周期脈沖作用下logisic映射的復(fù)雜動力學(xué)行為

周期脈沖作用下logisic映射的復(fù)雜動力學(xué)行為

1周期脈沖作用下離散映射的復(fù)雜動力學(xué)行為及其分岔機理從數(shù)學(xué)的形式來看，logistic映射是一個非常簡單的二次映射。然而，該系統(tǒng)的動態(tài)行為極其復(fù)雜。20世紀(jì)50年代，生態(tài)科學(xué)家開始使用這一簡單的差分方程來描述群體的變化。目前，對logistic映射的研究取得了許多成果，并在人口預(yù)測、生態(tài)環(huán)境、保密通信等領(lǐng)域得到了應(yīng)用。脈沖控制具有控制量小、實現(xiàn)方便等優(yōu)點因此被廣泛應(yīng)用于大型航天器的減震裝置、衛(wèi)星軌道的轉(zhuǎn)換、混沌系統(tǒng)及復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的控制與同步等本文以典型的Logistic映射為例,研究了周期脈沖作用下離散映射的復(fù)雜動力學(xué)行為及其分岔機理.首先分別研究了兩種周期脈沖作用下離散映射的復(fù)雜動力學(xué)行為,即常量與比例兩種形式;然后通過構(gòu)造Poincar′e映射,對周期脈沖作用下Logistic映射進行了分岔分析;最后基于Floquet理論揭示了該系統(tǒng)周期解的分岔機理.Logistic映射的方程為其中x(k)∈N,k∈N為系統(tǒng)狀態(tài),N為自然數(shù)集,r為系統(tǒng)參數(shù).設(shè)Logistic映射受到周期τ的脈沖作用,即其中m,τ∈N,τ2,g(x(k))為函數(shù).未加脈沖作用時Logistic映射的分岔圖與Lyapunov指數(shù)如圖1所示.從圖1可知,當(dāng)0r<1時,系統(tǒng)(1)有穩(wěn)定的平衡點,即x=0;當(dāng)r=1時,系統(tǒng)經(jīng)鞍結(jié)分岔變?yōu)榉€(wěn)定的周期一解;當(dāng)r=3時,系統(tǒng)經(jīng)倍周期分岔,由周期一解變?yōu)榉€(wěn)定的周期二解;當(dāng)r=3.449時,系統(tǒng)經(jīng)倍周期分岔,由周期二解變?yōu)榉€(wěn)定的周期四解.隨著r的逐漸增加,系統(tǒng)經(jīng)倍周期分岔到達(dá)混沌.在混沌區(qū)域中存在周期窗口.2系統(tǒng)對的影響本文考慮周期脈沖作用的兩種典型情形:(I)g(x)=α;(II)g(x)=αx,即常量和比例兩種脈沖作用.本文首先固定周期τ,α,取r為分岔參數(shù),利用頻閃映射研究參數(shù)r對系統(tǒng)的影響.針對r的某個變化范圍中的每一個值,求出系統(tǒng)的數(shù)值解,然后取出系統(tǒng)狀態(tài)的頻閃映射的點(即周期脈沖作用后的點)來得到r對系統(tǒng)的影響.對每一個r的值,求出長度為250個脈沖周期的數(shù)值解;然后對每一個r的值,給出該系統(tǒng)的最后50個頻閃點,從而得到該系統(tǒng)的分岔圖.根據(jù)頻閃映射與原系統(tǒng)的關(guān)系得知:頻閃映射的不動點對應(yīng)于原系統(tǒng)存在一個以脈沖周期為周期的周期解,即1T周期解;頻閃映射的k周期點對應(yīng)于原系統(tǒng)存在一個以k倍脈沖周期為周期的周期解,即kT周期解;頻閃映射的不變環(huán)對應(yīng)于原系統(tǒng)的擬周期解或圓環(huán)面2.1空心點與空心點的分岔機理固定周期τ=3,α=0.1,系統(tǒng)(3)隨r變化的分岔圖與Lyapunov指數(shù)圖如圖2所示.分岔圖上的點為周期脈沖作用后Logistic映射的狀態(tài),而文獻(xiàn)[20]中的分岔圖上的點為Logistic映射的所有狀態(tài),即本文采用頻閃映射進行分析,這樣有利于揭示分岔機理.從圖2知,當(dāng)0r<3.018時系統(tǒng)為穩(wěn)定的1T周期解,如圖3所示當(dāng)r=3.018時系統(tǒng)經(jīng)倍周期分岔由1T周期解變?yōu)?T周期解,如圖4所示.隨著r的逐漸增加,系統(tǒng)經(jīng)倍周期分岔由4T周期解,8T周期解,一直到達(dá)混沌狀態(tài),如圖5和圖6所示.當(dāng)r=3.405時,系統(tǒng)產(chǎn)生混沌危機,直接由混沌狀態(tài)到達(dá)1T周期解.最后經(jīng)過倍周期分岔再次到達(dá)混沌.圖3—6中空心圓圈代表周期脈沖作用點,實心點代表Logistic映射作用點.2.2周期脈沖作用的影響固定周期τ=4,α=0.125,系統(tǒng)(3)隨r變化的分岔圖與Lyapunov指數(shù)圖如圖7所示.從圖7知,當(dāng)0r<0.961時,系統(tǒng)有穩(wěn)定的平衡點,即x=0.當(dāng)r=0.961時,系統(tǒng)經(jīng)鞍結(jié)分岔,由平衡解變?yōu)榉€(wěn)定的1T周期解,如圖8所示.當(dāng)r=2.927時,系統(tǒng)經(jīng)倍周期分岔,由1T周期解變?yōu)榉€(wěn)定的2T周期解,如圖9所示.當(dāng)r=3.094時,系統(tǒng)經(jīng)倍周期分岔,由2T周期解變?yōu)榉€(wěn)定的4T周期解,如圖10所示.隨著r的逐漸增加,系統(tǒng)經(jīng)倍周期分岔到達(dá)混沌,如圖11所示.下面固定r=2及周期τ,取g(x)=α,并以α為分岔參數(shù),研究脈沖作用對系統(tǒng)的影響.系統(tǒng)(3)隨α變化的分岔圖如圖12所示.從圖12可知,在脈沖作用周期固定的情況下,當(dāng)α=0時,未受脈沖作用的Logistic映射為周期一解;隨著α的增加,Logistic映射受到常量脈沖作用,且經(jīng)歷周期解、混沌等復(fù)雜動力學(xué)現(xiàn)象.從圖12(a)—(d)可知,隨著脈沖作用周期τ的增加,系統(tǒng)(3)的倍周期分岔過程逐漸被壓縮.所以脈沖作用強度及脈沖作用周期對系統(tǒng)動力學(xué)具有顯著影響.總之周期脈沖作用下的Logistic映射走向混沌的演化過程為經(jīng)倍周期分岔到達(dá)混沌,中間伴隨陣發(fā)性混沌出現(xiàn);在混沌區(qū)域中存在周期窗口.3非潤滑連續(xù)系統(tǒng)分岔分析由于周期脈沖作用下的Logistic映射為非光滑離散系統(tǒng),故不能用一般離散系統(tǒng)的分岔分析方法進行分析.下面將文獻(xiàn)[11,12,22]所提出的非光滑連續(xù)系統(tǒng)的分岔分析方法推廣到非光滑離散系統(tǒng)并對周期脈沖作用下的Logistic映射的動力學(xué)行為進行分岔分析.令f(x)=rx(1-x).定義映射P下面基于Floquet理論揭示周期脈沖作用下的Logistic映射的分岔機理.3.1系統(tǒng)特征乘子的floquet特征乘子分析考慮情形I,當(dāng)3.4047<r<3.49時,系統(tǒng)的Floquet特征乘子在單位圓內(nèi);而在r=3.4047處系統(tǒng)的Floquet特征乘子通過1穿出單位圓,如圖13所示.根據(jù)Floquet理論可判斷當(dāng)3.4047<r<3.49時,系統(tǒng)為穩(wěn)定的1T周期解,而在r=3.4047處系統(tǒng)發(fā)生鞍結(jié)分岔,系統(tǒng)由1T周期解變?yōu)榛煦?此結(jié)果與圖2(a)的分岔圖是一致的.考慮情形II,當(dāng)0<r<0.9620時,系統(tǒng)的Floquet特征乘子在單位圓內(nèi);而在r=0.9620處系統(tǒng)的Floquet特征乘子通過1穿出單位圓,如圖14所示.根據(jù)Floquet理論可判斷當(dāng)0<r<0.9620時系統(tǒng)為穩(wěn)定的平衡解,而在r=0.9620處系統(tǒng)發(fā)生鞍結(jié)分岔,系統(tǒng)由平衡解變?yōu)榉€(wěn)定的1T周期解,此結(jié)果與圖7(a)的分岔圖是一致的.總之,脈沖作用下的Logistic映射經(jīng)鞍結(jié)分岔可能由平衡解變?yōu)橹芷诮?也可能由周期解直接到達(dá)混沌.這兩種情形均是發(fā)生了鞍結(jié)分岔,即系統(tǒng)的Floquet特征乘子通過1穿出單位圓,然而這兩種情形的動力學(xué)機理并不完全相同.從Lyapunov指數(shù)來看,情形II中由平衡解變?yōu)橹芷诮鈺r系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)隨著參數(shù)r的增加達(dá)到零后就逐漸減少,而情形I中由周期解變?yōu)榛煦鐣r系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)隨著參數(shù)r的減少達(dá)到零后仍逐漸增加.特別地,情形I中隨著參數(shù)r的增加,系統(tǒng)本質(zhì)上是發(fā)生了混沌危機,即混沌吸引子突變?yōu)橹芷诮?所謂混沌危機是指系統(tǒng)混沌吸引子不連續(xù)地改變其大小、突然出現(xiàn)或突然消失.3.2t周期解的floquet特征乘子分析考慮情形I,當(dāng)0<r<3.0180時,系統(tǒng)的Floquet特征乘子在單位圓內(nèi);而在r=3.0180處系統(tǒng)的Floquet特征乘子通過-1穿出單位圓,如圖15所示.根據(jù)Floquet理論可判斷當(dāng)0<r<3.0180,系統(tǒng)做穩(wěn)定的1T周期解運動,而在r=3.0180處系統(tǒng)發(fā)生倍周期分岔,系統(tǒng)由1T周期解變?yōu)榉€(wěn)定的2T周期解,此結(jié)果與圖2(c)的分岔圖是一致的.考慮情形II,當(dāng)2.927<r<3.094時,系統(tǒng)的Floquet特征乘子在單位圓內(nèi);而在r=3.094處系統(tǒng)的Floquet特征乘子通過-1穿出單位圓,如圖16所示.根據(jù)Floquet理論可判斷當(dāng)2.927<r<3.094時,系統(tǒng)做穩(wěn)定的2T周期解運動,而在r=3.094處系統(tǒng)發(fā)生倍周期分岔,系統(tǒng)由2T周期解變?yōu)榉€(wěn)定的4T周期解,此結(jié)果與圖7(c)的分岔圖是一致的.總之,周期脈沖作用下Logistic映射可能會發(fā)生倍周期分岔,即系統(tǒng)的某一周期解變?yōu)榱硪粌杀吨芷诘闹芷诮?并會發(fā)生級聯(lián)倍周期分岔,即系統(tǒng)的周期解經(jīng)倍周期分岔到達(dá)混沌.4floquet理論分岔行為的理論分析本文研究了周期脈沖作用下Logistic映射