3/3是f(x)＝x2的逆導(dǎo)數(shù)，Ф2(x)＝x3/3＋1和Ф3(x)=x3/3－5也都是它的逆導(dǎo)數(shù)，由于Ф1′(x)、Ф2′(x)、Ф3′(x)都等于x2.一般說來，在函數(shù)f(x)的某個(gè)逆導(dǎo)數(shù)Ф(x)上加一任意常量C，依舊是f(x)的逆導(dǎo)數(shù)．通常把一個(gè)函數(shù)f(x)的逆導(dǎo)數(shù)的通式Ф(x)＋C叫做它的不定積分，并記作，于是，(A．54)．因在不定積分中包含任意常量，它代表的不是個(gè)別函數(shù)，而是一組函數(shù)．表A-4基本不定積分公式函數(shù)不定積分函數(shù)不定積分當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，上面所給的例子太簡樸了，一眼就能猜到逆導(dǎo)數(shù)是什么．在一般的情況下求逆導(dǎo)數(shù)，一方面規(guī)定對各種函數(shù)的導(dǎo)數(shù)掌握得很純熟，才干擬定選用那一種形式的函數(shù)去試探．此外，掌握表A-4中給出的基本不定積分公式和其后的幾個(gè)有關(guān)積分運(yùn)算的定理，也是很重要的．(表中的公式可以通過求導(dǎo)運(yùn)算倒過來驗(yàn)證，望讀者自己去完畢)下面是幾個(gè)有關(guān)積分運(yùn)算的定理．定理一若(a是常量)，則，(A．55)．定理二若，則，(A．56)．這兩個(gè)定理的證明是顯而易見的，下面運(yùn)用這兩個(gè)定理和表A－4中的公式計(jì)算兩個(gè)例題．例10．求．解：．例11．求．解：．定理三若，則，(A．57)．此定理表白，當(dāng)f(x)具有這種形式時(shí)，就可以用v來代替x作自變量，這叫做換元法．通過換元往往可以把比較復(fù)雜的積分化成表A-4中給出的現(xiàn)成結(jié)果．再看看下面幾個(gè)例題．例12．求．解：令，，，經(jīng)換元得：．例13．求．解：令，則，于是．例14．求．解：令，，則，于是．例15．求．解：令，，則，于是．5．4通過不定積分計(jì)算定積分當(dāng)求得不定積分之后，再將它們的上、下限的數(shù)值代入相減，就得到所求的定積分的值：，(A．58)．作定積分運(yùn)算時(shí)，任意常量就被消掉了．例16．計(jì)算：和．解：由于，所以；．圖A－14是f(x)=sin2πx的曲線，它在x＝0到一段是正的，在x＝到1一段是負(fù)的．從x＝0到1的定積分為0，是由于橫軸上下兩塊面積大小相等，一正一負(fù)，互相抵消了．例17．推導(dǎo)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的路程公式．解：，．例18．若在(A．52)式中力F(s)與距離平方成反比：F(s)＝，求功A．解：．習(xí)題一、回答下列問題：（1）若f(x)=x2，寫出f(0)、f(1)、f(2)、f(3)之值．（2）若，寫出、、、、、、的值．（3）若f(x)＝a＋bx，f(0)＝？x0為多少時(shí)，f(x0)=0？二、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）y＝3x4－2x2＋8；（2）y=5＋3x－4x3；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）．三、求第二題中y的微分．四、求以下函數(shù)圍繞x＝0的泰勒級(jí)數(shù)中前兩個(gè)非0項(xiàng)：（1）；（2）；（3）；（4）．五、求下列不定積分：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10），[提醒：]；（11）；（12）；（13）；（14）；（15），[提醒：]；（16）；（17）；（18）；（19）；（20）．六、計(jì)算下列定積分：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）．二、矢量1．矢量及其解析表達(dá)物理學(xué)中有各種物理量，像質(zhì)量、密度、能量、溫度、壓強(qiáng)等，在選定單位后僅需用一個(gè)數(shù)字來表達(dá)其大小，這類物理量叫做標(biāo)量；而像位移、速度、加速度、動(dòng)量、力等，除數(shù)量的大小外還具有一定的方向，這類物理量叫做矢量．嚴(yán)格地說，作為一個(gè)矢量，還必須遵從一定的合成法則與隨坐標(biāo)變換的法則．通常手寫時(shí)用字母上加箭頭（如）來表達(dá)一個(gè)矢量，印刷中則常用黑體字(如A)．在作圖時(shí)，用一個(gè)加箭頭的線段來代表矢量，線段的長度正比于矢量的大小，箭頭的方向表達(dá)矢量的方向(見圖B-1)．直角坐標(biāo)系來描述空間和表達(dá)其中的矢量，是最基本的方法．n維的直角坐標(biāo)系有n個(gè)互相垂直的坐標(biāo)軸．先從二維空間說起．如圖B－2所示，在平面上取二維直角坐標(biāo)系xOy，在平面某點(diǎn)P上有矢量A，其大小為A，與x軸的夾角為α則它在x、y軸上的投影分別為Ax=Acosα，Ay＝Asinα，Ax和Ay分別稱為矢量A的x分量和y分量．應(yīng)注意，一個(gè)矢量的分量是代數(shù)量，即其值是可正可負(fù)的．分別沿坐標(biāo)軸Ox和Oy取單位矢量(即長度為1的矢量)i和j(見圖B－2)，則有：A＝Axi＋Ayj，(B．1)；這里i、j稱為坐標(biāo)系的基矢．當(dāng)坐標(biāo)系及其基矢選定后，數(shù)列(Ax，Ay)可以把矢量A的所有特性擬定下來，所以也可以說矢量是個(gè)按一定順序排列的數(shù)列，如：數(shù)列(2，1)代表Ax＝2，Ay＝1的矢量，數(shù)列(0，－5)代表Ax＝0，Ay＝－5的矢量，等等．矢量大小的平方等于它的分量的平方和：A2＝Ax2＋Ay2，(B．2)．圖B-3所示為三維空間里的直角坐標(biāo)系，這里有三個(gè)互相垂直的坐標(biāo)軸Ox、Oy和Oz，在空間某點(diǎn)P上的矢量A大小為A，方向與Ox、Oy、Oz軸的夾角分別為α、β、γ，則它在Ox、Oy、Oz軸上的投影，即x、y、z三個(gè)分量，分別為Ax＝Acosα，Ay＝Acosβ，Az＝Acosγ，這里cosα、cosβ、cosγ稱為這矢量的方向余弦．因方向余弦滿足下列恒等式：cos2α＋cos2β+cos2γ≡1，(B．3)．三個(gè)數(shù)中只有兩個(gè)是獨(dú)立的，它們把矢量的方向唯一地?cái)M定下來．通常用i、j、k來代表三維直角坐標(biāo)系的基矢．在三維的情況下，正交基矢有左手和右手兩種系統(tǒng)．設(shè)想基矢i沿小于180°的角度轉(zhuǎn)向基矢j.如圖B-4a所示將右手的四指彎曲，代表上述旋轉(zhuǎn)方向，則伸直的姆指指向基矢k；如此規(guī)定的正交基矢系統(tǒng)稱為右手系統(tǒng)．若用左手代替上述操作過程所規(guī)定的正交基矢系統(tǒng)(見圖B-4b)，則是左手系統(tǒng)．按照國際慣例，一律采用右手系統(tǒng)．有了正交基矢，矢量可以寫成解析形式：A＝Axi＋Ayj+Azk，(B．4)三維的矢量要用長度為3的數(shù)列(Ax，Ay，Az)來表達(dá)，如(1，3，0)、(-2，0，－1)等．與二維的情況類似，有A2＝Ax2＋Ay2＋Az2，(B．5)2．矢量的加減法從上面看到，一個(gè)n維的矢量可當(dāng)作是一個(gè)長度為n的有序數(shù)列(A1，A2，…，An)．從這種意義上說，標(biāo)量是個(gè)一維的矢量．把標(biāo)量的加減運(yùn)算推廣到矢量，有(A1,A2,…,An)±(B1,B2,…,Bn)＝(A1±B1,A2±B2,…,An±Bn)，(B．6)從矢量的疊加圖B-5不難看出，上述運(yùn)算(解析運(yùn)算)與通常矢量合成的平行四邊形法則(幾何運(yùn)算)是一致的．用幾何法運(yùn)算矢量A和B的疊加，可運(yùn)用如圖B－6a所示的平行四邊形，也可運(yùn)用與之等價(jià)的三角形(見圖B-6b)．這后一種圖示，對于兩個(gè)以上矢量的的合成特別方便，由于只需把它們首尾銜接起來就行了(見圖B－7)．在一個(gè)矢量前面加個(gè)負(fù)號(hào)，表達(dá)一個(gè)與它大小相等、方向相反的矢量(見圖B-8a)．矢量之差A(yù)－B可理解為矢量A與-B的合成A+(-B)(見圖B－8b)，它也可運(yùn)用A和B組成的另一種方式組合成的三角形來表達(dá)(見圖B-6c)．從矢量加減的解析表達(dá)(B．6)式可立即看出，它們是符合通常的互換律和組合律的：A＋B＝B+A，(互換律)(B．7)；A+(B+C)＝(A＋B)＋C，(組合律)(B．8)用幾何運(yùn)算法來驗(yàn)證上述法則，也不算太困難，特別是運(yùn)用三角形來表達(dá)的話，并不是所有帶有方向的物理量都服從上述疊加法則的(如大角度的角位移就是例外)，不符合這法則的物理量不是矢量．3．矢量的標(biāo)積設(shè)A和B是兩個(gè)任意矢量，其標(biāo)積(常用A·B表達(dá)，又稱點(diǎn)乘)的解析定義為：A·B=AxBx＋AyBy+AzB，z(B．9)．由此定義不難看出，點(diǎn)乘是服從互換律和分派律的：A·B＝B·A，(互換律)(B．10)；A·(B＋C)＝A·B＋A·C，(分派律)，(B．11)下面看點(diǎn)乘的幾何意義．把A、B兩矢量的起點(diǎn)O疊在一起，兩者決定一個(gè)平面，取此平面為直角坐標(biāo)系的xy面，從而Az=Bz=0；令A(yù)、B與Ox軸的夾角分別為α、β(見圖B－9)，則Ax=Acosα，Ay＝Asinα，Bx＝Bcosβ，By=Bsinβ，標(biāo)積：A·B＝AxBx＋AyBy＝AB(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝ABcos(β－α)，即A·B＝ABcosθ，(B．12)式中θ＝β－α為兩矢量之間的夾角．(B．12)式可看作是標(biāo)積的幾何定義．從這個(gè)定義可立即看出：A、B平行時(shí)，θ＝0，標(biāo)積A·B＝AB；A、B反平行時(shí)，θ=π，標(biāo)積A·B＝-AB；A、B垂直時(shí)，θ＝π/2，標(biāo)積A·B＝0；一般說來，θ為銳角時(shí)，標(biāo)積取正值；θ為鈍角時(shí)，標(biāo)積取負(fù)值．一個(gè)矢量A與自身的標(biāo)積A·A＝A2．在物理學(xué)中標(biāo)積的典型例子是功．4．矢量的矢積設(shè)A和B是兩個(gè)任意矢量，它們的矢積(常用A×B表達(dá)，故又稱叉乘)的解析定義為如下矢量：A×B＝(AyBz－AzBy)i＋(AzBx－AxBz)j＋(AxBy－AyBx)k，(B．13)由此定義不難看出，點(diǎn)乘是服從反互換律和分派律的：A×B=-B×A，(反互換律)(B．14)A×(B＋C)＝A×B＋A×C，(分派律)(B．15)下面看叉乘的幾何意義．同前，把A、B兩矢量的起點(diǎn)O疊在一起，兩者決定一個(gè)平面，取此平面為直角坐標(biāo)系的xy面，從而Az＝Bz＝0．令A(yù)、B與Ox軸的夾角分別為α、β，則Ax=Acosα，Ay＝Asinα，Bx＝Bcosβ，By=Bsinβ，矢積：A×B＝(AxBy-AyBx)k＝AB(cosαsinβ－sinαcosβ)k=ABsin(β-α)k；即矢積C=A×B＝ABsinθk，(B．16)式中θ=β-α為兩矢量之間的夾角．當(dāng)β＞α?xí)r，θ＞0，C沿k的正方向；當(dāng)β＜α?xí)r，θ＜0，C沿k的負(fù)方向．由于采用的是右手坐標(biāo)系，C的指向可用如圖B－10a所示的右手定則來判斷：設(shè)想矢量A沿小于180°的角度轉(zhuǎn)向矢量B；將右手的四指彎曲，代表上述旋轉(zhuǎn)方向，則伸直的姆指指向它們的矢積C．(B．16)式可看作是矢積的幾何意義：矢量A、B的矢積C＝A×B的數(shù)值C＝ABsinθ，正好是由A、B為邊組成的平行四邊形的面積(見圖B－10b)；C的方向與A和B組成的平面垂直，其指向由上述右手定則來規(guī)定．從這個(gè)定義可立即看出：A、B平行或反平行時(shí)，θ＝0或π，矢積C＝A×B＝0；A、B垂直時(shí)，θ＝π/2，矢積的數(shù)值C＝｜A×B｜＝AB最大．一個(gè)矢量A與自身的矢積A×A＝0．在物理學(xué)中矢積的典型例子有角動(dòng)量、力矩等．5．矢量的三重積物理學(xué)中經(jīng)常碰到矢量的三重積．最常見的三重積有以下兩個(gè)．（1）三重標(biāo)積A·(B×C)這三重積是個(gè)標(biāo)量．不難驗(yàn)證，此三重積的解析表達(dá)式為，(B．17)從幾何上看，因｜B×C｜是以B和C為邊組成平行四邊形的面積，矢積B×C的方向沿其法線，故而再與A點(diǎn)乘，相稱于再乘上A在法線上的投影．亦即，這三重積的絕對值等于以A、B、C三矢量為棱組成的平行六面體的體積(見圖B-11)，其正負(fù)號(hào)與三矢量的循環(huán)順序有關(guān)．由于計(jì)算平行六面體的體積與取哪一面為底無關(guān)，點(diǎn)乘又是可互換的，所以A、B、C三矢量的輪換，以及和×的位置對調(diào)，都不影響此三重積的計(jì)算結(jié)果．唯一要注意的是三矢量的循環(huán)順序不能變，否則差一個(gè)負(fù)號(hào)．概括起來寫成公式，有：A·(B×C)＝B·(C×A)＝C·(A×B)＝(A×B)·C＝(B×C)·A＝(C×A)·B＝-A·(C×B)＝-C·(B×A)＝－B·(A×C)＝-(A×C)·B＝-(C×B)·A=-(B×A)·C，(B．18)從解析表達(dá)式(B．17)來看(B．18)式的成立，就更顯然了．最后提請注意：在A、B、C三個(gè)矢量中有任意兩個(gè)平行或反平行時(shí)，三重標(biāo)積為0．（2）三重矢積A×(B×C)這三重積是個(gè)矢量．矢積B×C與B、C組成的平面Ⅱ垂直，而A與它的矢積又回到Ⅱ平面內(nèi)．故矢量A×(B×C)與B、C共面．(見圖B-12)，前者是后面兩者的線性組合：A×(B×C)＝a1B＋a2C；用矢量的解析表達(dá)式可以直接驗(yàn)證：a1＝A·C，a2＝－A·B，即存在下列恒等式：A×(B×C)=(A·C)B－(A·B)C，(B．19)；這是有關(guān)這三重積最重要的恒等式．6．極矢量和軸矢量左手在鏡子中的象是右手，右手在鏡子中的象是左手．左右手具有鏡象對稱．一般說來，所謂對稱性，就是在某種操作下的不變性．與鏡象對稱相聯(lián)系的是空間反射操作．在這種操作下，沿鏡面法線方向的坐標(biāo)z→-z，其它方向不變，于是左手坐標(biāo)系變成了右手坐標(biāo)系(見圖B-13)