高三總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) 理科（人教版）第二章 第二節(jié) 第1課時(shí)　函數(shù)的單調(diào)性與最值（課件+學(xué)案+課時(shí)作業(yè)共打包5份）（解析版+原卷版）

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第二章函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)

第二節(jié)函數(shù)的性質(zhì)

第1課時(shí)函數(shù)的單調(diào)性與最值

課程標(biāo)準(zhǔn)考向預(yù)測(cè)

1.理解函數(shù)的單調(diào)性、最大(小)值及其幾何意義．

2.會(huì)運(yùn)用基本初等函數(shù)圖象分析函數(shù)的單調(diào)性．考情分析：以基本初等函數(shù)為載體，考查函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間及函數(shù)最值的確定與應(yīng)用，其中函數(shù)單調(diào)性及應(yīng)用仍是高考考查的熱點(diǎn)，題型多以選擇題為主，屬中檔題．

學(xué)科素養(yǎng)：通過函數(shù)單調(diào)性的判斷及應(yīng)用考查邏輯推理的核心素養(yǎng)；通過函數(shù)最值問題考查數(shù)學(xué)運(yùn)算及直觀想象的核心素養(yǎng)．

欄目導(dǎo)引

知識(shí)分步落實(shí)

欄目一

考點(diǎn)分類突破

欄目二

微專題系列2

欄目三

知識(shí)分步落實(shí)

f(x1)f(x2)

增函數(shù)

減函數(shù)

上升的

下降的

增函數(shù)

減函數(shù)

區(qū)間D

f(x)≤M

f(x0)＝M

f(x)≥M

f(x0)＝M

最大

最小

考點(diǎn)分類突破

微專題系列2求函數(shù)最值的常用方法［思想方法］

微專題系列1

課時(shí)作業(yè)(五)

80

2第二節(jié)函數(shù)的性質(zhì)

第1課時(shí)函數(shù)的單調(diào)性與最值

課程標(biāo)準(zhǔn)考向預(yù)測(cè)

1.理解函數(shù)的單調(diào)性、最大(小)值及其幾何意義．2.會(huì)運(yùn)用基本初等函數(shù)圖象分析函數(shù)的單調(diào)性．考情分析：以基本初等函數(shù)為載體，考查函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間及函數(shù)最值的確定與應(yīng)用，其中函數(shù)單調(diào)性及應(yīng)用仍是高考考查的熱點(diǎn)，題型多以選擇題為主，屬中檔題．學(xué)科素養(yǎng)：通過函數(shù)單調(diào)性的判斷及應(yīng)用考查邏輯推理的核心素養(yǎng)；通過函數(shù)最值問題考查數(shù)學(xué)運(yùn)算及直觀想象的核心素養(yǎng)．

1.函數(shù)的單調(diào)性

(1)增函數(shù)和減函數(shù)

增函數(shù)減函數(shù)

定義要求x1，x2一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，區(qū)間DI，如果對(duì)于任意x1，x2∈D，且x1f(x2)

結(jié)論函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)

圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的

(2)單調(diào)區(qū)間的定義

如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．

2.函數(shù)的最值

前提設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在M∈R

條件①對(duì)于任意的x∈I，都有f(x)≤M②存在x0∈I，使得f(x0)＝M①對(duì)于任意的x∈I，都有f(x)≥M②存在x0∈I，使得f(x0)＝M

結(jié)論M是f(x)的最大值M是f(x)的最小值

eq\a\vs4\al()

1.函數(shù)y＝f(x)(f(x)>0或f(x)0)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，－)，(，＋∞)；單調(diào)減區(qū)間為［－，0)，(0，］.

3.增函數(shù)與減函數(shù)形式的等價(jià)變形：x1，x2∈［a，b］且x1≠x2，則(x1－x2)［f(x1)－f(x2)］>0>0f(x)在［a，b］上是增函數(shù)；(x1－x2)［f(x1)－f(x2)］B．m－D．m0，得－20，x1－10時(shí)，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函數(shù)f(x)在(－1，1)上單調(diào)遞減；

當(dāng)a0時(shí)，f′(x)0，函數(shù)f(x)在(－1，1)上單調(diào)遞增．

eq\a\vs4\al()

確定函數(shù)單調(diào)性的四種方法

(1)定義法：利用定義判斷．

(2)導(dǎo)數(shù)法：適用于初等函數(shù)、復(fù)合函數(shù)等可以求導(dǎo)的函數(shù)．

(3)圖象法：由圖象確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間需注意兩點(diǎn)：一是單調(diào)區(qū)間必須是函數(shù)定義域的子集；二是圖象不連續(xù)的單調(diào)區(qū)間要分開寫，用“和”或“，”連接，不能用“∪”連接．

(4)性質(zhì)法：利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，尤其是利用復(fù)合函數(shù)“同增異減”的原則時(shí)，需先確定簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性．

即時(shí)練1.(2023·全國甲卷)下列函數(shù)中是增函數(shù)的為()

A．f(x)＝－xB．f(x)＝()x

C．f(x)＝x2D．f(x)＝

D［取x1＝－1，x2＝0，對(duì)于A項(xiàng)有f(x1)＝1，f(x2)＝0，所以A項(xiàng)不符合題意；對(duì)于B項(xiàng)有f(x1)＝，f(x2)＝1，所以B項(xiàng)不符合題意；對(duì)于C項(xiàng)有f(x1)＝1，f(x2)＝0，所以C項(xiàng)不符合題意．故選D.］

即時(shí)練2.函數(shù)f(x)＝|x－2|x的單調(diào)遞減區(qū)間是.

解析：f(x)＝

畫出f(x)的大致圖象(如圖所示)，

由圖知f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是［1，2］.

答案：［1，2］

考點(diǎn)二函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用多維型

角度一比較函數(shù)值的大小

已知定義在R上的函數(shù)f(x)＝2|x－m|＋1(m∈R)為偶函數(shù)．記a＝f(log22)，b＝f(log24)，c＝f(2m)，則a，b，c的大小關(guān)系為()

A．a(chǎn)a>bB．c>b>a

C．a(chǎn)>c>bD．b>a>c

D［依題意f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，在(－∞，1)上單調(diào)遞增，且f(x)關(guān)于x＝1對(duì)稱，

∴a＝f＝f，

∴f(e)f(x)，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是.

解析：根據(jù)函數(shù)f(x)的圖象(圖略)可知，f(x)是定義在R上的增函數(shù)．

∵f(2－x2)>f(x)，

∴2－x2>x，∴－22時(shí)，ymin＝f(a)＝a2－2.

二、換元法

換元法有兩類，即代數(shù)換元和三角換元．如可用三角換元解決形如a2＋b2＝1及部分根式函數(shù)形式的最值問題．

(1)函數(shù)f(x)＝x＋2的最大值為.

(2)函數(shù)y＝x－的最大值為，最小值為.

解析：(1)設(shè)＝t(t≥0)，∴x＝1－t2.

∴y＝x＋2＝1－t2＋2t

＝－t2＋2t＋1＝－(t－1)2＋2.

∴當(dāng)t＝1即x＝0時(shí)，ymax＝2.

(2)由4－x2≥0，得－2≤x≤2，∴設(shè)x＝2cosθ(θ∈［0，π］)，則y＝2cosθ－＝2cosθ－2sinθ＝2cos，

∵θ＋∈，

∴cos∈，

∴y∈［－2，2］.

答案：(1)2(2)2－2

三、不等式法

主要是指運(yùn)用基本不等式及其變形公式來解決函數(shù)最值問題的一種方法．

(1)若實(shí)數(shù)a，b滿足＋＝，則ab的最小值為()

A．B．2

C．2D．4

(2)設(shè)f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，則a的取值范圍為()

A．［－1，2］B．［－1，0］C．［1，2］D．［0，2］

解析：(1)方法一：由已知得＋＝＝，且a>0，b>0，∴ab＝b＋2a≥2·，當(dāng)且僅當(dāng)b＝2a時(shí)取等號(hào)，∴ab≥2.

方法二：由題設(shè)易知a>0，b>0，∴＝＋≥2，當(dāng)且僅當(dāng)b＝2a時(shí)取等號(hào)，即ab≥2.故選C.

(2)∵當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝(x－a)2，又f(0)是f(x)的最小值，∴a≥0.

當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x＋＋a≥2＋a，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取“＝”．

要滿足f(0)是f(x)的最小值，需2＋a≥f(0)＝a2，即

a2－a－2≤0，解得－1≤a≤2，又a≥0，

∴a的取值范圍是0≤a≤2.故選D.

答案：(1)C(2)D

四、單調(diào)性法

先確定函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，然后依據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的最值．這種求解方法在高考中是必考的，且多在解答題的某一問中出現(xiàn)．

設(shè)a>1，函數(shù)f(x)＝logax在區(qū)間［a，2a］上的最大值與最小值之差為，則a＝.

解析：∵a>1，∴函數(shù)f(x)＝logax在區(qū)間［a，2a］上是增函數(shù)，

∴函數(shù)在區(qū)間［a，2a］上的最大值與最小值分別為loga2a，logaa＝1.∴l(xiāng)oga(2a)－logaa＝，

loga2＝，a＝4.

答案：4

五、數(shù)形結(jié)合法

數(shù)形結(jié)合法，是指利用函數(shù)所表示的幾何意義，借助幾何方法及函數(shù)的圖象求函數(shù)最值的一種常用方法．

對(duì)a，b∈R，記max{a，b}＝則函數(shù)f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的最小值是.

解析：由|x＋1|≥|x－2|，

得(x＋1)2≥(x－2)2，所以x≥.

所以f(x)＝其圖象如圖所示．

由圖象易知，當(dāng)x＝時(shí)，函數(shù)有最小值，

所以f(x)min＝f＝＝.

答案：第二節(jié)函數(shù)的性質(zhì)

第1課時(shí)函數(shù)的單調(diào)性與最值

課程標(biāo)準(zhǔn)考向預(yù)測(cè)

1.理解函數(shù)的單調(diào)性、最大(小)值及其幾何意義．2.會(huì)運(yùn)用基本初等函數(shù)圖象分析函數(shù)的單調(diào)性．考情分析：以基本初等函數(shù)為載體，考查函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間及函數(shù)最值的確定與應(yīng)用，其中函數(shù)單調(diào)性及應(yīng)用仍是高考考查的熱點(diǎn)，題型多以選擇題為主，屬中檔題．學(xué)科素養(yǎng)：通過函數(shù)單調(diào)性的判斷及應(yīng)用考查邏輯推理的核心素養(yǎng)；通過函數(shù)最值問題考查數(shù)學(xué)運(yùn)算及直觀想象的核心素養(yǎng)．

1.函數(shù)的單調(diào)性

(1)增函數(shù)和減函數(shù)

增函數(shù)減函數(shù)

定義要求x1，x2一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，區(qū)間DI，如果對(duì)于任意x1，x2∈D，且x1f(x2)

結(jié)論函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)

圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的

(2)單調(diào)區(qū)間的定義

如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．

2.函數(shù)的最值

前提設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在M∈R

條件①對(duì)于任意的x∈I，都有f(x)≤M②存在x0∈I，使得f(x0)＝M①對(duì)于任意的x∈I，都有f(x)≥M②存在x0∈I，使得f(x0)＝M

結(jié)論M是f(x)的最大值M是f(x)的最小值

eq\a\vs4\al()

1.函數(shù)y＝f(x)(f(x)>0或f(x)0)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，－)，(，＋∞)；單調(diào)減區(qū)間為［－，0)，(0，］.

3.增函數(shù)與減函數(shù)形式的等價(jià)變形：x1，x2∈［a，b］且x1≠x2，則(x1－x2)［f(x1)－f(x2)］>0>0f(x)在［a，b］上是增函數(shù)；(x1－x2)［f(x1)－f(x2)］B．m－D．ma>bB．c>b>a

C．a(chǎn)>c>bD．b>a>c

即時(shí)練2.(2023·濟(jì)南模擬)已知函數(shù)f(x)＝若f(2－x2)>f(x)，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是.

求函數(shù)最值的常用方法［思想方法］

一、配方法

配方法是求二次型函數(shù)最值的基本方法，如y＝af2(x)＋bf(x)＋c的函數(shù)的最值問題，可以考慮用配方法．

已知函數(shù)y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2(a∈R，a≠0)，求函數(shù)y的最小值．

二、換元法

換元法有兩類，即代數(shù)換元和三角換元．如可用三角換元解決形如a2＋b2＝1及部分根式函數(shù)形式的最值問題．

(1)函數(shù)f(x)＝x＋2的最大值為.

(2)函數(shù)y＝x－的最大值為，最小值為.

三、不等式法

主要是指運(yùn)用基本不等式及其變形公式來解決函數(shù)最值問題的一種方法．

(1)若實(shí)數(shù)a，b滿足＋＝，則ab的最小值為()

A．B．2

C．2D．4

(2)設(shè)f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，則a的取值范圍為()

A．［－1，2］B．［－1，0］C．［1，2］D．［0，2］

四、單調(diào)性法

先確定函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，然后依據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的最值．這種求解方法在高考中是必考的，且多在解答題的某一問中出現(xiàn)．

設(shè)a>1，函數(shù)f(x)＝logax在區(qū)間［a，2a］上的最大值與最小值之差為，則a＝.

五、數(shù)形結(jié)合法

數(shù)形結(jié)合法，是指利用函數(shù)所表示的幾何意義，借助幾何方法及函數(shù)的圖象求函數(shù)最值的一種常用方法．

對(duì)a，b∈R，記max{a，b}＝則函數(shù)f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的最小值是.課時(shí)作業(yè)(五)函數(shù)的單調(diào)性與最值

［基礎(chǔ)保分練］

1.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增的是()

A．y＝ln(x＋2)B．y＝－

C．y＝D．y＝x＋

A［函數(shù)y＝ln(x＋2)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－2，＋∞)，

所以在(0，＋∞)上一定單調(diào)遞增．］

2.設(shè)a∈R，函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，則()

A．f(a2＋a＋2)>f

B．f(a2＋a＋2)－1的實(shí)數(shù)x的取值范圍是()

A．(3，＋∞)B．(－∞，3)

C．［2，3)D．［0，3)

C［f(x)在定義域［0，＋∞)上是減函數(shù)，且f(2)＝－1，

∴f(2x－4)>－1可化為f(2x－4)>f(2)，

∴解得2≤xf(2)；

③若f(x)在(a，a＋1)上為增函數(shù)，則a≤－1或a≥0；

④當(dāng)x∈［－1，1］時(shí)，f(x)的值域?yàn)椋?，e］.

A．1B．2

C．3D．4

B［易知f(x)在(－∞，0］，(0，＋∞)上是增函數(shù)，①錯(cuò)誤，②正確；

若f(x)在(a，a＋1)上為增函數(shù)，則a≥0或a＋1≤0，即a≤－1或a≥0，故③正確；

當(dāng)x∈［－1，0］時(shí)，f(x)∈［1，2］，當(dāng)x∈(0，1］時(shí)，f(x)∈(－∞，e］，故x∈［－1，1］時(shí)，f(x)∈(－∞，e］，故④不正確．］

6.函數(shù)y＝－x2＋2|x|＋1的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．

解析：由函數(shù)解析式可得，y＝

即y＝

畫出函數(shù)圖象如圖所示，由圖象可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－1］和［0，1］，單調(diào)遞減區(qū)間為［－1，0)和［1，＋∞).

答案：(－∞，－1］和［0，1］［－1，0)和［1，＋∞)

7.函數(shù)f(x)＝－＋b(a>0)在上的值域?yàn)?，則a＝，b＝．

解析：因?yàn)閒(x)＝－＋b(a>0)在上是增函數(shù)，且值域?yàn)椋?/p>

所以f＝，f(2)＝2.

即解得a＝1，b＝.

答案：1

8.設(shè)函數(shù)f(x)＝若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，a＋1)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．

解析：函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，

由圖象可知f(x)在(a，a＋1)上單調(diào)遞增，需滿足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4.

答案：(－∞，1］∪［4，＋∞)

9.已知函數(shù)f(x)＝ax－＋(a>0)，且f(x)在(0，1］上的最大值為g(a)，求g(a)的最小值．

解析：f(x)＝ax－＋(a>0)，

∴f(x)在(0，1］上為增函數(shù)，

∴f(x)max＝f(1)＝a＋，

∴g(a)＝a＋≥2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝即a＝1時(shí)取等號(hào)，

∴g(a)的最小值為2.

10.已知f(x)＝(x≠a).

(1)若a＝－2，試證明f(x)在(－∞，－2)內(nèi)單調(diào)遞增；

(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減，求a的取值范圍．

解析：(1)證明：當(dāng)a＝－2時(shí)，f(x)＝.

任取x1，x2∈(－∞，－2)，且x10，x1－x20，x2－x1>0，又由題意知f(x1)－f(x2)>0，

所以(x1－a)(x2－a)>0恒成立，所以a≤1.

所以0所以a的取值范圍為(0，1］.

［能力提升練］

11.已知函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镽，對(duì)任意x1，x2且x1≠x2，都有>－1，則下列說法正確的是()

A．y＝f(x)＋x是增函數(shù)

B．y＝f(x)＋x是減函數(shù)

C．y＝f(x)是增函數(shù)

D．y＝f(x)是減函數(shù)

A［不妨令x1－1f(x1)－f(x2)0)，則f(x)＝－＋t，

由f＝－1，得f(t)＝－＋t＝－1，

解得t＝1或－2(舍).

則f(x)＝－＋1，則f(1)＝－1，故選A．］

16.(創(chuàng)新型)如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間I上是增函數(shù)，且函數(shù)y＝在區(qū)間I上是減函數(shù)，那么稱函數(shù)y＝f(x)是區(qū)間I上的“緩增函數(shù)”，區(qū)間I叫做“緩增區(qū)間”．若函數(shù)f(x)＝x2－x＋是區(qū)間I上的“緩增函數(shù)”，則“緩增區(qū)間”I為．

解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x2－x＋的對(duì)稱軸為x＝1，所以函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間［1，＋∞)上是增函數(shù)，又當(dāng)x≥1時(shí)，＝x－1＋，令g(x)＝x－1＋(x≥1)，則g′(x)＝－＝.

由g′(x)≤0得1≤x≤，即函數(shù)＝x－1＋在區(qū)間［1，］上單調(diào)遞減．故“緩增區(qū)間”I為［1，］.

答案：［1，］課時(shí)作業(yè)(五)函數(shù)的單調(diào)性與最值

［基礎(chǔ)保分練］

1.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增的是()

A．y＝ln(x＋2)B．y＝－

C．y＝D．y＝x＋

2.設(shè)a∈R，函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，則()

A．f(a2＋a＋2)>f

B．f(a2＋a＋2)－1的實(shí)數(shù)x的取值范圍是()

A．(3，＋∞)B．(－∞，3)

C．［2，3)D．［0，3)

5.已知函數(shù)f(x)＝則下列結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)是()

①f(x)在R上為增函數(shù)；

②f(e)>f(2)；

③若f(x)在(a，a＋1)上為增函數(shù)，則a≤－1或a≥0；

④當(dāng)x∈［－1，1］時(shí)，f(x)的值域?yàn)椋?，e］.

A．1B．2

C．3D．4

6.函數(shù)y＝－x2＋2|x|＋1的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．

7.函數(shù)f(x)＝－＋b(a>0)在上的值域?yàn)椋瑒ta＝，b＝．

8.設(shè)函數(shù)f(x)＝若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，a＋1)上單調(diào)遞增