煙臺(tái)市重點(diǎn)中學(xué)2023年數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．將函數(shù)圖象上的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度得到點(diǎn)，若位于函數(shù)的圖象上，則（）A．，的最小值為 B．，的最小值為C．，的最小值為 D．，的最小值為2．已知甲、乙、丙三名同學(xué)同時(shí)獨(dú)立地解答一道導(dǎo)數(shù)試題，每人均有的概率解答正確，且三個(gè)人解答正確與否相互獨(dú)立，在三人中至少有兩人解答正確的條件下，甲解答不正確的概率（）A． B． C． D．3．如圖陰影部分為曲邊梯形，其曲線對應(yīng)函數(shù)為，在長方形內(nèi)隨機(jī)投擲一顆黃豆，則它落在陰影部分的概率是（）A． B． C． D．4．第十九屆西北醫(yī)療器械展覽將于2018年5月18至20日在蘭州舉行,現(xiàn)將5名志愿者分配到3個(gè)不同的展館參加接待工作，每個(gè)展館至少分配一名志愿者的分配方案種數(shù)為（）A．540 B．300 C．180 D．1505．已知函數(shù)，若集合中含有4個(gè)元素，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．6．已知，則展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為（）A． B． C． D．7．有6名學(xué)生，其中有3名會(huì)唱歌，2名會(huì)跳舞，1名既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞，現(xiàn)從中選出2名會(huì)唱歌的，1名會(huì)跳舞的，去參加文藝演出，求所有不同的選法種數(shù)為()A．18 B．15 C．16 D．258．某中學(xué)有高中生3500人，初中生1500人，為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，用分層抽樣的方法從該校學(xué)生中抽取一個(gè)容量為n的樣本，已知從高中生中抽取70人，則n為()A．100 B．150C．200 D．2509．是第四象限角，,，則（）A． B． C． D．10．4名同學(xué)報(bào)名參加兩個(gè)課外活動(dòng)小組，每名同學(xué)限報(bào)其中的一個(gè)小組，則不同的報(bào)名方法共有()A．4種 B．16種 C．64種 D．256種11．已知是定義在上的函數(shù)，且對任意的都有，，若角滿足不等式，則的取值范圍是（）A． B． C． D．12．已知10個(gè)產(chǎn)品中有3個(gè)次品，現(xiàn)從其中抽出若干個(gè)產(chǎn)品，要使這3個(gè)次品全部被抽出的概率不小于0.6，則至少應(yīng)抽出的產(chǎn)品個(gè)數(shù)為（）A．7 B．8 C．9 D．10二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖所示，滿足如下條件：①第行首尾兩數(shù)均為；②表中的遞推關(guān)系類似“楊輝三角”.則第行的第2個(gè)數(shù)是__________．14．已知復(fù)數(shù)，，其中i為虛數(shù)單位，若為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為_______．15．在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線所圍成的封閉圖形的面積為（）．16．若的展開式的第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，則其展開式中的常數(shù)項(xiàng)為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某研究性學(xué)習(xí)小組為了調(diào)查研究學(xué)生玩手機(jī)對學(xué)習(xí)的影響，現(xiàn)抽取了30名學(xué)生，得到數(shù)據(jù)如表：玩手機(jī)不玩手機(jī)合計(jì)學(xué)習(xí)成績優(yōu)秀8學(xué)習(xí)成績不優(yōu)秀16合計(jì)30已知在全部的30人中隨機(jī)抽取1人，抽到不玩手機(jī)的概率為.（1）請將2×2列聯(lián)表補(bǔ)充完整；（2）能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為玩手機(jī)對學(xué)習(xí)有影響；（3）現(xiàn)從不玩手機(jī)，學(xué)習(xí)成績優(yōu)秀的8名學(xué)生中任意選取兩人，對他們的學(xué)習(xí)情況進(jìn)行全程跟蹤，記甲、乙兩名學(xué)生被抽到的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828．18．（12分）(1)求的解集M；(2)設(shè)且a＋b＋c＝1．求證：．19．（12分）已知函數(shù).（1）證明：函數(shù)在區(qū)間與上均有零點(diǎn)；（提示）（2）若關(guān)于的方程存在非負(fù)實(shí)數(shù)解，求的最小值.20．（12分）如圖是某市年月日至日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖，某人隨機(jī)選擇年月日至月日中的某一天到達(dá)該市，并停留天.（1）求此人到達(dá)當(dāng)日空氣質(zhì)量指數(shù)大于的概率；（2）設(shè)是此人停留期間空氣質(zhì)量指數(shù)小于的天數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（3）由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大？（結(jié)論不要求證明）21．（12分）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，，.（Ⅰ）求及邊的值；（Ⅱ）求的值.22．（10分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，，記函數(shù)在上的最大值為，證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】由題意得由題意得所以，因此當(dāng)時(shí)，的最小值為，選A.點(diǎn)睛：三角函數(shù)的圖象變換，提倡“先平移，后伸縮”，但“先伸縮，后平移”也常出現(xiàn)在題目中，所以也必須熟練掌握.無論是哪種變形，切記每一個(gè)變換總是對字母而言.2、C【解析】

記“三人中至少有兩人解答正確”為事件；“甲解答不正確”為事件，利用二項(xiàng)分布的知識(shí)計(jì)算出，再計(jì)算出，結(jié)合條件概率公式求得結(jié)果.【詳解】記“三人中至少有兩人解答正確”為事件；“甲解答不正確”為事件則；本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查條件概率的求解問題，涉及到利用二項(xiàng)分布公式求解概率的問題.3、D【解析】

通過定積分可求出空白部分面積，于是利用幾何概型公式可得答案.【詳解】由題可知長方形面積為3，而長方形空白部分面積為：，故所求概率為，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查定積分求幾何面積，幾何概型的運(yùn)算，難度中等.4、D【解析】分析：將人分成滿足題意的組有與兩種，分別計(jì)算分為兩類情況的分組的種數(shù)，再分配到三個(gè)不同的展館，即可得到結(jié)果．詳解：將人分成滿足題意的組有與兩種，分成時(shí)，有種分法；分成時(shí)，有種分法,由分類計(jì)數(shù)原理得，共有種不同的分法，故選D．點(diǎn)睛：本題主要考查分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理及排列組合的應(yīng)用，有關(guān)排列組合的綜合問題，往往是兩個(gè)原理及排列組合問題交叉應(yīng)用才能解決問題，解答這類問題理解題意很關(guān)鍵，一定多讀題才能挖掘出隱含條件．解題過程中要首先分清“是分類還是分步”、“是排列還是組合”，在應(yīng)用分類計(jì)數(shù)加法原理討論時(shí)，既不能重復(fù)交叉討論又不能遺漏，這樣才能提高準(zhǔn)確率．在某些特定問題上，也可充分考慮“正難則反”的思維方式．5、D【解析】

先求出，解方程得直線與曲線在上從左到右的五個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，再解不等式得解.【詳解】.由題意，在上有四個(gè)不同的實(shí)根.令，得或，即或.直線與曲線在上從左到右的五個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為.據(jù)題意是，解得.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角恒等變換，考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力，屬于中檔題.6、B【解析】

==﹣1，則二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=﹣?，令9﹣2r=3，求得r=3，∴展開式中x3項(xiàng)的系數(shù)為﹣?=﹣，故選B【點(diǎn)睛】本題考查集合的混合運(yùn)算.7、B【解析】名會(huì)唱歌的從中選出兩個(gè)有種,名會(huì)跳舞的選出名有種選法,但其中一名既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的有一個(gè),兩組不能同時(shí)用他,共有種，故選B.8、A【解析】試題分析：根據(jù)已知可得：，故選擇A考點(diǎn)：分層抽樣9、D【解析】

根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系，得到，求解，再根據(jù)題意，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，由同角三角函?shù)基本關(guān)系可得：，解得：，又是第四象限角，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查已知正切求正弦，熟記同角三角函數(shù)基本關(guān)系即可，屬于?？碱}型.10、B【解析】根據(jù)題意，每個(gè)同學(xué)可以在兩個(gè)課外活動(dòng)小組中任選1個(gè)，即有2種選法，則4名同學(xué)一共有種選法；故選B.11、A【解析】

構(gòu)造新函數(shù)，由可得為單調(diào)減函數(shù)，由可得為奇函數(shù)，從而解得的取值范圍.【詳解】解：令因?yàn)?，所以為R上的單調(diào)減函數(shù)，又因?yàn)椋?，即，即，所以函?shù)為奇函數(shù)，故，即為，化簡得，即，即，由單調(diào)性有，解得，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是由題意構(gòu)造出新函數(shù)，研究其性質(zhì)，從而解題.12、C【解析】

根據(jù)題意，設(shè)至少應(yīng)抽出個(gè)產(chǎn)品，由題設(shè)條件建立不等式，由此能求出結(jié)果.【詳解】解：要使這3個(gè)次品全部被抽出的概率不小于0.6，設(shè)至少抽出個(gè)產(chǎn)品，則基本事件總數(shù)為，要使這3個(gè)次品全部被抽出的基本事件個(gè)數(shù)為，由題設(shè)知：，所以，即，分別把A，B，C，D代入，得C，D均滿足不等式，因?yàn)榍蟮淖钚≈?，所?故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查概率的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理的進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

歸納前幾行的第二個(gè)數(shù)，發(fā)現(xiàn)，第行的第2個(gè)數(shù)可以用來表示，化簡上式由此可以得到答案．【詳解】由圖表可知第行的第2個(gè)數(shù)為：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題是一道找規(guī)律的題目，考查歸納推理，掌握歸納推理找規(guī)律的方法是解題的關(guān)鍵．14、【解析】為純虛數(shù)，則15、C【解析】畫出函數(shù)的圖象，如圖所示，由，解得，，所以．選．16、【解析】

根據(jù)第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)可知，求出，進(jìn)而得到展開式的通項(xiàng)公式；令的冪指數(shù)為零可知；代入通項(xiàng)公式可求得常數(shù)項(xiàng).【詳解】由二項(xiàng)式定理可知，第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)：，解得：展開式通項(xiàng)公式為：令，解得：常數(shù)項(xiàng)為：本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查利用二項(xiàng)式定理求解指定項(xiàng)的系數(shù)的問題，關(guān)鍵是能夠明確二項(xiàng)式系數(shù)的定義、二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式的形式.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）填表見解析（2）能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為玩手機(jī)對學(xué)習(xí)有影響（3）見解析【解析】

（1）由題意30人中，不玩手機(jī)的人數(shù)為10，由題意能將2×2列聯(lián)表補(bǔ)充完整．（2）求出K210＞7.879，從而能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為玩手機(jī)對學(xué)習(xí)有影響．（3）由題意得X的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．【詳解】（1）由題意30人中，不玩手機(jī)的人數(shù)為：3010，由題意將2×2列聯(lián)表補(bǔ)充完整如下：玩手機(jī)不玩手機(jī)合計(jì)學(xué)習(xí)成績優(yōu)秀4812學(xué)習(xí)成績不優(yōu)秀16218合計(jì)201030（2）K210＞7.879，∴能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為玩手機(jī)對學(xué)習(xí)有影響．（3）由題意得X的可能取值為0，1，2，P（X＝0），P（X＝1），P（X＝2），∴X的分布列為：X012P∴E（X）＝01．【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查概率、離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法及應(yīng)用，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．18、(1)；(2)見解析.【解析】

(1)利用零點(diǎn)分類法進(jìn)行求解即可;(2)對求證的式子中的每一項(xiàng)先應(yīng)用重要不等式,最后應(yīng)用基本不等式即可證明.【詳解】(1),由,得或或解得，故．（2）因?yàn)?(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))所以(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)).【點(diǎn)睛】本題考查了解絕對值不等式,考查了應(yīng)用重要不等式、基本不等式證明不等式.19、（1）證明見解析；（2）-4【解析】

（1）利用零點(diǎn)判定定理直接計(jì)算求解，即可證明結(jié)果；（2）設(shè)，令，通過換元，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求解的取值范圍，進(jìn)而可得最小值.【詳解】（1）證明：，在區(qū)間上有零點(diǎn)，在區(qū)間上有零點(diǎn).從而在區(qū)間與上均有零點(diǎn)（2）設(shè)，令則，，，時(shí)，，則在上遞增，，故【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù),函數(shù)的單調(diào)性的判斷，零點(diǎn)判定定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.20、(1)；(2)答案見解析；(3)答案見解析.【解析】分析：（1）由空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖，直接利用古典概型概率公式可得“此人到達(dá)當(dāng)日空氣質(zhì)量指數(shù)大于”的概率；（2）由題意可知，的可能取值為，，，分別利用古典概型概率公式求出相應(yīng)的概率，由此能求出故的分布列，利用期望公式可得；（3）由圖知，從日開始，連續(xù)三天（日，日，日）空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大.詳解：（1）設(shè)“此人到達(dá)當(dāng)日空氣質(zhì)量指數(shù)大于”的事件為，則；（2）的可能取值為，，，則，，，故的分布列為：所以.（3）由圖知，從日開始，連續(xù)三天（日，日，日）空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大.點(diǎn)睛：本題主要考查互斥事件的概率公式、以及離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，屬于中檔題.求解數(shù)學(xué)期望問題，首先正確要理解題意，其次要準(zhǔn)確無誤的找出隨機(jī)變量的所以可能值，計(jì)算出相應(yīng)的概率，寫出隨機(jī)變量的分布列，正確運(yùn)用均值、方差的公式進(jìn)行計(jì)算，也就是要過三關(guān)：（1）閱讀理解關(guān)；（2）概率計(jì)算關(guān)；（3）公式應(yīng)用關(guān).21、(1)，或；(2).【解析】分析：（1）根據(jù)正弦定理和二倍角公式，求得，在利用余弦定理求得邊長的值；（2）由二倍角公式求得，再利用三角恒等變換求得的值.詳解：（Ⅰ）中，，，∴，又，∴，，解得；又，，，解得或；（Ⅱ）∵，∴，∴；∴.點(diǎn)睛：本題主要考查了利用正弦定理和三角函數(shù)的恒等變換求解三角形問題，對于解三角形問題，通常利用正弦定理進(jìn)行“邊轉(zhuǎn)角”尋求角的關(guān)系，利用“角轉(zhuǎn)邊”尋求邊的關(guān)系，利用余弦定理借助三邊關(guān)系求角，利用兩角和差公式及二倍角公式求三角函數(shù)值.利用正、余弦定理解三角形問題是高考高頻考點(diǎn)，經(jīng)常利用三角形內(nèi)角和定理，三角形面積公式，結(jié)合正、余弦定理解題.22、（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞